# CSCA Math: все задачи (330) ## Задача 1 (Множества) 中文: 若集合 \(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则以下哪个是正确的？ English: If the sets \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), which of the following is true? Русский: Если множества \(A=\{1,2\}\) и \(B=\{1,2,3\}\), то какое из следующих утверждений верно? A. \(B \subseteq A\) B. \(A=B\) C. \(A\subseteq B\) D. \(A \not\subseteq B\) Ответ: C Решение: Множество \(A=\{1,2\}\) содержит элементы 1 и 2. Множество \(B=\{1,2,3\}\) содержит элементы 1, 2 и 3. Каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), поэтому \(A \subseteq B\). Вариант A неверен, так как 3 не входит в \(A\). Вариант B неверен, так как множества содержат разное число элементов. Вариант D противоречит установленному включению. Ответ: C. ## Задача 2 (Множества) 中文: 若集合 \(A=(-1,3)\)，\(B=[2,4]\)，则 \(A\cap B\) 等于多少？ English: If the sets \(A=(-1,3)\) and \(B=[2,4]\), what is \(A\cap B\)? Русский: Если множества \(A=(-1,3)\) и \(B=[2,4]\), то чему равно \(A\cap B\)? A. \([2,3]\) B. \([2,3)\) C. \((2, 3]\) D. \((2, 3)\) Ответ: B Решение: Множество \(A=(-1,3)\) содержит числа от \(-1\) до \(3\), не включая обе границы. Множество \(B=[2,4]\) содержит числа от \(2\) до \(4\), включая обе границы. Пересечение состоит из чисел, принадлежащих обоим промежуткам, то есть от \(2\) до \(3\). Точка \(2\) входит в оба множества, поэтому левая граница включается. Точка \(3\) не входит в \(A\), поэтому правая граница не включается. Получаем промежуток \([2,3)\). Ответ: B. ## Задача 3 (Квадратные неравенства) 中文: 一元二次不等式 \(x^{2}-5x+4<0\) 的解集为？ English: The solution set of the inequality \(x^{2}-5x+4<0\) is? Русский: Множество решений неравенства \(x^{2}-5x+4<0\) равно: A. \((-4,-1)\) B. \((-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\) C. \((-\infty, -4) \cup (-1, +\infty)\) D. \((1,4)\) Ответ: D Решение: Решаем квадратное уравнение \(x^2-5x+4=0\). По теореме Виета сумма корней равна 5, произведение равно 4, откуда корни \(x_1=1\) и \(x_2=4\). Старший коэффициент положителен, поэтому парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \(x^2-5x+4<0\) выполняется между корнями. Множество решений есть интервал \((1,4)\). Ответ: D. ## Задача 4 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) 的定义域为？ English: The domain of the function \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) is? Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) равна: A. \([-1, +\infty)\) B. \((-1, +\infty)\) C. \((0, +\infty)\) D. \((-\infty, -1)\) Ответ: B Решение: Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x+1 \geq 0\). Корень стоит в знаменателе дроби, поэтому он не может равняться нулю: \(\sqrt{x+1} \neq 0\). Объединяя условия, получаем строгое неравенство \(x+1>0\). Отсюда \(x>-1\). Область определения функции есть промежуток \((-1,+\infty)\). Ответ: B. ## Задача 5 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，首项 \(a_1=5\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{100}=\) English: If the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) has first term \(a_1=5\) and common difference \(d=2\), then \(a_{100}=\) Русский: Если арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) имеет первый член \(a_1=5\) и разность \(d=2\), то \(a_{100}=\) A. \(203\) B. \(205\) C. \(199\) D. \(204\) Ответ: A Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем известные значения: \(a_1=5\), \(d=2\), \(n=100\). Вычисляем \(a_{100} = 5 + (100-1) \cdot 2\). Упрощаем выражение: \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 5 + 198 = 203\). Ответ: A. ## Задача 6 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \((-1,\,3-\pi)\) 位于平面直角坐标系的哪个象限？ English: The point \((-1,\,3-\pi)\) is located in which quadrant of the Cartesian coordinate system? Русский: Точка \((-1,\,3-\pi)\) находится в какой четверти декартовой системы координат? A. Third quadrant / 第三象限 / Третья четверть B. First quadrant / 第一象限 / Первая четверть C. Second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть D. Fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть Ответ: A Решение: Абсцисса точки равна \(-1\), что меньше нуля. Ордината равна \(3 - \pi\), и так как \(\pi \approx 3.14\), получаем \(3 - \pi < 0\). Точка с отрицательной абсциссой и отрицательной ординатой лежит в третьей четверти. Ответ: A. ## Задача 7 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 计算 \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\) English: Compute \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\) Русский: Вычислите \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\) A. \(2\sqrt{2}\) B. \(2\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(1\) Ответ: C Решение: Значения тригонометрических функций: \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\). Сумма синуса и косинуса: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Умножаем на тангенс: \(\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\). Ответ: C. ## Задача 8 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数中，哪个是奇函数？ English: Which of the following functions is an odd function? Русский: Какая из следующих функций является нечётной? A. \(y = x \sin x\) B. \(y = x^4\) C. \(y = \cos x\) D. \(y = x + x^3\) Ответ: D Решение: Функция нечётная, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Для \(y = x + x^3\) получаем \(f(-x) = -x + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x + x^3) = -f(x)\), значит функция нечётная. Вариант A: \((-x)\sin(-x) = x\sin x\) — чётная. Варианты B и C также чётные, так как \((-x)^4 = x^4\) и \(\cos(-x) = \cos x\). Ответ: D. ## Задача 9 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 函数 \(y = x^3\) 的反函数是 English: The inverse function of \(y = x^3\) is Русский: Обратная функция функции \(y = x^3\) равна A. \(y = \dfrac{x}{3}\) B. \(y = 3x\) C. \(y = x^3\) D. \(y = \sqrt[3]{x}\) Ответ: D Решение: Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y=x^3\). Извлекаем кубический корень: \(x=\sqrt[3]{y}\). Меняем переменные местами: \(y=\sqrt[3]{x}\). Ответ: D. ## Задача 10 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数中单调递增的是 English: Which of the following functions is monotonically increasing? Русский: Какая из следующих функций монотонно возрастает? A. \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) B. \(y = \log_{0.5} x\) C. \(y = 2x+1\) D. \(y = \sin x\) Ответ: C Решение: \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) убывает, так как основание меньше \(1\). \(y=\log_{0.5}x\) убывает, так как основание логарифма меньше \(1\). \(y=\sin x\) не монотонна на всей прямой. \(y=2x+1\) — линейная функция с угловым коэффициентом \(2>0\), она возрастает. Ответ: C. ## Задача 11 (Координаты и расстояния) 中文: 下列点位于第三象限的是 English: The point located in the third quadrant is Русский: Точка, расположенная в третьей четверти, это A. \((-1,\,-2)\) B. \((-1, 2)\) C. \((2, 2)\) D. \((1, -2)\) Ответ: A Решение: В третьей четверти координатной плоскости обе координаты точки отрицательны. У точки \( (-1, -2) \) абсцисса \( -1 < 0 \) и ордината \( -2 < 0 \), значит она лежит в третьей четверти. Точка \( (-1, 2) \) во второй четверти, \( (2, 2) \) в первой, \( (1, -2) \) в четвёртой. Ответ: A. ## Задача 12 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 不等式 \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) 的解集为 English: The solution set of the inequality \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) is Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) равно A. \((2, +\infty)\) B. \([1, 2]\) C. \((-\infty, 2)\) D. \((-\infty, 1]\) Ответ: C Решение: Перенесём единицу влево: \( \dfrac{x-1}{x-2} - 1 \leq 0 \). Приведём к общему знаменателю: \( \dfrac{x-1-(x-2)}{x-2} \leq 0 \), то есть \( \dfrac{1}{x-2} \leq 0 \). Дробь с положительным числителем неположительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: \( x - 2 < 0 \). Получаем \( x < 2 \), что соответствует промежутку \( (-\infty, 2) \). Ответ: C. ## Задача 13 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 a, b 和 c 构成等差数列并且满足 a + c = 20, b = English: Given that a, b and c form an arithmetic sequence and satisfy a + c = 20, then b = Русский: Если a, b и c образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют a + c = 20, то b = A. \(10\) B. \(5\) C. \(20\) D. \(0\) Ответ: A Решение: По свойству арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних: \( b = \dfrac{a+c}{2} \). Подставим известную сумму: \( b = \dfrac{20}{2} = 10 \). Ответ: A. ## Задача 14 (Прямая) 中文: 直线 \(y = \sqrt{3}x + 10\) 的倾斜角为 English: The inclination angle of the line \(y = \sqrt{3}x + 10\) is Русский: Угол наклона прямой \(y = \sqrt{3}x + 10\) равен A. 60° B. \(30°\) C. \(45°\) D. \(120°\) Ответ: A Решение: Угловой коэффициент прямой \( y = \sqrt{3}x + 10 \) равен \( k = \sqrt{3} \). Угловой коэффициент связан с углом наклона формулой \( k = \tan\alpha \). Находим угол: \( \tan\alpha = \sqrt{3} \), откуда \( \alpha = 60° \). Ответ: A. ## Задача 15 (Показательная функция) 中文: 下列不等式正确的是 English: Which of the following inequalities is correct? Русский: Какое из следующих неравенств верно? A. \(0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}\) B. \(3^{4.5} > 3^5\) C. \(2.1^{-2} > 2.1^{-2}\) D. \(2.1^{\frac{2}{3}} > 1.2^{\frac{2}{3}}\) Ответ: D Решение: A: основание \(0{,}75<1\), функция убывает, поэтому \(0{,}75^{-0{,}2}<0{,}75^{-0{,}4}\) — неверно.\nB: основание \(3>1\), функция возрастает, поэтому \(3^{4{,}5}<3^5\) — неверно.\nC: слева и справа одно и то же число, строгое неравенство невозможно — неверно.\nD: степень \(\dfrac{2}{3}>0\), функция \(x^{2/3}\) возрастает при \(x>0\), а \(2{,}1>1{,}2\), значит \(2{,}1^{2/3}>1{,}2^{2/3}\) — верно. Ответ: D. ## Задача 16 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若点 \(P(1, y)\) 是角 \(\alpha\) 终边上的点，且 \(\tan\alpha = 2\)，则 \(y =\) English: If point \(P(1, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and \(\tan\alpha = 2\), then \(y =\) Русский: Если точка \(P(1, y)\) лежит на стороне угла \(\alpha\), и \(\tan\alpha = 2\), то \(y =\) A. \(1\) B. \(\dfrac{1}{2}\) C. \(\sqrt{3}\) D. \(2\) Ответ: D Решение: Точка \(P(1,y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\). По определению \(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{1}=y\). Так как \(\tan\alpha=2\), получаем \(y=2\). Ответ: D. ## Задача 17 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)，则 \(a_{2025} =\) English: Given that \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), then \(a_{2025} =\) Русский: Дано, что \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), тогда \(a_{2025} =\) A. \(2\) B. \(2025\) C. \(2024\) D. \(20\) Ответ: B Решение: Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=2-1=1\). Общий член: \(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)=n\). Тогда \(a_{2025}=2025\). Ответ: B. ## Задача 18 (Окружность) 中文: 若圆的圆心坐标是 \((-3, 2)\)，半径是 \(4\)，则圆的方程是 English: If the center of the circle is \((-3, 2)\) and the radius is \(4\), then the equation of the circle is Русский: Если центр окружности имеет координаты \((-3, 2)\), а радиус равен \(4\), то уравнение окружности A. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\) B. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4\) C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) D. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\) Ответ: D Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x-(-3))^2+(y-2)^2=(x+3)^2+(y-2)^2\). Радиус \(4\) возводим в квадрат: \(r^2=16\). Итоговое уравнение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\), это вариант D. Ответ: D. ## Задача 19 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 是第二象限角，则 \(\cos\alpha =\) English: Given that \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\) is in the second quadrant, then \(\cos\alpha =\) Русский: Дано, что \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), и \(\alpha\) находится во второй четверти, тогда \(\cos\alpha =\) A. \(\dfrac{4}{5}\) B. \(-\dfrac{4}{5}\) C. \(\dfrac{3}{4}\) D. \(-\dfrac{3}{4}\) Ответ: B Решение: По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). \(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), значит \(\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5}\). Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\). Ответ: B. ## Задача 20 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y = \sqrt{x - 1}\) 的定义域是 English: The domain of the function \(y = \sqrt{x - 1}\) is Русский: Область определения функции \(y = \sqrt{x - 1}\) есть A. \([1, +\infty)\) B. \((1, +\infty)\) C. \((-\infty, 1]\) D. \((-\infty, 1)\) Ответ: A Решение: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x-1\ge 0\). Отсюда \(x\ge 1\), то есть \(x\in[1,+\infty)\). При \(x=1\) корень определён, поэтому скобка квадратная; варианты B, C, D не подходят. Ответ: A. ## Задача 21 (Окружность) 中文: 设圆的方程为 \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\) ，则该圆的半径为： English: Given the equation of the circle is \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), then the radius of the circle is: Русский: Если уравнение окружности \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), то радиус окружности равен: A. \(2\) B. \(\dfrac{1}{2}\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(1\) Ответ: C Решение: Дополняем до полных квадратов: \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\) и \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\). Уравнение принимает вид \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0\), то есть \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\). Правая часть равна \(r^2 = 2\), значит \(r = \sqrt{2}\). Ответ: C. ## Задача 22 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ，则 \(\tan\alpha =\) ： English: If \(\alpha\) is an acute angle and \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), then \(\tan\alpha =\) : Русский: Если \(\alpha\) — острый угол и \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\tan\alpha =\) : A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\sqrt{3}\) C. \(\dfrac{1}{4}\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) Ответ: B Решение: \(\alpha\) острый, поэтому \(\cos\alpha>0\). По основному тождеству \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}\). Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\). Ответ: B. ## Задача 23 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的前三项为 1, 2, 4, 则数列的通项公式为： English: Given that the first three terms of the geometric sequence \(\{a_n\}\) are 1, 2, 4, then the general term formula of the sequence is: Русский: Если первые три члена геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равны 1, 2, 4, то её общий член равен: A. \(a_n = 2n\) B. \(a_n = 8\) C. \(a_n = 2^{n-1}\) D. \(a_n = 2^n\) Ответ: C Решение: Знаменатель прогрессии \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{2}{1}=2\). Общий член геометрической прогрессии \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}\). Проверка: \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_3=4\) — совпадает с условием. Ответ: C. ## Задача 24 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 已知 \(a > b\) ，则： English: Given that \(a > b\), then: Русский: Если \(a > b\), то: A. \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}\) B. \(a^2 > b^2\) C. \(5^a > 5^b\) D. \(\sin a > \sin b\) Ответ: C Решение: Показательная функция \(y=5^x\) с основанием \(5>1\) возрастает, поэтому из \(a>b\) следует \(5^a>5^b\).\nA неверно: при \(a=1\), \(b=-1\) имеем \(\dfrac{1}{a}=1>-1=\dfrac{1}{b}\).\nB неверно: при \(a=1\), \(b=-2\) имеем \(a^2=1<4=b^2\).\nD неверно: при \(a=\pi\), \(b=\dfrac{\pi}{2}\) имеем \(\sin a=0<1=\sin b\). Ответ: C. ## Задача 25 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \(P(-1, 2)\) 到点 \(Q(3, 1)\) 的距离是： English: The distance from point \(P(-1, 2)\) to point \(Q(3, 1)\) is: Русский: Расстояние от точки \(P(-1, 2)\) до точки \(Q(3, 1)\) равно: A. \(\sqrt{17}\) B. \(\sqrt{13}\) C. \(\sqrt{5}\) D. \(5\) Ответ: A Решение: Используем формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Подставляем координаты точек \(P(-1, 2)\) и \(Q(3, 1)\). Разность абсцисс: \(3 - (-1) = 4\), разность ординат: \(1 - 2 = -1\). Вычисляем: \(d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\). Ответ: A. ## Задача 26 (Показательная функция) 中文: 下列关于函数 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) 的描述正确的是： English: Which of the following descriptions about the function \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является верным? A. The function is symmetric about the origin / 该函数关于原点对称 / Функция симметрична относительно начала координат B. The function is symmetric about the \(x\)-axis / 该函数关于 \(x\) 轴对称 / Функция симметрична относительно оси \(x\) C. The function is monotonically increasing / 该函数单调递增 / Функция является монотонно возрастающей D. The function is monotonically decreasing / 该函数单调递减 / Функция является монотонно убывающей Ответ: D Решение: Функция \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является показательной функцией с основанием \(a = \dfrac{1}{2}\). Так как \(0 < a < 1\), функция монотонно убывает на всей числовой прямой. Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной, поэтому симметрии относительно оси ординат или начала координат нет. График расположен выше оси абсцисс, поэтому симметрия относительно оси \(x\) невозможна. Варианты A, B и C неверны, верен только вариант D. Ответ: D. ## Задача 27 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\) English: If \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\) Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\) A. \(-\dfrac{7}{8}\) B. \(\dfrac{1}{8}\) C. \(\dfrac{7}{8}\) D. \(-\dfrac{1}{8}\) Ответ: C Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\). Подставляем \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^2\). Вычисляем: \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{16} = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\). Ответ: C. ## Задача 28 (Прямая) 中文: 直线 \(l_1: y = 2x + 1\) 和直线 \(l_2: x + y + 1 = 0\) 的交点为： English: The intersection point of line \(l_1: y = 2x + 1\) and line \(l_2: x + y + 1 = 0\) is: Русский: Точка пересечения прямых \(l_1: y = 2x + 1\) и \(l_2: x + y + 1 = 0\) имеет координаты: A. \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\) B. \(\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right)\) C. \(\left(\dfrac{-1}{3}, \dfrac{-2}{3}\right)\) D. \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\) Ответ: D Решение: Приравниваем \(y\) из первого уравнения во второе: \(x + (2x + 1) + 1 = 0\). Решаем: \(3x + 2 = 0\), откуда \(x = -\dfrac{2}{3}\). Находим \(y\): \(y = 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 1 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{3} = -\dfrac{1}{3}\). Точка пересечения: \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\). Ответ: D. ## Задача 29 (Гипербола) 中文: 双曲线 \(x^2 - y^2 = 1\) 的焦点坐标是： English: The coordinates of the foci of the hyperbola \(x^2 - y^2 = 1\) are: Русский: Координаты фокусов гиперболы \(x^2 - y^2 = 1\): A. \((\pm \sqrt{2}, 0)\) B. \((0, \pm 2)\) C. \((0, \pm \sqrt{2})\) D. \((\pm 2, 0)\) Ответ: A Решение: Уравнение \(x^2 - y^2 = 1\) — каноническое уравнение гиперболы с \(a^2 = 1\) и \(b^2 = 1\). Находим фокусное расстояние: \(c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2\), значит \(c = \sqrt{2}\). Так как знак минус перед \(y^2\), фокусы лежат на оси \(Ox\): \((\pm \sqrt{2}, 0)\). Ответ: A. ## Задача 30 (Логарифмы) 中文: 计算 \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\) English: Calculate \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\) Русский: Вычислите \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\) A. \(-5\) B. \(10\) C. \(0\) D. \(5\) Ответ: C Решение: Вычисляем первое слагаемое: \(\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5\). Вычисляем второе слагаемое: \(\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{2^{-1}} 2^5 = \dfrac{5}{-1} = -5\). Складываем: \(5 + (-5) = 0\). Ответ: C. ## Задача 31 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于函数 \(y = \cos x\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y = \cos x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \cos x\) является верным? A. \(\cos(x + \pi) = \cos x\) B. The function is an odd function / 该函数是一个奇函数 / Функция является нечётной C. The function is monotonically increasing on the interval \([0, \pi]\) / 该函数在区间 \([0, \pi]\) 上单调递增 / Функция является монотонно возрастающей на отрезке \([0, \pi]\) D. The function is periodic with a period of \(2\pi\) / 该函数是一个以 \(2\pi\) 为周期的函数 / Функция является периодической с периодом \(2\pi\) Ответ: D Решение: Проверяем вариант A: \(\cos(x + \pi) = -\cos x\), а не \(\cos x\), неверно. Проверяем вариант B: \(\cos(-x) = \cos x\), функция чётная, а не нечётная, неверно. Проверяем вариант C: на \([0, \pi]\) функция убывает от \(1\) до \(-1\), неверно. Вариант D верен: период косинуса равен \(2\pi\). Ответ: D. ## Задача 32 (Парабола) 中文: 关于抛物线 \(y^2 = 4x\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the parabola \(y^2 = 4x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о параболе \(y^2 = 4x\) является верным? A. Passes through the point \((-4, 4)\) / 经过点 \((-4, 4)\) / Проходит через точку \((-4, 4)\) B. The axis of symmetry is \(x = 0\) / 对称轴为 \(x = 0\) / Ось симметрии — \(x = 0\) C. The coordinates of the foci are \((\pm 1, 0)\) / 焦点坐标为 \((\pm 1, 0)\) / Координаты фокусов: \((\pm 1, 0)\) D. The coordinates of the focus are \((1, 0)\) / 焦点坐标为 \((1, 0)\) / Координаты фокуса: \((1, 0)\) Ответ: D Решение: Уравнение \(y^2 = 4x\) имеет вид \(y^2 = 2px\), где \(2p = 4\), значит \(p = 2\). Фокус такой параболы находится в точке \(\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (1, 0)\). Проверка A: при \(x = -4\) получаем \(y^2 = -16\), невозможно, точка не лежит на параболе. Ось симметрии — ось \(y = 0\), а не \(x = 0\), вариант B неверен. Фокус один, а не два, вариант C неверен. Ответ: D. ## Задача 33 (Прямая) 中文: 下列直线与直线 \(l: x + y + 3 = 0\) 垂直的是： English: Which of the following lines is perpendicular to the line \(l: x + y + 3 = 0\)? Русский: Какая из следующих прямых перпендикулярна прямой \(l: x + y + 3 = 0\)? A. \(y = -2x + 1\) B. \(y = x + 2\) C. \(y = 1 - x\) D. \(y = 2x + 2\) Ответ: B Решение: Прямая \(l: x + y + 3 = 0\) имеет угловой коэффициент \(-1\). Перпендикулярная прямая должна иметь угловой коэффициент, обратный по знаку и величине: \(k = 1\). Среди вариантов только прямая \(y = x + 2\) имеет угловой коэффициент \(1\). Ответ: B. ## Задача 34 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，则 \(\sin\alpha\) 的值是： English: Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), the value of \(\sin\alpha\) is: Русский: Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), тогда значение \(\sin\alpha\) равно: A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(-\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\). Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, синус положителен. Извлекаем корень: \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ответ: B. ## Задача 35 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知 \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\) English: Given that \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), then \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\) Русский: Известно, что \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), тогда \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\) A. \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\) D. \(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{4}\) Ответ: B Решение: Представим угол \(\dfrac{\pi}{12}\) как разность \(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\). Применим формулу косинуса разности: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}\). Подставим известные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\). Выполним умножение дробей: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\). Сложим дроби с одинаковым знаменателем: \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\). Ответ: B. ## Задача 36 (Область определения и значений) 中文: 下列函数与函数 \(y = |x|\) 相同的是： English: Which of the following functions is identical to \(y = |x|\)? Русский: Какая из следующих функций тождественно равна функции \(y = |x|\)? A. \(y = \sqrt[3]{x^3}\) B. \(y = (\sqrt{x})^2\) C. \(y = x\) D. \(y = \sqrt{x^2}\) Ответ: D Решение: Две функции тождественны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений. Функция \(y = |x|\) определена при всех действительных \(x\) и принимает неотрицательные значения. Вариант A: \(y = \sqrt[3]{x^3} = x\), что не равно \(|x|\) при отрицательных \(x\). Вариант B: \(y = (\sqrt{x})^2 = x\) определена только при \(x \geq 0\), область определения уже. Вариант C: \(y = x\) принимает отрицательные значения, не совпадает с \(|x|\). Вариант D: \(y = \sqrt{x^2} = |x|\), область определения — все действительные числа, правило совпадает. Ответ: D. ## Задача 37 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\) English: If \(\alpha\) is an acute angle and \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\) Русский: Если \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\) A. \(\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\pm \dfrac{1}{2}\) C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: D Решение: Так как \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\). Половина этого угла равна \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{6}\). Угол \(\dfrac{\pi}{6}\) лежит в первой четверти, поэтому его синус положителен, варианты A и B с \(\pm\) отбрасываем. Вычислим значение: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). Ответ: D. ## Задача 38 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 关于诱导公式，下列等式错误的是： English: Which of the following reduction formulas is incorrect? Русский: Какая из следующих формул приведения неверна? A. \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) B. \(\tan(\pi + \alpha) = -\tan\alpha\) C. \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) Ответ: B Решение: Проверим формулы приведения для каждой из предложенных записей. Вариант A: \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) — верная формула, так как период косинуса равен \(2\pi\). Вариант B: \(\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha\), а не \(-\tan\alpha\), поскольку тангенс имеет период \(\pi\). Эта формула неверна. Вариант C: \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) — верная формула приведения для второй четверти. Вариант D: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) — верная формула перехода к кофункции. Ответ: B. ## Задача 39 (Парабола) 中文: 抛物线 \(y^2 = -x\) 的准线方程为： English: The equation of the directrix of the parabola \(y^2 = -x\) is: Русский: Уравнение директрисы параболы \(y^2 = -x\): A. \(x = \dfrac{1}{2}\) B. \(x = -\dfrac{1}{2}\) C. \(x = \dfrac{1}{4}\) D. \(x = -\dfrac{1}{4}\) Ответ: C Решение: Каноническое уравнение параболы с горизонтальной осью имеет вид \(y^2 = 2px\). Из уравнения \(y^2 = -x\) получаем \(2p = -1\), откуда \(p = -\dfrac{1}{2}\). Директриса такой параболы задаётся уравнением \(x = -\dfrac{p}{2}\). Подставляем найденное значение: \(x = -\dfrac{-1/2}{2} = \dfrac{1}{4}\). Ответ: C. ## Задача 40 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知 \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\)，则 \(\tan\alpha =\) English: Given that \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\), then \(\tan\alpha =\) Русский: Известно, что \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\). Тогда \(\tan\alpha =\) A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{1}{4}\) C. \(\dfrac{2}{3}\) D. \(\dfrac{1}{3}\) Ответ: A Решение: Разделим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\): \(\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{1}{3}\). Умножаем крест-накрест: \(3(1-\tan\alpha)=1+\tan\alpha\). Раскрываем скобки: \(3-3\tan\alpha=1+\tan\alpha\). Переносим члены: \(2=4\tan\alpha\), откуда \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\). Ответ: A. ## Задача 41 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\)（\(n\ge 2\)），则 \(a_{100}=\) English: Given that the sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)), then \(a_{100}=\) Русский: Дано, что последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)). Тогда \(a_{100}=\) A. \(50\) B. \(\dfrac{1}{100}\) C. \(1\) D. \(100\) Ответ: B Решение: Упростим рекуррентное соотношение: \( a_n = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}} = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1} \).\nТогда \( \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}} = 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} \).\nПоследовательность \( b_n = \dfrac{1}{a_n} \) арифметическая с разностью 1.\n\( b_1 = 1 \), значит \( b_n = n \), откуда \( a_n = \dfrac{1}{n} \).\n\( a_{100} = \dfrac{1}{100} \).\nОтвет: B. ## Задача 42 (Логарифмы) 中文: 关于对数函数 \(y = \log_a x\) ，下面说法正确的是： English: Which of the following statements about the logarithmic function \(y = \log_a x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о логарифмической функции \(y = \log_a x\) верно? A. The domain of this function is \((-\infty, +\infty)\) / 该函数的定义域为 \((-\infty, +\infty)\) / Область определения этой функции — \((-\infty, +\infty)\) B. When \(a > 1\), it is a monotonically decreasing function over its domain / 当 \(a > 1\) 时，在定义域上是一个单调递减函数 / При \(a > 1\) функция монотонно убывает на своей области определения C. When \(a > 1\), for any \(x > 0\) we always have \(\log_a x > 1\) / 当 \(a > 1\) 时，对任意的 \(x > 0\) 总有 \(\log_a x > 1\) / При \(a > 1\) для любого \(x > 0\) всегда выполняется \(\log_a x > 1\) D. When \(0 < a < 1\), it is a monotonically decreasing function over its domain / 当 \(0 < a < 1\) 时，在定义域上是一个单调递减函数 / При \(0 < a < 1\) функция монотонно убывает на своей области определения Ответ: D Решение: Область определения \((0,+\infty)\), а не \((-\infty,+\infty)\) — A неверно. При \(a>1\) логарифм возрастает — B неверно. При \(a>1\) и \(00\}\) 是两个集合。那么 \(A\cup B\)= English: Let \(A=\{x\mid -2 \le x \le 2\}\) and \(B=\{x\mid x > 0\}\) be two sets. Then \(A \cup B\) = Русский: Пусть \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\) — два множества. Тогда \(A\cup B\)= A. \(\{x \mid x \leq -2\}\) B. \(\{x \mid 0 < x \leq 2\}\) C. \(\{x \mid x \geq -2\}\) D. \(\{x \mid -2 \leq x < 0\}\) Ответ: C Решение: \(A\) — отрезок \([-2;2]\), \(B\) — луч \(x>0\). Объединение покрывает все \(x\) от \(-2\) и дальше: и отрезок, и луч. Значит \(A\cup B=\{x\mid x\ge -2\}\). Вариант B — только пересечение, A и D — части отрезка. Ответ: C. ## Задача 51 (Квадратные неравенства) 中文: 不等式 \(x^{2} - x - 2 > 0\) 的解集是： English: The solution set of the inequality \(x^{2} - x - 2 > 0\) is: Русский: Множество решений неравенства \(x^{2} - x - 2 > 0\) равно: A. \(\{x \mid x < -1 \text{ or } x > 2\}\) B. \(\{x \mid -1 < x < 2\}\) C. \(\{x \mid x < -2 \text{ or } x > -1\}\) D. \(\{x \mid -2 < x \leq 1\}\) Ответ: A Решение: Разложим левую часть: \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \).\nНеравенство \( (x-2)(x+1) > 0 \) выполняется, когда оба множителя одного знака.\nОба положительны при \( x > 2 \), оба отрицательны при \( x < -1 \).\nРешение: \( x < -1 \) или \( x > 2 \).\nОтвет: A. ## Задача 52 (Арифметическая прогрессия) 中文: 设 \(\{a_n\}\) 是一个等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。