# CSCA Math: Окружность (Circles)

13 задач

### Задача 18 (Окружность)

中文: 若圆的圆心坐标是 \((-3, 2)\)，半径是 \(4\)，则圆的方程是

English: If the center of the circle is \((-3, 2)\) and the radius is \(4\), then the equation of the circle is

Русский: Если центр окружности имеет координаты \((-3, 2)\), а радиус равен \(4\), то уравнение окружности

A. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\)
B. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4\)
C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)
D. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x-(-3))^2+(y-2)^2=(x+3)^2+(y-2)^2\).
Радиус \(4\) возводим в квадрат: \(r^2=16\).
Итоговое уравнение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\), это вариант D.
Ответ: D.

### Задача 21 (Окружность)

中文: 设圆的方程为 \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\) ，则该圆的半径为：

English: Given the equation of the circle is \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), then the radius of the circle is:

Русский: Если уравнение окружности \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), то радиус окружности равен:

A. \(2\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(1\)

Ответ: C

Решение: Дополняем до полных квадратов: \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\) и \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\).
Уравнение принимает вид \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0\), то есть \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\).
Правая часть равна \(r^2 = 2\), значит \(r = \sqrt{2}\).
Ответ: C.

### Задача 67 (Окружность)

中文: 如果一个圆的方程是 \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\)，则其圆心和半径分别为：

English: If the equation of a circle is \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), then its center and radius are:

Русский: Если уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), то её центр и радиус равны соответственно:

A. \((0, 2)\) and \(\sqrt{7}\) / \((0, 2)\) 和 \(\sqrt{7}\) / \((0, 2)\) и \(\sqrt{7}\)
B. \((0, 2)\) and \(7\) / \((0, 2)\) 和 \(7\) / \((0, 2)\) и \(7\)
C. \((2, 0)\) and \(\sqrt{7}\) / \((2, 0)\) 和 \(\sqrt{7}\) / \((2, 0)\) и \(\sqrt{7}\)
D. \((2, 0)\) and \(7\) / \((2, 0)\) 和 \(7\) / \((2, 0)\) и \(7\)

Ответ: C

Решение: Выделяем полный квадрат: \(x^2-4x=(x-2)^2-4\).
Уравнение принимает вид \((x-2)^2+y^2=7\).
Центр окружности \((2,0)\), радиус \(\sqrt{7}\).
Ответ: C.

### Задача 76 (Окружность)

中文: 一个圆的圆心在 \((-3,2)\)，半径为 \(4\)。那么该圆的方程是：

English: A circle has center at \((-3,2)\) and radius \(4\). Then the equation of the circle is:

Русский: Окружность имеет центр в точке \((-3,2)\) и радиус \(4\). Тогда уравнение окружности:

A. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
B. \((x-3)^2+(y+2)^2=4\)
C. \((x-3)^2+(y+2)^2=16\)
D. \((x+3)^2+(y-2)^2=16\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Подставляем координаты центра \((-3, 2)\) и радиус \(r = 4\).
Получаем \((x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 4^2\).
Упрощаем выражение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).
Ответ: D.

### Задача 114 (Окружность)

中文: 圆心在 A(-3, 2), 半径为3的圆的方程是：

English: A circle centered at A(-3, 2), with a radius 3 has equation:

Русский: Уравнение круга с центром A(-3, 2) и радиусом 3:

A. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 3\)
B. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\)
C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9\)
D. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3\)

Ответ: B

Решение: Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Подставляем центр \(A(-3, 2)\): \(a = -3\), \(b = 2\), получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).
Радиус \(r = 3\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 9\).
Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\).
Ответ: B.

### Задача 118 (Окружность)

中文: 圆心为(-3,2),半径为2的圆的方程是？

English: Which of the following is the equation of a circle with center (-3,2) and radius 2?

Русский: Уравнение круга с центром (-3,2) и радиусом 2?

A. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\)
B. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\)
C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4\)
D. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)

Ответ: B

Решение: Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).
Радиус \(r = 2\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 4\).
Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\).
Ответ: B.

### Задача 158 (Окружность)

中文: 圆心为 \((-1,2)\)，半径为 3 的圆的方程为：

English: Suppose that a circle has radius 3 and center at \((-1,2)\). Then the equation of the circle is:

Русский: Окружность имеет радиус 3 и центр в точке \((-1,2)\). Тогда уравнение окружности:

A. \(x^2+y^2-2x-4y-4=0\)
B. \(x^2+y^2+2x+4y-4=0\)
C. \(x^2+y^2+2x-4y+4=0\)
D. \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((-1,2)\) и радиусом \(3\) имеет вид \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).
Раскрываем скобки: \(x^2+2x+1+y^2-4y+4=9\).
Переносим все в левую часть: \(x^2+y^2+2x-4y+5-9=0\).
Получаем \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\).
Ответ: D.

