# CSCA Math: Комплексные числа (Complex numbers)

7 задач

### Задача 46 (Комплексные числа)

中文: 若复数 \(z\) 满足 \(z^3=1\) 且 \(z\ne 1\)，则 \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)

English: If the complex number \(z\) satisfies \(z^3=1\) and \(z\ne 1\), then \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)

Русский: Если комплексное число \(z\) удовлетворяет условиям \(z^3=1\) и \(z\ne 1\), то \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)

A. \(\dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
B. \(\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
C. \(1\)
D. \(i\)

Ответ: C

Решение: Из \(z^3=1\) и \(z\ne 1\) следует \(1+z+z^2=0\), так как \(z^3-1=(z-1)(1+z+z^2)\).
В сумме 1000 слагаемых: 333 полные тройки \(z^{3k}(1+z+z^2)=0\) и последнее слагаемое \(z^{999}\).
\(z^{999}=(z^3)^{333}=1\), поэтому вся сумма равна \(1\).
Ответ: C.

### Задача 94 (Комплексные числа)

中文: 在复平面上，表示复数 \(z\) 的点在直线 \(x-y=0\) 上。如果 \(z\) 是二次方程 \(x^{2}+mx+4=0\) 的一个根，则 \(m=\) ：

English: On the complex plane, the point representing a complex number \(z\) lies on the line \(x-y=0\). If \(z\) is a root of the quadratic equation \(x^{2}+mx+4=0\), then \(m=\) :

Русский: На комплексной плоскости точка, представляющая комплексное число \(z\), лежит на прямой \(x-y=0\). Если \(z\) является корнем квадратного уравнения \(x^{2}+mx+4=0\), то \(m=\) :

A. \(\sqrt{2}\) or \(2\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) 或 \(2\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) или \(2\sqrt{2}\)
B. \(2\sqrt{2}\) or \(-2\sqrt{2}\) / \(2\sqrt{2}\) 或 \(-2\sqrt{2}\) / \(2\sqrt{2}\) или \(-2\sqrt{2}\)
C. \(-\sqrt{2}\) or \(-2\sqrt{2}\) / \(-\sqrt{2}\) 或 \(-2\sqrt{2}\) / \(-\sqrt{2}\) или \(-2\sqrt{2}\)
D. \(\sqrt{2}\) or \(-\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) 或 \(-\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) или \(-\sqrt{2}\)

Ответ: B

Решение: Точка \(z\) лежит на прямой \(x - y = 0\), значит \(z = a + ai\) для некоторого действительного \(a\).
Подставим в уравнение: \((a+ai)^2 + m(a+ai) + 4 = 0\).
Раскроем: \(a^2 + 2a^2 i - a^2 + ma + mai + 4 = 0\), то есть \(2a^2 i + ma + mai + 4 = 0\).
Мнимая часть равна нулю: \(2a^2 + ma = 0\), откуда \(a(2a + m) = 0\).
Если \(a = 0\), то из действительной части \(4 = 0\), что невозможно, поэтому \(m = -2a\).
Действительная часть: \(ma + 4 = 0\), подставляем \(m = -2a\): \(-2a^2 + 4 = 0\), откуда \(a^2 = 2\), \(a = \pm\sqrt{2}\).
Тогда \(m = -2a = \mp 2\sqrt{2}\), то есть \(m = 2\sqrt{2}\) или \(m = -2\sqrt{2}\).
Ответ: B.

### Задача 137 (Комплексные числа)

中文: 设 \(z_1\) 和 \(z_2\) 是方程 \(z^2-2z+2=0\) 的两个根。令 \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\)，则 \(a_4=\)

English: Suppose that \(z_1\) and \(z_2\) are two roots of the equation \(z^2-2z+2=0\). Let \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Then \(a_4=\)

Русский: Допустим, \(z_1\) и \(z_2\) — два корня уравнения \(z^2-2z+2=0\). Пусть \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Тогда \(a_4=\)

A. \(32\)
B. \(-64\)
C. \(0\)
D. \(-32\)

Ответ: C

Решение: Корни уравнения \(z^2-2z+2=0\): \(z_{1,2}=1\pm i\).
\((1+i)^2=2i\), значит \((1+i)^4=(2i)^2=-4\); так же \((1-i)^2=-2i\) и \((1-i)^4=-4\).
\(a_4=(z_1^4-z_2^4)^2=(-4-(-4))^2=0\).
Ответ: C.