那么 \(a_{100}=\) English: Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence, with the first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\) Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\) A. \(299\) B. \(302\) C. \(305\) D. \(298\) Ответ: A Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Подставляем \( n=100 \), \( a_1=2 \), \( d=3 \): \( a_{100} = 2 + 99 \cdot 3 \). Вычисляем: \( 2 + 297 = 299 \). Ответ: A. ## Задача 53 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) 的定义域是： English: The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) is: Русский: Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) равна: A. \((-\infty, 1]\) B. \((-\infty, 0) \cup (0, 1)\) C. \((-\infty, 0) \cup (0, 1]\) D. \([1, +\infty)\) Ответ: C Решение: Для дроби \( \dfrac{1}{x} \) требуется \( x \neq 0 \).\nДля корня \( \sqrt{1-x} \) требуется \( 1-x \ge 0 \), то есть \( x \le 1 \).\nОбъединяя условия: \( x \le 1 \) и \( x \neq 0 \).\nОбласть определения: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1] \).\nОтвет: C. ## Задача 54 (Координаты и расстояния) 中文: 设点 \(P(1,2)\) 在直角坐标系中。如果点 \(Q\) 与 \(P\) 关于 \(x\) 轴对称，那么 \(Q\) 的坐标是： English: Let \(P(1,2)\) be a point in the rectangular coordinate system. If a point \(Q\) together with \(P\) are symmetrical about the \(x\)-axis, then the coordinates of \(Q\) are: Русский: Пусть точка \(P(1,2)\) задана в прямоугольной системе координат. Если точка \(Q\) симметрична точке \(P\) относительно оси \(x\), то координаты точки \(Q\) равны: A. \((2,1)\) B. \((1,-2)\) C. \((-1,2)\) D. \((-1,-2)\) Ответ: B Решение: При симметрии относительно оси \(x\) абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Точка \(P(1,2)\) переходит в \(Q(1,-2)\). Ответ: B. ## Задача 55 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 假设角 \(\alpha=30^{\circ}\)。那么下列哪个陈述是正确的？ English: Suppose that an angle \(\alpha=30^{\circ}\). Then which of the following statements is correct? Русский: Пусть угол \(\alpha=30^{\circ}\). Тогда какое из следующих утверждений верно? A. \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) B. \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\) D. \(\tan\alpha=\sqrt{3}\) Ответ: B Решение: Для \(\alpha=30^{\circ}\): \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Вариант A неверен: \(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), а не \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Вариант C неверен: \(\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), а не \(\dfrac{1}{2}\). Вариант D неверен: \(\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), а не \(\sqrt{3}\). Ответ: B. ## Задача 56 (Монотонность и чётность) 中文: 关于函数 \(f(x)=x^4+3\)，下列哪个陈述是正确的？ English: About the function \(f(x)=x^4+3\), which of the following statements is correct? Русский: О функции \(f(x)=x^4+3\), какое из следующих утверждений верно? A. The function is odd / 函数是奇函数 / Функция является нечётной B. None is true / 以上都不是 / Ничего из вышеперечисленного C. Neither odd nor even / 函数既不是奇函数也不是偶函数 / Функция не является ни чётной, ни нечётной D. The function is even / 函数是偶函数 / Функция является чётной Ответ: D Решение: Проверяем чётность: \(f(-x)=(-x)^4+3=x^4+3=f(x)\). Равенство \(f(-x)=f(x)\) выполнено для всех \(x\), значит функция чётная. Ответ: D. ## Задача 57 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 函数 \(y = x^3 + 3\)，\(x \in \mathbb{R}\) 的反函数是： English: The inverse function of the function \(y = x^3 + 3\), \(x \in \mathbb{R}\) is: Русский: Обратная функция функции \(y = x^3 + 3\), \(x \in \mathbb{R}\) равна: A. \(y = \sqrt[3]{x - 3},\ x \in \mathbb{R}\) B. \(y = \sqrt[3]{x + 3},\ x \ge -3\) C. \(y = \sqrt[3]{x + 3},\ x \in \mathbb{R}\) D. \(y = \sqrt[3]{x - 3},\ x \ge 3\) Ответ: A Решение: Выражаем \(x\) через \(y\): \(y-3=x^3\), значит \(x=\sqrt[3]{y-3}\). Меняем переменные местами: обратная функция \(y=\sqrt[3]{x-3}\). Кубический корень определён при всех \(x\), поэтому \(x\in\mathbb{R}\). Варианты с \(x+3\) и с ограничением области не подходят. Ответ: A. ## Задача 58 (Координаты и расстояния) 中文: 下列哪个点在第三象限？ English: Which of the following points is in the third quadrant? Русский: Какая из следующих точек находится в третьей четверти? A. \((-1,2)\) B. \((-1,-2)\) C. \((1,2)\) D. \((1,-2)\) Ответ: B Решение: В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\). Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными. \((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая. Ответ: B. ## Задача 59 (Монотонность и чётность) 中文: 已知 \(y = |x|\)，下列哪个结论是正确的？ English: Given that \(y = |x|\), which of the following conclusions is correct? Русский: Если \(y = |x|\), какое из следующих утверждений верно? A. When \(x < 0\), it is an increasing function / 当 \(x < 0\) 时，函数是增函数 / При \(x < 0\) функция возрастает B. When \(x > 0\), it is an increasing function / 当 \(x > 0\) 时，函数是增函数 / При \(x > 0\) функция возрастает C. When \(x \in \mathbb{R}\), it is a decreasing function / 当 \(x \in \mathbb{R}\) 时，函数是减函数 / При \(x \in \mathbb{R}\) функция убывает D. When \(x \in \mathbb{R}\), it is an increasing function / 当 \(x \in \mathbb{R}\) 时，函数是增函数 / При \(x \in \mathbb{R}\) функция возрастает Ответ: B Решение: При \(x>0\) имеем \(y=|x|=x\), это возрастающая прямая. При \(x<0\) имеем \(y=-x\), функция убывает. На всей прямой \(\mathbb{R}\) функция не монотонна, поэтому C и D неверны. Верное утверждение: при \(x>0\) функция возрастает. Ответ: B. ## Задача 60 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 有理不等式 \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) 的解集是： English: The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) is: Русский: Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) равно: A. \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right)\) B. \(\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right] \cup (2,\ +\infty)\) C. \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right]\) D. \(\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right)\) Ответ: A Решение: Нули числителя и знаменателя: \(x=-\dfrac{1}{2}\) и \(x=2\). Методом интервалов дробь неположительна на \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right)\). Точка \(x=-\dfrac{1}{2}\) входит, так как неравенство нестрогое. Точка \(x=2\) исключена, знаменатель обращается в нуль. Ответ: A. ## Задача 61 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 \(a = 2 - \sqrt{3}\) 和 \(b = 2 + \sqrt{3}\)，a 和 b 的算术平均数是： English: Given that \(a = 2 - \sqrt{3}\) and \(b = 2 + \sqrt{3}\), the arithmetic mean of a and b is: Русский: Если \(a = 2 - \sqrt{3}\) и \(b = 2 + \sqrt{3}\), их арифметическое среднее равно: A. \(1\) B. \(2\) C. \(\pm 1\) D. \(-1\) Ответ: B Решение: Среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{a+b}{2}\). \(a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4\). \(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4}{2}=2\). Ответ: B. ## Задача 62 (Прямая) 中文: 如果直线 \(l\) 经过点 \(A(-2,3)\) 和 \(B(3,1)\)，那么 \(l\) 的斜率是： English: If the straight line \(l\) passes through the points \(A(-2,3)\) and \(B(3,1)\), then the slope of \(l\) is: Русский: Если прямая \(l\) проходит через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\), то угловой коэффициент прямой \(l\) равен: A. \(\dfrac{2}{5}\) B. \(\dfrac{5}{2}\) C. \(-\dfrac{2}{5}\) D. \(-\dfrac{5}{2}\) Ответ: C Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\): \(k=\dfrac{1-3}{3-(-2)}\). \(k=\dfrac{-2}{5}=-\dfrac{2}{5}\). Ответ: C. ## Задача 63 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 如果 \(\alpha\) 是 \(x\) 轴与一条过点 \(P(1,3)\) 的直线之间的夹角，那么 \(\sin\alpha=\) English: If \(\alpha\) is the angle between the \(x\)-axis and a line containing the point \(P(1,3)\), then \(\sin\alpha=\) Русский: Если \(\alpha\) — угол между осью \(x\) и прямой, проходящей через точку \(P(1,3)\), то \(\sin\alpha=\) Ошибка в источнике: в условии не сказано, что прямая проходит через начало координат, это подразумевается. A. \(3\) B. \(3\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) C. \(\dfrac{1}{3}\) D. \(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) Ответ: B Решение: Вектор направления прямой из начала координат через точку \(P(1,3)\) имеет координаты \((1,3)\). Его длина равна \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\). Синус угла с осью \(Ox\) равен отношению ординаты к длине: \(\sin\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\). Рационализируем: \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\). Ответ: B. ## Задача 64 (Арифметическая прогрессия) 中文: 在以下四个数列中，等差数列的个数是： (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16 English: Among the four sequences below, the number of arithmetic sequences is: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16 Русский: Среди четырёх приведённых последовательностей количество арифметических прогрессий равно: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16 A. \(2\) B. \(3\) C. \(1\) D. \(4\) Ответ: A Решение: Арифметическая прогрессия: разность соседних членов постоянна. (1) \(13-7=6,\ 19-13=6,\ 25-19=6\) — арифметическая. (2) \(4-2=2,\ 7-4=3\) — разности разные, не арифметическая. (3) \(-3-(-1)=-2,\ -5-(-3)=-2,\ -7-(-5)=-2\) — арифметическая. (4) \(4-2=2,\ 8-4=4\) — не арифметическая, это геометрическая. Подходят две последовательности: (1) и (3). Ответ: A. ## Задача 65 (Координаты и расстояния) 中文: 平面上从点 \(A(3, -2)\) 到点 \(B(-5, -1)\) 的距离为 \(|AB|=\) English: The distance from point \(A(3, -2)\) to point \(B(-5, -1)\) on the plane is \(|AB|=\) Русский: Расстояние от точки \(A(3, -2)\) до точки \(B(-5, -1)\) на плоскости равно \(|AB|=\) A. \(65\) B. \(\sqrt{65}\) C. \(13\) D. \(\sqrt{13}\) Ответ: B Решение: Расстояние между точками: \(|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). \(x_2-x_1=-5-3=-8\), \(y_2-y_1=-1-(-2)=1\). \(|AB|=\sqrt{(-8)^2+1^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}\). Ответ: B. ## Задача 66 (Прямая) 中文: 如果一条直线 \(l\) 的倾斜角为 \(45^\circ\)，且经过点 \((0, 2)\)，则直线 \(l\) 的方程是： English: If a straight line \(l\) has an angle of inclination of \(45^\circ\) and passes through the point \((0, 2)\), then the equation of \(l\) is: Русский: Если прямая \(l\) имеет угол наклона \(45^\circ\) и проходит через точку \((0, 2)\), то уравнение прямой \(l\) имеет вид: A. \(y = 2x - 2\) B. \(y = x + 2\) C. \(y = 2x + 2\) D. \(y = x - 2\) Ответ: B Решение: Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 45^\circ=1\). Прямая проходит через \((0,2)\), значит \(b=2\) в уравнении \(y=kx+b\). \(y=x+2\). Ответ: B. ## Задача 67 (Окружность) 中文: 如果一个圆的方程是 \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\)，则其圆心和半径分别为： English: If the equation of a circle is \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), then its center and radius are: Русский: Если уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), то её центр и радиус равны соответственно: A. \((0, 2)\) and \(\sqrt{7}\) / \((0, 2)\) 和 \(\sqrt{7}\) / \((0, 2)\) и \(\sqrt{7}\) B. \((0, 2)\) and \(7\) / \((0, 2)\) 和 \(7\) / \((0, 2)\) и \(7\) C. \((2, 0)\) and \(\sqrt{7}\) / \((2, 0)\) 和 \(\sqrt{7}\) / \((2, 0)\) и \(\sqrt{7}\) D. \((2, 0)\) and \(7\) / \((2, 0)\) 和 \(7\) / \((2, 0)\) и \(7\) Ответ: C Решение: Выделяем полный квадрат: \(x^2-4x=(x-2)^2-4\). Уравнение принимает вид \((x-2)^2+y^2=7\). Центр окружности \((2,0)\), радиус \(\sqrt{7}\). Ответ: C. ## Задача 68 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知 \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)，且角 \(\alpha\) 属于第二象限，则下列说法正确的是： English: Given that \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) and the angle \(\alpha\) lies in the second quadrant, which of the following statements is correct? Русский: Известно, что \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\), а угол \(\alpha\) находится во второй четверти. Какое из следующих утверждений верно? A. \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\) B. \(\cos\alpha = \dfrac{-3}{5}\) C. \(\tan\alpha = \dfrac{-3}{4}\) D. \(\tan\alpha = \dfrac{4}{3}\) Ответ: B Решение: По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\). Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}\). Тангенс равен \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}\). Вариант A неверен из-за знака косинуса, вариант C содержит перевёрнутую дробь для тангенса, вариант D имеет неверный знак. Ответ: B. ## Задача 69 (Арифметическая прогрессия) 中文: 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_2 = 1\) 且 \(a_4 = 5\)，则首项 \(a_1\) 和公差 \(d\) 分别是： English: In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_2 = 1\) and \(a_4 = 5\), then the first term \(a_1\) and common difference \(d\) are respectively: Русский: В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) известно, что \(a_2 = 1\) и \(a_4 = 5\). Тогда первый член \(a_1\) и разность прогрессии \(d\) соответственно равны: A. \(-1, 2\) B. \(1, -2\) C. \(-1, -2\) D. \(1, 2\) Ответ: A Решение: Разность арифметической прогрессии находится из соотношения \(a_4 - a_2 = 2d\), откуда \(5 - 1 = 2d\) и \(d = 2\). Первый член вычисляем по формуле \(a_1 = a_2 - d = 1 - 2 = -1\). Получаем \(a_1 = -1\) и \(d = 2\). Ответ: A. ## Задача 70 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 设 \(a, b, c\) 为三个实数，则下列说法正确的是： English: Let \(a, b, c\) be three real numbers. Which of the following statements is correct? Русский: Пусть \(a, b, c\) — три действительных числа. Какое из следующих утверждений верно? A. If \(a > b\), then \(ac > bc\) / 如果 \(a > b\)，那么 \(ac > bc\) / Если \(a > b\), то \(ac > bc\) B. If \(a > b\), then \(a + c > b + c\) / 如果 \(a > b\)，那么 \(a + c > b + c\) / Если \(a > b\), то \(a + c > b + c\) C. If \(ac > bc\), then \(a > b\) / 如果 \(ac > bc\)，那么 \(a > b\) / Если \(ac > bc\), то \(a > b\) D. If \(a > b\), then \(a^2 > b^2\) / 如果 \(a > b\)，那么 \(a^2 > b^2\) / Если \(a > b\), то \(a^2 > b^2\) Ответ: B Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак, поэтому утверждение B верно всегда. Утверждение A неверно при \(c < 0\), так как знак неравенства меняется на противоположный. Утверждение C неверно по той же причине: если \(c < 0\), то из \(ac > bc\) следует \(a < b\). Утверждение D неверно, например, при \(a = 1\) и \(b = -2\) получаем \(1 > -2\), но \(1 < 4\). Ответ: B. ## Задача 71 (Показательная функция) 中文: 关于指数函数 \(y = a^x\)（\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），下列说法错误的是： English: Regarding the exponential function \(y = a^x\) (\(a > 0\) and \(a \neq 1\)), which of the following statements is incorrect? Русский: Относительно показательной функции \(y = a^x\) (\(a > 0\) и \(a \neq 1\)), какое из следующих утверждений неверно? A. The range is \((0, +\infty)\) / 值域为 \((0, +\infty)\) / Область значений — \((0, +\infty)\) B. The graph passes through the point \((0, 1)\) / 图像经过点 \((0, 1)\) / График проходит через точку \((0, 1)\) C. The function is increasing over its domain / 函数在定义域上是增函数 / Функция является возрастающей на всей области определения D. The domain is \(\mathbb{R}\) / 定义域为 \(\mathbb{R}\) / Область определения — \(\mathbb{R}\) Ответ: C Решение: Область определения показательной функции \(y = a^x\) — все действительные числа, область значений — \((0, +\infty)\), график проходит через точку \((0, 1)\). Утверждения A, B и D верны для любых допустимых оснований. Если \(0 < a < 1\), функция убывает на всей области определения, поэтому утверждение C не всегда верно. Ответ: C. ## Задача 72 (Двойной и половинный угол) 中文: 如果 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 属于第一象限，则 \(\sin 2\alpha =\) English: If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) and \(\alpha\) belongs to the first quadrant, then \(\sin 2\alpha =\) Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) и \(\alpha\) находится в первой четверти, то \(\sin 2\alpha =\) A. \(\dfrac{12}{25}\) B. \(\dfrac{24}{25}\) C. \(\dfrac{18}{25}\) D. \(\dfrac{7}{25}\) Ответ: B Решение: Так как угол \(\alpha\) в первой четверти, косинус положителен: \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\). По формуле синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\). Подставляем значения: \(\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}\). Ответ: B. ## Задача 73 (Прямая) 中文: 直线 \(l_1:3x-y+8=0\) 和 \(l_2:x+2y-9=0\) 的交点坐标是： English: The intersection of the lines \(l_1:3x-y+8=0\) and \(l_2:x+2y-9=0\) has coordinates: Русский: Точка пересечения прямых \(l_1:3x-y+8=0\) и \(l_2:x+2y-9=0\) имеет координаты: A. \((-5,1)\) B. \((1,-5)\) C. \((5,-1)\) D. \((-1,5)\) Ответ: D Решение: Решаем систему: \(3x-y=-8\) и \(x+2y=9\). Из первого уравнения \(y=3x+8\), подставляем во второе: \(x+2(3x+8)=9\). Получаем \(7x+16=9\), откуда \(x=-1\). Тогда \(y=3\cdot(-1)+8=5\), точка пересечения \((-1,5)\). Ответ: D. ## Задача 74 (Гипербола) 中文: 已知双曲线的方程是 \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\)，下列哪个陈述是正确的： English: Given that the equation of a hyperbola is \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\), which of the following statements is correct? Русский: Дано уравнение гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\). Какое из следующих утверждений верно? A. The focal distance is \(8\sqrt{5}\) / 焦距是 \(8\sqrt{5}\) / Фокусное расстояние равно \(8\sqrt{5}\) B. The semi-major axis has length \(4\) / 半长轴的长度是 \(4\) / Длина полуоси равна \(4\) C. The eccentricity of the hyperbola is \(\sqrt{5}\) / 双曲线的离心率是 \(\sqrt{5}\) / Эксцентриситет гиперболы равен \(\sqrt{5}\) D. The semi-minor axis has length \(8\) / 半短轴的长度是 \(8\) / Длина мнимой полуоси равна \(8\) Ответ: A Решение: Из уравнения гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\) находим \(a^2=64\), \(b^2=16\), то есть \(a=8\), \(b=4\). Параметр \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). Фокусное расстояние равно \(2c=8\sqrt{5}\), что совпадает с вариантом A. Длина полуоси действительной равна \(a=8\), а не \(4\), поэтому B неверно. Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), поэтому C неверно. Мнимая полуось равна \(b=4\), а не \(8\), поэтому D неверно. Ответ: A. ## Задача 75 (Показательная функция) 中文: 下列哪个不等式是正确的： English: Which of the following inequalities is correct? Русский: Какое из следующих неравенств верно? A. \(2.1^{-2}>1.2^{-2}\) B. \(0.75^{-0.2}>0.75^{-0.4}\) C. \(3^{2.25}>3^3\) D. \(2.1^{2/3}>1.2^{2/3}\) Ответ: D Решение: Степенная функция \(y = x^{2/3}\) возрастает при \(x > 0\), так как показатель \(\dfrac{2}{3} > 0\). Поскольку \(2.1 > 1.2 > 0\), получаем \(2.1^{2/3} > 1.2^{2/3}\), что совпадает с вариантом D. В варианте A: \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\), так как \(2.1^2 > 1.2^2\). В варианте B: основание \(0.75 < 1\), поэтому при большем показателе значение меньше, то есть \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\). В варианте C: основание \(3 > 1\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\). Ответ: D. ## Задача 76 (Окружность) 中文: 一个圆的圆心在 \((-3,2)\)，半径为 \(4\)。那么该圆的方程是： English: A circle has center at \((-3,2)\) and radius \(4\). Then the equation of the circle is: Русский: Окружность имеет центр в точке \((-3,2)\) и радиус \(4\). Тогда уравнение окружности: A. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\) B. \((x-3)^2+(y+2)^2=4\) C. \((x-3)^2+(y+2)^2=16\) D. \((x+3)^2+(y-2)^2=16\) Ответ: D Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Подставляем координаты центра \((-3, 2)\) и радиус \(r = 4\). Получаем \((x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 4^2\). Упрощаем выражение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\). Ответ: D. ## Задача 77 (Логарифмы) 中文: 设 \(a>0\)，\(b>0\) 为实数。那么下列哪个陈述是不正确的： English: Let \(a>0\) and \(b>0\) be real numbers. Then which of the following statements is incorrect? Русский: Пусть \(a>0\) и \(b>0\) — действительные числа. Какое из следующих утверждений неверно? A. \(\ln(a^b)=b\ln a\) B. \(\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}\ (a\neq 1,\ b\neq 1)\) C. \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b\) D. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) Ответ: B Решение: Проверим свойства логарифмов для \(a > 0\) и \(b > 0\). Вариант A: \(\ln(a^b) = b \ln a\) — верное свойство логарифма степени. Вариант C: \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) — верное свойство логарифма частного. Вариант D: \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) — верное свойство логарифма произведения. Вариант B: формула перехода к новому основанию \(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}\) требует только условия \(a > 0\) и \(a \neq 1\), а ограничение \(b \neq 1\) является лишним и делает утверждение некорректным, так как при \(b = 1\) формула даёт верный результат \(\log_a 1 = 0\). Ответ: B. ## Задача 78 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 给定正弦函数 \(y=\sin x\)，下列哪个陈述是不正确的： English: Given the sine function \(y=\sin x\), which of the following statements is incorrect? Русский: Для функции синуса \(y=\sin x\) какое из следующих утверждений неверно? A. The maximum and minimum values are \(1\) and \(-1\) respectively / 最大值和最小值分别是 \(1\) 和 \(-1\) / Наибольшее и наименьшее значения равны \(1\) и \(-1\) соответственно B. The function is a periodic function / 该函数是周期函数 / Функция является периодической C. The function is even / 该函数是偶函数 / Функция является чётной D. The domain is \(\mathbb{R}\) / 定义域是 \(\mathbb{R}\) / Область определения — \(\mathbb{R}\) Ответ: C Решение: Функция \(y = \sin x\) определена на всей числовой прямой, её область определения \(\mathbb{R}\), вариант D верен. Наибольшее значение функции равно \(1\), наименьшее равно \(-1\), вариант A верен. Функция периодическая с периодом \(2\pi\), вариант B верен. Функция синуса является нечётной, так как \(\sin(-x) = -\sin x\), а не чётной, поэтому вариант C неверен. Ответ: C. ## Задача 79 (Парабола) 中文: 设抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点 \(P\) 在抛物线上，且点 \(P\) 的横坐标为 \(4\)，则 \(|PF|\) = English: Let the focus of the parabola \(y^2=4x\) be \(F\). Suppose that a point \(P\) is on the parabola, and the horizontal coordinate of \(P\) is \(4\). Then \(|PF|\) = Русский: Пусть фокус параболы \(y^2=4x\) — это \(F\). Точка \(P\) лежит на параболе, и абсцисса точки \(P\) равна \(4\). Тогда \(|PF|\) = A. \(2\) B. \(3\) C. \(4\) D. \(5\) Ответ: D Решение: Уравнение \(y^2=4x\) имеет вид \(y^2=2px\) с \(2p=4\), значит \(p=2\) и фокус \(F(1,0)\). Директриса параболы — прямая \(x=-1\). По определению параболы \(|PF|\) равно расстоянию от \(P\) до директрисы. При абсциссе \(x_P=4\) это расстояние равно \(4-(-1)=5\). Ответ: D. ## Задача 80 (Прямая) 中文: 给定两条直线 \(l_1\)：\(ax+(a-1)y+3=0\) 和 \(l_2\)：\(2x+ay-1=0\)。如果 \(l_1\perp l_2\)，那么 \(a\) 的值是： English: Given two straight lines \(l_1\): \(ax+(a-1)y+3=0\) and \(l_2\): \(2x+ay-1=0\). If \(l_1\perp l_2\), then the value of \(a\) is: Русский: Даны две прямые \(l_1\): \(ax+(a-1)y+3=0\) и \(l_2\): \(2x+ay-1=0\). Если \(l_1\perp l_2\), то значение \(a\) равно: A. \(-1\) B. \(-1\) or \(1\) / \(-1\) 或 \(1\) / \(-1\) или \(1\) C. \(1\) D. \(0\) or \(-1\) / \(0\) 或 \(-1\) / \(0\) или \(-1\) Ответ: D Решение: Две прямые \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\). Для данных прямых коэффициенты равны \(A_1 = a\), \(B_1 = a-1\), \(A_2 = 2\), \(B_2 = a\). Составляем уравнение перпендикулярности: \(a \cdot 2 + (a-1) \cdot a = 0\). Раскрываем скобки: \(2a + a^2 - a = 0\), что упрощается до \(a^2 + a = 0\). Выносим общий множитель: \(a(a+1) = 0\), откуда \(a = 0\) или \(a = -1\). Оба значения дают корректные пары перпендикулярных прямых. Ответ: D. ## Задача 81 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \(P(-1,2)\) 和 \(Q(3,1)\) 之间的距离是： English: The distance between the points \(P(-1,2)\) and \(Q(3,1)\) is: Русский: Расстояние между точками \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\) равно: A. \(\sqrt{5}\) B. \(\sqrt{17}\) C. \(\sqrt{13}\) D. \(5\) Ответ: B Решение: Применяем формулу расстояния между двумя точками: \(|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Подставляем координаты точек \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\): \(|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}\). Вычисляем разности координат: \(3 - (-1) = 4\) и \(1 - 2 = -1\). Возводим в квадрат и суммируем: \(4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17\). Получаем расстояние \(|PQ| = \sqrt{17}\). Ответ: B. ## Задача 82 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 设 \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，并且 \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)。那么 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\) English: Let \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Then \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\) Русский: Пусть \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\) A. \(\dfrac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{10}\) B. \(\dfrac{(2\sqrt{15}+\sqrt{5})}{10}\) C. \(\dfrac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{10}\) D. \(\dfrac{(2\sqrt{5}+\sqrt{15})}{10}\) Ответ: C Решение: Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\). Находим синус через основное тригонометрическое тождество: \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\dfrac{\pi}{6}\sin\alpha\). Подставляем известные значения: \(\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Выполняем умножение: \(-\dfrac{\sqrt{5}}{10} + \dfrac{2\sqrt{15}}{10} = \dfrac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}\). Ответ: C. ## Задача 83 (Область определения и значений) 中文: 下列哪组函数是同一个函数？ English: Which of the following pairs are the same function? Русский: Какие из следующих пар являются одной и той же функцией? Ошибка в источнике: варианты C и D восстановлены неточно: это не пары функций, а равенство D само по себе тоже верно. A. \(y=(\sqrt{x})^2\) and \(y=\sqrt{x^2}\) are the same function / \(y=(\sqrt{x})^2\) 和 \(y=\sqrt{x^2}\) 是同一个函数 / \(y=(\sqrt{x})^2\) и \(y=\sqrt{x^2}\) — одна и та же функция B. \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) and \(y=x^2-1\) are the same function / \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) 和 \(y=x^2-1\) 是同一个函数 / \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) и \(y=x^2-1\) — одна и та же функция C. \(\sin(-\alpha)=\sin\alpha\) D. \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) Ответ: B Решение: Две функции совпадают, если у них одинаковые области определения и одинаковое правило соответствия. В варианте A область определения первой функции \(x \geq 0\), а второй — все действительные числа, поэтому они не совпадают. В варианте B дробь \(\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) определена при всех \(x\), так как знаменатель \(x^2+1 > 0\) всегда. Числитель раскладывается как разность квадратов: \(x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)\). После сокращения на \(x^2+1\) получаем \(y = x^2-1\) с той же областью определения, значит функции совпадают. Варианты C и D являются тригонометрическими тождествами, а не парами функций. Ответ: B. ## Задача 84 (Двойной и половинный угол) 中文: 设 \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\)，并且 \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\)。那么 \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\) English: Let \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\), and \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Then \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\) Русский: Пусть \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Тогда \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\) A. \(3\dfrac{\sqrt{13}}{13}\) B. \(-3\dfrac{\sqrt{13}}{13}\) C. \(-2\dfrac{\sqrt{13}}{13}\) D. \(2\dfrac{\sqrt{13}}{13}\) Ответ: C Решение: Угол \(\alpha\) лежит в третьей четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\). Находим \(\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = -\dfrac{5}{13}\). Так как \(\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\), значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2} < 0\). По формуле половинного угла \(\cos\dfrac{\alpha}{2} = -\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\dfrac{1 - 5/13}{2}} = -\sqrt{\dfrac{4}{13}} = -\dfrac{2}{\sqrt{13}}\). Избавляемся от иррациональности: \(-\dfrac{2}{\sqrt{13}} = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\). Варианты A и D положительны, вариант B не совпадает по модулю. Ответ: C. ## Задача 85 (Двойной и половинный угол) 中文: 假设 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，那么 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是： English: Suppose that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is: Русский: Предположим, что \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно: A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{-1}{2}\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), то есть в первой четверти, где синус положителен. Применяем формулу половинного угла: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\). Подставляем \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/2}{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Вариант A отрицателен, варианты C и D не равны полученному значению. Ответ: B. ## Задача 86 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 下列哪个陈述是正确的？ English: Which of the following statements is correct? Русский: Какое из следующих утверждений верно? A. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\) B. \(\cos(\pi + \alpha) = \cos \alpha\) C. \(\sin(-\alpha) = \sin \alpha\) D. \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\) Ответ: D Решение: \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому A неверно. \(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\), поэтому B неверно. Синус нечётный: \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому C неверно. Косинус чётный: \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), поэтому D верно. Ответ: D. ## Задача 87 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于正切函数 \(y = \tan x\)，下列陈述正确的是： English: About the tangent function \(y = \tan x\), which of the following statements is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции тангенса \(y = \tan x\) является верным? A. The range is \([-1, 1]\) / 值域是 \([-1, 1]\) / Область значений: \([-1, 1]\) B. The domain is \(\mathbb{R}\) / 定义域是 \(\mathbb{R}\) / Область определения: \(\mathbb{R}\) C. The function is even / 该函数是偶函数 / Функция является чётной D. The minimum positive period of the function is \(\pi\) / 该函数的最小正周期是 \(\pi\) / Наименьший положительный период функции равен \(\pi\) Ответ: D Решение: Область значений \(y = \tan x\) — все действительные числа \(\mathbb{R}\), а не \([-1, 1]\), A неверно. Область определения исключает точки \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), значит B неверно. \(\tan(-x) = -\tan x\), функция нечётная, а не чётная, C неверно. Наименьший положительный период тангенса равен \(\pi\). Ответ: D. ## Задача 88 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 数列 \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) 的通项公式是 \(a_n =\) English: The general term formula for the sequence \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) is \(a_n =\) Русский: Формула общего члена последовательности \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) имеет вид \(a_n =\) A. \(\dfrac{(-1)^{n-1}}{3n+2}\) B. \(\dfrac{(-1)^n}{2n+3}\) C. \(\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n+3}\) D. \(\dfrac{(-1)^n}{3n+2}\) Ответ: B Решение: Знаки чередуются, начиная с минуса, значит множитель \((-1)^n\). Знаменатели: \(5, 7, 9, 11\) — арифметическая прогрессия с общим членом \(2n + 3\). Проверка: при \(n = 1\) получаем \(\dfrac{-1}{5}\), при \(n = 2\) получаем \(\dfrac{1}{7}\), совпадает. Варианты A и D дают знаменатель \(3n+2 = 5, 8, 11\), не подходит. Ответ: B. ## Задача 89 (Логарифмы) 中文: 如果函数 \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) 的图像经过一个定点 \(P\)，则 \(P\) 的坐标是： English: If the graph of the function \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) passes through a fixed point \(P\), then the coordinates of \(P\) are: Русский: Если график функции \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) проходит через фиксированную точку \(P\), то координаты \(P\) равны: A. \((3,1)\) B. \((3,0)\) C. \((4,0)\) D. \((4,2)\) Ответ: D Решение: Логарифм \(\log_{a}(x-3)\) равен нулю при \(x-3=1\), то есть при \(x=4\). Подставляем \(x=4\) в функцию: \(f(4)=2+\log_{a}(1)=2+0=2\). Функция проходит через точку \((4,2)\) при любом допустимом основании \(a\). Ответ: D. ## Задача 90 (Парабола) 中文: 抛物线 \(y^{2}=-x\) 的准线方程是： English: The equation of the directrix of the parabola \(y^{2}=-x\) is: Русский: Уравнение директрисы параболы \(y^{2}=-x\) равно: A. \(x=\dfrac{1}{4}\) B. \(x=\dfrac{-1}{4}\) C. \(x=\dfrac{-1}{2}\) D. \(x=\dfrac{1}{2}\) Ответ: A Решение: Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^{2}=2px\). Из уравнения \(y^{2}=-x\) получаем \(2p=-1\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\). Директриса параболы задаётся уравнением \(x=-\dfrac{p}{2}\). Подставляем: \(x=-\dfrac{-1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\). Ответ: A. ## Задача 91 (Эллипс) 中文: 假设椭圆 \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) 的焦点是 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)，且点 \(P\) 在椭圆上，则 \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) ： English: Suppose the ellipse \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) has foci \(F_{1}\) and \(F_{2}\), and a point \(P\) lies on the ellipse. Then \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) : Русский: Пусть у эллипса \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) фокусы \(F_{1}\) и \(F_{2}\), а точка \(P\) лежит на эллипсе. Тогда \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) : A. \(2\) B. \(4\) C. \(8\) D. \(6\) Ответ: B Решение: Уравнение эллипса \(\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1\) даёт \(a^{2}=4\), значит \(a=2\). По определению эллипса сумма расстояний от любой точки на нём до фокусов равна \(2a\). Вычисляем: \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\cdot 2=4\). Ответ: B. ## Задача 92 (Векторы) 中文: 已知向量 \(\vec{AB}=a+5b\)，\(\vec{BC}=-2a+8b\)，\(\vec{CD}=3a-3b\)。