### Задача 161 (Окружность)

中文: 过点 \(A(2, 2)\)，圆心在 \((2, 0)\) 的圆的方程为：

English: If a circle passes through point \(A(2, 2)\) and has center at \((2, 0)\), then the equation of the circle is:

Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2, 2)\) и имеет центр в точке \((2, 0)\), то уравнение окружности имеет вид:

A. \(x^2 + (y - 2)^2 = 2\)
B. \((x - 2)^2 + y^2 = 4\)
C. \((x - 2)^2 + y^2 = 2\)
D. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\)

Ответ: B

Решение: Центр окружности \((2, 0)\), значит уравнение имеет вид \((x - 2)^2 + y^2 = r^2\).
Радиус — расстояние от центра до точки \(A(2, 2)\): \(r = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).
Тогда \(r^2 = 4\), уравнение: \((x - 2)^2 + y^2 = 4\).
Ответ: B.

### Задача 205 (Окружность)

中文: 圆心为 \((2, 5)\)，半径为 \(5\) 的圆的方程是：

English: The equation of the circle centered at \((2, 5)\) with radius \(5\) is:

Русский: Уравнение окружности с центром в точке \((2, 5)\) и радиусом \(5\):

A. \((x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5\)
B. \((x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25\)
C. \((x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\)
D. \((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\)

Ответ: B

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((h, k)\) и радиусом \(r\): \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\).
Центр задан как \((2, 5)\), значит \(h = 2\), \(k = 5\).
Радиус \(r = 5\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 25\).
Получаем уравнение \((x-2)^2 + (y-5)^2 = 25\).
Ответ: B.

### Задача 213 (Окружность)

中文: 若圆经过点 \(A(2,2)\)，且圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为：

English: If a circle passes through point \(A(2,2)\) and has center \((2,0)\), then the equation of the circle is:

Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то уравнение окружности имеет вид:

A. \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)
B. \((x-2)^2+y^2=2\)
C. \((x-2)^2+y^2=4\)
D. \(x^2+(y-2)^2=2\)

Ответ: C

Решение: Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому её уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).
Окружность проходит через точку \(A(2, 2)\), подставляем координаты для нахождения радиуса.
Вычисляем квадрат радиуса: \(R^2 = (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0 + 4 = 4\).
Записываем итоговое уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).
Ответ: C.

### Задача 253 (Окружность)

中文: 若圆过点 \(A(2,2)\)，圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为

English: If a circle passes through \(A(2,2)\) with center \((2,0)\), its equation is

Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то её уравнение

A. \((x-2)^2+y^2=2\)
B. \(x^2+(y-2)^2=2\)
C. \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)
D. \((x-2)^2+y^2=4\)

Ответ: D

Решение: Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).
Радиус равен расстоянию от центра до точки \(A(2, 2)\): \(R = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).
Квадрат радиуса \(R^2 = 4\).
Уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).
Ответ: D.

### Задача 267 (Окружность)

中文: 若圆的圆心坐标是\((-3,2)\)，半径是4，则圆的方程是：

English: If a circle has center \((-3,2)\) and radius 4, its equation is:

Русский: Если центр окружности находится в точке \((-3,2)\), а радиус равен 4, то уравнение окружности имеет вид:

A. \((x-3)^2+(y+2)^2=4\)
B. \((x-3)^2+(y+2)^2=16\)
C. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
D. \((x+3)^2+(y-2)^2=16\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a,b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Подставляем центр \((-3,2)\) и радиус \(4\): \((x-(-3))^2+(y-2)^2=4^2\).
Получаем \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).
Варианты A и B имеют неверные знаки при координатах центра.
Вариант C содержит \(4\) вместо \(16\) в правой части.
Ответ: D.

### Задача 327 (Окружность)

中文: 关于奇数哥德巴赫猜想：任何大于 \(5\) 的奇数都可以表示为三个素数之和。如果从 \(1\) 到 \(10\) 中任选两个不同的素数构成点 \(A(a,b)\) 和 \(B(c,d)\)，其中 \(a+b=10\)，\(c+d=10\)，且所有这些点都在圆 \(C\) 上，则圆 \(C\) 的标准方程是：

English: Regarding the odd-numbered Goldbach conjecture: any odd number greater than \(5\) is the sum of three prime numbers. If distinct prime numbers are selected from \(1\) to \(10\) to form points \(A(a,b)\) and \(B(c,d)\), where \(a+b=10\), \(c+d=10\), and all points lie on the circle \(C\), then the standard equation of circle \(C\) is:

Русский: Относительно гипотезы Гольдбаха для нечётных чисел: любое нечётное число, большее \(5\), является суммой трёх простых чисел. Если из чисел от \(1\) до \(10\) выбрать различные простые числа для образования точек \(A(a,b)\) и \(B(c,d)\), где \(a+b=10\), \(c+d=10\), и все эти точки лежат на окружности \(C\), то каноническое уравнение окружности \(C\) имеет вид:

A. \((x-5)^2+(y-5)^2=2\)
B. \((x-5)^2+(y-5)^2=4\)
C. \(x^2+y^2=50\)
D. \((x-5)^2+(y-5)^2=8\)

Ответ: D

Решение: Простые числа от 1 до 10: \(2,3,5,7\); различные простые с суммой 10 — это \(3\) и \(7\), поэтому точки \(A(3,7)\) и \(B(7,3)\).
Проверяем варианты: для центра \((5,5)\) получаем \((3-5)^2+(7-5)^2=8\), для варианта C \(3^2+7^2=58\ne 50\).
Обе точки лежат только на окружности \((x-5)^2+(y-5)^2=8\).
Ответ: D.