### Задача 184 (Комплексные числа)

中文: 若复数 \(z\) 满足方程 \((z-2i)(2-i)=5\)，则 \(z=\)

English: If a complex number \(z\) satisfies the equation \((z-2i)(2-i)=5\), then \(z=\)

Русский: Если комплексное число \(z\) удовлетворяет уравнению \((z-2i)(2-i)=5\), то \(z=\)

A. \(2+3i\)
B. \(2-3i\)
C. \(3-2i\)
D. \(3+2i\)

Ответ: A

Решение: Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2z - zi - 4i + 2i^2 = 5\).
Поскольку \(i^2 = -1\), получаем \(2z - zi - 4i - 2 = 5\), откуда \(2z - zi = 7 + 4i\).
Вынесем \(z\): \(z(2 - i) = 7 + 4i\), значит \(z = \dfrac{7 + 4i}{2 - i}\).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(2 + i\).
Числитель: \((7 + 4i)(2 + i) = 14 + 7i + 8i + 4i^2 = 14 + 15i - 4 = 10 + 15i\).
Знаменатель: \((2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5\). Тогда \(z = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i\).
Ответ: A.

### Задача 232 (Комплексные числа)

中文: 若 \(z = -1 + i\)，其中 \(i\) 为虚数单位，则 \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =

English: If \(z = -1 + i\), where \(i\) is the imaginary unit, then \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =

Русский: Если \(z = -1 + i\), где \(i\) — мнимая единица, то \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =

A. \(\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i\)
B. \(2\)
C. \(\dfrac{3}{2} - \left(\dfrac{1}{2}\right)i\)
D. \(1\)

Ответ: C

Решение: \( z + 1 = i \), \( z + 2 = 1 + i \).
\( \dfrac{z+1}{z+2} = \dfrac{i}{1+i} = \dfrac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1+i}{2} \).
\( \dfrac{z+2}{z+1} = \dfrac{1+i}{i} = \dfrac{(1+i)(-i)}{i\cdot(-i)} = 1 - i \).
Складываем: \( \dfrac{1+i}{2} + (1 - i) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i + 1 - i = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i \).
Ответ: C.

### Задача 280 (Комплексные числа)

中文: 已知复数 \(z\) 满足 \(|z|=1\)，则 \(|2z+1|\) 的最大值为：

English: Given a complex number \(z\) with \(|z|=1\), the maximum value of \(|2z+1|\) is:

Русский: Дано комплексное число \(z\), для которого \(|z|=1\). Тогда наибольшее значение \(|2z+1|\) равно:

A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(\dfrac{5}{2}\)
D. \(3\)

Ответ: D

Решение: По неравенству треугольника \( |2z+1| \le |2z| + |1| = 2|z| + 1 \).
Подставляем \( |z|=1 \): \( |2z+1| \le 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).
Равенство достигается, когда \( 2z \) и \( 1 \) имеют одинаковый аргумент, то есть при \( z=1 \).
Проверка: \( |2(1)+1| = |3| = 3 \).
Ответ: D.

### Задача 328 (Комплексные числа)

中文: 设复数 \(z_1\) 和 \(z_2\) 对应的向量分别为 \(\vec{OA}\) 和 \(\vec{OB}\)，且 \(z_1 = 1 + i\)。若将 \(\vec{OA}\) 绕原点顺时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，将 \(\vec{OB}\) 绕原点逆时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，使得这两个向量的终点重合，则 \(z_2 =\)：

English: Let the vectors corresponding to the complex numbers \(z_1\) and \(z_2\) be \(\vec{OA}\) and \(\vec{OB}\) respectively, with \(z_1 = 1 + i\). If \(\vec{OA}\) is rotated clockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) and \(\vec{OB}\) is rotated counterclockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) so that the endpoints of the two vectors coincide, then \(z_2 =\):

Русский: Пусть комплексным числам \(z_1\) и \(z_2\) соответствуют векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\), причём \(z_1 = 1 + i\). Если вектор \(\vec{OA}\) повернуть вокруг начала координат по часовой стрелке на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), а вектор \(\vec{OB}\) — против часовой стрелки на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), так что концы этих векторов совпадут, то \(z_2 =\):

Ошибка в источнике: отмечен ответ B, верный A.

A. \(1 - i\)
B. \(\sqrt{2}\,i\)
C. \(-\sqrt{2}\,i\)
D. \(\sqrt{2}\)

Ответ: A

Решение: Поворот по часовой стрелке на \( \dfrac{\pi}{4} \) — умножение на \( e^{-i\pi/4} \), против часовой — на \( e^{i\pi/4} \).
Совпадение концов: \( z_1 e^{-i\pi/4}=z_2 e^{i\pi/4} \), откуда \( z_2=z_1 e^{-i\pi/2}=-i z_1 \).
Вычисляем: \( z_2=-i(1+i)=1-i \).
Ответ: A.