因此，： English: Given vectors \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Thus, : Русский: Даны векторы \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Следовательно, : A. A, C, D are on the same line / A, C, D 在同一直线上 / A, C, D находятся на одной прямой B. A, B, D are on the same line / A, B, D 在同一直线上 / A, B, D находятся на одной прямой C. B, C, D are on the same line / B, C, D 在同一直线上 / B, C, D находятся на одной прямой D. A, B, C are on the same line / A, B, C 在同一直线上 / A, B, C находятся на одной прямой Ответ: B Решение: Найдём вектор \(\vec{BD}=\vec{BC}+\vec{CD}=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b\). Сравниваем с \(\vec{AB}=a+5b\) и видим, что \(\vec{BD}=\vec{AB}\). Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BD}\) равны, значит они коллинеарны и имеют общую точку \(B\). Следовательно, точки \(A\), \(B\) и \(D\) лежат на одной прямой. Ответ: B. ## Задача 93 (Прямая) 中文: 假设直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_{1}: x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_{2}: x+y+1=0\) 与 \(l_{3}: 2x+y-1=0\) 的交点。则 \(l\) 的方程是： English: Suppose a line \(l\) is perpendicular to the line \(l_{1}: x+2y+4=0\) and passes through the intersection of \(l_{2}: x+y+1=0\) and \(l_{3}: 2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is: Русский: Пусть прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_{1}: x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_{2}: x+y+1=0\) и \(l_{3}: 2x+y-1=0\). Уравнение \(l\) равно: A. \(2x-y-7=0\) B. \(2x+y-5=0\) C. \(x-2y-1=0\) D. \(x+2y-3=0\) Ответ: A Решение: Прямая \(l_{1}: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\). Находим точку пересечения \(l_{2}\) и \(l_{3}\): из системы \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\) вычитаем первое из второго, получаем \(x=2\), \(y=-3\). Уравнение прямой \(l\) с угловым коэффициентом \(2\) через точку \((2,-3)\): \(y+3=2(x-2)\). Раскрываем скобки: \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\). Ответ: A. ## Задача 94 (Комплексные числа) 中文: 在复平面上，表示复数 \(z\) 的点在直线 \(x-y=0\) 上。如果 \(z\) 是二次方程 \(x^{2}+mx+4=0\) 的一个根，则 \(m=\) ： English: On the complex plane, the point representing a complex number \(z\) lies on the line \(x-y=0\). If \(z\) is a root of the quadratic equation \(x^{2}+mx+4=0\), then \(m=\) : Русский: На комплексной плоскости точка, представляющая комплексное число \(z\), лежит на прямой \(x-y=0\). Если \(z\) является корнем квадратного уравнения \(x^{2}+mx+4=0\), то \(m=\) : A. \(\sqrt{2}\) or \(2\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) 或 \(2\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) или \(2\sqrt{2}\) B. \(2\sqrt{2}\) or \(-2\sqrt{2}\) / \(2\sqrt{2}\) 或 \(-2\sqrt{2}\) / \(2\sqrt{2}\) или \(-2\sqrt{2}\) C. \(-\sqrt{2}\) or \(-2\sqrt{2}\) / \(-\sqrt{2}\) 或 \(-2\sqrt{2}\) / \(-\sqrt{2}\) или \(-2\sqrt{2}\) D. \(\sqrt{2}\) or \(-\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) 或 \(-\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) или \(-\sqrt{2}\) Ответ: B Решение: Точка \(z\) лежит на прямой \(x - y = 0\), значит \(z = a + ai\) для некоторого действительного \(a\). Подставим в уравнение: \((a+ai)^2 + m(a+ai) + 4 = 0\). Раскроем: \(a^2 + 2a^2 i - a^2 + ma + mai + 4 = 0\), то есть \(2a^2 i + ma + mai + 4 = 0\). Мнимая часть равна нулю: \(2a^2 + ma = 0\), откуда \(a(2a + m) = 0\). Если \(a = 0\), то из действительной части \(4 = 0\), что невозможно, поэтому \(m = -2a\). Действительная часть: \(ma + 4 = 0\), подставляем \(m = -2a\): \(-2a^2 + 4 = 0\), откуда \(a^2 = 2\), \(a = \pm\sqrt{2}\). Тогда \(m = -2a = \mp 2\sqrt{2}\), то есть \(m = 2\sqrt{2}\) или \(m = -2\sqrt{2}\). Ответ: B. ## Задача 95 (Геометрическая прогрессия) 中文: 假设数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_{1}=1\)，且 \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\)（\(n=1,2,\dots\)）。另设数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=|a_n|\)（\(n=1,2,\dots\)）。则数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\) ： English: Suppose in a sequence \(\{a_n\}\) we have \(a_{1}=1\) and \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) for \(n=1,2,\dots\). Let another sequence \(\{b_n\}\) satisfy \(b_n=|a_n|\) for \(n=1,2,\dots\). Then the sum of the first \(n\) terms of \(\{b_n\}\) is \(S_n=\) : Русский: Пусть в последовательности \(\{a_n\}\) задано \(a_{1}=1\) и \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) при \(n=1,2,\dots\). Другая последовательность \(\{b_n\}\) определяется как \(b_n=|a_n|\) при \(n=1,2,\dots\). Тогда сумма первых \(n\) членов \(\{b_n\}\) равна \(S_n=\) : A. \(\dfrac{1+2^{n}}{3}\) B. \(\dfrac{|1-(-2)^{n}|}{3}\) C. \(2^{n}-1\) D. \((-2)^{n}-1\) Ответ: C Решение: Из условия \(\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{2}{a_{n+1}} = 0\) получаем \(a_{n+1} = -2a_n\). Значит, \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и знаменателем \(q = -2\). Общий член: \(a_n = (-2)^{n-1}\). Тогда \(b_n = |a_n| = |(-2)^{n-1}| = 2^{n-1}\). Последовательность \(\{b_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2. Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\). Ответ: C. ## Задача 96 (Классическая вероятность) 中文: 在日常生活中，人们喜欢使用跑步应用来跟踪和分享他们的运动路线。为了了解某地区高中生和大学生使用跑步应用的情况，随机抽取了 200 名高中生和 80 名大学生，并记录了他们最喜欢的跑步应用如下：高中生：App A — 80，App B — 40，App C — 60，App D — 20；大学生：App A — 30，App B — 20，App C — 20，App D — 10。假设两组学生对跑步应用的偏好相互独立，如果从每组各随机选取一人，他们最喜欢的跑步应用不同的概率是： English: In daily life, people enjoy using running apps to track and share their exercise routes. To understand the usage of running apps among high school and college students in a certain region, 200 high school students and 80 college students were randomly chosen, and their favorite running apps were recorded as follows. High school students: App A — 80, App B — 40, App C — 60, App D — 20; College students: App A — 30, App B — 20, App C — 20, App D — 10. Assuming the preferences are independent, if one person is randomly selected from each group, the probability that their favorite apps are different is: Русский: В регионе было случайно отобрано 200 старшеклассников и 80 студентов колледжа, их любимые беговые приложения записаны: старшеклассники: App A — 80, App B — 40, App C — 60, App D — 20; студенты колледжа: App A — 30, App B — 20, App C — 20, App D — 10. При условии независимости предпочтений, если из каждой группы случайно выбрать по одному человеку, вероятность того, что их любимые приложения различны, равна: A. \(\dfrac{23}{80}\) B. \(\dfrac{57}{80}\) C. \(\dfrac{9}{20}\) D. \(\dfrac{11}{20}\) Ответ: B Решение: Вероятности выбора каждого приложения школьником: A — \(\dfrac{80}{200} = \dfrac{2}{5}\), B — \(\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}\), C — \(\dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10}\), D — \(\dfrac{20}{200} = \dfrac{1}{10}\). Вероятности выбора студентом: A — \(\dfrac{30}{80} = \dfrac{3}{8}\), B — \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\), C — \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\), D — \(\dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}\). Вероятность совпадения приложений: \(P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{1}{8}\). Вычислим: \(P = \dfrac{6}{40} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{3}{40} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{12}{80} + \dfrac{4}{80} + \dfrac{6}{80} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{23}{80}\). Вероятность того, что приложения разные: \(1 - \dfrac{23}{80} = \dfrac{57}{80}\). Ответ: B. ## Задача 97 (Множества) 中文: 设集合 \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\)。下列说法正确的是： English: Let \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\) be a set. Which of the following statements is correct? Русский: Пусть дано множество \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\). Какое из следующих утверждений является верным? A. \(-3 \in A\) B. \(3 \in A\) C. \(-2 \in A\) D. \(2 \notin A\) Ответ: B Решение: Множество \(A = (-2, 3]\): левый конец не входит, правый входит. \(-3 < -2\), значит \(-3 \notin A\), A неверно. \(3\) входит, так как неравенство справа нестрогое, \(3 \in A\). \(-2\) не входит, так как неравенство слева строгое, C неверно. \(2 \in A\), так как \(-2 < 2 \le 3\), D неверно. Ответ: B. ## Задача 98 (Множества) 中文: 设集合 \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\)，\(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\)。则 \(M \cap N =\) English: Let \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) and \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\) be two sets. Then \(M \cap N =\) Русский: Пусть даны множества \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) и \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\). Тогда \(M \cap N =\) A. \([-4, 2)\) B. \((-5, 2)\) C. \([-5, 2]\) D. \((-4, 2)\) Ответ: A Решение: \(M = [-5, 2)\), \(N = [-4, 2]\). Пересечение берёт общую часть: левая граница \(\max(-5, -4) = -4\), входит. Правая граница \(\min\) по значению равна \(2\), но в \(M\) точка \(2\) не входит. Значит \(M \cap N = [-4, 2)\). Ответ: A. ## Задача 99 (Квадратные неравенства) 中文: 不等式 \(x^2 - x - 6 > 0\) 的解集是： English: The solution set of the inequality \(x^2 - x - 6 > 0\) is: Русский: Множество решений неравенства \(x^2 - x - 6 > 0\): A. \(\{x \mid x < -2\) or \(x > 3\}\) / \(\{x \mid x < -2\) 或 \(x > 3\}\) / \(\{x \mid x < -2\) или \(x > 3\}\) B. \(\{x \mid -2 < x < 3\}\) C. \(\{x \mid x > 3\}\) D. \(\{x \mid x < -2\}\) Ответ: A Решение: Раскладываем квадратный трёхчлен: \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\). Корни: \(x = 3\) и \(x = -2\), ветви параболы направлены вверх. Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями: \(x < -2\) или \(x > 3\). Ответ: A. ## Задача 100 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) 的定义域是： English: The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) is: Русский: Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\): A. \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\) B. \(\mathbb{R}\) C. \((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\) D. \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) Ответ: D Решение: Область определения задаётся условием: знаменатель не равен нулю. \(1 - x \neq 0\), значит \(x \neq 1\). Область определения: \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\). Ответ: D. ## Задача 101 (Координаты и расстояния) 中文: 若 \(a = -2\)，\(ab < 0\)，则点 \((a, b)\) 位于： English: If \(a = -2\), \(ab < 0\), then the point \((a, b)\) belongs to: Русский: Если \(a = -2\), \(ab < 0\), то точка \((a, b)\) находится в: A. the third quadrant / 第三象限 / третья четверть B. the fourth quadrant / 第四象限 / четвёртая четверть C. the second quadrant / 第二象限 / вторая четверть D. the first quadrant / 第一象限 / первая четверть Ответ: C Решение: Дано \(a = -2 < 0\). Из \(ab < 0\) следует, что \(a\) и \(b\) разных знаков, значит \(b > 0\). Точка с отрицательной абсциссой и положительной ординатой лежит во второй четверти. Ответ: C. ## Задача 102 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 设 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)。则 \(\cos\alpha =\) English: Let \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Then \(\cos\alpha =\) Русский: Пусть \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Тогда \(\cos\alpha =\) A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(-\dfrac{1}{2}\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: A Решение: \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), угол во второй четверти, косинус отрицателен. По формуле приведения: \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ответ: A. ## Задача 103 (Монотонность и чётность) 中文: 在其定义域上，函数 \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) 是： English: Over its domain, the function \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) is: Русский: На своей области определения функция \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) является: A. uncertain about its parity / 无法确定其奇偶性 / неопределено её чётность B. neither odd nor even / 既非奇函数也非偶函数 / не является ни нечётной, ни чётной функцией C. odd / 奇函数 / нечётная функция D. even / 偶函数 / чётная функция Ответ: D Решение: Область определения: \(x^{2}>0\), то есть \(x\neq0\), она симметрична относительно нуля. \(f(-x)=\ln((-x)^{2})=\ln(x^{2})=f(x)\). Значит, функция чётная. Ответ: D. ## Задача 104 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 函数 \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) 的反函数是： English: The inverse function of \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) is: Русский: Обратная функция к \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) равна: A. \(y = \dfrac{x+2}{2x-3}\) B. \(y = \dfrac{2x-3}{x+2}\) C. \(y = -\dfrac{2x-3}{x+2}\) D. \(y = -\dfrac{x+2}{2x-3}\) Ответ: D Решение: Выражаем \(x\) из \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\): \(y(2x+1)=3x-2\). \(2xy+y=3x-2\), \(x(2y-3)=-y-2\), \(x=\dfrac{-y-2}{2y-3}=-\dfrac{y+2}{2y-3}\). Меняем \(x\) и \(y\): \(y=-\dfrac{x+2}{2x-3}\). Ответ: D. ## Задача 105 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 函数 \(f(x)=\sin x\) 单调递增的区间是： English: The function \(f(x)=\sin x\) is monotonic increasing over: Русский: Функция \(f(x)=\sin x\) монотонно возрастает на: A. \([\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]\) B. \([-\pi, \pi]\) C. \((-\infty, +\infty)\) D. \([0, \pi]\) Ответ: A Решение: Производная \((\sin x)'=\cos x\), а \(\cos x\ge0\) при \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\). На \([-\pi,\pi]\) и на \([0,\pi]\) функция сначала возрастает, потом убывает, на всей прямой тоже не монотонна. Значит, синус возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\). Ответ: A. ## Задача 106 (Арифметическая прогрессия) 中文: 设 \(\{a_n\}\) 是等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。则 \(a_{100}=\) English: Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence with first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\) Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\) A. \(298\) B. \(299\) C. \(302\) D. \(305\) Ответ: B Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\). \(a_{100}=2+99\cdot3=2+297=299\). Ответ: B. ## Задача 107 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 不等式 \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) 的解集是： English: The solution set of the inequality \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) is: Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) равно: A. \(\left[\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right]\) B. \(\left(\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right)\) C. \(\left(\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right]\) D. \(\left[\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right)\) Ответ: C Решение: Нули числителя и знаменателя: \(2x-3=0\) даёт \(x=\dfrac{3}{2}\), \(3x-4=0\) даёт \(x=\dfrac{4}{3}\). Методом интервалов дробь \(\le0\) между корнями: \(x\in\left[\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\). Знаменатель не может быть нулём, поэтому \(x=\dfrac{4}{3}\) исключаем, а \(x=\dfrac{3}{2}\) входит. Итог: \(\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\). Ответ: C. ## Задача 108 (Геометрическая прогрессия) 中文: 3和12的等比中项是： English: The geometric mean of 3 and 12 is: Русский: Среднее геометрическое чисел 3 и 12 равно: A. \(\pm 10\) B. \(\pm 8\) C. \(\pm 4\) D. \(\pm 6\) Ответ: D Решение: Среднее геометрическое двух положительных чисел \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле \(\pm\sqrt{ab}\). Подставляем значения: \(\pm\sqrt{3 \cdot 12} = \pm\sqrt{36}\). Извлекаем корень: \(\pm 6\). Ответ: D. ## Задача 109 (Прямая) 中文: 直线\(x+\sqrt{3}\,y-2=0\)的倾斜角是： English: The angle of inclination of the line \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) is: Русский: Угол наклона прямой \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) равен: A. \(150°\) B. \(60°\) C. \(30°\) D. \(120°\) Ответ: A Решение: Запишем уравнение прямой в виде \(y=kx+b\): \(\sqrt{3}\,y=-x+2\), \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\). Угловой коэффициент \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Угол наклона берётся от \(0°\) до \(180°\), при отрицательном тангенсе угол тупой. \(\alpha=180°-30°=150°\). Ответ: A. ## Задача 110 (Решение треугольников) 中文: 若三角形\(ABC\)的三边分别为\(BC=5\)，\(AC=12\)，\(AB=13\)，则\(\sin A\)等于： English: If a triangle \(ABC\) has sides \(BC=5\), \(AC=12\), \(AB=13\), then \(\sin A\) is: Русский: Если в треугольнике \(ABC\) стороны \(BC=5\), \(AC=12\), \(AB=13\), то \(\sin A\) равен: A. \(\dfrac{5}{13}\) B. \(\dfrac{5}{12}\) C. \(\dfrac{12}{13}\) D. \(\dfrac{7}{12}\) Ответ: A Решение: Проверим: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\), треугольник прямоугольный с прямым углом \(C\). Угол \(A\) лежит против стороны \(BC=5\), гипотенуза \(AB=13\). \(\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{13}\). Ответ: A. ## Задача 111 (Геометрическая прогрессия) 中文: 在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=4\)，\(a_4=32\)，则\(a_3\)等于： English: In a geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=4\) and \(a_4=32\), then \(a_3\) is: Русский: В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=4\) и \(a_4=32\), то \(a_3\) равен: A. \(8\) B. \(16\) C. \(-8\) D. \(-16\) Ответ: B Решение: В геометрической прогрессии \(a_4=a_1q^3\), значит \(32=4q^3\), \(q^3=8\), \(q=2\). Тогда \(a_3=a_1q^2=4\cdot 4=16\). Варианты с минусом невозможны: \(q^3=8\) даёт единственный действительный корень \(q=2\). Ответ: B. ## Задача 112 (Координаты и расстояния) 中文: 已知点\(A(-2,-1)\)和\(B(a,3)\)，且\(|AB|=5\)，则\(a\)的值为： English: Let \(A(-2,-1)\) and \(B(a,3)\) be two points, and \(|AB|=5\). Then the value of \(a\) is: Русский: Даны точки \(A(-2,-1)\) и \(B(a,3)\), причём \(|AB|=5\). Тогда значение \(a\) равно: A. \(\pm 5\) B. \(\pm 1\) C. \(-1\) или \(5\) D. \(1\) или \(-5\) Ответ: D Решение: По формуле расстояния \(|AB|^2=(a+2)^2+(3+1)^2=25\). \((a+2)^2+16=25\), \((a+2)^2=9\), \(a+2=\pm 3\). Отсюда \(a=1\) или \(a=-5\). Ответ: D. ## Задача 113 (Прямая) 中文: 若直线 \(l\) 经过两点 \(M(0,-1)\) 和 \(N(-2,0)\)，则 \(l\) 的方程为： English: Suppose that a line \(l\) passes through two points \(M(0,-1)\) and \(N(-2,0)\). Then the equation of \(l\) is: Русский: Пусть прямая \(l\) проходит через две точки \(M(0,-1)\) и \(N(-2,0)\). Тогда уравнение прямой \(l\): A. \(2x+y+2=0\) B. \(x+y+2=0\) C. \(2x+y+1=0\) D. \(x+2y+2=0\) Ответ: D Решение: Угловой коэффициент прямой \(k=\dfrac{0-(-1)}{-2-0}=-\dfrac{1}{2}\). Уравнение через точку \(M(0,-1)\): \(y=-\dfrac{1}{2}x-1\). Умножаем на \(2\) и переносим всё влево: \(x+2y+2=0\). Проверка точки \(N(-2,0)\): \(-2+0+2=0\), верно. Ответ: D. ## Задача 114 (Окружность) 中文: 圆心在 A(-3, 2), 半径为3的圆的方程是： English: A circle centered at A(-3, 2), with a radius 3 has equation: Русский: Уравнение круга с центром A(-3, 2) и радиусом 3: A. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 3\) B. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\) C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9\) D. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3\) Ответ: B Решение: Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Подставляем центр \(A(-3, 2)\): \(a = -3\), \(b = 2\), получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\). Радиус \(r = 3\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 9\). Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\). Ответ: B. ## Задача 115 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 下列哪个是正确的？ English: Which of the following is correct? Русский: Какое из следующих утверждений верно? A. \(\tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x},\ \sin x \neq 0\) B. \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x},\ \cos x \neq 0\) C. \(\tan x = \dfrac{1}{\sin x},\ \sin x \neq 0\) D. \(\tan x = \dfrac{1}{\cos x},\ \cos x \neq 0\) Ответ: B Решение: По определению тангенса: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). Тангенс не определён, когда знаменатель равен нулю, поэтому требуется \(\cos x \neq 0\). Вариант A перевёрнут, это котангенс; варианты C и D дают \(\dfrac{1}{\sin x}\) и \(\dfrac{1}{\cos x}\), что не является тангенсом. Ответ: B. ## Задача 116 (Арифметическая прогрессия) 中文: 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{10}=\) English: In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=1\) and its common difference \(d=2\), then \(a_{10}=\) Русский: В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=1\) и разность \(d=2\), то \(a_{10}=\) A. \(19\) B. \(17\) C. \(15\) D. \(21\) Ответ: A Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\). Подставляем \(a_1=1\), \(d=2\), \(n=10\): \(a_{10}=1+9\cdot 2=19\). Ответ: A. ## Задача 117 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 设 a > b。则下列哪个是正确的？ English: Let a > b. Then which of the following is correct? Русский: Пусть a > b. Какое из следующих утверждений верно? A. \(a^3 > b^3\) B. \(|a| > |b|\) C. \(a^2 > b^2\) D. \(|a| < |b|\) Ответ: A Решение: Функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому из \(a > b\) следует \(a^3 > b^3\). Вариант B неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) имеем \(a > b\), но \(|a| = 1 < 2 = |b|\). Вариант C неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) получаем \(a^2 = 1 < 4 = b^2\). Вариант D неверен: при \(a = 2\), \(b = 1\) имеем \(|a| = 2 > 1 = |b|\). Ответ: A. ## Задача 118 (Окружность) 中文: 圆心为(-3,2),半径为2的圆的方程是？ English: Which of the following is the equation of a circle with center (-3,2) and radius 2? Русский: Уравнение круга с центром (-3,2) и радиусом 2? A. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\) B. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\) C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4\) D. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) Ответ: B Решение: Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\). Радиус \(r = 2\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 4\). Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\). Ответ: B. ## Задача 119 (Показательная функция) 中文: 若指数函数 \(y=a^x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增，则 \(a\) 的取值范围是： English: If the exponential function \(y=a^x\) is monotonically increasing on \(\mathbb{R}\), then the range of \(a\) is: Русский: Если показательная функция \(y=a^x\) монотонно возрастает на \(\mathbb{R}\), то множество значений \(a\): A. \(a>1\) / \(a>1\) / \(a>1\) B. \(a<0\) or \(a>1\) / \(a<0\) 或 \(a>1\) / \(a<0\) или \(a>1\) C. \(00\) / \(a>0\) / \(a>0\) Ответ: A Решение: Показательная функция \(y=a^x\) определена при \(a>0\), \(a\neq 1\). При \(a>1\) она возрастает на \(\mathbb{R}\), при \(01\). Ответ: A. ## Задача 120 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\cos 2a=\) English: If \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\cos 2a=\) Русский: Если \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), то \(\cos 2a=\) A. \(\dfrac{2}{3}\) B. \(\dfrac{1}{3}\) C. \(-\dfrac{1}{3}\) D. \(-\dfrac{2}{3}\) Ответ: B Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2a=1-2\sin^2 a\). Подставляем \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\): \(\sin^2 a=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\). Тогда \(\cos 2a=1-2\cdot\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\). Ответ: B. ## Задача 121 (Прямая) 中文: 若三条直线 \(ax+2y+8=0\)、\(4x+3y=10\) 和 \(2x-y=10\) 交于一点，则 \(a=\) English: If three lines \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) and \(2x-y=10\) intersect at one point, then \(a=\) Русский: Если три прямые \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) и \(2x-y=10\) пересекаются в одной точке, то \(a=\) A. \(1\) B. \(-1\) C. \(3\) D. \(-3\) Ответ: B Решение: Находим точку пересечения двух известных прямых: складываем \(4x+3y=10\) и утроенное \(2x-y=10\), получаем \(10x=40\), \(x=4\). Тогда \(y=2x-10=-2\), точка пересечения \((4;-2)\). Подставляем её в первую прямую: \(4a+2\cdot(-2)+8=0\), \(4a+4=0\), \(a=-1\). Ответ: B. ## Задача 122 (Гипербола) 中文: 设 \(mx^2+ny^2=1\) 表示双曲线，则 \(m\)、\(n\) 满足： English: Let \(mx^2+ny^2=1\) be a hyperbola. Then \(m\) and \(n\) satisfy: Русский: Пусть \(mx^2+ny^2=1\) задаёт гиперболу. Тогда \(m\) и \(n\) удовлетворяют условию: A. \(mn>1\) / \(mn>1\) / \(mn>1\) B. \(mn<0\) / \(mn<0\) / \(mn<0\) C. \(mn<1\) / \(mn<1\) / \(mn<1\) D. \(mn>0\) / \(mn>0\) / \(mn>0\) Ответ: B Решение: Каноническое уравнение гиперболы: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) или \(\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1\). Значит, в уравнении \(mx^2+ny^2=1\) коэффициенты \(m\) и \(n\) должны иметь разные знаки. Произведение чисел разных знаков отрицательно: \(mn<0\). Ответ: B. ## Задача 123 (Логарифмы) 中文: 设 \(a=\lg 4\)，\(b=\lg 5\)，则 \(a+2b=\) English: Let \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Then \(a+2b=\) Русский: Пусть \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Тогда \(a+2b=\) A. \(100\) B. \(4\) C. \(5\) D. \(2\) Ответ: D Решение: По свойству логарифмов \(2b=2\lg 5=\lg 25\). Тогда \(a+2b=\lg 4+\lg 25=\lg(4\cdot 25)=\lg 100\). Так как \(\lg 100=2\), получаем \(a+2b=2\). Ответ: D. ## Задача 124 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 函数 \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) 的最小正周期是 English: The minimum positive period of the function \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) is Русский: Наименьший положительный период функции \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) равен A. \(\dfrac{\pi}{4}\) B. \(2\pi\) C. \(\dfrac{\pi}{2}\) D. \(\dfrac{\pi}{3}\) Ответ: C Решение: Период функции \(\cos(kx+b)\) равен \(T=\dfrac{2\pi}{k}\). Здесь \(k=4\), поэтому \(T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\). Ответ: C. ## Задача 125 (Парабола) 中文: 抛物线 \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) 的准线方程是 English: The equation of the directrix of the parabola \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) is Русский: Уравнение директрисы параболы \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\): A. \(y=\dfrac{1}{16}\) B. \(x=\dfrac{1}{16}\) C. \(y=1\) D. \(x=1\) Ответ: C Решение: Перепишем уравнение: \(x^2=-4y\), это каноническое уравнение \(x^2=-2py\). Отсюда \(2p=4\), \(p=2\), ветви направлены вниз. Директриса параболы \(x^2=-2py\) — прямая \(y=\dfrac{p}{2}=1\). Ответ: C. ## Задача 126 (Прямая) 中文: 与直线 \(4x-2y-1=0\) 平行的直线是 English: The line that is parallel to \(4x-2y-1=0\) is Русский: Прямая, параллельная прямой \(4x-2y-1=0\): A. \(x+2y-1=0\) B. \(2x-y-1=0\) C. \(2x+y-1=0\) D. \(x-2y-1=0\) Ответ: B Решение: Угловой коэффициент прямой \(4x-2y-1=0\): \(y=2x-\dfrac{1}{2}\), то есть \(k=2\). Параллельная прямая должна иметь тот же коэффициент \(k=2\). Вариант B: \(2x-y-1=0\) даёт \(y=2x-1\), \(k=2\), подходит. Остальные: A даёт \(k=-\dfrac{1}{2}\), C даёт \(k=-2\), D даёт \(k=\dfrac{1}{2}\). Ответ: B. ## Задача 127 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 设\(\alpha\)，\(\beta\)为锐角，则下列哪个是正确的？ English: Let \(\alpha\), \(\beta\) be acute angles. Then which of the following is correct? Русский: Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы. Какое из следующих утверждений верно? A. \(\sin\alpha+\sin\beta<\sin(\alpha+\beta)\) B. \(\cos(\alpha-\beta)<\cos(\alpha+\beta)\) C. \(\cos\alpha\cos\beta<\cos(\alpha+\beta)\) D. \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) Ответ: D Решение: Проверим вариант D: разность \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\). Так как \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы, \(\cos\alpha>0\) и \(\sin\beta>0\), значит разность строго положительна. Следовательно, \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) верно всегда для острых углов. Вариант A неверен: при малых углах \(\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)\). Вариант B неверен: при \(\alpha=\beta\) получаем \(1<\cos 2\alpha\), что ложно. Вариант C неверен: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha\cos\beta\), а не наоборот. Ответ: D. ## Задача 128 (Область определения и значений) 中文: 函数\(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\)（\(x\in\mathbb{R}\)）的值域是： English: The range of the function \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)) is: Русский: Область значений функции \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)): A. \((0,1]\) B. \([0,1]\) C. \([0,1)\) D. \((0,1)\) Ответ: A Решение: Для любого действительного \(x\) модуль \(|x|\geqslant 0\), поэтому знаменатель \(1+|x|\geqslant 1\). Дробь \(\dfrac{1}{1+|x|}\) принимает наибольшее значение \(1\) при \(x=0\). При \(|x|\to\infty\) знаменатель неограниченно растёт, а значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает. Значит, множество значений функции — полуинтервал \((0,1]\). Ответ: A. ## Задача 129 (Двойной и половинный угол) 中文: 若\(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)且\(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\)，则\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\) English: If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) and \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), then \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\) Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\) A. \(-\sqrt{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) C. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) D. \(\sqrt{2}\) Ответ: C Решение: Угол \(\alpha\) лежит в четвёртой четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\). Находим синус: \(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\). Используем формулу тангенса половинного угла: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\). Подставляем значения: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Ответ: C. ## Задача 130 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若\(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\) English: If \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\) Русский: Если \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\) A. \(-\dfrac{1}{3}\) B. \(-2\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) C. \(\dfrac{1}{3}\) D. \(2\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) Ответ: A Решение: По формуле приведения \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha \). Подставляем \( \sin\alpha=\dfrac{1}{3} \), получаем \( -\dfrac{1}{3} \). Ответ: A. ## Задача 131 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于函数\(f(x)=\tan x\)的描述，下列哪个是错误的？ English: Which of the following descriptions about the function \(f(x)=\tan x\) is incorrect? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(f(x)=\tan x\) неверно? A. \(f(x)\) satisfies \(f(-x)=-f(x)\) on its domain / \(f(x)\)在其定义域上满足\(f(-x)=-f(x)\) / \(f(x)\) удовлетворяет условию \(f(-x)=-f(x)\) на своей области определения B. \(f(x)\) is even / \(f(x)\)是偶函数 / \(f(x)\) — чётная функция C. \(f(x)\) is monotonically increasing over \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) / \(f(x)\)在区间\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上单调递增 / \(f(x)\) монотонно возрастает на интервале \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) D. \(f(x)\) has exactly one zero on the interval \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) / \(f(x)\)在区间\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上恰有一个零点 / \(f(x)\) имеет ровно один нуль на интервале \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) Ответ: B Решение: Тангенс нечётный: \( f(-x)=\tan(-x)=-\tan x \), значит A верно, а B неверно. На \( \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( \tan x \) возрастает, C верно. Единственный ноль на этом интервале в точке \( x=0 \), D верно. Ответ: B. ## Задача 132 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 在数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=\dfrac{1}{2}\)，且 \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\)，\(n\ge 1\)，则 \(a_6=\) English: In the sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=\dfrac{1}{2}\) and \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), then \(a_6=\) Русский: В последовательности \(\{a_n\}\), если \(a_1=\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), то \(a_6=\) A. \(\dfrac{1}{7}\) B. \(\dfrac{1}{6}\) C. \(\dfrac{1}{9}\) D. \(\dfrac{1}{8}\) Ответ: A Решение: Пусть \( b_n=\dfrac{1}{a_n} \), тогда \( b_{n+1}=b_n+1 \) — арифметическая прогрессия. \( b_1=\dfrac{1}{a_1}=2 \), значит \( b_n=2+(n-1)=n+1 \). Тогда \( b_6=7 \) и \( a_6=\dfrac{1}{7} \). Ответ: A. ## Задача 133 (Логарифмы) 中文: 设 \(f(x)=\log_5(2x+1)\)，则不等式 \(f(x)\ge 0\) 的解集是： English: Let \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Then the solution set of \(f(x)\ge 0\) is: Русский: Пусть \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Тогда множество решений неравенства \(f(x)\ge 0\): A. \(\{x \mid x > 1\}\) B. \(\{x \mid x > 0\}\) C. \(\{x \mid x \geq 0\}\) D. \(\{x \mid x \geq 1\}\) Ответ: C Решение: Неравенство \( \log_5(2x+1)\ge 0 \) равносильно \( 2x+1\ge 5^0=1 \), так как основание \( 5>1 \). Отсюда \( 2x\ge 0 \), то есть \( x\ge 0 \), при этом область определения \( x>-\dfrac{1}{2} \) выполнена. Ответ: C. ## Задача 134 (Эллипс) 中文: 已知椭圆的长轴长为 \(10\)，两焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 分别在 \((3,0)\) 和 \((-3,0)\)，则该椭圆的方程为： English: Suppose that the major axis of an ellipse is \(10\), and the two foci \(F_1\), \(F_2\) are located at \((3,0)\) and \((-3,0)\). The equation of the ellipse is: Русский: Допустим, большая ось эллипса равна \(10\), а два фокуса \(F_1\), \(F_2\) расположены в точках \((3,0)\) и \((-3,0)\). Уравнение эллипса: A. \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\) B. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1\) C. \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1\) D. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1\) Ответ: A Решение: Большая ось \( 2a=10 \), значит \( a=5 \), \( a^2=25 \). Фокусы \( (\pm 3,0) \) дают \( c=3 \), \( c^2=9 \). Тогда \( b^2=a^2-c^2=25-9=16 \), фокусы на оси \( x \), значит больший знаменатель под \( x^2 \). Уравнение: \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \). Ответ: A. ## Задача 135 (Векторы) 中文: 设 \(\vec{a}=(-2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则 \(\vec{a}-2\vec{b}=\) English: Let \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Then \(\vec{a}-2\vec{b}=\) Русский: Пусть \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Тогда \(\vec{a}-2\vec{b}=\) A. \((-6,1)\) B. \((-6,-1)\) C. \((6,-1)\) D. \((6,1)\) Ответ: A Решение: \(2\vec{b}=(4,2)\) \(\vec{a}-2\vec{b}=(-2-4,\ 3-2)=(-6,1)\) Ответ: A. ## Задача 136 (Прямая) 中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1\)：\(x+2y+4=0\)，且经过直线 \(l_2\)：\(x+y+1=0\) 和 \(l_3\)：\(2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为： English: Suppose that a straight line \(l\) is perpendicular to line \(l_1\): \(x+2y+4=0\), and passes through the intersection of \(l_2\): \(x+y+1=0\) and \(l_3\): \(2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is: Русский: Допустим, прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1\): \(x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2\): \(x+y+1=0\) и \(l_3\): \(2x+y-1=0\). Уравнение прямой \(l\): A. \(2x - y - 7 = 0\) B. \(x - 2y - 1 = 0\) C. \(2x + y - 5 = 0\) D. \(x + 2y - 3 = 0\) Ответ: A Решение: Решаем систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\): вычитаем, получаем \(x=2\), тогда \(y=-3\) Прямая \(l\) проходит через точку \((2,-3)\) Нормаль \(l_1\) равна \((1,2)\), значит направляющий вектор \(l_1\) равен \((2,-1)\) Прямая \(l\) перпендикулярна \(l_1\), поэтому её нормаль \((2,-1)\) и уравнение \(2x-y+C=0\) Подставляем \((2,-3)\): \(4+3+C=0\), откуда \(C=-7\), то есть \(2x-y-7=0\) Ответ: A. ## Задача 137 (Комплексные числа) 中文: 设 \(z_1\) 和 \(z_2\) 是方程 \(z^2-2z+2=0\) 的两个根。令 \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\)，则 \(a_4=\) English: Suppose that \(z_1\) and \(z_2\) are two roots of the equation \(z^2-2z+2=0\). Let \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Then \(a_4=\) Русский: Допустим, \(z_1\) и \(z_2\) — два корня уравнения \(z^2-2z+2=0\). Пусть \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Тогда \(a_4=\) A. \(32\) B. \(-64\) C. \(0\) D. \(-32\) Ответ: C Решение: Корни уравнения \(z^2-2z+2=0\): \(z_{1,2}=1\pm i\). \((1+i)^2=2i\), значит \((1+i)^4=(2i)^2=-4\); так же \((1-i)^2=-2i\) и \((1-i)^4=-4\). \(a_4=(z_1^4-z_2^4)^2=(-4-(-4))^2=0\). Ответ: C. ## Задача 138 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 设 \(a_n=2^{n+1}-3n\)，\(n\ge 1\)。令 \(S_n\) 为数列的前 \(n\) 项和，则 \(S_n\) = English: Suppose that \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of the sequence. Then \(S_n\) = Русский: Пусть \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов последовательности. Тогда \(S_n\) = A. \(2^{n+2}-\dfrac{3n(n+1)}{2}+4\) B. \(2^{n+2}-3n-4\) C. \(2^{n+2}+\dfrac{3n(n+1)}{2}-4\) D. \(2^{n+2}-\dfrac{3n(n+1)}{2}-4\) Ответ: D Решение: Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3\sum_{k=1}^{n} k\). Первая сумма геометрическая: \(2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 4\). Вторая сумма: \(3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n(n+1)}{2}\). Тогда \(S_n = 2^{n+2} - \dfrac{3n(n+1)}{2} - 4\). Ответ: D. ## Задача 139 (Классическая вероятность) 中文: 一个袋子里有五个大小形状完全相同的小球，包括两个红球（分别标号1和2）、两个黑球（分别标号1和2）和一个白球（标号1）。现从中随机抽取两个球（不放回）。求两个球颜色不同的概率，以及至少有一个球标号为1的概率，这两个概率分别为 English: A bag contains five balls identical in size and shape, including two red balls labeled 1 and 2, two black balls labeled 1 and 2, and one white ball labeled 1. Two balls are drawn randomly without replacement. The probability that the balls have different colors and the probability that at least one of the two balls is labeled 1 are respectively Русский: В мешке находятся пять шаров одинакового размера и формы, включая два красных шара с номерами 1 и 2, два черных шара с номерами 1 и 2 и один белый шар с номером 1. Два шара извлекаются случайным образом без возвращения. Вероятность того, что шары имеют разные цвета, и вероятность того, что хотя бы один из двух шаров имеет номер 1, соответственно равны A. \(\dfrac{4}{5},\ \dfrac{7}{10}\) B. \(\dfrac{4}{5},\ \dfrac{9}{10}\) C. \(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{7}{10}\) D. \(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{9}{10}\) Ответ: B Решение: Всего способов вынуть 2 шара из 5: \( C_5^2=10 \). Одинаковый цвет: пара красных или пара чёрных, всего 2 пары, значит разные цвета: \( 10-2=8 \) пар, \( P=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5} \). Нет номера 1: только пара из красного 2 и чёрного 2, одна пара, значит хотя бы одна единица: \( 10-1=9 \) пар, \( P=\dfrac{9}{10} \). Ответ: B. ## Задача 140 (Множества) 中文: 设 \(A=\{1,3,4,6,7\}\)，\(B=\{1,3,4\}\) 为两个集合，下列说法正确的是： English: Let \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) be two sets. Which of the following statements is correct? Русский: Пусть \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) — два множества. Какое из следующих утверждений верно? A. \(A\in B\) B. \(A\subseteq B\) C. \(B\in A\) D. \(B\subseteq A\) Ответ: D Решение: Множество \(B\) состоит из элементов \(1,3,4\), и все они входят в \(A\). Значит, \(B\subseteq A\). Вариант A неверен: \(A\) не является элементом \(B\). Вариант B неверен: например, \(6\in A\), но \(6\notin B\). Вариант C неверен: \(B\) не является элементом \(A\). Ответ: D. ## Задача 141 (Множества) 中文: 设 \(A=\{x\mid 34\}\)，则 \(A\cap B\) = English: Let \(A=\{x\mid 34\}\). Then \(A\cap B\) = Русский: Пусть \(A=\{x\mid 34\}\). Тогда \(A\cap B\) = A. \(\{x\mid 34\). Более сильное нижнее условие: \(x>4\), верхнее остаётся \(x<5\). Получаем \(A\cap B=\{x\mid 40\) \(y=\dfrac{-1}{x}\) не определена в нуле и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\) Ответ: A. ## Задача 150 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 不等式 \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) 的解集是 English: The solution set of the inequality \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) is Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) равно A. \((-\infty, \dfrac{-1}{2}] \cup [1, +\infty)\) B. \(\left(\dfrac{-1}{2}, 1\right)\) C. \(\left[\dfrac{-1}{2}, 1\right]\) D. \(\left(-\infty, \dfrac{-1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\) Ответ: B Решение: Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков Нули: \(2x+1=0\) при \(x=-\dfrac{1}{2}\), \(x-1=0\) при \(x=1\) На промежутке \(\left(-\dfrac{1}{2},1\right)\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь меньше нуля Нули не входят: в \(x=-\dfrac{1}{2}\) дробь равна нулю, в \(x=1\) не определена Ответ: B. ## Задача 151 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若 \(-1\)，\(a\)，\(15\) 是等差数列，则 \(a=\) English: If \(-1\), \(a\), \(15\) is an arithmetic sequence, then \(a=\) Русский: Если \(-1\), \(a\), \(15\) — арифметическая прогрессия, то \(a=\) A. \(9\) B. \(5\) C. \(7\) D. \(11\) Ответ: C Решение: В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних. Значит \(a=\dfrac{-1+15}{2}=\dfrac{14}{2}=7\). Ответ: C. ## Задача 152 (Прямая) 中文: 若直线 \(l\) 的倾斜角为 \(60^{\circ}\)，则 \(l\) 的斜率为 English: If the angle of inclination of a straight line \(l\) is \(60^{\circ}\), then the slope of \(l\) is Русский: Если угол наклона прямой \(l\) равен \(60^{\circ}\), то угловой коэффициент прямой \(l\) равен A. \(-\sqrt{3}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(\sqrt{3}\) Ответ: D Решение: Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 60^{\circ}\). Так как \(\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\), получаем \(k=\sqrt{3}\). Ответ: D. ## Задача 153 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，则 \(a_{5} =\) English: If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, with \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), then \(a_{5} =\) Русский: Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), то \(a_{5} =\) A. \(9\) B. \(5\) C. \(7\) D. \(11\) Ответ: A Решение: Разность арифметической прогрессии равна \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\). Формула общего члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем \(n = 5\): \(a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9\). Ответ: A. ## Задача 154 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若点 \(P(x, y)\) 在角 \(\alpha\) 的终边上，\(P\) 到原点的距离为 \(r\) (\(r \neq 0\))，则 \(\cos \alpha =\) English: If a point \(P(x, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and the distance from \(P\) to the origin is \(r\) (\(r \neq 0\)), then \(\cos \alpha =\) Русский: Если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от \(P\) до начала координат равно \(r\) (\(r \neq 0\)), то \(\cos \alpha =\) A. \(y/r\) B. \(\dfrac{y}{x}\) C. \(\dfrac{x}{y}\) D. \(x/r\) Ответ: D Решение: По определению тригонометрических функций на координатной плоскости, если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от начала координат до неё равно \(r\), то косинус угла равен отношению абсциссы к этому расстоянию. Следовательно, \(\cos \alpha = \dfrac{x}{r}\). Вариант A даёт синус, варианты B и C дают тангенс и котангенс соответственно. Ответ: D. ## Задача 155 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n=2n-1\)，则下列说法正确的是： English: If the general term of a sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n=2n-1\), which of the following statements is correct? Русский: Если общий член последовательности \(\{a_n\}\) равен \(a_n=2n-1\), то какое из следующих утверждений верно? A. \(\{a_n\}\) is both an arithmetic and a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 既是等差数列又是等比数列 / \(\{a_n\}\) является одновременно арифметической и геометрической прогрессией B. \(\{a_n\}\) is neither an arithmetic nor a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 既不是等差数列也不是等比数列 / \(\{a_n\}\) не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией C. \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence / \(\{a_n\}\) 是等差数列 / \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией D. \(\{a_n\}\) is a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 是等比数列 / \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией Ответ: C Решение: Общий член задан формулой \(a_n = 2n - 1\). Найдём разность соседних членов: \(a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = 2\). Разность постоянна и равна 2, значит последовательность является арифметической прогрессией. Проверим отношение для геометрической прогрессии: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\), отношения \(\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{5}{3}\), поэтому она не геометрическая. Ответ: C. ## Задача 156 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \(A(0,3)\) 到点 \(B(x,-1)\) 的距离为 5，则 \(x=\) English: Suppose that the distance from point \(A(0,3)\) to point \(B(x,-1)\) is 5. Then \(x=\) Русский: Расстояние от точки \(A(0,3)\) до точки \(B(x,-1)\) равно 5. Тогда \(x=\) A. \(\sqrt{21}\) B. \(\pm 3\) C. \(3\) D. \(-3\) Ответ: B Решение: Используем формулу расстояния между точками: \(AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = 5\). Возводим обе части в квадрат: \(x^2 + (-4)^2 = 25\). Упрощаем: \(x^2 + 16 = 25\), откуда \(x^2 = 9\). Извлекаем корень: \(x = \pm 3\). Ответ: B. ## Задача 157 (Прямая) 中文: 若直线 \(l\) 的斜率为 \(-3\)，且过点 \((1,2)\)，则 \(l\) 的方程为： English: If a line \(l\) has a slope of \(-3\) and passes through the point \((1,2)\), then the equation of \(l\) is: Русский: Если прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(-3\) и проходит через точку \((1,2)\), то уравнение прямой \(l\): A. \(3x+y-5=0\) B. \(x+3y-7=0\) C. \(3x+y+1=0\) D. \(x+3y+5=0\) Ответ: A Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\). Подставляем \(k = -3\) и точку \((1, 2)\): \(y - 2 = -3(x - 1)\). Раскрываем скобки: \(y - 2 = -3x + 3\). Переносим все члены в одну сторону: \(3x + y - 5 = 0\). Ответ: A. ## Задача 158 (Окружность) 中文: 圆心为 \((-1,2)\)，半径为 3 的圆的方程为： English: Suppose that a circle has radius 3 and center at \((-1,2)\). Then the equation of the circle is: Русский: Окружность имеет радиус 3 и центр в точке \((-1,2)\). Тогда уравнение окружности: A. \(x^2+y^2-2x-4y-4=0\) B. \(x^2+y^2+2x+4y-4=0\) C. \(x^2+y^2+2x-4y+4=0\) D. \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\) Ответ: D Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((-1,2)\) и радиусом \(3\) имеет вид \((x+1)^2+(y-2)^2=9\). Раскрываем скобки: \(x^2+2x+1+y^2-4y+4=9\). Переносим все в левую часть: \(x^2+y^2+2x-4y+5-9=0\). Получаем \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\). Ответ: D. ## Задача 159 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 若 \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\)，且 \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\)，则 \(\tan\alpha=\) English: If \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) and \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), then \(\tan\alpha=\) Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) и \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), то \(\tan\alpha=\) A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) D. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) Ответ: D Решение: Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) находим \(\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\). Так как \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), синус положителен: \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\). Вычисляем тангенс: \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\). Ответ: D. ## Задача 160 (Геометрическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=-48\)，\(a_4=6\)，则公比 \(q=\) English: If the sequence \(\{a_n\}\) is a geometric sequence, and \(a_1=-48\), \(a_4=6\), then the common ratio \(q=\) Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией, причём \(a_1=-48\), \(a_4=6\), то знаменатель \(q=\) A. \(\dfrac{-1}{2}\) B. \(-2\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(2\) Ответ: A Решение: Для геометрической прогрессии выполняется формула \(a_4=a_1 \cdot q^3\). Подставляем известные значения: \(6=-48 \cdot q^3\). Делим обе части на \(-48\): \(q^3=\dfrac{6}{-48}=-\dfrac{1}{8}\). Извлекаем кубический корень: \(q=-\dfrac{1}{2}\). Ответ: A. ## Задача 161 (Окружность) 中文: 过点 \(A(2, 2)\)，圆心在 \((2, 0)\) 的圆的方程为： English: If a circle passes through point \(A(2, 2)\) and has center at \((2, 0)\), then the equation of the circle is: Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2, 2)\) и имеет центр в точке \((2, 0)\), то уравнение окружности имеет вид: A. \(x^2 + (y - 2)^2 = 2\) B. \((x - 2)^2 + y^2 = 4\) C. \((x - 2)^2 + y^2 = 2\) D. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\) Ответ: B Решение: Центр окружности \((2, 0)\), значит уравнение имеет вид \((x - 2)^2 + y^2 = r^2\). Радиус — расстояние от центра до точки \(A(2, 2)\): \(r = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\). Тогда \(r^2 = 4\), уравнение: \((x - 2)^2 + y^2 = 4\). Ответ: B. ## Задача 162 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 若 \(a, b, c\) 是有理数，且 \(a > b\)，则下列说法正确的是： English: If \(a, b, c\) are rational numbers, and \(a > b\), which of the following statements is correct? Русский: Если \(a, b, c\) — рациональные числа и \(a > b\), то какое из следующих утверждений верно? A. \(a + c > b + c\) B. \(\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}\) C. \(ac > bc\) D. \(a - c < b - c\) Ответ: A Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак. Из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\) при любом рациональном \(c\). Варианты B и C неверны, так как при \(c < 0\) знак неравенства меняется, а при \(c = 0\) деление невозможно. Вариант D неверен, так как вычитание \(c\) даёт \(a - c > b - c\). Ответ: A. ## Задача 163 (Показательная функция) 中文: 若指数函数 \(y = a^x\) 单调递减，则 \(a\) 的取值范围是： English: If the exponential function \(y = a^x\) is monotonically decreasing, then the range of \(a\) is: Русский: Если показательная функция \(y = a^x\) монотонно убывает, то область значений параметра \(a\) имеет вид: A. \(a > 0\) B. \(0 < a < 1\) C. \(a > 1\) D. \(a < 1\) Ответ: B Решение: Показательная функция \(y = a^x\) определена при \(a > 0\) и \(a \neq 1\). Функция монотонно убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда основание меньше единицы. Следовательно, \(0 < a < 1\). Вариант A допускает \(a > 1\), при котором функция возрастает. Вариант D допускает отрицательные значения, при которых показательная функция не определена. Ответ: B. ## Задача 164 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\) English: If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\) Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\) Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{7}{16}\), верный \(-\dfrac{1}{8}\). A. \(\dfrac{7}{16}\) B. \(-\dfrac{7}{16}\) C. \(\dfrac{1}{8}\) D. \(-\dfrac{1}{8}\) Ответ: D Решение: Используем формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). Подставляем заданное значение: \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\). Вычисляем квадрат синуса: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\). Умножаем на два: \(2 \cdot \dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{8}\). Находим разность: \(1 - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{8}\). Ответ: D. ## Задача 165 (Прямая) 中文: 直线 \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) 与 \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) 的交点坐标为： English: The coordinates of the intersection of the lines \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) and \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) are: Русский: Координаты точки пересечения прямых \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) и \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) равны: A. \((1, -1)\) B. \((-1, -1)\) C. \((-1, 1)\) D. \((1, 1)\) Ответ: B Решение: Решаем систему уравнений прямых: \(3x - y + 2 = 0\) и \(4x - y + 3 = 0\). Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 3x + 2\). Подставляем во второе: \(4x - (3x + 2) + 3 = 0\), откуда \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\). Находим ординату: \(y = 3(-1) + 2 = -1\). Точка пересечения имеет координаты \((-1, -1)\). Ответ: B. ## Задача 166 (Гипербола) 中文: 若双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) 的离心率 \(e = 2\)，则 \(a =\) English: If the eccentricity of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) is \(e = 2\), then \(a =\) Русский: Если эксцентриситет гиперболы \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) равен \(e = 2\), то \(a =\) A. \(2\) B. \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) C. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) D. \(1\) Ответ: D Решение: Для гиперболы вида \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) параметры связаны соотношением \(c^2 = a^2 + b^2\). Из уравнения видно, что \(b^2 = 3\), значит \(c^2 = a^2 + 3\). Эксцентриситет равен \(e = \dfrac{c}{a} = 2\), откуда \(c = 2a\). Подставляем в соотношение: \((2a)^2 = a^2 + 3\), получаем \(4a^2 = a^2 + 3\). Отсюда \(3a^2 = 3\), \(a^2 = 1\), и с учётом условия \(a > 0\) находим \(a = 1\). Ответ: D. ## Задача 167 (Геометрическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\)，则其通项公式 \(a_n =\) English: If a sequence \(\{a_n\}\) is given by \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), then its general term is \(a_n =\) Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) задана как \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), то её общий член равен \(a_n =\) A. \(\dfrac{1}{2^n}\) B. \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\) C. \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\) D. \((-1)^n \cdot \dfrac{1}{2^n}\) Ответ: B Решение: Члены последовательности: \(a_1=\dfrac{1}{2}\), \(a_2=-\dfrac{1}{4}\), \(a_3=\dfrac{1}{8}\). Знаменатель каждый раз удваивается, значит модуль равен \(\dfrac{1}{2^n}\). Знаки чередуются, начиная с плюса, поэтому множитель \((-1)^{n-1}\). Получаем \(a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{2^n}\). Ответ: B. ## Задача 168 (Логарифмы) 中文: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\) English: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\) Русский: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\) A. \(\dfrac{1}{6}\) B. \(2\) C. \(6\) D. \(5\) Ответ: B Решение: \(\log_3 27=\log_3 3^3=3\). \(\log_{64}16=\dfrac{\lg 16}{\lg 64}=\dfrac{4\lg 2}{6\lg 2}=\dfrac{2}{3}\). Произведение: \(3\cdot\dfrac{2}{3}=2\). Ответ: B. ## Задача 169 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 函数 \(y=\cos 5x+4\) 的最小值为 English: The minimum value of the function \(y=\cos 5x+4\) is Русский: Наименьшее значение функции \(y=\cos 5x+4\) равно A. \(5\) B. \(3\) C. \(4\) D. \(2\) Ответ: B Решение: Функция косинуса принимает значения от \(-1\) до \(1\) при любом аргументе. Минимальное значение \(\cos 5x\) равно \(-1\). Подставляем его в выражение функции: \(y_{\min}=-1+4=3\). Ответ: B. ## Задача 170 (Парабола) 中文: 若抛物线 \(y=ax^2\) 过点 \((1,2)\)，则 \(a=\) English: If the parabola \(y=ax^2\) passes through the point \((1,2)\), then \(a=\) Русский: Если парабола \(y=ax^2\) проходит через точку \((1,2)\), то \(a=\) A. \(-\dfrac{1}{2}\) B. \(2\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(1\) Ответ: B Решение: Парабола проходит через точку \((1,2)\), значит координаты точки удовлетворяют уравнению. Подставляем \(x=1\) и \(y=2\) в уравнение \(y=ax^2\): \(2=a \cdot 1^2\). Отсюда \(a=2\). Ответ: B. ## Задача 171 (Прямая) 中文: 下列直线与直线 \(-2x+y-2=0\) 垂直的是 English: Which of the following straight lines is perpendicular to the line \(-2x+y-2=0\)? Русский: Какая из следующих прямых перпендикулярна прямой \(-2x+y-2=0\)? A. \(2x+y-2=0\) B. \(x+2y-2=0\) C. \(x+y-2=0\) D. \(-x+2y-2=0\) Ответ: B Решение: Запишем уравнение данной прямой в виде \(y = 2x + 2\), её угловой коэффициент равен \(2\). Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\dfrac{1}{2}\). В варианте B уравнение \(x + 2y - 2 = 0\) приводится к виду \(y = -\dfrac{1}{2}x + 1\), угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\). Варианты A, C и D имеют угловые коэффициенты \(-2\), \(-1\) и \(\dfrac{1}{2}\) соответственно, они не подходят. Ответ: B. ## Задача 172 (Двойной и половинный угол) 中文: 已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) English: Given that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(-\dfrac{1}{2}\) Ответ: C Решение: Так как \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), значит \(\sin\dfrac{\alpha}{2} > 0\). По формуле половинного угла \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\). Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{2} = \dfrac{3}{4}\). Извлекаем корень с учётом знака: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ответ: C. ## Задача 173 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: \(\cos 75^{\circ}=\) English: \(\cos 75^{\circ}=\) Русский: \(\cos 75^{\circ}=\) A. \(-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) D. \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) Ответ: D Решение: Представим угол как сумму: \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\). Применяем формулу косинуса суммы: \(\cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}\). Подставляем табличные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\). Выполняем умножение: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\). Ответ: D. ## Задача 174 (Область определения и значений) 中文: 若函数 \(y=f(x)\) 的定义域为 \((-1,0)\)，则函数 \(y=f(x^2-1)\) 的定义域为 English: If the function \(y=f(x)\) has a domain \((-1,0)\), then the domain of the function \(y=f(x^2-1)\) is Русский: Если область определения функции \(y=f(x)\) есть \((-1,0)\), то область определения функции \(y=f(x^2-1)\) есть A. \([-1,1]\) B. \((-1,1)\) C. \((-1,0)\cup(0,1)\) D. \((-1,0)\) Ответ: C Решение: Область определения функции \(f(x)\) есть \((-1, 0)\), поэтому аргумент функции \(f(x^2 - 1)\) должен удовлетворять неравенству \(-1 < x^2 - 1 < 0\). Прибавляем 1 ко всем частям: \(0 < x^2 < 1\). Неравенство \(x^2 > 0\) означает, что \(x \neq 0\). Неравенство \(x^2 < 1\) даёт \(-1 < x < 1\). Пересечение условий: \(x \in (-1, 0) \cup (0, 1)\). Ответ: C. ## Задача 175 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) ，且 \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) ，则 \(\cos\frac{\alpha}{2} =\) ： English: If \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) and \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), then \(\cos\frac{\alpha}{2} =\). Русский: Если \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) и \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\cos\frac{\alpha}{2} =\). A. \(-\dfrac{4}{5}\) B. \(\dfrac{4}{5}\) C. \(\dfrac{3}{5}\) D. \(-\dfrac{3}{5}\) Ответ: C Решение: По формуле половинного угла \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}=\dfrac{9}{25}\). Значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\dfrac{3}{5}\). Из условия \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) следует \(\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}\), это первая четверть, косинус положителен. Поэтому \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{5}\). Ответ: C. ## Задача 176 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 下列等式中正确的是 English: Which of the following equations is correct? Русский: Какое из следующих равенств является верным? A. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha\) B. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha\) C. \(\cos(\pi + \alpha) = \cos \alpha\) D. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\) Ответ: B Решение: Проверяем формулы приведения для каждого варианта. Вариант A: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен. Вариант B: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\), это верное тождество. Вариант C: \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\), а не \(\cos\alpha\), вариант неверен. Вариант D: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен. Ответ: B. ## Задача 177 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 函数 \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) 的最小正周期为 English: The minimum positive period of the function \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) is Русский: Минимальный положительный период функции \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) равен A. \(\dfrac{\pi}{3}\) B. \(2\pi\) C. \(\dfrac{\pi}{4}\) D. \(\pi\) Ответ: A Решение: Период функции \(y=\tan x\) равен \(\pi\). При замене аргумента на \(3x+\dfrac{\pi}{4}\) период делится на коэффициент при \(x\). Минимальный положительный период: \(T=\dfrac{\pi}{3}\). Ответ: A. ## Задача 178 (Эллипс) 中文: 若 \(a_n\) 椭圆 \(C\) 以原点为中心，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 \(4\)，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\)，则 \(C\) 的方程为 English: If \(a_n\) ellipse \(C\) is centered at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal length is \(4\), and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is Русский: Если \(a_n\) эллипс \(C\) с центром в начале координат, фокусы находятся на оси \(y\), фокусное расстояние равно \(4\), а эксцентриситет \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид A. \(\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{5} = 1\) B. \(\dfrac{x^{2}}{8} + \dfrac{y^{2}}{12} = 1\) C. \(\dfrac{x^{2}}{5} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) D. \(\dfrac{x^{2}}{12} + \dfrac{y^{2}}{8} = 1\) Ответ: C Решение: Фокусное расстояние \(2c=4\), значит \(c=2\). Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\), откуда \(a=3\), \(a^2=9\). Тогда \(b^2=a^2-c^2=9-4=5\). Фокусы на оси \(y\), поэтому больший знаменатель под \(y^2\): \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\). Ответ: C. ## Задача 179 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\)（\(n \ge 2\)），且 \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\)，则 \(a_{4}=\) English: If a sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) and \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), then \(a_{4}=\) Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) и \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), то \(a_{4}=\) Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{16}{3}\), верный \(-\dfrac{8}{3}\). A. \(\dfrac{-16}{3}\) B. \(\dfrac{-8}{3}\) C. \(\dfrac{16}{3}\) D. \(\dfrac{8}{3}\) Ответ: B Решение: \(a_2=(-1)^2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\). \(a_3=(-1)^3\cdot 2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\). \(a_4=(-1)^4\cdot 2\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}\). Ответ: B. ## Задача 180 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) 的定义域是 English: The domain of the function \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) is Русский: Область определения функции \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) состоит из A. \((-\infty, 4) \cup (4, 5) \cup (5, 6) \cup (6, +\infty)\) B. \((-\infty, 4) \cup (4, +\infty)\) C. \((-\infty, 5) \cup (5, 6) \cup (6, +\infty)\) D. \((-\infty, 5) \cup (5, +\infty)\) Ответ: A Решение: Для логарифма требуется \(|x-5|>0\), то есть \(x \ne 5\). Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(\lg|x-5| \ne 0\), значит \(|x-5| \ne 1\). Отсюда \(x-5 \ne \pm 1\), то есть \(x \ne 4\) и \(x \ne 6\). Область определения: все действительные числа, кроме \(4\), \(5\), \(6\). Ответ: A. ## Задача 181 (Эллипс) 中文: 椭圆 \(C\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 有相同的焦点，且其短轴长为 \(4\sqrt{5}\)，则椭圆 \(C\) 的方程为 English: Given that an ellipse \(C\) has the same foci as the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), and its minor axis has a length of \(4\sqrt{5}\), the equation of the ellipse \(C\) is Русский: Эллипс \(C\) имеет те же фокусы, что и эллипс \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), а длина его малой оси равна \(4\sqrt{5}\). Уравнение эллипса \(C\) имеет вид A. \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\) B. \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{20}=1\) C. \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{45}=1\) D. \(\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{y^2}{85}=1\) Ответ: A Решение: Для эллипса \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) большая полуось \(a_0=3\), малая \(b_0=2\), фокусы на оси \(y\). \(c^2=a_0^2-b_0^2=9-4=5\), значит \(c=\sqrt{5}\). Малая ось эллипса \(C\) равна \(4\sqrt{5}\), поэтому \(2b=4\sqrt{5}\), \(b=2\sqrt{5}\), \(b^2=20\). \(a^2=b^2+c^2=20+5=25\), фокусы на оси \(y\), значит больший знаменатель под \(y^2\). Уравнение: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\). Ответ: A. ## Задача 182 (Векторы) 中文: 设 \(ABCD\) 是正方形，\(E\) 是 \(CD\) 的中点，\(\vec{AB}=\vec{a}\)，\(\vec{AD}=\vec{b}\)，则 \(\vec{BE}=\) English: Let \(ABCD\) be a square, \(E\) is the midpoint of \(CD\). Given \(\vec{AB}=\vec{a}\) and \(\vec{AD}=\vec{b}\), then \(\vec{BE}=\) Русский: Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(E\) — середина \(CD\). Дано \(\vec{AB}=\vec{a}\) и \(\vec{AD}=\vec{b}\). Тогда \(\vec{BE}=\) A. \(\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}\) B. \(\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\) C. \(\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}\) D. \(\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{a}\) Ответ: B Решение: \(\vec{BE}=\vec{BC}+\vec{CE}\). \(\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{b}\) как противоположные стороны квадрата. \(E\) — середина \(CD\), поэтому \(\vec{CE}=\dfrac{1}{2}\vec{CD}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}\). \(\vec{BE}=\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\). Ответ: B. ## Задача 183 (Геометрическая прогрессия) 中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n=3a_{n+1}-3\)，则 \(S_n=\) English: Suppose that the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n\), and \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Then \(S_n=\) Русский: Пусть сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равна \(S_n\), причём \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Тогда \(S_n=\) A. \(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\) B. \(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{2}{3}\) C. \(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\dfrac{3}{2}\) D. \(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\dfrac{2}{3}\) Ответ: A Решение: При \(n=1\): \(2S_1=3a_2-3\), то есть \(2a_1=3a_1q-3\). При \(n\ge 2\): \(2S_n=3a_{n+1}-3\) и \(2S_{n-1}=3a_n-3\); вычитая, \(2a_n=3a_{n+1}-3a_n\), значит \(3a_{n+1}=5a_n\), \(q=\dfrac{5}{3}\). Подставляем \(q=\dfrac{5}{3}\) в \(2a_1=3a_1q-3\): \(2a_1=5a_1-3\), \(a_1=1\). \(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\). Ответ: A. ## Задача 184 (Комплексные числа) 中文: 若复数 \(z\) 满足方程 \((z-2i)(2-i)=5\)，则 \(z=\) English: If a complex number \(z\) satisfies the equation \((z-2i)(2-i)=5\), then \(z=\) Русский: Если комплексное число \(z\) удовлетворяет уравнению \((z-2i)(2-i)=5\), то \(z=\) A. \(2+3i\) B. \(2-3i\) C. \(3-2i\) D. \(3+2i\) Ответ: A Решение: Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2z - zi - 4i + 2i^2 = 5\). Поскольку \(i^2 = -1\), получаем \(2z - zi - 4i - 2 = 5\), откуда \(2z - zi = 7 + 4i\). Вынесем \(z\): \(z(2 - i) = 7 + 4i\), значит \(z = \dfrac{7 + 4i}{2 - i}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(2 + i\). Числитель: \((7 + 4i)(2 + i) = 14 + 7i + 8i + 4i^2 = 14 + 15i - 4 = 10 + 15i\). Знаменатель: \((2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5\). Тогда \(z = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i\). Ответ: A. ## Задача 185 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\)，则通项公式 \(a_n=\) English: If the sum of the first \(n\) terms of a sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), then the general term \(a_n=\) Русский: Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), то общий член \(a_n=\) A. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) B. \((-2)^{n-1}\) C. \((-2)^n\) D. \(-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) Ответ: B Решение: При \(n=1\): \(S_1=a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{1}{3}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_1=1\). При \(n\ge 2\): \(a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{2}{3}a_n-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_n=-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), \(a_n=-2a_{n-1}\). Геометрическая прогрессия с \(a_1=1\), \(q=-2\): \(a_n=(-2)^{n-1}\). Проверка: \(a_2=-2\), \(S_2=-1=\dfrac{2}{3}\cdot(-2)+\dfrac{1}{3}=-1\), верно. Ответ: B. ## Задача 186 (Классическая вероятность) 中文: 一个不透明袋子里有 12 个形状相同的球：红、黑、黄、绿各若干个。随机取一个球，取到红球的概率为 \(\dfrac{1}{3}\)，取到黄球或绿球的概率为 \(\dfrac{5}{12}\)，取到黑球或黄球的概率也为 \(\dfrac{5}{12}\)。则取到黄球、黑球、绿球的概率分别为 English: There are 12 balls of identical shape in an opaque bag: red, black, yellow, and green. One ball is drawn at random. The probability of drawing a red ball is \(\dfrac{1}{3}\), the probability of drawing a yellow or green ball is \(\dfrac{5}{12}\), and the probability of drawing a black or yellow ball is also \(\dfrac{5}{12}\). The probabilities of drawing a yellow, a black, and a green ball, respectively, are Русский: В непрозрачном мешке лежат 12 одинаковых по форме шаров: красные, чёрные, жёлтые и зелёные. Наугад вынимают один шар. Вероятность вынуть красный шар равна \(\dfrac{1}{3}\), вероятность вынуть жёлтый или зелёный шар равна \(\dfrac{5}{12}\), вероятность вынуть чёрный или жёлтый шар также равна \(\dfrac{5}{12}\). Вероятности вынуть жёлтый, чёрный и зелёный шар соответственно равны A. \(\dfrac{1}{6},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{4}\) B. \(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{6}\) C. \(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{1}{6}\) D. \(\dfrac{1}{5},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{6}\) Ответ: A Решение: Вероятность вытащить красный шар равна \(\dfrac{1}{3}\), значит красных шаров \(12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4\). Остальных шаров (черных, желтых, зеленых) вместе \(12 - 4 = 8\), их суммарная вероятность \(\dfrac{2}{3}\). По условию \(P(Y) + P(G) = \dfrac{5}{12}\) и \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\), откуда \(P(G) = P(B)\). Так как \(P(B) + P(Y) + P(G) = \dfrac{2}{3}\), подставляем \(P(B) = P(G)\) и получаем \(2P(B) + P(Y) = \dfrac{2}{3}\). Из \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\) вычитаем: \(P(B) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{4}\). Тогда \(P(Y) = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}\) и \(P(G) = \dfrac{1}{4}\). Ответ: A. ## Задача 187 (Множества) 中文: 若集合 \(A=\{x \mid x^2=1\}\)，则下列表示正确的是： English: If the set \(A=\{x \mid x^2=1\}\), then which of the following representations is correct? Русский: Если множество \(A=\{x \mid x^2=1\}\), то какое из следующих представлений верно? A. \(A=-1\) B. \(\{1\} \subseteq A\) C. \(1 \subseteq A\) D. \(A=\{1\}\) Ответ: B Решение: Решим уравнение \(x^2=1\), получим \(x=1\) или \(x=-1\), значит \(A=\{-1, 1\}\). Вариант A неверен, так как множество не может быть равно числу. Вариант C неверен, так как знак \(\subseteq\) применяется к множествам, а не к элементам. Вариант D неверен, так как в множестве \(A\) два элемента, а не один. Множество \(\{1\}\) является подмножеством \(A\), поэтому вариант B верен. Ответ: B. ## Задача 188 (Множества) 中文: 若集合 \(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,\ldots,2026\}\)，则 \(A \cap B=\) English: If the sets \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), then \(A \cap B=\) Русский: Если множества \(A=\{1,2,3\}\) и \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), то \(A \cap B=\) A. \(\{2,3\}\) B. \(\{1,2,3\}\) C. \(\{2,3,\ldots,2026\}\) D. \(\{1,2,\ldots,2026\}\) Ответ: A Решение: Множество \(A\) содержит элементы 1, 2 и 3. Множество \(B\) содержит все целые числа от 2 до 2026 включительно. Пересечение \(A \cap B\) состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам. Элемент 1 не входит в \(B\), а элементы 2 и 3 входят в оба множества. Следовательно, \(A \cap B = \{2, 3\}\). Ответ: A. ## Задача 189 (Квадратные неравенства) 中文: 一元二次不等式 \(3(x+4)(x-2)<0\) 的解集为： English: The solution set of the quadratic inequality \(3(x+4)(x-2)<0\) is: Русский: Множество решений квадратного неравенства \(3(x+4)(x-2)<0\): A. \((2,+\infty)\) B. \((-4,2)\) C. \((-\infty,-4) \cup (2,+\infty)\) D. \((-\infty,2) \cup (-4,+\infty)\) Ответ: B Решение: Разделим обе части неравенства на 3, получим \((x+4)(x-2)<0\). Корни соответствующего уравнения равны \(x=-4\) и \(x=2\). Парабола \(y=(x+4)(x-2)\) имеет ветви, направленные вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при \(-4 < x < 2\). Множество решений записывается как интервал \((-4, 2)\). Ответ: B. ## Задача 190 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) 的定义域为： English: The domain of the function \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) is: Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\): A. \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\) B. \(\{1,2,3\}\) C. \([1,3]\) D. \(\mathbb{R}\) Ответ: A Решение: Функция определена при условии, что знаменатели всех дробей не равны нулю. Из первого слагаемого получаем ограничение \(x-1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\). Из второго слагаемого \(x-2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Из третьего слагаемого \(x-3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\). Область определения — вся числовая прямая кроме точек 1, 2 и 3, что соответствует объединению интервалов \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\). Ответ: A. ## Задача 191 (Координаты и расстояния) 中文: 若点 \(P(x,y)\) 位于第二象限，则点 \(Q(2x,3y)\) 位于： English: If point \(P(x,y)\) lies in the second quadrant, then point \(Q(2x,3y)\) lies in: Русский: Если точка \(P(x,y)\) лежит во второй четверти, то точка \(Q(2x,3y)\) лежит: A. the fourth quadrant / 第四象限 / в четвёртой четверти B. the third quadrant / 第三象限 / в третьей четверти C. the second quadrant / 第二象限 / во второй четверти D. the first quadrant / 第一象限 / в первой четверти Ответ: C Решение: Точка \(P(x,y)\) во второй четверти, значит \(x<0\) и \(y>0\). Тогда \(2x<0\) и \(3y>0\). Координаты точки \(Q(2x,3y)\) имеют знаки минус и плюс. Отрицательная абсцисса и положительная ордината соответствуют второй четверти. Ответ: C. ## Задача 192 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 下列结果正确的是： English: Which of the following results is correct? Русский: Какой из следующих результатов верен? A. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\) B. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) C. \(\sin\pi=1\) D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: \(\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\neq 2\), вариант A неверен. \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\), вариант B верен. \(\sin\pi=0\neq 1\), вариант C неверен. \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq \dfrac{1}{2}\), вариант D неверен. Ответ: B. ## Задача 193 (Монотонность и чётность) 中文: 下列关于奇函数 \(y=f(x)\) 的说法不正确的是： English: Which of the following statements about the odd function \(y=f(x)\) is incorrect? Русский: Какое из следующих утверждений о нечётной функции \(y=f(x)\) неверно? A. The domain of the function is symmetric about the origin / 函数的定义域关于原点对称 / Область определения функции симметрична относительно начала координат B. In the domain, \(f(-x)=f(x)\) / 在定义域内，\(f(-x)=f(x)\) / В области определения \(f(-x)=f(x)\) C. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат D. In the domain, \(f(-x)=-f(x)\) / 在定义域内，\(f(-x)=-f(x)\) / В области определения \(f(-x)=-f(x)\) Ответ: B Решение: Нечетная функция по определению удовлетворяет условию \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Область определения нечетной функции обязательно симметрична относительно начала координат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Утверждение \(f(-x) = f(x)\) является определением четной функции, а не нечетной, поэтому оно неверно. Ответ: B. ## Задача 194 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 函数 \(y=2x\)，\(x\in[-1,1]\) 的反函数是： English: The inverse function of \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\) is: Русский: Обратная функция для \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\): A. \(y=\dfrac{x}{2}, x\in[-1,1]\) B. \(y=\dfrac{x}{2}\) C. \(y=\dfrac{x}{2}, x\in[-2,2]\) D. \(y=2x, x\in[-1,1]\) Ответ: C Решение: Исходная функция \(y = 2x\) задана на отрезке \(x \in [-1, 1]\). Выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \dfrac{y}{2}\). Меняем переменные местами, получаем обратную функцию \(y = \dfrac{x}{2}\). Область значений исходной функции при \(x \in [-1, 1]\) равна \([-2, 2]\), это и будет областью определения обратной функции. Ответ: C. ## Задача 195 (Показательная функция) 中文: 下列函数中单调递减的是： English: Which of the following functions is monotonically decreasing? Русский: Какая из следующих функций монотонно убывает? A. \(y=\dfrac{1}{e^x}\) B. \(y=x^2-1\) C. \(y=100x\) D. \(y=\cos x\) Ответ: A Решение: Функция \(y = \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}\) имеет основание степени \(e > 1\) и отрицательный показатель, поэтому она монотонно убывает на всей числовой прямой. Функция \(y = x^2 - 1\) убывает только при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\). Функция \(y = 100x\) является линейной с положительным коэффициентом и монотонно возрастает. Функция \(y = \cos x\) периодически возрастает и убывает, не являясь монотонной. Ответ: A. ## Задача 196 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 分式不等式 \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) 的解集为： English: The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) is: Русский: Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\): A. \((-\infty,2)\) B. \((2,+\infty)\) C. \([0,2]\) D. \((-\infty,2]\) Ответ: A Решение: Дробь \(\dfrac{2}{x-2}\) меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю. Числитель равен \(2\), что строго больше нуля, поэтому дробь равна нулю быть не может. Значит, знаменатель должен быть строго отрицательным: \(x - 2 < 0\). Решая неравенство, получаем \(x < 2\), то есть множество решений \((-\infty, 2)\). Ответ: A. ## Задача 197 (Координаты и расстояния) 中文: 下列点位于第三象限的是： English: Which of the following points lies in the third quadrant? Русский: Какая из следующих точек лежит в третьей четверти? A. \((-1,-2)\) B. \((-1,2)\) C. \((1,2)\) D. \((1,-2)\) Ответ: A Решение: В третьей четверти обе координаты точки отрицательны: \(x<0\) и \(y<0\). Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными, значит лежит в третьей четверти. Точка \((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая. Ответ: A. ## Задача 198 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成等比数列并且满足 \(ac=100\)，则 \(b=\) English: Given that \(a\), \(b\), and \(c\) form a geometric sequence and satisfy \(ac=100\), then \(b=\) Русский: Дано, что \(a\), \(b\) и \(c\) образуют геометрическую прогрессию и удовлетворяют условию \(ac=100\), тогда \(b=\) A. \(\pm 100\) B. \(10\) C. \(100\) D. \(\pm 10\) Ответ: D Решение: В геометрической прогрессии \(b^2=ac\). По условию \(ac=100\), значит \(b^2=100\). Отсюда \(b=\pm 10\). Ответ: D. ## Задача 199 (Прямая) 中文: 若直线经过点 \((-1, 1)\) 和 \((0, 2)\)，则直线的倾斜角为： English: If a line passes through the points \((-1, 1)\) and \((0, 2)\), then the angle of inclination of the line is: Русский: Если прямая проходит через точки \((-1, 1)\) и \((0, 2)\), то угол наклона этой прямой равен: A. \(135^\circ\) B. \(30^\circ\) C. \(45^\circ\) D. \(60^\circ\) Ответ: C Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \((-1,1)\) и \((0,2)\): \(k=\dfrac{2-1}{0-(-1)}=1\). Угол наклона \(\alpha\) удовлетворяет \(\tan\alpha=k=1\). Так как \(0^\circ\le\alpha<180^\circ\), получаем \(\alpha=45^\circ\). Ответ: C. ## Задача 200 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若点 \(P(1, 2)\) 是角 \(\alpha\) 的终边上的点，则 \(\sin\alpha =\) English: If point \(P(1, 2)\) lies on the terminal side of angle \(\alpha\), then \(\sin\alpha =\) Русский: Если точка \(P(1, 2)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), то \(\sin\alpha =\) A. \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) Ответ: D Решение: Расстояние от начала координат до точки \(P(1,2)\): \(r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\). По определению \(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Рационализируем: \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\). Ответ: D. ## Задача 201 (Прямая) 中文: 经过点 \(A(-1, 1)\)，\(B(2, 3)\) 的直线的斜率为 English: The slope of the line passing through points \(A(-1, 1)\) and \(B(2, 3)\) is Русский: Наклон прямой, проходящей через точки \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\), равен A. \(\dfrac{2}{3}\) B. \(\dfrac{-2}{3}\) C. \(\dfrac{3}{2}\) D. \(\dfrac{-3}{2}\) Ответ: A Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\): \(k=\dfrac{3-1}{2-(-1)}\). Вычисляем: \(k=\dfrac{2}{3}\). Ответ: A. ## Задача 202 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_{1}=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{9} =\) English: Given that the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic progression with \(a_{1}=1\) and common difference \(d=2\), then \(a_{9} =\) Русский: Если дано, что последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией с \(a_{1}=1\) и разностью \(d=2\), то \(a_{9} =\) A. \(20\) B. \(18\) C. \(19\) D. \(17\) Ответ: D Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем \(a_1 = 1\), \(d = 2\), \(n = 9\). \(a_9 = 1 + (9-1) \cdot 2 = 1 + 8 \cdot 2 = 1 + 16 = 17\). Ответ: D. ## Задача 203 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \(P(a, b)\) 到点 \(Q(a + 1, b - 1)\) 的距离为 English: The distance from point \(P(a, b)\) to point \(Q(a + 1, b - 1)\) is Русский: Расстояние от точки \(P(a, b)\) до точки \(Q(a + 1, b - 1)\) равно A. \(\sqrt{(2a+1)^2 + (2b-1)^2}\) B. \(2\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(4\) Ответ: C Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле \(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Разность абсцисс: \((a+1) - a = 1\). Разность ординат: \((b-1) - b = -1\). \(PQ = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Ответ: C. ## Задача 204 (Прямая) 中文: 过原点并且斜率为 2 的直线方程是 English: The equation of the line passing through the origin with slope 2 is Русский: Уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей наклон 2, выглядит так A. \(y = x + 2\) B. \(y = x\) C. \(y = 2x\) D. \(y = 2x + 2\) Ответ: C Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через начало координат, имеет вид \(y = kx\). По условию угловой коэффициент \(k = 2\). Подставляем и получаем \(y = 2x\). Варианты A и D не проходят через начало координат, вариант B имеет неверный угловой коэффициент. Ответ: C. ## Задача 205 (Окружность) 中文: 圆心为 \((2, 5)\)，半径为 \(5\) 的圆的方程是： English: The equation of the circle centered at \((2, 5)\) with radius \(5\) is: Русский: Уравнение окружности с центром в точке \((2, 5)\) и радиусом \(5\): A. \((x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5\) B. \((x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25\) C. \((x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\) D. \((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\) Ответ: B Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((h, k)\) и радиусом \(r\): \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). Центр задан как \((2, 5)\), значит \(h = 2\), \(k = 5\). Радиус \(r = 5\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 25\). Получаем уравнение \((x-2)^2 + (y-5)^2 = 25\). Ответ: B. ## Задача 206 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 若 \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\tan\alpha =\)？ English: If \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\tan\alpha =\)? Русский: Если \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\tan\alpha =\)? A. \(1\) B. \(\pm 1\) C. \(2\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: Из тождества \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) находим \(\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\). Вычисляем квадрат тангенса: \(\tan^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1/2}{1/2} = 1\). Извлекаем корень: \(\tan\alpha = \pm 1\). Знак зависит от четверти, в которой находится угол \(\alpha\), поэтому подходят оба значения. Ответ: B. ## Задача 207 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\)，则： English: Given that the general term of the geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), then: Русский: Дано, что общий член геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равен \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), тогда: A. The common ratio of the sequence is \(q = -2\) / 数列的公比为 \(q = -2\) / Знаменатель прогрессии равен \(q = -2\) B. The first term of the sequence is \(a_1 = -2\) / 数列的首项为 \(a_1 = -2\) / Первый член прогрессии равен \(a_1 = -2\) C. The 100th term of the sequence is \(a_{100} = 2\) / 数列的第100项为 \(a_{100} = 2\) / 100-й член прогрессии равен \(a_{100} = 2\) D. The sum of the first 10 terms is equal to \(0\) / 前10项之和等于 \(0\) / Сумма первых 10 членов равна \(0\) Ответ: D Решение: По формуле \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\) находим \(a_1 = 2\), \(a_2 = -2\), значит \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = -1\), варианты A и B неверны. \(a_{100} = 2\cdot(-1)^{101} = -2\), вариант C неверен. Каждая пара соседних членов даёт в сумме \(2 + (-2) = 0\), таких пар в десяти членах пять. \(S_{10} = 5\cdot 0 = 0\). Ответ: D. ## Задача 208 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 已知 \(a > b\)，\(c \in \mathbb{R}\)，则： English: Given that \(a > b\) and \(c \in \mathbb{R}\), then: Русский: Дано, что \(a > b\) и \(c \in \mathbb{R}\), тогда: A. \(a^2 > b^2\) B. \(ac > bc\) C. \(a + c > b + c\) D. \(|a| > |b|\) Ответ: C Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет знак: из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\).\nA неверно: \(a = 1\), \(b = -2\), тогда \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).\nB неверно при \(c \le 0\): например, \(c = -1\) даёт \(ac < bc\).\nD неверно для того же примера: \(|1| < |-2|\). Ответ: C. ## Задача 209 (Степенные и квадратичные функции) 中文: 下列关于函数 \(y = x^2\) 说法正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y = x^2\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = x^2\) верно? A. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат B. The function is monotonically decreasing on its domain / 函数在定义域上单调递减 / Функция монотонно убывает на своей области определения C. The graph of the function is symmetric about the \(y\)-axis / 函数的图象关于 \(y\) 轴对称 / График функции симметричен относительно оси \(y\) D. The function is monotonically increasing on its domain / 函数在定义域上单调递增 / Функция монотонно возрастает на своей области определения Ответ: C Решение: Функция \(y = x^2\) чётная: \((-x)^2 = x^2\), поэтому её график симметричен относительно оси \(y\).\nA неверно: симметрия относительно начала координат бывает у нечётных функций.\nB и D неверны: функция убывает при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\), на всей области определения монотонной не является. Ответ: C. ## Задача 210 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，则 \(a_5 =\)？ English: If the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), then \(a_5 =\)? Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), то \(a_5 =\)? A. \(11\) B. \(5\) C. \(9\) D. \(7\) Ответ: C Решение: Разность прогрессии \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\). Общий член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). \(a_5 = 1 + 4\cdot 2 = 9\). Ответ: C. ## Задача 211 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)。 English: If \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha=\). Русский: Если \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha=\). A. \(\dfrac{-7}{8}\) B. \(\dfrac{7}{8}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(\dfrac{-1}{2}\) Ответ: C Решение: Формула двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). Подставляем \(\sin^2\alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\). Ответ: C. ## Задача 212 (Прямая) 中文: 已知直线 \(l_1\)：\(y=x+3\)，直线 \(l_2\) 经过点 \(A(1,0)\) 和 \(B(0,1)\)，则直线 \(l_1\) 和直线 \(l_2\) 的交点为： English: Given line \(l_1\): \(y=x+3\), and line \(l_2\) passing through points \(A(1,0)\) and \(B(0,1)\), the intersection point of \(l_1\) and \(l_2\) is: Русский: Дана прямая \(l_1\): \(y=x+3\) и прямая \(l_2\), проходящая через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\). Точка пересечения прямых \(l_1\) и \(l_2\) равна: A. \(\left(\dfrac{-3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\) B. \((-2,1)\) C. \((-1,2)\) D. \((0,3)\) Ответ: C Решение: Уравнение прямой \(l_2\), проходящей через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\), имеет вид \(y = -x + 1\). Приравниваем правые части уравнений прямых: \(x + 3 = -x + 1\). Решаем уравнение: \(2x = -2\), откуда \(x = -1\). Подставляем \(x = -1\) в уравнение \(l_1\): \(y = -1 + 3 = 2\). Точка пересечения прямых равна \((-1, 2)\). Ответ: C. ## Задача 213 (Окружность) 中文: 若圆经过点 \(A(2,2)\)，且圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为： English: If a circle passes through point \(A(2,2)\) and has center \((2,0)\), then the equation of the circle is: Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то уравнение окружности имеет вид: A. \((x-2)^2+(y-2)^2=4\) B. \((x-2)^2+y^2=2\) C. \((x-2)^2+y^2=4\) D. \(x^2+(y-2)^2=2\) Ответ: C Решение: Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому её уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\). Окружность проходит через точку \(A(2, 2)\), подставляем координаты для нахождения радиуса. Вычисляем квадрат радиуса: \(R^2 = (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0 + 4 = 4\). Записываем итоговое уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\). Ответ: C. ## Задача 214 (Гипербола) 中文: 双曲线 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点为： English: The foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are: Русский: Фокусы гиперболы \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны: A. \((\pm 25,0)\) B. \((0,\pm 25)\) C. \((0,\pm 5)\) D. \((\pm 5,0)\) Ответ: D Решение: Из канонического уравнения гиперболы определяем параметры: \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 9\). Находим квадрат расстояния от центра до фокуса: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\). Отсюда \(c = 5\). Так как член с \(x^2\) положительный, фокусы расположены на оси абсцисс. Координаты фокусов равны \((\pm 5, 0)\). Ответ: D. ## Задача 215 (Логарифмы) 中文: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\)。 English: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\). Русский: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\). A. \(3\) B. \(2\) C. \(0\) D. \(4\) Ответ: A Решение: Логарифм единицы по любому основанию равен нулю: \(\log_5 1 = 0\). Переходим к основанию 5 во втором логарифме: \(\log_{25} 4 = \dfrac{\log_5 4}{\log_5 25} = \dfrac{\log_5 4}{2}\). Делим первый логарифм на полученное выражение: \(\dfrac{\log_5 8}{\frac{\log_5 4}{2}} = \dfrac{2 \log_5 8}{\log_5 4}\). Используем свойства логарифмов: \(\log_5 8 = 3 \log_5 2\) и \(\log_5 4 = 2 \log_5 2\). Подставляем и сокращаем: \(\dfrac{2 \cdot 3 \log_5 2}{2 \log_5 2} = 3\). Ответ: A. ## Задача 216 (Геометрическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\)，则通项 \(a_n=\)。 English: If the sequence \(\{a_n\}\) is \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), then the general term \(a_n=\). Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), то общий член \(a_n=\). A. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) B. \(\dfrac{1}{2^n}\) C. \((-1)^{n-1}\cdot \dfrac{1}{2^n}\) D. \((-1)^n\cdot \dfrac{1}{2^n}\) Ответ: C Решение: Последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\). Находим знаменатель прогрессии: \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\). Формула общего члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем значения: \(a_n = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\). Выносим знак минус из основания степени: \(a_n = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\). Ответ: C. ## Задача 217 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 下列关于函数 \(y=\cos x\) 说法正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y=\cos x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно? A. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат B. The function has infinitely many zeros / 函数有无数个零点 / Функция имеет бесконечно много нулей C. \(\cos\pi=\cos 2\pi\) D. The function is monotonically increasing on \([2\pi,3\pi]\) / 函数在 \([2\pi,3\pi]\) 上单调递增 / Функция монотонно возрастает на \([2\pi,3\pi]\) Ответ: B Решение: График \(y=\cos x\) симметричен относительно оси ординат, а не начала координат, A неверно. Уравнение \(\cos x=0\) имеет решения \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть нулей бесконечно много, B верно. \(\cos\pi=-1\), а \(\cos 2\pi=1\), значения не равны, C неверно. На \([2\pi,3\pi]\) косинус сначала убывает, затем возрастает, монотонности нет, D неверно. Ответ: B. ## Задача 218 (Парабола) 中文: 关于抛物线 \(y=\dfrac{x^2}{4}\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the parabola \(y=\dfrac{x^2}{4}\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о параболе \(y=\dfrac{x^2}{4}\) верно? A. The axis of symmetry is \(y=0\) / 对称轴为 \(y=0\) / Осью симметрии является \(y=0\) B. The parabola passes through the point \((4,-4)\) / 抛物线过点 \((4,-4)\) / Парабола проходит через точку \((4,-4)\) C. The focus is \((0,\pm 1)\) / 焦点为 \((0,\pm 1)\) / Фокусом является \((0,\pm 1)\) D. The directrix is \(y=-1\) / 准线为 \(y=-1\) / Директрисой является \(y=-1\) Ответ: D Решение: Приведём уравнение параболы к каноническому виду: \(x^2 = 4y\). Сравнивая с формулой \(x^2 = 2py\), получаем \(2p = 4\), откуда \(p = 2\). Фокус параболы находится в точке \((0, \dfrac{p}{2}) = (0, 1)\), поэтому вариант C неверен. Директриса задаётся уравнением \(y = -\dfrac{p}{2} = -1\). Ось симметрии — прямая \(x = 0\), а не \(y = 0\), что исключает вариант A. При \(x = 4\) значение \(y = \dfrac{16}{4} = 4 \neq -4\), поэтому вариант B неверен. Ответ: D. ## Задача 219 (Прямая) 中文: 关于三条直线 \(l_1:x+2y+1=0\)，\(l_2:x-y=0\)，\(l_3:2x-y+8=0\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the three lines \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о трёх прямых \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) верно? A. \(l_1\) is parallel to \(l_3\) / \(l_1\) 平行于 \(l_3\) / \(l_1\) параллельна \(l_3\) B. \(l_1\) is perpendicular to \(l_2\) / \(l_1\) 垂直于 \(l_2\) / \(l_1\) перпендикулярна \(l_2\) C. \(l_1\) is parallel to \(l_2\) / \(l_1\) 平行于 \(l_2\) / \(l_1\) параллельна \(l_2\) D. \(l_1\) is perpendicular to \(l_3\) / \(l_1\) 垂直于 \(l_3\) / \(l_1\) перпендикулярна \(l_3\) Ответ: D Решение: Угловые коэффициенты: \( l_1: y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \), \( k_1=-\dfrac{1}{2} \); \( l_2: k_2=1 \); \( l_3: k_3=2 \). Параллельность требует равных коэффициентов: \( k_1\neq k_2 \) и \( k_1\neq k_3 \), варианты A и C неверны. Перпендикулярность: \( k_1k_2=-\dfrac{1}{2}\neq -1 \), вариант B неверен; \( k_1k_3=-\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1 \), значит \( l_1\perp l_3 \). Ответ: D. ## Задача 220 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知 \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\) English: Given that \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) and \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\) Русский: Дано, что \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) и \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), тогда \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\) A. \(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) B. \(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) C. \(2-\sqrt{3}\) D. \(2+\sqrt{3}\) Ответ: C Решение: Представим угол как разность: \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\). Применим формулу тангенса разности: \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\). Подставим известные значения: \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\). Умножим числитель и знаменатель на 3: \(\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\). Избавимся от иррациональности, умножив на сопряжённое выражение \(3 - \sqrt{3}\): \(\dfrac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}\). Ответ: C. ## Задача 221 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) 的定义域是： English: The domain of the function \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) is: Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\): A. \([-3,+\infty)\) B. \((-3,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) C. \((0,2)\cup(2,+\infty)\) D. \([-3,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) Ответ: C Решение: Область определения функции задаётся системой ограничений для каждого её элемента. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x + 3 \geq 0\), откуда \(x \geq -3\). Знаменатель дроби не может равняться нулю: \(x - 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(x > 0\). Пересечение условий \(x \geq -3\) и \(x > 0\) даёт \(x > 0\). Исключая точку \(x = 2\), получаем область определения \((0, 2) \cup (2, +\infty)\). Ответ: C. ## Задача 222 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\)，且 \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) English: If \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) and \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) Русский: Если \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) и \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) A. \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) B. \(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) C. \(\pm 2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) D. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) Ответ: A Решение: Из условия \(\alpha \in \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) следует, что \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right]\). В этом промежутке синус положителен, поэтому берём только знак плюс в формуле половинного угла. Применим формулу: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\). Подставим \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\). Упростим результат: \(\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\). Ответ: A. ## Задача 223 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 关于诱导公式，下列表达式正确的是： English: Which of the following expressions about reduction formulas is correct? Русский: Какое из следующих выражений для формул приведения является верным? A. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\) B. \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha\) C. \(\tan(\pi + \alpha) = -\tan \alpha\) D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha\) Ответ: B Решение: Проверяем вариант A: \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), знак неверный. Вариант B: \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \), косинус периодичен с \( 2\pi \) и чётен, верно. Вариант C: \( \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha \), знак неверный. Вариант D: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \), а не \( \sin \alpha \). Ответ: B. ## Задача 224 (Двойной и половинный угол) 中文: 已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) ， \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\) ，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是： English: Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) and \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\), the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is: Русский: Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\). Тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно: A. \(\dfrac{-1}{2}\) B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Ответ: D Решение: По формуле половинного угла \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2} \). Подставляем: \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} \). Так как \( \alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) \), то \( \dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), синус положителен. Значит \( \sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \). Ответ: D. ## Задача 225 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 下列关于函数 \(y = \tan(-2x)\) 的说法，正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y = \tan(-2x)\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \tan(-2x)\) является верным? A. The function is bounded on its domain / 函数在定义域上有界 / Функция ограничена на своей области определения B. The domain of the function is \(\mathbb{R}\) / 函数的定义域为 \(\mathbb{R}\) / Область определения функции — \(\mathbb{R}\) C. The fundamental period of the function is \(\pi\) / 函数的最小正周期为 \(\pi\) / Наименьший положительный период функции равен \(\pi\) D. The function is monotonically decreasing on \(\left(\dfrac{-\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) / 函数在 \(\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) 上单调递减 / Функция монотонно убывает на \(\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) Ответ: D Решение: Тангенс не ограничен, поэтому A неверно. Область определения исключает точки \( x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \), поэтому B неверно. Период равен \( \dfrac{\pi}{2} \), а не \( \pi \), поэтому C неверно. На \( \left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right) \) аргумент \( -2x \) убывает, а тангенс возрастает, значит функция убывает. Ответ: D. ## Задача 226 (Эллипс) 中文: 若椭圆 \(C\) 的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 4，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\) ，则 \(C\) 的方程是： English: If the center of ellipse \(C\) is at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal distance is 4, and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is: Русский: Если центр эллипса \(C\) находится в начале координат, его фокусы лежат на оси \(y\), фокусное расстояние равно 4, а эксцентриситет равен \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид: A. \(\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{8} = 1\) B. \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1\) C. \(\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1\) D. \(\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{12} = 1\) Ответ: C Решение: Фокусное расстояние \( 2c = 4 \), значит \( c = 2 \). Эксцентриситет \( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \), откуда \( a = 3 \), \( a^2 = 9 \). Тогда \( b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5 \). Фокусы на оси \( y \), большая полуось вдоль \( y \): \( \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \). Ответ: C. ## Задача 227 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = n^3 + n^2 + n\)，则通项 \(a_n =\) English: If the sum of the first \(n\) terms of the sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n = n^3 + n^2 + n\), then the general term \(a_n =\) Русский: Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n = n^3 + n^2 + n\), то общий член \(a_n =\) A. \(3n^2 - n + 1\) B. \(n^2 + n + 1\) C. \(3n^2 + n + 1\) D. \(3n^2 + 2n + 1\) Ответ: A Решение: Для \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + n^2 + n - \left((n-1)^3 + (n-1)^2 + (n-1)\right) \). Раскрываем: \( (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \), \( (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \). Вычитаем: \( a_n = 3n^2 - 3n + 1 + 2n - 1 + 1 = 3n^2 - n + 1 \). Проверка: \( a_1 = S_1 = 3 \), и по формуле \( 3 - 1 + 1 = 3 \), совпадает. Ответ: A. ## Задача 228 (Логарифмы) 中文: 关于对数函数下面说法正确的是： English: Which of the following statements about logarithmic functions is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о логарифмических функциях является верным? A. \(\log_2 3 < \log_3 5\) B. If \(\log_a x > \log_a x^2\) ( \(a > 1\) ), then \(0 < x < 1\) / 若 \(\log_a x > \log_a x^2\)（ \(a > 1\) ），则 \(0 < x < 1\) / Если \(\log_a x > \log_a x^2\) ( \(a > 1\) ), то \(0 < x < 1\) C. \(\log_{100} 10 = \log_{10} 1\) D. If \(\log_a x > \log_b x\), then \(a > b\) / 若 \(\log_a x > \log_b x\)，则 \(a > b\) / Если \(\log_a x > \log_b x\), то \(a > b\) Ответ: B Решение: При \(a>1\) функция \(\log_a t\) возрастает, поэтому из \(\log_a x > \log_a x^2\) следует \(x > x^2\) при \(x>0\). Неравенство \(x > x^2\) равносильно \(x(1-x)>0\), откуда \(0 \log_3 2\), но \(a 0\) ）的说法，正确的是： English: Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) верно? A. The foci of the ellipse lie on the \(x\)-axis / 椭圆的焦点在 \(x\) 轴上 / Фокусы эллипса лежат на оси \(x\) B. The sum of the distances from any point on the ellipse to the two foci is equal to \(2a\) / 椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于 \(2a\) / Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов равна \(2a\) C. The center of the ellipse is at the origin / 椭圆的中心在原点 / Центр эллипса находится в начале координат D. The eccentricity of the ellipse is \(e = \dfrac{b}{a}\) / 椭圆的离心率为 \(e = \dfrac{b}{a}\) / Эксцентриситет эллипса равен \(e = \dfrac{b}{a}\) Ответ: C Решение: Уравнение \( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) — каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, поэтому C верно.\nA неверно: без условия \( a > b \) фокусы могут лежать и на оси \( y \).\nB неверно: сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси, а \( a \) не обязана быть большей.\nD неверно: эксцентриситет равен \( e = \dfrac{c}{a} \) при \( a > b \), а не \( \dfrac{b}{a} \). Ответ: C. ## Задача 230 (Векторы) 中文: 已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}|=1\)， \(|\boldsymbol{b}|=1\)， \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\)，且 \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\)（ \(\lambda\in\mathbb{R}\) ），则 \(|\boldsymbol{c}|\) 的最小值为： English: Given that plane vectors \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) satisfy \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), and \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ), the minimum value of \(|\boldsymbol{c}|\) is: Русский: Даны плоские векторы \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\), удовлетворяющие условиям \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), и \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ). Наименьшее значение \(|\boldsymbol{c}|\) равно: A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(1\) D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) Ответ: A Решение: \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2\lambda(1-\lambda)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + (1-\lambda)^2|\boldsymbol{b}|^2 \). Подставляем \( |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 \), \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2} \): \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2 - \lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2 = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \). Минимум квадратичной функции при \( \lambda = \dfrac{1}{2} \): \( 3\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} \). Тогда \( |\boldsymbol{c}|_{\min} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \). Ответ: A. ## Задача 231 (Геометрическая прогрессия) 中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\)（ \(n = 1, 2, \ldots\) ），则 \(S_n\) = English: Let the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) be \(S_n\), and \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ), then \(S_n\) = Русский: Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), причём \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ). Тогда \(S_n\) = A. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n - \dfrac{2}{3}\) B. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2}\) C. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n - \dfrac{3}{2}\) D. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{2}{3}\) Ответ: B Решение: При \( n = 1 \): \( 2a_1 = 3a_2 - 3 \), а \( a_2 = qa_1 \), значит \( a_1(2 - 3q) = -3 \). Записываем условие для \( n \) и \( n-1 \) и вычитаем: \( 2a_n = 3a_{n+1} - 3a_n \), то есть \( 3a_{n+1} = 5a_n \), \( q = \dfrac{5}{3} \). Подставляем \( q = \dfrac{5}{3} \): \( a_1(2 - 5) = -3 \), откуда \( a_1 = 1 \). Сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - 1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2} \). Ответ: B. ## Задача 232 (Комплексные числа) 中文: 若 \(z = -1 + i\)，其中 \(i\) 为虚数单位，则 \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) = English: If \(z = -1 + i\), where \(i\) is the imaginary unit, then \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) = Русский: Если \(z = -1 + i\), где \(i\) — мнимая единица, то \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) = A. \(\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i\) B. \(2\) C. \(\dfrac{3}{2} - \left(\dfrac{1}{2}\right)i\) D. \(1\) Ответ: C Решение: \( z + 1 = i \), \( z + 2 = 1 + i \). \( \dfrac{z+1}{z+2} = \dfrac{i}{1+i} = \dfrac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1+i}{2} \). \( \dfrac{z+2}{z+1} = \dfrac{1+i}{i} = \dfrac{(1+i)(-i)}{i\cdot(-i)} = 1 - i \). Складываем: \( \dfrac{1+i}{2} + (1 - i) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i + 1 - i = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i \). Ответ: C. ## Задача 233 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)， \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\)，令 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)，则 \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) = English: Given that \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\), let \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), then \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) = Русский: Дано, что \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\). Пусть \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), тогда \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) = A. \(n(n + 1)\) B. \(n(n - 1)\) C. \(\dfrac{n^2}{2}\) D. \(n^2\) Ответ: A Решение: \( b_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2 \). Значит \( \{b_n\} \) — арифметическая прогрессия с разностью \( 2 \). \( b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 2 \), поэтому \( b_n = 2 + 2(n-1) = 2n \). \( S_n = 2 + 4 + \cdots + 2n = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \). Ответ: A. ## Задача 234 (Классическая вероятность) 中文: 已知有 \(n\) 个编号互不相同的白球和 \(n\) 个编号互不相同的红球。现从中随机取出 \(n\) 个球，设取出球的颜色交替出现（白、红、白、……；或红、白、红、……）的概率为 \(P(n)\)，则下列关系正确的是： English: There are \(n\) white balls with distinct labels and \(n\) red balls with distinct labels. From these, \(n\) balls are randomly selected. Let \(P(n)\) be the probability that the colors of the selected balls alternate (white, red, white, …; or red, white, red, …). Which of the following relations is correct? Русский: Имеется \(n\) белых шаров с различными номерами и \(n\) красных шаров с различными номерами. Из них случайным образом выбирают \(n\) шаров. Пусть \(P(n)\) — вероятность того, что цвета выбранных шаров чередуются (белый, красный, белый, …; или красный, белый, красный, …). Какое из следующих соотношений верно? A. \(P(2)>P(4)>P(6)\) B. \(P(2)>P(6)>P(4)\) C. \(P(6)>P(4)>P(2)\) D. \(P(4)>P(2)>P(6)\) Ответ: A Решение: Шары вынимают по одному, порядок важен: всего последовательностей \(2n(2n-1)\cdots(n+1)\). При чётном \(n=2k\) чередующихся последовательностей \(2\cdot\left(n(n-1)\cdots(n-k+1)\right)^2\): выбираем, с какого цвета начать, и по порядку ставим \(k\) белых и \(k\) красных. \(P(2)=\dfrac{2\cdot 2^2}{4\cdot 3}=\dfrac{2}{3}\), \(P(4)=\dfrac{2\cdot(4\cdot 3)^2}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}=\dfrac{6}{35}\), \(P(6)=\dfrac{2\cdot(6\cdot 5\cdot 4)^2}{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\dfrac{10}{231}\). \(\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{35}>\dfrac{10}{231}\), то есть \(P(2)>P(4)>P(6)\). Ответ: A. ## Задача 235 (Множества) 中文: 下列说法正确的是： English: Which of the following statements is correct? Русский: Какое из следующих утверждений верно? A. \(-2 \in \mathbb{N}\) B. \(\pi \in \mathbb{Q}\) C. \(\dfrac{3}{2} \in \mathbb{Z}\) D. \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\) Ответ: D Решение: \(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел, \(-2\) не натуральное, A неверно. \(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел, \(\pi\) иррационально, B неверно. \(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел, \(\dfrac{3}{2}\) не целое, C неверно. \(\sqrt{3}\) — действительное число, поэтому \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), D верно. Ответ: D. ## Задача 236 (Множества) 中文: 若集合 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，\(B = \{3, 4, 5, 6\}\)，则下列运算正确的是： English: If sets \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), which operation is correct? Русский: Если множества \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), то какая из следующих операций верна? A. \(A \cup B = \{3, 4\}\) B. \(A \cap B = \{5, 6\}\) C. \(A \cap B = \{1, 2, 5, 6\}\) D. \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) Ответ: D Решение: Объединение содержит все элементы обоих множеств без повторов: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\). Пересечение содержит только общие элементы: \(A \cap B = \{3,4\}\). Варианты A, B, C противоречат этим результатам, верен только D. Ответ: D. ## Задача 237 (Квадратные неравенства) 中文: 解不等式 \(6+x-x^2 < 0\)： English: Solve the inequality \(6+x-x^2 < 0\): Русский: Решите неравенство \(6+x-x^2 < 0\): A. \(x \in (-2,\,3)\) B. \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\) C. \(x \in (-3,\,2)\) D. \(x \in (-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\) Ответ: B Решение: Умножим неравенство на \(-1\): \(x^2 - x - 6 > 0\). Разложим на множители: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\). Корни \(x=-2\) и \(x=3\), ветви параболы вверх, поэтому выражение положительно вне корней. Решение: \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\). Ответ: B. ## Задача 238 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\) 的定义域为： English: The domain of the function \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\) is: Русский: Область определения функции \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\): A. \(\{x\mid 00\}\) C. \(\{x\mid x\leq 1\}\) D. \(\{x\mid x\geq 1\}\) Ответ: A Решение: Логарифм \(\ln x\) определён при \(x>0\). Корень \(\sqrt{1-x}\) определён при \(1-x \geq 0\), то есть \(x \leq 1\). Пересечение условий: \(0 < x \leq 1\). Ответ: A. ## Задача 239 (Координаты и расстояния) 中文: 若点 \(M(a+3,a+1)\) 在 \(x\) 轴上，则点 \(M\) 的坐标为 English: If the point \(M(a+3,a+1)\) lies on the \(x\)-axis, then the coordinates of \(M\) are Русский: Если точка \(M(a+3,a+1)\) лежит на оси \(x\), то координаты точки \(M\) равны A. \((0,-4)\) B. \((0,-2)\) C. \((2,0)\) D. \((4,0)\) Ответ: C Решение: Точка лежит на оси \(x\), значит её ордината равна нулю: \(a + 1 = 0\). Отсюда \(a = -1\). Подставляем в абсциссу: \(a + 3 = -1 + 3 = 2\). Координаты точки \(M\) равны \((2, 0)\). Ответ: C. ## Задача 240 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知角 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)，则下列结论正确的是： English: Given angle \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\), which conclusion is correct? Русский: Дан угол \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Какое из следующих заключений верно? A. \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\) B. \(\sin\alpha = -\dfrac{1}{2}\) C. \(\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Ответ: A Решение: Угол \( \dfrac{5\pi}{6} \) лежит во второй четверти, там синус положителен. По формуле приведения \( \sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} \). Табличное значение \( \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \). Ответ: A. ## Задача 241 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数是偶函数的是： English: Which of the following functions is even? Русский: Какая из следующих функций является чётной? A. \(f(x) = 2x^2 + \cos x\) B. \(f(x) = x + 3x^2\) C. \(f(x) = \sqrt{x}\) D. \(f(x) = x^2 - \sin x\) Ответ: A Решение: Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) при симметричной области определения. В варианте A \(f(-x)=2x^2+\cos(-x)=2x^2+\cos x=f(x)\), функция чётная. В B слагаемое \(x\) меняет знак, в D слагаемое \(-\sin x\) меняет знак, функции не чётные. В C область определения \(x\geq 0\) не симметрична относительно нуля. Ответ: A. ## Задача 242 (Координаты и расстояния) 中文: 若点 \((a,b)\) 在第二象限，则点 \((b,a)\) 在第几象限？ English: If point \((a,b)\) is in the second quadrant, in which quadrant is point \((b,a)\)? Русский: Если точка \((a,b)\) находится во второй четверти, то в какой четверти находится точка \((b,a)\)? A. The first quadrant / 第一象限 / Первая четверть B. The second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть C. The third quadrant / 第三象限 / Третья четверть D. The fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть Ответ: D Решение: Во второй четверти абсцисса отрицательна, ордината положительна, значит \(a<0\), \(b>0\). У точки \((b,a)\) абсцисса \(b>0\), ордината \(a<0\). Положительная абсцисса и отрицательная ордината соответствуют четвёртой четверти. Ответ: D. ## Задача 243 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 设函数 \(y = 1-x^3\)，则其反函数为： English: Given function \(y = 1 - x^3\), its inverse function is: Русский: Дана функция \(y = 1 - x^3\), её обратная функция: A. \(y = \sqrt[3]{1-x}\) B. \(y = \sqrt[3]{x-1}\) C. \(y = \sqrt[3]{1+x}\) D. \(y = \sqrt{1-x}\) Ответ: A Решение: Выражаем \(x\) через \(y\): \(x^3=1-y\), откуда \(x=\sqrt[3]{1-y}\). Меняем местами переменные: \(y=\sqrt[3]{1-x}\). Кубический корень определён при всех \(x\), ограничений нет. Ответ: A. ## Задача 244 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数在 \((0,+\infty)\) 上是减函数的是： English: Which function is decreasing on \((0,+\infty)\)? Русский: Какая из функций убывает на \((0,+\infty)\)? A. \(y = 3x\) B. \(y = x^2\) C. \(y = x^3\) D. \(y = \dfrac{1}{x}\) Ответ: D Решение: Функции \(y=3x\), \(y=x^2\) и \(y=x^3\) возрастают на \((0,+\infty)\). Для \(y=\dfrac{1}{x}\): если \(0\dfrac{1}{x_2}\). Значит, функция убывает на \((0,+\infty)\). Ответ: D. ## Задача 245 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 分式不等式 \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) 的解集为： English: The solution set of the fractional inequality \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) is: Русский: Множество решений дробного неравенства \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\): A. \(\{x\mid 12\}\) / \(\{x\mid x<1 \text{ 或 } x>2\}\) / \(\{x\mid x<1 \text{ или } x>2\}\) Ответ: A Решение: Нули числителя и знаменателя: \(2x-4=0\) при \(x=2\), \(x-1=0\) при \(x=1\). Методом интервалов дробь неположительна на \((1,2]\). Точка \(x=1\) исключена, так как знаменатель обращается в нуль. Точка \(x=2\) входит, так как неравенство нестрогое. Ответ: A. ## Задача 246 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知 \(a=\sqrt{2}+1\)，\(b=\sqrt{2}-1\)，则 a 和 b 的等比中项为： English: Given \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), the geometric mean of a and b is: Русский: Даны \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), среднее геометрическое a и b равно: A. \(\pm 1\) B. \(1\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(-1\) Ответ: A Решение: Среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\pm\sqrt{ab}\). Вычислим произведение: \(ab = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2 - 1 = 1\). Тогда \(\pm\sqrt{ab} = \pm\sqrt{1} = \pm 1\). Ответ: A. ## Задача 247 (Геометрическая прогрессия) 中文: 设 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=3\)，公比 \(q=2\)，求 \(a_4\)。 English: Let \(\{a_n\}\) be a geometric sequence with \(a_1=3\) and common ratio \(q=2\). Find \(a_4\). Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия, \(a_1=3\), знаменатель \(q=2\). Найдите \(a_4\). A. \(9\) B. \(12\) C. \(24\) D. \(48\) Ответ: C Решение: Формула общего члена геометрической прогрессии \( a_n = a_1 q^{n-1} \). Подставляем \( a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24 \). Ответ: C. ## Задача 248 (Прямая) 中文: 经过点 \(A(-1,1)\)，\(B(2,3)\) 的直线的斜率为： English: The slope of the line passing through the points \(A(-1,1)\) and \(B(2,3)\) is: Русский: Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\), равен: A. \(\dfrac{3}{2}\) B. \(-\dfrac{3}{2}\) C. \(\dfrac{2}{3}\) D. \(-\dfrac{2}{3}\) Ответ: C Решение: Угловой коэффициент прямой через две точки \( k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Подставляем координаты \( k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)} = \dfrac{2}{3} \). Ответ: C. ## Задача 249 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知角 \(\alpha\) 的终边经过点 \(M(2,4)\)，则 \(\tan\alpha=\) English: Given that the terminal side of the angle \(\alpha\) passes through the point \(M(2,4)\), then \(\tan\alpha=\) Русский: Известно, что конечная сторона угла \(\alpha\) проходит через точку \(M(2,4)\). Тогда \(\tan\alpha=\) A. \(2\) B. \(-2\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(-\dfrac{1}{2}\) Ответ: A Решение: Для точки \( M(x, y) \) на терминальной стороне угла \( \tan\alpha = \dfrac{y}{x} \). Подставляем координаты точки \( M(2, 4) \): \( \tan\alpha = \dfrac{4}{2} = 2 \). Ответ: A. ## Задача 250 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，则 \(a_5=\) English: If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence with \(a_1=1\) and \(a_2=3\), then \(a_5=\) Русский: Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_1=1\), \(a_2=3\), то \(a_5=\) A. \(9\) B. \(11\) C. \(5\) D. \(7\) Ответ: A Решение: Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \). Формула общего члена \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Подставляем \( a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9 \). Ответ: A. ## Задача 251 (Координаты и расстояния) 中文: 已知点 \(A(-1,2)\)，\(B(3,-1)\)，则 \(|AB|\) = English: Given points \(A(-1,2)\), \(B(3,-1)\), the distance \(|AB|\) between them is: Русский: Даны точки \(A(-1,2)\), \(B(3,-1)\). Найдите расстояние \(|AB|\) между ними: A. \(\sqrt{5}\) B. \(25\) C. \(5\) D. \(4\) Ответ: C Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле \(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Подставляем координаты: \(|AB| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2}\). Вычисляем разности: \(3 - (-1) = 4\), \(-1 - 2 = -3\). Возводим в квадрат и складываем: \(4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25\). Извлекаем корень: \(|AB| = \sqrt{25} = 5\). Ответ: C. ## Задача 252 (Прямая) 中文: 过点 \(M(-2,3)\)，斜率 \(k=2\) 的直线方程是： English: The equation of the line passing through the point \(M(-2,3)\) with slope \(k=2\) is: Русский: Уравнение прямой, проходящей через точку \(M(-2,3)\) с угловым коэффициентом \(k=2\), имеет вид: A. \(y=x+7\) B. \(y=2x-1\) C. \(y=2x+7\) D. \(y=x+5\) Ответ: C Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\). Подставляем \(x_0 = -2\), \(y_0 = 3\), \(k = 2\): \(y - 3 = 2(x + 2)\). Раскрываем скобки: \(y - 3 = 2x + 4\). Выражаем \(y\): \(y = 2x + 7\). Варианты A и D имеют неверный угловой коэффициент, вариант B не проходит через заданную точку. Ответ: C. ## Задача 253 (Окружность) 中文: 若圆过点 \(A(2,2)\)，圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为 English: If a circle passes through \(A(2,2)\) with center \((2,0)\), its equation is Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то её уравнение A. \((x-2)^2+y^2=2\) B. \(x^2+(y-2)^2=2\) C. \((x-2)^2+(y-2)^2=4\) D. \((x-2)^2+y^2=4\) Ответ: D Решение: Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\). Радиус равен расстоянию от центра до точки \(A(2, 2)\): \(R = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\). Квадрат радиуса \(R^2 = 4\). Уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\). Ответ: D. ## Задача 254 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 若 \(\tan\alpha=2\)，则 \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\) English: If \(\tan\alpha=2\), then \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\) Русский: Если \(\tan\alpha=2\), то \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\) A. \(\dfrac{8}{5}\) B. \(\dfrac{3}{5}\) C. \(-\dfrac{8}{5}\) D. \(\dfrac{5}{3}\) Ответ: A Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\). Получим выражение \(\dfrac{3\tan\alpha + 2}{4\tan\alpha - 3}\). Подставим \(\tan\alpha = 2\): \(\dfrac{3 \cdot 2 + 2}{4 \cdot 2 - 3} = \dfrac{6 + 2}{8 - 3}\). Вычисляем значение дроби: \(\dfrac{8}{5}\). Ответ: A. ## Задача 255 (Геометрическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\)，则通项 \(a_n=\) English: If sequence \(\{a_n\}\) is \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), then the general term \(a_n=\) Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), то её общий член \(a_n=\) A. \((-1)^n \cdot \dfrac{1}{2^n}\) B. \(\dfrac{1}{2^n}\) C. \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\) D. \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\) Ответ: C Решение: Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\). Знаменатель прогрессии \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\). Формула общего члена: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\). Перепишем это как \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\). При \(n=1\) получаем \(\dfrac{1}{2}\), при \(n=2\) получаем \(-\dfrac{1}{4}\), что совпадает с условием. Ответ: C. ## Задача 256 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 若 \(a, b, c\) 为有理数，且 \(a>b>c\)，则下列式子中正确的是 English: If \(a, b, c\) are rational numbers and \(a>b>c\), which inequality is correct? Русский: Если \(a, b, c\) — рациональные числа и \(a>b>c\), то какое из неравенств верно? A. \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}\) B. \(a+b>b+c\) C. \(a-b>b-c\) D. \(ab>bc\) Ответ: B Решение: Проверим вариант B: из условия \(a > c\) прибавляем к обеим частям \(b\), получаем \(a + b > b + c\), что верно всегда. Вариант A неверен, так как при отрицательном \(c\) знак неравенства меняется на противоположный. Вариант C эквивалентен \(a + c > 2b\), что не гарантировано условием \(a > b > c\). Вариант D неверен, так как при отрицательном \(b\) умножение на него меняет знак неравенства. Ответ: B. ## Задача 257 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 关于幂函数 \(y=x^3\) 和 \(y=x^{1/3}\)，下列结论中正确的是 English: Regarding power functions \(y=x^3\) and \(y=x^{1/3}\), which conclusion is correct? Русский: Относительно степенных функций \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) какое из утверждений верно? A. Graphs are symmetric with respect to the \(x\)-axis / 两函数的图像关于 \(x\) 轴对称 / Графики функций симметричны относительно оси \(x\) B. Graphs are symmetric with respect to the line \(y=x\) / 两函数的图像关于直线 \(y=x\) 对称 / Графики функций симметричны относительно прямой \(y=x\) C. Graphs are symmetric with respect to the \(y\)-axis / 两函数的图像关于 \(y\) 轴对称 / Графики функций симметричны относительно оси \(y\) D. Graphs are symmetric with respect to the origin / 两函数的图像关于原点对称 / Графики функций симметричны относительно начала координат Ответ: B Решение: Функции \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) являются взаимно обратными. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y=x\). Ответ: B. ## Задача 258 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则 \(\cos 2\alpha=\) English: If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos 2\alpha=\) Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos 2\alpha=\) A. \(4\sqrt{2}\) B. \(\dfrac{7}{9}\) C. \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\) D. \(-\dfrac{7}{9}\) Ответ: D Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\). Подставляем значение косинуса: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - 1\). Вычисляем: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = \dfrac{2}{9} - \dfrac{9}{9} = -\dfrac{7}{9}\). Ответ: D. ## Задача 259 (Прямая) 中文: 直线 \(3x+2y+4=0\) 与 \(x-y+3=0\) 的交点坐标为： English: The intersection point of the lines \(3x+2y+4=0\) and \(x-y+3=0\) is: Русский: Координаты точки пересечения прямых \(3x+2y+4=0\) и \(x-y+3=0\) равны: A. \((1,-2)\) B. \((2,5)\) C. \((-2,1)\) D. \((5,2)\) Ответ: C Решение: Из второго уравнения выражаем \(y = x + 3\). Подставляем в первое уравнение: \(3x + 2(x + 3) + 4 = 0\). Раскрываем скобки: \(3x + 2x + 6 + 4 = 0\), откуда \(5x = -10\) и \(x = -2\). Находим \(y = -2 + 3 = 1\), точка пересечения \((-2, 1)\). Ответ: C. ## Задача 260 (Гипербола) 中文: 双曲线 \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点坐标是： English: The coordinates of the foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are: Русский: Координаты фокусов гиперболы \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны: A. \((0,4)\) B. \((4,0)\) C. \((0,\pm 4)\) D. \((\pm 4,0)\) Ответ: D Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a^2 = 7\) и \(b^2 = 9\). Фокусы лежат на оси абсцисс, так как положительный член содержит \(x\). Вычисляем \(c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16\), откуда \(c = 4\). Координаты фокусов: \((\pm 4, 0)\). Ответ: D. ## Задача 261 (Степенные и квадратичные функции) 中文: 下列不等式正确的是： English: Which of the following inequalities is correct? Русский: Какое из следующих неравенств верно? A. \(2.1^3 > 1.2^3\) B. \(2.1^{-2} > 1.2^{-2}\) C. \(0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}\) D. \(3^{2.25} > 3^3\) Ответ: A Решение: Степенная функция \(y = x^3\) возрастает при \(x > 0\). Так как \(2.1 > 1.2\), то \(2.1^3 > 1.2^3\), вариант A верен. В варианте B функция \(y = x^{-2}\) убывает при \(x > 0\), поэтому \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\). В варианте C показательная функция с основанием \(0.75 < 1\) убывает, а \(-0.2 > -0.4\), значит \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\). В варианте D основание \(3 > 1\), функция возрастает, но \(2.25 < 3\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\). Ответ: A. ## Задача 262 (Логарифмы) 中文: 计算 \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\) English: Calculate \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\) Русский: Вычислите \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\) A. \(\dfrac{3}{2}\) B. \(-\dfrac{3}{2}\) C. \(-\dfrac{2}{3}\) D. \(\dfrac{2}{3}\) Ответ: A Решение: По формуле смены основания \(\log_4 27=\dfrac{\log_2 27}{\log_2 4}\). \(\log_2 27=\log_2 3^3=3\log_2 3\), а \(\log_2 4=2\). Тогда \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\dfrac{3\log_2 3}{2\log_2 3}=\dfrac{3}{2}\). Ответ: A. ## Задача 263 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于余弦函数 \(y=\cos x\)，以下结论中正确的是： English: Regarding the cosine function \(y=\cos x\), which of the following conclusions is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно? A. It is a periodic function / 该函数为周期函数 / Эта функция является периодической B. It is a decreasing function / 该函数为减函数 / Эта функция является убывающей C. It is an increasing function / 该函数为增函数 / Эта функция является возрастающей D. It is an odd function / 该函数为奇函数 / Эта функция является нечётной Ответ: A Решение: \(y=\cos x\) периодична с периодом \(2\pi\), поэтому A верно. Она не монотонна на всей числовой прямой: убывает на \([2k\pi,\pi+2k\pi]\) и возрастает на \([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\), значит B и C неверны. \(\cos(-x)=\cos x\), функция чётная, а не нечётная, D неверно. Ответ: A. ## Задача 264 (Парабола) 中文: 顶点在原点，焦点为 \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) 的抛物线的标准方程为： English: The standard equation of the parabola with vertex at the origin and focus \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) is: Русский: Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) имеет вид: A. \(y^2 = \dfrac{3}{2}x\) B. \(y^2 = 3x\) C. \(y^2 = 6x\) D. \(y^2 = -6x\) Ответ: C Решение: Вершина в начале координат и фокус \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) на оси \(x\), значит ветви вправо и уравнение имеет вид \(y^2=2px\). Фокус такой параболы: \(\left(\dfrac{p}{2},0\right)\), поэтому \(\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}\), то есть \(p=3\). Подставляем: \(y^2=2\cdot 3\,x=6x\). Ответ: C. ## Задача 265 (Координаты и расстояния) 中文: 点\(P(1,3)\)到点\(Q(3,-1)\)的距离是： English: The distance from point \(P(1,3)\) to point \(Q(3,-1)\) is: Русский: Расстояние от точки \(P(1,3)\) до точки \(Q(3,-1)\) равно: A. \(\sqrt{5}\) B. \(2\sqrt{5}\) C. \(\sqrt{17}\) D. \(2\) Ответ: B Решение: По формуле расстояния \(PQ=\sqrt{(3-1)^2+(-1-3)^2}\). Считаем разности: \(3-1=2\), \(-1-3=-4\). \(PQ=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). Ответ: B. ## Задача 266 (Прямая) 中文: 已知直线\(l_1\)：\(ax+2y-1=0\)与\(l_2\)：\(x+(a+1)y+4=0\)平行，则\(a=\) English: Given lines \(l_1\): \(ax+2y-1=0\) and \(l_2\): \(x+(a+1)y+4=0\) are parallel, then \(a=\) Русский: Даны прямые \(l_1\): \(ax+2y-1=0\) и \(l_2\): \(x+(a+1)y+4=0\), параллельные друг другу, тогда \(a=\) A. \(1\) B. \(a=-2\) или \(a=1\) C. \(a=-2\) D. \(a=2\) или \(a=-1\) Ответ: B Решение: Прямые \(a_1x+b_1y+c_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2=0\) параллельны, когда \(a_1b_2=a_2b_1\). Здесь \(a(a+1)=1\cdot 2\), то есть \(a^2+a-2=0\). Корни: \(a=1\) или \(a=-2\). Проверка на совпадение: при \(a=1\) прямые \(x+2y-1=0\) и \(x+2y+4=0\) различны, при \(a=-2\) прямые \(-2x+2y-1=0\) и \(x-y+4=0\) также различны, оба значения подходят. Ответ: B. ## Задача 267 (Окружность) 中文: 若圆的圆心坐标是\((-3,2)\)，半径是4，则圆的方程是： English: If a circle has center \((-3,2)\) and radius 4, its equation is: Русский: Если центр окружности находится в точке \((-3,2)\), а радиус равен 4, то уравнение окружности имеет вид: A. \((x-3)^2+(y+2)^2=4\) B. \((x-3)^2+(y+2)^2=16\) C. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\) D. \((x+3)^2+(y-2)^2=16\) Ответ: D Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a,b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Подставляем центр \((-3,2)\) и радиус \(4\): \((x-(-3))^2+(y-2)^2=4^2\). Получаем \((x+3)^2+(y-2)^2=16\). Варианты A и B имеют неверные знаки при координатах центра. Вариант C содержит \(4\) вместо \(16\) в правой части. Ответ: D. ## Задача 268 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知\(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\)，且\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则\(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\) English: Given \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\) Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), причём \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\) A. \(-\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\) B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\) C. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\) D. \(\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\) Ответ: C Решение: Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\). Находим \(\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}\). Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}\). Подставляем значения: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}\). Ответ: C. ## Задача 269 (Область определения и значений) 中文: 下列各对函数中，两函数相同的是： English: Which pair of functions are identical? Русский: Какая из следующих пар функций является тождественно равной? A. \(y=\ln x^2\) and \(y=2\ln x\) / \(y=\ln x^2\)与\(y=2\ln x\) / \(y=\ln x^2\) и \(y=2\ln x\) B. \(y=|x-1|\) and \(y=\sqrt{(x-1)^2}\) / \(y=|x-1|\)与\(y=\sqrt{(x-1)^2}\) / \(y=|x-1|\) и \(y=\sqrt{(x-1)^2}\) C. \(y=x^2+1\) and \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) / \(y=x^2+1\)与\(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) / \(y=x^2+1\) и \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) D. \(y=\ln[x(x-1)]\) and \(y=\ln x+\ln(x-1)\) / \(y=\ln[x(x-1)]\)与\(y=\ln x+\ln(x-1)\) / \(y=\ln[x(x-1)]\) и \(y=\ln x+\ln(x-1)\) Ответ: B Решение: Две функции тождественно равны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений. В варианте A область определения первой функции все \(x\neq 0\), а второй только \(x>0\). В варианте B обе функции определены на всей числовой прямой, и по свойству модуля \(|x-1|=\sqrt{(x-1)^2}\) для любого \(x\). В варианте C вторая функция не определена при \(x=\pm 1\), а первая определена везде. В варианте D области определения различаются: первая требует \(x(x-1)>0\), вторая \(x>0\) и \(x-1>0\). Ответ: B. ## Задача 270 (Двойной и половинный угол) 中文: 已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，且\(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则\(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\) English: Given \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), then \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\) Русский: Дано \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), причём \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тогда \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\) A. \(\dfrac{3}{5}\) B. \(\dfrac{4}{3}\) C. \(\dfrac{3}{4}\) D. \(\dfrac{4}{5}\) Ответ: C Решение: По формуле двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\). Подставляем в дробь: \(\dfrac{2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\tan\alpha\). Выражение принимает вид \(2\tan\alpha - \tan\alpha = \tan\alpha\). Так как \(\alpha\) в первой четверти и \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), то \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\). Находим \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\). Ответ: C. ## Задача 271 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 下列各式中正确的是： English: Which of the following equations is correct? Русский: Какое из следующих равенств верно? A. \(\sin(\alpha+4\pi)=\cos\alpha\) B. \(\sin(\alpha+3\pi)=\sin\alpha\) C. \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\) D. \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\) Ответ: C Решение: Функция синус имеет период \(2\pi\), поэтому \(\sin(\alpha+4\pi)=\sin\alpha\), вариант A неверен. Прибавление \(3\pi\) равносильно прибавлению \(\pi\) с точностью до периода, значит \(\sin(\alpha+3\pi)=-\sin\alpha\), вариант B неверен. По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\), вариант C верен. По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha\), вариант D неверен. Ответ: C. ## Задача 272 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于正切函数 \(y=\tan x\)，下列说法不正确的是： English: Regarding the tangent function \(y=\tan x\), which statement is incorrect? Русский: Какое утверждение о функции \(y=\tan x\) неверно? A. The range is \(\mathbb{R}\) / 值域为 \(\mathbb{R}\) / Область значений — \(\mathbb{R}\) B. It is an odd function / 是奇函数 / Она является нечётной функцией C. It is periodic, and its smallest positive period is \(\pi\) / 是周期函数，且最小正周期为 \(\pi\) / Она периодическая, и её наименьший положительный период равен \(\pi\) D. The domain is \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) / 定义域为 \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) / Область определения — \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) Ответ: D Решение: Область значений функции \(y=\tan x\) есть все действительные числа \(\mathbb{R}\), утверждение A верно. Функция нечётная, так как \(\tan(-x)=-\tan x\), утверждение B верно. Наименьший положительный период равен \(\pi\), утверждение C верно. Область определения состоит из всех \(x\), для которых \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\). В варианте D указана область определения для котангенса, а не для тангенса, поэтому это утверждение неверно. Ответ: D. ## Задача 273 (Двойной и половинный угол) 中文: 已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是： English: Given \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) = Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) = A. \(-\dfrac{1}{2}\) B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Ответ: D Решение: Из условия \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) находим \(\alpha = \dfrac{2\pi}{3}\). Тогда \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{3}\). Вычисляем \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ответ: D. ## Задача 274 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，且 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)（\(n=1,2,\ldots\)），则 \(a_5\) = English: If in the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\), \(a_2=3\), and \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), then \(a_5\) = Русский: Если в последовательности \(\{a_n\}\) \(a_1=1\), \(a_2=3\) и \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), то \(a_5\) = A. \(7\) B. \(-7\) C. \(11\) D. \(-11\) Ответ: C Решение: Последовательно вычисляем члены последовательности по рекуррентной формуле \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\). \(a_3=a_2+a_1=3+1=4\). \(a_4=a_3+a_2=4+3=7\). \(a_5=a_4+a_3=7+4=11\). Ответ: C. ## Задача 275 (Парабола) 中文: 抛物线的顶点在原点，准线为 \(x=\dfrac{1}{4}\)，求抛物线方程。 English: A parabola has its vertex at the origin and directrix \(x=\dfrac{1}{4}\). Find the equation of the parabola. Русский: Вершина параболы находится в начале координат, а директриса задана уравнением \(x=\dfrac{1}{4}\). Найдите уравнение параболы. A. \(y^2=x\) B. \(y^2=-x\) C. \(y^2=4x\) D. \(y^2=-4x\) Ответ: B Решение: Директриса параболы с вершиной в начале координат имеет вид \(x=-\dfrac{p}{2}\) для уравнения \(y^2=2px\). По условию директриса \(x=\dfrac{1}{4}\), следовательно \(-\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4}\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\). Подставляем в каноническое уравнение: \(y^2=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x=-x\). Ответ: B. ## Задача 276 (Логарифмы) 中文: 已知 \(a=\ln 3\)，\(b=\log_{0.3}2\)，\(c=\log_3 2\)，则 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的大小关系是： English: Given \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\), then the order of \(a\), \(b\), \(c\) is: Русский: Дано \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\). Тогда порядок величин \(a\), \(b\), \(c\): A. \(a e\), то \(a = \ln 3 > \ln e = 1\). Основание логарифма в \(b = \log_{0.3} 2\) меньше единицы, а аргумент больше единицы, поэтому \(b < 0\). Для \(c = \log_3 2\) основание больше единицы и \(1 < 2 < 3\), значит \(0 < c < 1\). Собираем вместе: \(b < 0 < c < 1 < a\), то есть \(b < c < a\). Ответ: D. ## Задача 277 (Эллипс) 中文: 已知椭圆的中心在原点，其长轴是短轴的2倍，且过点 \(P(-2,0)\)，则该椭圆的方程为： English: An ellipse is centered at the origin, its major axis is twice its minor axis, and it passes through the point \(P(-2,0)\). Then its equation is: Русский: Эллипс имеет центр в начале координат, его большая ось в 2 раза больше малой оси, и он проходит через точку \(P(-2,0)\). Тогда его уравнение имеет вид: A. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) or \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) 或 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) B. \(x^2+\dfrac{y^2}{4}=1\) C. \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) or \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 或 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) D. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) Ответ: C Решение: Эллипс проходит через \(P(-2,0)\), значит вершина на оси \(x\) равна \(2\), то есть \(a=2\) или \(b=2\). Большая ось вдвое больше малой, поэтому полуоси равны \(2\) и \(4\). Если большая ось по \(x\): \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\), но точка \((-2,0)\) не лежит на нём как вершина большой оси, проверка: \(\dfrac{4}{16}+0=\dfrac{1}{4}\neq 1\), не подходит. Значит полуось по \(x\) равна \(2\): \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b=1\) или \(b=4\). Получаем \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\). Ответ: C. ## Задача 278 (Векторы) 中文: 设向量 \(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-1)\)，则 \(3\vec{a}-\vec{b}=\) English: Given vectors \(\vec{a}=(-1,2)\) and \(\vec{b}=(3,-1)\), then \(3\vec{a}-\vec{b}=\) Русский: Даны векторы \(\vec{a}=(-1,2)\) и \(\vec{b}=(3,-1)\). Тогда \(3\vec{a}-\vec{b}=\) A. \((0,-3)\) B. \((0,5)\) C. \((-6,5)\) D. \((-6,7)\) Ответ: D Решение: \(3\vec{a}=3(-1,2)=(-3,6)\). \(3\vec{a}-\vec{b}=(-3,6)-(3,-1)=(-3-3,\,6-(-1))=(-6,7)\). Ответ: D. ## Задача 279 (Прямая) 中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1: x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_2: x+y+1=0\) 与 \(l_3: 2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为： English: Line \(l\) is perpendicular to line \(l_1: x+2y+4=0\) and passes through the intersection of lines \(l_2: x+y+1=0\) and \(l_3: 2x+y-1=0\). Then the equation of \(l\) is: Русский: Прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1: x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2: x+y+1=0\) и \(l_3: 2x+y-1=0\). Тогда уравнение прямой \(l\) имеет вид: A. \(2x-y-7=0\) B. \(x+2y-3=0\) C. \(2x+y-5=0\) D. \(x-2y-1=0\) Ответ: A Решение: Находим пересечение \(l_2\) и \(l_3\): вычитаем \(x+y+1=0\) из \(2x+y-1=0\), получаем \(x-2=0\), \(x=2\), тогда \(y=-3\). Прямая \(l_1: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), перпендикулярная ей прямая имеет коэффициент \(2\). Уравнение \(l\): \(y+3=2(x-2)\), то есть \(2x-y-7=0\). Ответ: A. ## Задача 280 (Комплексные числа) 中文: 已知复数 \(z\) 满足 \(|z|=1\)，则 \(|2z+1|\) 的最大值为： English: Given a complex number \(z\) with \(|z|=1\), the maximum value of \(|2z+1|\) is: Русский: Дано комплексное число \(z\), для которого \(|z|=1\). Тогда наибольшее значение \(|2z+1|\) равно: A. \(2\) B. \(1\) C. \(\dfrac{5}{2}\) D. \(3\) Ответ: D Решение: По неравенству треугольника \( |2z+1| \le |2z| + |1| = 2|z| + 1 \). Подставляем \( |z|=1 \): \( |2z+1| \le 2 \cdot 1 + 1 = 3 \). Равенство достигается, когда \( 2z \) и \( 1 \) имеют одинаковый аргумент, то есть при \( z=1 \). Проверка: \( |2(1)+1| = |3| = 3 \). Ответ: D. ## Задача 281 (Геометрическая прогрессия) 中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，若 \(S_2=4\)，\(S_4=20\)，则 \(S_8=\) English: Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\). If \(S_2=4\) and \(S_4=20\), then \(S_8=\) Русский: Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\). Если \(S_2=4\) и \(S_4=20\), то \(S_8=\) A. \(160\) B. \(340\) C. \(180\) D. \(210\) Ответ: B Решение: Для геометрической прогрессии \( S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1+q^2) \). Подставляем значения: \( 20 = 4(1+q^2) \), откуда \( q^2 = 4 \). Аналогично \( S_8 = S_4 + q^4 S_4 = S_4(1+q^4) \). Так как \( q^4 = (q^2)^2 = 16 \), получаем \( S_8 = 20(1+16) = 20 \cdot 17 = 340 \). Ответ: B. ## Задача 282 (Классическая вероятность) 中文: 有6个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，6。不放回地逐个随机取出3个球。设 \(m\) 为前两次取出球的号码的平均值，\(n\) 为三次取出球的号码的平均值，则 \(|m-n|\) 不超过 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率为： English: There are 6 identical balls labeled with the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6. Three balls are drawn at random one at a time without replacement. Let \(m\) be the average of the numbers on the first two balls drawn, and \(n\) be the average of the numbers on all three balls drawn. Then the probability that \(|m-n|\) does not exceed \(\dfrac{1}{2}\) is: Русский: Имеется 6 одинаковых шаров, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайным образом по одному без возвращения вынимают 3 шара. Пусть \(m\) — среднее арифметическое номеров первых двух вынутых шаров, а \(n\) — среднее арифметическое номеров всех трёх вынутых шаров. Тогда вероятность того, что \(|m-n|\) не превосходит \(\dfrac{1}{2}\), равна: A. \(\dfrac{13}{30}\) B. \(\dfrac{3}{10}\) C. \(\dfrac{8}{15}\) D. \(\dfrac{7}{15}\) Ответ: D Решение: Пусть \(a,b,c\) — числа на шарах по порядку: \(m=\dfrac{a+b}{2}\), \(n=\dfrac{a+b+c}{3}\), \(m-n=\dfrac{a+b-2c}{6}\). Условие \(|m-n|\le\dfrac{1}{2}\) равносильно \(|a+b-2c|\le 3\). Всего упорядоченных троек \(6\cdot 5\cdot 4=120\). Пар \(\{a,b\}\) для каждого \(c\): при \(c=1\) одна, \(c=2\) пять, \(c=3\) восемь, \(c=4\) восемь, \(c=5\) пять, \(c=6\) одна; всего 28 пар, то есть 56 упорядоченных троек. \(P=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}\). Ответ: D. ## Задача 283 (Множества) 中文: 下列各项中，能组成集合的是： English: Which of the following objects can form a set? Русский: Какой из следующих объектов может образовывать множество? A. All real numbers very close to \(0\) / 所有非常接近 \(0\) 的实数 / Все действительные числа, очень близкие к \(0\) B. All Year 10 students at Peking University Affiliated Middle School Yunnan Experimental School during the second semester of the academic year / 北大附中云南实验学校高一年级本学期在校的所有学生 / Все учащиеся первого года старшей школы Юньнаньской экспериментальной школы при Пекинском университете в текущем семестре C. Year 10 pupils with relatively good eyesight / 高一年级视力比较好的同学 / Учащиеся первого года старшей школы с относительно хорошим зрением D. Highly talented teachers in Year 10 / 高一年级中非常有才华的老师 / Очень талантливые учителя первого года старшей школы Ответ: B Решение: Множество должно иметь чёткий критерий принадлежности элементов. Варианты A, C и D содержат неопределённые слова «очень близко», «относительно хорошее», «высоко талантливые», которые не задают точного условия. Вариант B однозначно определяет конечный список конкретных учеников определённой школы, класса и семестра. Ответ: B. ## Задача 284 (Множества) 中文: 设 \(A\) 是一个集合，则下列结论正确的是： English: Let \(A\) denote a set. Then which of the following is correct? Русский: Пусть \(A\) — множество. Тогда какое из следующих утверждений верно? Ошибка в источнике: варианты C и D одинаковые. A. \(\emptyset \in A\) B. \(\emptyset \subseteq A\) C. \(\emptyset \supseteq A\) D. \(\emptyset \supseteq A\) Ответ: B Решение: Пустое множество является подмножеством любого множества по определению. Запись \(\emptyset \subseteq A\) верна для произвольного множества \(A\). Вариант A неверен, так как пустое множество не обязано быть элементом \(A\). Варианты C и D неверны, так как пустое множество не может содержать непустое множество. Ответ: B. ## Задача 285 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 若 \(a > 0\) 且 \(b < 0\)，则 \(a+b\) 与 \(a-b\) 的大小关系为： English: If \(a > 0\) and \(b < 0\), then the relationship between the values of \(a+b\) and \(a-b\) is: Русский: Если \(a > 0\) и \(b < 0\), то соотношение между значениями \(a+b\) и \(a-b\) таково: A. \(a+b > a-b\) B. \(a+b = a-b\) C. \(a+b < a-b\) D. Cannot be determined / 无法确定 / Невозможно определить Ответ: C Решение: Вычислим разность \((a+b)-(a-b)=2b\). По условию \(b<0\), поэтому \(2b<0\). Следовательно, \(a+b 0\) 时，\(f(x) = x^2 + x + b\)（其中 \(b\) 为常数且 \(b=1\)）。则 \(f(-1) =\)： English: Given the odd function \(f(x)\), when \(x > 0\), \(f(x) = x^2 + x + b\) (where \(b\) is a constant and \(b=1\)). Then \(f(-1) =\): Русский: Дана нечётная функция \(f(x)\), при \(x > 0\) \(f(x) = x^2 + x + b\) (где \(b\) — константа и \(b=1\)). Тогда \(f(-1) =\): A. \(1\) B. \(2\) C. \(-3\) D. \(3\) Ответ: C Решение: Функция \(f(x)\) нечётная, значит \(f(-1)=-f(1)\). При \(x>0\) задано \(f(x)=x^2+x+1\), так как \(b=1\). Находим \(f(1)=1^2+1+1=3\). Тогда \(f(-1)=-3\). Ответ: C. ## Задача 287 (Область определения и значений) 中文: 已知 \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\)，则 \(f(3) =\)： English: Given that \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\), then \(f(3) =\): Русский: Дано, что \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\), тогда \(f(3) =\): A. \(15\) B. \(35\) C. \(26\) D. \(29\) Ответ: A Решение: Чтобы найти \(f(3)\), нужно подобрать \(x\) так, чтобы \(x+1=3\), откуда \(x=2\). Подставляем \(x=2\) в выражение \(f(x+1)=x^2+4x+3\). Получаем \(f(3)=2^2+4\cdot 2+3=4+8+3=15\). Ответ: A. ## Задача 288 (Производная) 中文: 已知函数 \(f(x) = x^3 - x\)，则 \(f'(1)\) 等于： English: Given the function \(f(x) = x^3 - x\), then \(f'(1)\) equals: Русский: Дана функция \(f(x) = x^3 - x\), тогда \(f'(1)\) равно: Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны. A. \(4\) B. \(2\) C. \(0\) D. \(2\) Ответ: D Решение: \(f'(x)=3x^2-1\). \(f'(1)=3-1=2\). Значение \(2\) стоит и в варианте B, и в варианте D; в ключе источника D. Ответ: D. ## Задача 289 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) 的值是： English: The value of \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) is: Русский: Значение выражения \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) равно: Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный A. A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\dfrac{1}{2}\) C. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) Ответ: A Решение: По формуле синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\). \(\sin(75^\circ-15^\circ)=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ответ: A. ## Задача 290 (Геометрическая прогрессия) 中文: 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1 = 2\) 且 \(a_3 = 8\)，则 \(a_4 =\)： English: In the geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1 = 2\) and \(a_3 = 8\), then \(a_4 =\): Русский: В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1 = 2\) и \(a_3 = 8\), то \(a_4 =\): A. \(6\) B. \(8\) C. \(12\) D. \(16\) Ответ: D Решение: В геометрической прогрессии \(a_3 = a_1 \cdot q^2\), откуда \(8 = 2 \cdot q^2\) и \(q^2 = 4\). Знаменатель прогрессии \(q = 2\) или \(q = -2\). Четвёртый член равен \(a_4 = a_3 \cdot q = 8q\), то есть \(16\) или \(-16\). Среди предложенных вариантов только \(16\) присутствует, вариант \(-16\) отсутствует. Ответ: D. ## Задача 291 (Арифметическая прогрессия) 中文: 下列数列中，不属于等差数列的是： English: Which of the following sequences is not an arithmetic sequence? Русский: Какая из следующих последовательностей не является арифметической прогрессией? A. \(0,\ 0,\ 0,\ \ldots,\ 0,\ \ldots\) B. \(-2,\ -1,\ 0,\ \ldots,\ n-3,\ \ldots\) C. \(1,\ 3,\ 5,\ \ldots,\ 2n-1,\ \ldots\) D. \(0,\ 1,\ 3,\ \ldots,\ \dfrac{n(n-1)}{2},\ \ldots\) Ответ: D Решение: Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между соседними членами. В варианте A все члены равны нулю, разность \(d = 0\), это арифметическая прогрессия. В варианте B разность \(d = 1\), общий член \(n - 3\), это арифметическая прогрессия. В варианте C разность \(d = 2\), общий член \(2n - 1\), это арифметическая прогрессия. В варианте D члены: \(0, 1, 3, 6, \ldots\), разности равны \(1, 2, 3, \ldots\) и не постоянны. Ответ: D. ## Задача 292 (Прямая) 中文: 如图所示，设直线 \(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\) 的斜率分别为 \(k_1\)、\(k_2\)、\(k_3\)。则 \(k_1\)、\(k_2\) 和 \(k_3\) 的大小关系为： English: As shown in the figure, let the slopes of the lines \(l_1\), \(l_2\), and \(l_3\) be \(k_1\), \(k_2\), and \(k_3\) respectively. Then the order of magnitude for \(k_1\), \(k_2\), and \(k_3\) is: Русский: Как показано на рисунке, пусть угловые коэффициенты прямых \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\) равны \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) соответственно. Тогда соотношение между \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) имеет вид: Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-10.png — Три прямые на координатной плоскости, у всех наклон вправо вверх: самая пологая l1, круче l2, самая крутая l3. Ошибка в источнике: отмечен ответ A, верный B: все три прямые возрастают, круче всех \(l_3\). A. \(k_3 < k_1 < k_2\) B. \(k_1 < k_2 < k_3\) C. \(k_2 < k_3 < k_1\) D. \(k_1 < k_3 < k_2\) Ответ: B Решение: Все три прямые возрастают, значит углы наклона острые и все угловые коэффициенты положительны. На промежутке \( \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( k = \tan \alpha \) возрастает: чем круче прямая, тем больше её угловой коэффициент. По рисунку \( l_1 \) самая пологая, \( l_2 \) круче, \( l_3 \) самая крутая. Поэтому \( k_1 < k_2 < k_3 \). Ответ: B. ## Задача 293 (Прямая) 中文: 已知直线 \(l_1 : x + y - 1 = 0\) 与直线 \(l_2 : x + y + 2 = 0\)，则 \(l_1\) 与 \(l_2\) 之间的距离为： English: Given the line \(l_1 : x + y - 1 = 0\) and the line \(l_2 : x + y + 2 = 0\), the distance between \(l_1\) and \(l_2\) is: Русский: Даны прямая \(l_1 : x + y - 1 = 0\) и прямая \(l_2 : x + y + 2 = 0\). Расстояние между \(l_1\) и \(l_2\) равно: A. \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) B. \(\sqrt{2}\) C. \(2\) D. \(3\) Ответ: A Решение: Прямые \(x + y - 1 = 0\) и \(x + y + 2 = 0\) параллельны, так как коэффициенты при переменных пропорциональны. Расстояние между параллельными прямыми \(ax + by + c_1 = 0\) и \(ax + by + c_2 = 0\) вычисляется по формуле \(d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\). Подставляем значения: \(a = 1\), \(b = 1\), \(c_1 = -1\), \(c_2 = 2\). Получаем \(d = \dfrac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\). Ответ: A. ## Задача 294 (Стереометрия) 中文: 如图所示，采用斜二测画法画出的水平放置的 \(\triangle ABC\) 的直观图中，已知 \(A'B' = 4\) 且 \(A'C' = 3\)（其中 \(A'B' \perp A'C'\)），则实际图形中边 \(BC\) 上的中线长为： English: As shown in the figure, in the oblique axonometric drawing of the horizontally placed \(\triangle ABC\), it is given that \(A'B' = 4\) and \(A'C' = 3\) (with \(A'B' \perp A'C'\)). The actual length of the median on edge \(BC\) is: Русский: Как показано на рисунке, в аксонометрическом изображении горизонтально расположенного треугольника \(\triangle ABC\) дано \(A'B' = 4\) и \(A'C' = 3\) (при этом \(A'B' \perp A'C'\)). Действительная длина медианы, проведённой к стороне \(BC\), равна: Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-12.png — Косоугольный чертёж: оси O'x' и O'y' под углом 45°, вершина C' совпадает с началом O', точка A' лежит на оси x', точка B' на оси y'; треугольник A'B'C'. Ошибка в источнике: данные противоречат рисунку, однозначного ответа нет. В ключе источника C. A. \(5\) B. \(\sqrt{29}\) C. \(\dfrac{\sqrt{29}}{2}\) D. \(\dfrac{5}{2}\) Ответ: C Решение: На косоугольном чертеже отрезки вдоль оси \(x'\) сохраняют длину, вдоль оси \(y'\) уменьшаются вдвое, угол между осями \(45^\circ\). На рисунке \(C'\) в начале координат, \(A'\) на оси \(x'\), \(B'\) на оси \(y'\), поэтому в настоящем треугольнике угол \(C\) прямой. Но тогда \(A'B'\) не может быть перпендикулярна \(A'C'\): условие противоречит рисунку, однозначного ответа нет. В ключе источника вариант C. Ответ: C. ## Задача 295 (Стереометрия) 中文: 关于棱柱，下列说法正确的个数是：

① 四棱柱是平行六面体；
② 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③ 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④ 底面是正多边形的棱柱是正棱柱。 English: The number of correct statements regarding prisms is:

① A quadrangular prism is a parallelepiped;
② A solid with two parallel faces and all other faces being parallelograms is a prism;
③ A geometric solid with two parallel faces, all other faces being quadrilaterals, and each pair of adjacent quadrilaterals sharing parallel common sides is a prism;
④ A prism with a regular polygon as its base is a regular prism. Русский: Количество верных утверждений о призмах равно:

① четырёхугольная призма является параллелепипедом;
② тело с двумя параллельными гранями, все остальные грани которого — параллелограммы, является призмой;
③ геометрическое тело с двумя параллельными гранями, все остальные грани которого — четырёхугольники, причём общие стороны любых двух соседних четырёхугольников параллельны, является призмой;
④ призма, основанием которой является правильный многоугольник, является правильной призмой. A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\) Ответ: A Решение: ① Неверно: в основании четырёхугольной призмы может лежать не параллелограмм, а параллелепипед — призма, у которой в основании параллелограмм. ② Неверно: можно сложить тело из двух наклонных призм так, что две грани параллельны, остальные — параллелограммы, но боковые рёбра не параллельны. ③ Верно: если общие стороны соседних боковых граней параллельны, все боковые рёбра параллельны, это и есть призма. ④ Неверно: правильная призма должна быть ещё и прямой. Верно одно утверждение. Ответ: A. ## Задача 296 (Векторы) 中文: 若单位向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 满足 \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\)，则 \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) 等于： English: If the unit vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) satisfy \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), then \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) equals: Русский: Если единичные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) удовлетворяют условию \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), то \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) равно: A. \(\sqrt{3}\) B. \(2\) C. \(\sqrt{7}\) D. \(3\) Ответ: C Решение: \(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1=3\), откуда \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}\). \(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-2+4=7\). Значит \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}\). Ответ: C. ## Задача 297 (Классическая вероятность) 中文: 从 A、B、C、D、E 五名学生中随机抽取两名。设事件 M 为“选中学生 A”。则事件 M 包含的样本点个数为： English: From five students A, B, C, D, E, two are selected at random. Let event M denote "Student A is selected". The number of sample points contained in event M is: Русский: Из пяти студентов A, B, C, D, E случайным образом выбирают двоих. Пусть событие M означает «выбран студент A». Число элементарных исходов, содержащихся в событии M, равно: A. \(2\) B. \(4\) C. \(6\) D. \(8\) Ответ: B Решение: Всего пять учеников, из них выбирают двух. Событие M означает, что ученик A уже выбран. Второго участника нужно выбрать из оставшихся четырёх учеников: B, C, D, E. Каждый из этих четырёх учеников образует отдельный элементарный исход события M. Количество элементарных исходов равно 4. Ответ: B. ## Задача 298 (Нормальное распределение) 中文: 设随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。若 \(P(X\le 4)=0.3\)，则 \(P(X>2\mu-4)\) 等于： English: Let the random variable \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). If \(P(X\le 4)=0.3\), then \(P(X>2\mu-4)\) equals: Русский: Пусть случайная величина \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Если \(P(X\le 4)=0.3\), то \(P(X>2\mu-4)\) равно: Ошибка в источнике: отмечен ответ \(0.7\), верный \(0.3\). A. \(0.7\) B. \(0.3\) C. \(0.8\) D. \(0.9\) Ответ: B Решение: Нормальная кривая симметрична относительно прямой \(x=\mu\). Точки \(4\) и \(2\mu-4\) симметричны относительно \(\mu\): их середина \(\dfrac{4+(2\mu-4)}{2}=\mu\). Поэтому \(P(X>2\mu-4)=P(X<4)=0.3\). Ответ: B. ## Задача 299 (Статистика) 中文: 下列说法正确的是： English: Which of the following statements is correct? Русский: Какое из следующих утверждений верно? A. If the mean of a data set comprising 1, \(a\), and 3 is 2, then the variance of this data set is \(\dfrac{2}{3}\) / 如果由 1，\(a\)，3 组成的数据集的平均数为 2，则该数据集的方差为 \(\dfrac{2}{3}\) / Если среднее значение набора данных, состоящего из 1, \(a\) и 3, равно 2, то дисперсия этого набора данных равна \(\dfrac{2}{3}\) B. The linear regression line does not necessarily pass through the sample's centre point \((\bar{x},\bar{y})\) / 线性回归直线不一定经过样本的中心点 \((\bar{x},\bar{y})\) / Прямая линейной регрессии не обязательно проходит через центр выборки \((\bar{x},\bar{y})\) C. The stronger the linear correlation between two random variables, the closer the correlation coefficient approaches 1 / 两个随机变量之间的线性相关性越强，相关系数越接近 1 / Чем сильнее линейная корреляция между двумя случайными величинами, тем ближе коэффициент корреляции к 1 D. Numbering all 2000 Year 13 students from 1 to 2000, then randomly selecting one student from the first 50 (numbered \(k\)), followed by selecting students numbered \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) constitutes stratified sampling / 将 2000 名高三学生从 1 到 2000 编号，然后从前 50 名学生中随机抽取一名（编号为 \(k\)），接着抽取编号为 \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) 的学生，这构成分层抽样 / Нумерация всех 2000 учеников выпускного класса от 1 до 2000, затем случайный выбор одного ученика из первых 50 (с номером \(k\)) и последующий выбор учеников с номерами \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) представляет собой стратифицированную выборку Ответ: A Решение: Проверим вариант A: среднее равно \(\dfrac{1+a+3}{3}=2\), откуда \(a=2\). Дисперсия набора 1, 2, 3 равна \(\dfrac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\dfrac{2}{3}\), утверждение A верно. Вариант B неверен: линия линейной регрессии всегда проходит через точку средних \((\bar{x},\bar{y})\). Вариант C неверен: при сильной отрицательной связи коэффициент корреляции близок к \(-1\), а не к 1. Вариант D неверен: описанный метод является систематической выборкой, а не стратифицированной. Ответ: A. ## Задача 300 (Статистика) 中文: 通过抽签得到的一个样本的 5 个数据分别为 2, 4, 5, 7, 9。则该样本的平均数为： English: A sample of five values drawn by lot are 2, 4, 5, 7, and 9. The mean of this sample is: Русский: Выборка из пяти значений, полученных по жребию: 2, 4, 5, 7 и 9. Среднее значение этой выборки равно: A. \(4.5\) B. \(4.8\) C. \(5.4\) D. \(6\) Ответ: C Решение: Среднее арифметическое выборки равно сумме всех значений, делённой на их количество. Сумма значений: \(2 + 4 + 5 + 7 + 9 = 27\). Количество значений в выборке равно \(5\). Среднее значение: \(\dfrac{27}{5} = 5.4\). Ответ: C. ## Задача 301 (Статистика) 中文: 已知样本数据 \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) 的方差为 4，若 \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\)，则 \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) 的方差为： English: Given sample data \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) with variance 4, if \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\), then the variance of \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) is: Русский: Даны выборочные данные \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) с дисперсией 4. Если \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\), то дисперсия данных \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) равна: A. \(13\) B. \(14\) C. \(15\) D. \(16\) Ответ: D Решение: Дисперсия обладает свойством: при линейном преобразовании \(y_i = ax_i + b\) дисперсия умножается на квадрат коэффициента \(a\). Слагаемое \(b\) (сдвиг) не влияет на разброс данных и не меняет дисперсию. В данном случае \(a = 2\), \(b = 4\), исходная дисперсия равна \(4\). Новая дисперсия равна \(2^2 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\). Ответ: D. ## Задача 302 (Множества) 中文: 已知集合 \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\)，则集合 \(A\cup B\) 为： English: Given the sets \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) and \(B=\{x\mid x>0\}\), the set \(A\cup B\) is: Русский: Даны множества \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\). Тогда множество \(A\cup B\) равно: A. \([-1,\ 2]\) B. \([0,\ 2]\) C. \([-1,\ +\infty)\) D. \((0,\ +\infty)\) Ответ: C Решение: Решаем неравенство \(x^2-x-2\le 0\): корни \(x=-1\) и \(x=2\), значит \(A=[-1,\ 2]\). Множество \(B=(0,\ +\infty)\). Объединение \(A\cup B=[-1,\ +\infty)\): все числа от \(-1\) включительно и дальше покрываются либо \(A\), либо \(B\). Ответ: C. ## Задача 303 (Необходимое и достаточное условие) 中文: 已知 \(x\ge 0\)，则“\(x=0\)”是“\(x^2+x=0\)”的： English: Given that \(x\ge 0\), then "\(x=0\)" is a _____ of "\(x^2+x=0\)". Русский: Пусть \(x\ge 0\). Тогда условие «\(x=0\)» является для условия «\(x^2+x=0\)»: A. Necessary and sufficient condition / 充分必要条件 / необходимым и достаточным условием B. Sufficient but not necessary condition / 充分不必要条件 / достаточным, но не необходимым условием C. Necessary but not sufficient condition / 必要不充分条件 / необходимым, но не достаточным условием D. Neither sufficient nor necessary condition / 既不充分也不必要条件 / ни необходимым, ни достаточным условием Ответ: A Решение: При \(x\ge 0\) уравнение \(x^2+x=0\), то есть \(x(x+1)=0\), имеет единственный корень \(x=0\): корень \(-1\) не подходит. Значит, при \(x\ge 0\) утверждения «\(x=0\)» и «\(x^2+x=0\)» равносильны. Условие необходимое и достаточное. Ответ: A. ## Задача 304 (Производная) 中文: 若函数 \(f(x)=\ln x-ax^2+(2a-1)x\) 的导数为 \(f'(x)\)，且 \(f'(x)>0\) 的解集为 \((0,\ 2)\)，则 \(a\) 的值为： English: If the derivative of the function \(f(x)=\ln x-ax^2+(2a-1)x\) is \(f'(x)\), and the solution set of \(f'(x)>0\) is \((0,\ 2)\), then the value of \(a\) is: Русский: Пусть \(f'(x)\) — производная функции \(f(x)=\ln x-ax^2+(2a-1)x\), и множеством решений неравенства \(f'(x)>0\) является \((0,\ 2)\). Тогда значение \(a\) равно: Ошибка в источнике: ни при каком \(a\) множество решений не равно \((0,2)\). В ключе источника D. A. \(a=\dfrac{1}{4}\) B. \(a=\dfrac{1}{2}\) C. \(a=1\) D. \(a=\dfrac{1}{2}\) Ответ: D Решение: \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-2ax+2a-1=\dfrac{-(2ax+1)(x-1)}{x}\), где \(x>0\). Числитель обращается в ноль при \(x=1\) при любом \(a\), поэтому множество решений \(f'(x)>0\) не может быть ровно \((0,2)\). Условие испорчено; в ключе источника вариант D, \(a=\dfrac{1}{2}\): тогда \(f'(x)>0\) на \((0,1)\). Ответ: D. ## Задача 305 (Степенные и квадратичные функции) 中文: 下列结论中正确的是：① 当 \(n\) 为奇数时，\(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\)；② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\)；③ 函数 \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) 的定义域为 \(\{3\}\)；④ \((\sqrt{a})^2=a\)。 English: Which of the following conclusions are correct? ① When \(n\) is odd, \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\); ② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\); ③ the domain of the function \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) is \(\{3\}\); ④ \((\sqrt{a})^2=a\). Русский: Какие из следующих утверждений верны? ① Если \(n\) нечётное, то \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\); ② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\); ③ область определения функции \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) есть \(\{3\}\); ④ \((\sqrt{a})^2=a\). Ошибка в источнике: в ключе источника B (одно верное утверждение). Спорно только ④: оно верно везде, где определено, то есть при \(a\ge 0\). A. 0 correct / 0 个正确 / верных: 0 B. 1 correct / 1 个正确 / верных: 1 C. 2 correct / 2 个正确 / верных: 2 D. 3 correct / 3 个正确 / верных: 3 Ответ: D Решение: ① Верно: корень нечётной степени определён для любых чисел и \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\). ② Неверно: \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\). ③ Верно: нужно \(x-3\ge 0\) и \(3-x\ge 0\), откуда \(x=3\). ④ Верно: \(\sqrt{a}\) определён только при \(a\ge 0\), и тогда \((\sqrt{a})^2=a\). Верных утверждений три. Ответ: D. ## Задача 306 (Производная) 中文: 函数 \(f(x)\) 的图象如图所示，则不等式 \(f'(x)>0\) 的解集为： English: The graph of the function \(f(x)\) is shown in the figure. The solution set of \(f'(x)>0\) is: Русский: На рисунке изображён график функции \(f(x)\). Множество решений неравенства \(f'(x)>0\) равно: Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-24.png — График функции f(x): убывает до точки x = −3, где касается оси x, возрастает до локального максимума при x = −2, убывает, проходит через ось y и достигает минимума при x = 1, затем возрастает и пересекает ось x при x = 3. Ошибка в источнике: рисунок не подходит к вариантам ответа. В ключе источника A. A. \((-2,\ 0)\cup(2,\ +\infty)\) B. \((-\infty,\ -2)\cup(0,\ 2)\) C. \((-2,\ 2)\) D. \((-\infty,\ 0)\) Ответ: A Решение: \(f'(x)>0\) там, где функция возрастает. По рисунку функция возрастает на \((-3,-2)\) и правее точки минимума \(x=1\), то есть на \((-3,-2)\cup(1,+\infty)\). Такого варианта нет: рисунок в источнике не подходит к вариантам ответа; в ключе источника A. Ответ: A. ## Задача 307 (Производная) 中文: 已知函数 \(f(x) = \dfrac{x \cdot g(x)}{x+1}\) 且 \(f'(1) = 1\)，则实数 \(g'(1)\) 等于： English: Given the function \(f(x) = \dfrac{x \cdot g(x)}{x+1}\) and \(f'(1) = 1\), the real number \(g'(1)\) equals: Русский: Дана функция \(f(x) = \dfrac{x \cdot g(x)}{x+1}\) и \(f'(1) = 1\). Тогда действительное число \(g'(1)\) равно: Ошибка в источнике: в условии не хватает значения \(g(1)\). В ключе источника A. A. \(2024\) B. \(2023\) C. \(\dfrac{3}{2}\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: A Решение: \(f'(x)=\dfrac{(g(x)+xg'(x))(x+1)-xg(x)}{(x+1)^2}\). При \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{2g(1)+2g'(1)-g(1)}{4}=\dfrac{g(1)+2g'(1)}{4}=1\), то есть \(g(1)+2g'(1)=4\). Без значения \(g(1)\) найти \(g'(1)\) нельзя: в условии не хватает данных; в ключе источника A. Ответ: A. ## Задача 308 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于函数 \(y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\) 和 \(y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)\) 的单调性，下列说法正确的是： English: Regarding the monotonicity of the functions \(y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\) and \(y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)\), the correct statement is: Русский: Относительно монотонности функций \(y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\) и \(y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)\) верным утверждением является: Ошибка в источнике: промежутки вариантов B и C подходят к функции \(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\), а не к \(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\). В ключе источника C. A. Monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) and monotonically decreasing on \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) / 在 \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) 上单调递减 / Монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) и монотонно убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) B. Monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) and monotonically decreasing on \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) / 在 \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) 上单调递减 / Монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) и монотонно убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) C. \(y = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) is monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) and \(\left[\dfrac{7\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right]\), monotonically decreasing on \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) / \(y = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) 在 \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) 和 \(\left[\dfrac{7\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) 上单调递减 / \(y = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) и \(\left[\dfrac{7\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right]\), монотонно убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) D. Monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\), monotonically decreasing on \(\left[-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}\right]\) and \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) / 在 \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}\right]\) 和 \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) 上单调递减 / Монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\), монотонно убывает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}\right]\) и \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) Ответ: C Решение: \(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) возрастает, когда \(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le 2x+\dfrac{\pi}{6}\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\), то есть на \(\left[-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right]\). \(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}+\pi k,\dfrac{\pi}{12}+\pi k\right]\) и убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}+\pi k,\dfrac{7\pi}{12}+\pi k\right]\). Промежутки из вариантов B и C подходят ко второй функции, а в варианте C они приписаны первой: условие искажено; в ключе источника C. Ответ: C. ## Задача 309 (Геометрическая прогрессия) 中文: 8个工程队共同承建10万个基站。从第2队起，每个队建站数均比前一个队少10%。已知各队建站数构成等比数列，则第1队大约建了多少个基站（单位：万个）： English: Eight engineering teams are collectively constructing 100,000 base stations. From the second team onwards, each subsequent team builds 10% fewer stations than its predecessor. Given that the number of stations built by each team forms a geometric sequence, the approximate number of stations constructed by the first team (in ten-thousand units) is: Русский: Восемь строительных бригад совместно возводят 100 тысяч базовых станций. Начиная со второй бригады, каждая последующая строит на 10% меньше станций, чем предыдущая. Известно, что количество станций, построенных каждой бригадой, образует геометрическую прогрессию. Приблизительное количество станций, построенных первой бригадой (в десятках тысяч), равно: Ошибка в источнике: верный ответ около \(1.76\), его нет среди вариантов. В ключе источника B. A. \(\dfrac{10}{1-0.9^8} \approx 1.88\) B. \(\dfrac{10(1-0.9^8)}{1-0.9} \approx 1.88\) C. \(\approx 2.00\) D. \(\approx 1.50\) Ответ: B Решение: Пусть первый отряд построил \(a_1\) (в десятках тысяч), тогда \(S_8=a_1\cdot\dfrac{1-0.9^8}{1-0.9}=10\). \(0.9^8\approx 0.43\), поэтому \(a_1=\dfrac{10\cdot 0.1}{1-0.9^8}\approx\dfrac{1}{0.57}\approx 1.76\). Такого значения в вариантах нет, а формулы в вариантах A и B записаны с ошибкой; в ключе источника B. Ответ: B. ## Задача 310 (Прямая) 中文: 过点 \((1, -2)\) 且与直线 \(x - 2y + 3 = 0\) 垂直的直线方程为： English: The equation of the line passing through the point \((1, -2)\) and perpendicular to the line \(x - 2y + 3 = 0\) is: Русский: Уравнение прямой, проходящей через точку \((1, -2)\) и перпендикулярной прямой \(x - 2y + 3 = 0\), имеет вид: A. \(x - 2y - 5 = 0\) B. \(2x + y - 4 = 0\) C. \(x - 2y + 5 = 0\) D. \(2x + y = 0\) Ответ: D Решение: Угловой коэффициент прямой \(x - 2y + 3 = 0\) равен \(\dfrac{1}{2}\). Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент \(-2\). Уравнение прямой через точку \((1, -2)\): \(y + 2 = -2(x - 1)\). Раскрываем скобки: \(y + 2 = -2x + 2\), откуда \(2x + y = 0\). Вариант B не подходит, так как при подстановке точки \((1,-2)\) получаем \(2 - 2 - 4 \neq 0\). Ответ: D. ## Задача 311 (Стереометрия) 中文: 在三棱柱 \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) 中，\(G\) 和 \(H\) 分别是 \(AB\) 和 \(AC\) 的中点。则 \(GH\) 与 \(A_1B_1\) 的位置关系是： English: In the triangular prism \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\), \(G\) and \(H\) are the midpoints of \(AB\) and \(AC\) respectively. Then the positional relationship between \(GH\) and \(A_1B_1\) is: Русский: В треугольной призме \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) точки \(G\) и \(H\) являются серединами \(AB\) и \(AC\) соответственно. Тогда взаимное расположение \(GH\) и \(A_1B_1\): Ошибка в источнике: отмечен ответ C (параллельны), верный B (скрещиваются). A. Intersecting / 相交 / Пересекаются B. Skew / 异面 / Скрещиваются C. Parallel / 平行 / Параллельны D. Perpendicular / 垂直 / Перпендикулярны Ответ: B Решение: Точки \(G\) и \(H\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), поэтому \(GH \parallel BC\). В призме \(BC \parallel B_1C_1\), значит \(GH \parallel B_1C_1\). Прямая \(GH\) лежит в плоскости нижнего основания, а \(A_1B_1\) — в плоскости верхнего. Прямая \(A_1B_1\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(B_1\), которая не лежит на \(GH\). Две прямые лежат в параллельных плоскостях и не параллельны друг другу, следовательно, они скрещиваются. Ответ: B. ## Задача 312 (Стереометрия) 中文: 已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形。若该三棱柱的体积为8，则其左视图的面积为： English: Given that the lateral edges of a triangular prism are perpendicular to its base, and the base is an equilateral triangle with side length 2. If the volume of the prism is 8, then the area of its left view is: Русский: Известно, что боковые рёбра треугольной призмы перпендикулярны её основанию, а основание представляет собой равносторонний треугольник со стороной 2. Если объём призмы равен 8, то площадь её вида слева равна: Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-30.png — Главный вид призмы: прямоугольник шириной 2 (подписаны отрезки 1 и 1 внизу) с пунктирной линией посередине. Ошибка в источнике: отмечен ответ C, верный A. A. \(8\) B. \(4\) C. \(4\sqrt{3}\) D. \(2\sqrt{3}\) Ответ: A Решение: Площадь основания равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3} \). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \( \sqrt{3} h = 8 \), откуда \( h = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \). Вид слева представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы \( h \), а другая — высоте треугольного основания. Высота равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \sqrt{3} \). Площадь вида слева: \( S = h \cdot \sqrt{3} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8 \). Ответ: A. ## Задача 313 (Комплексные числа) 中文: 在复平面内，复数 \(z = \dfrac{2+i}{1-2i}\) 对应的点位于： English: In the complex plane, the point corresponding to the complex number \(z = \dfrac{2+i}{1-2i}\) is located in: Русский: На комплексной плоскости точка, соответствующая комплексному числу \(z = \dfrac{2+i}{1-2i}\), расположена: Ошибка в источнике: при знаменателе \(1-2i\) точка лежит на мнимой оси; ответ ключа D получается при знаменателе \(1+2i\). A. First quadrant / 第一象限 / Первая четверть B. Second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть C. Third quadrant / 第三象限 / Третья четверть D. Fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть Ответ: D Решение: \(z=\dfrac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{2+4i+i+2i^2}{5}=\dfrac{5i}{5}=i\). Точка \((0,1)\) лежит на мнимой оси и не попадает ни в одну четверть. В ключе источника D: так получается, если в знаменателе \(1+2i\): \(z=\dfrac{(2+i)(1-2i)}{5}=\dfrac{4-3i}{5}\), четвёртая четверть. Ответ: D. ## Задача 314 (Классическая вероятность) 中文: 某百货公司开展促销活动：商品每件进价 3 元，售价 8 元。每天从售出的第 20 件起，售价减半。该店记录了过去 10 天的销售数据（见条形图）。若从日利润不低于 96 元的天数中任选两天，则这两天的日利润都恰好为 97 元的概率是： English: A department store runs a promotion: the purchase price per unit is 3 yuan and the selling price is 8 yuan. Starting from the 20th unit sold each day, the selling price is halved. The store recorded sales data for the past 10 days (see the bar chart). If two days are chosen at random from the days on which the daily profit is no less than 96 yuan, what is the probability that the daily profit on both chosen days is exactly 97 yuan? Русский: Универмаг проводит акцию: закупочная цена товара составляет 3 юаня за штуку, а цена продажи — 8 юаней. Начиная с 20-й проданной за день единицы товара, цена продажи снижается вдвое. Магазин записал данные о продажах за последние 10 дней (см. столбчатую диаграмму). Если из дней, в которые дневная прибыль составила не менее 96 юаней, случайным образом выбрать два дня, то какова вероятность того, что дневная прибыль в оба выбранных дня составила ровно 97 юаней? Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-32.png — Столбчатая диаграмма за 10 дней: продажи 18 штук — 1 день, 19 штук — 4 дня, 20 штук — 3 дня, 21 штука — 2 дня. A. \(\dfrac{3}{10}\) B. \(\dfrac{1}{10}\) C. \(\dfrac{2}{5}\) D. \(\dfrac{1}{5}\) Ответ: B Решение: Прибыль за единицу до 19-й включительно равна \(8 - 3 = 5\) юаней, с 20-й единицы цена продажи \(4\), прибыль \(4 - 3 = 1\) юань. Для 18 единиц: \(18 \cdot 5 = 90 < 96\), не подходит (1 день). Для 19 единиц: \(19 \cdot 5 = 95 < 96\), не подходит (4 дня). Для 20 единиц: \(19 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 96\) (3 дня), для 21 единицы: \(19 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 97\) (2 дня). Дней с прибылью не менее 96 всего \(3 + 2 = 5\), из них ровно 97 дают 2 дня. Вероятность выбрать оба таких дня: \(\dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}\). Ответ: B. ## Задача 315 (Нормальное распределение) 中文: 在正态分布 \(N(100, 100)\) 下，大约有 99.74% 的分数落在 \((\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma)\) 范围内。某人的得分为 130 分，该分数落在哪个区间内： English: Under the normal distribution \(N(100, 100)\), approximately 99.74% of scores fall within \((\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma)\). A person's score is 130. In which interval does this score fall: Русский: При нормальном распределении \(N(100, 100)\) примерно 99.74% результатов попадают в интервал \((\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma)\). Некий человек получил 130 баллов. В какой интервал попадает этот результат: Ошибка в источнике: отмечен ответ C, но число \(130\) не входит в интервал \((100,130)\). A. \((70,\ 100)\) B. \([100,\ 130]\) C. \((100,\ 130)\) D. \((130,\ 160)\) Ответ: B Решение: Параметры нормального распределения: \(\mu = 100\), \(\sigma^2 = 100\), откуда \(\sigma = 10\). Интервал \((\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)\) равен \((70, 130)\). Балл 130 совпадает с правой границей этого интервала. Среди предложенных вариантов только отрезок \([100, 130]\) содержит значение 130 и лежит внутри области значений. Варианты A и C не содержат точку 130, вариант D начинается строго после 130. Ответ: B. ## Задача 316 (Статистика) 中文: 一家鞋店试销一款新款女鞋，按鞋码统计的销售数据记录在表格中。如果你是这家鞋店的经理，以下哪项统计量对你最重要？ English: A shoe shop trial-sold a new style of women's shoes, and the sales data by shoe size were recorded in a table. If you were the manager of the shoe shop, which of the following statistics would be most important to you? Русский: Обувной магазин провёл пробную продажу новой модели женской обуви, данные о продажах по размерам обуви записаны в таблице. Если бы вы были управляющим этого магазина, какая из следующих статистических характеристик была бы для вас наиболее важной? Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-34.png — Таблица продаж. Размер обуви: 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41. Продано пар в день: 2, 5, 9, 16, 9, 5, 3, 2. A. Mean / 平均数 / Среднее арифметическое B. Mode / 众数 / Мода C. Median / 中位数 / Медиана D. Range / 极差 / Размах Ответ: B Решение: По таблице наибольшее число продаж (16 пар) приходится на размер 37. Для управления запасами магазина важнее всего знать самый популярный размер обуви. Наиболее часто встречающееся значение в наборе данных называется модой. Среднее, медиана и размах не указывают напрямую на самый ходовой товар. Ответ: B. ## Задача 317 (Множества) 中文: 已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\)，\(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\)，则 \(A \cap B =\)： English: Given the sets \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) and \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\), then \(A \cap B =\): Русский: Даны множества \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) и \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\). Тогда \(A \cap B =\): A. \([1,\ 2]\) B. \([0,\ 2]\) C. \([1,\ 3]\) D. \([0,\ 3]\) Ответ: A Решение: Решаем неравенство для множества \(A\): \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\), корни 1 и 2, значит \(A = [1, 2]\). Решаем неравенство для множества \(B\): \(2^{1-x} + 1 \leq 3\), откуда \(2^{1-x} \leq 2\). Так как основание степени больше 1, получаем \(1 - x \leq 1\), то есть \(x \geq 0\), значит \(B = [0, +\infty)\). Пересечение множеств: \(A \cap B = [1, 2] \cap [0, +\infty) = [1, 2]\). Ответ: A. ## Задача 318 (Степенные и квадратичные функции) 中文: 设 \(a\) 为实数。若方程 \(x^2 - 2ax + a + 2 = 0\) 在区间 \((0, 3)\) 内有两个不相等的实数根，则 \(a\) 的取值范围是： English: Let \(a\) be a real number. If the equation \(x^2 - 2ax + a + 2 = 0\) has two distinct real roots in the interval \((0, 3)\), then the range of values of \(a\) is: Русский: Пусть \(a\) — действительное число. Если уравнение \(x^2 - 2ax + a + 2 = 0\) имеет два различных действительных корня на интервале \((0, 3)\), то множество значений \(a\) равно: Ошибка в источнике: верный ответ \(2 1\) C. \(1 < a < \frac{11}{4}\) D. \(\frac{11}{4} < a < 3\) Ответ: C Решение: Пусть \(f(x)=x^2-2ax+a+2\). Для двух различных корней на \((0,3)\) нужно: \(D>0\), \(00\), \(f(3)>0\). \(D=4a^2-4(a+2)>0\), откуда \(a<-1\) или \(a>2\); \(f(0)=a+2>0\); \(f(3)=11-5a>0\), откуда \(a<\dfrac{11}{5}\). Пересечение: \(2
附：若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(P(\mu-3\sigma English: To inspect canned coffee, inspectors randomly sample \(n\) cans daily. Under normal conditions, the mass of each can follows \(N(\mu,\sigma^2)\). Let \(X\) denote the number of cans among the \(n\) sampled whose mass falls outside \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\). If the mathematical expectation \(E(X)\geq 1\), then the minimum value of \(n\) is:

Appendix: If \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), then \(P(\mu-3\sigma Русский: Для проверки консервированного кофе инспекторы ежедневно случайным образом отбирают \(n\) банок. В нормальных условиях масса каждой банки подчиняется распределению \(N(\mu,\sigma^2)\). Пусть \(X\) — количество банок среди \(n\) отобранных, масса которых выходит за пределы интервала \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\). Если математическое ожидание \(E(X)\geq 1\), то минимальное значение \(n\) равно:

Приложение: если \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), то \(P(\mu-3\sigma Ошибка в источнике: по данным условия минимум \(n=385\), такого варианта нет. В ключе источника B. A. \(10\) B. \(11\) C. \(12\) D. \(13\) Ответ: B Решение: Вероятность выйти за \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\) равна \(1-0.9974=0.0026\). \(X\) распределена по биномиальному закону, \(E(X)=0.0026n\ge 1\), откуда \(n\ge 385\). Такого варианта нет; в ключе источника B. Ответ: B.