# CSCA Math: Координаты и расстояния (Coordinates and distance)

18 задач

### Задача 6 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \((-1,\,3-\pi)\) 位于平面直角坐标系的哪个象限？

English: The point \((-1,\,3-\pi)\) is located in which quadrant of the Cartesian coordinate system?

Русский: Точка \((-1,\,3-\pi)\) находится в какой четверти декартовой системы координат?

A. Third quadrant / 第三象限 / Третья четверть
B. First quadrant / 第一象限 / Первая четверть
C. Second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть
D. Fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть

Ответ: A

Решение: Абсцисса точки равна \(-1\), что меньше нуля.
Ордината равна \(3 - \pi\), и так как \(\pi \approx 3.14\), получаем \(3 - \pi < 0\).
Точка с отрицательной абсциссой и отрицательной ординатой лежит в третьей четверти.
Ответ: A.

### Задача 11 (Координаты и расстояния)

中文: 下列点位于第三象限的是

English: The point located in the third quadrant is

Русский: Точка, расположенная в третьей четверти, это

A. \((-1,\,-2)\)
B. \((-1, 2)\)
C. \((2, 2)\)
D. \((1, -2)\)

Ответ: A

Решение: В третьей четверти координатной плоскости обе координаты точки отрицательны.
У точки \( (-1, -2) \) абсцисса \( -1 < 0 \) и ордината \( -2 < 0 \), значит она лежит в третьей четверти.
Точка \( (-1, 2) \) во второй четверти, \( (2, 2) \) в первой, \( (1, -2) \) в четвёртой.
Ответ: A.

### Задача 25 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \(P(-1, 2)\) 到点 \(Q(3, 1)\) 的距离是：

English: The distance from point \(P(-1, 2)\) to point \(Q(3, 1)\) is:

Русский: Расстояние от точки \(P(-1, 2)\) до точки \(Q(3, 1)\) равно:

A. \(\sqrt{17}\)
B. \(\sqrt{13}\)
C. \(\sqrt{5}\)
D. \(5\)

Ответ: A

Решение: Используем формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем координаты точек \(P(-1, 2)\) и \(Q(3, 1)\).
Разность абсцисс: \(3 - (-1) = 4\), разность ординат: \(1 - 2 = -1\).
Вычисляем: \(d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\).
Ответ: A.

### Задача 54 (Координаты и расстояния)

中文: 设点 \(P(1,2)\) 在直角坐标系中。如果点 \(Q\) 与 \(P\) 关于 \(x\) 轴对称，那么 \(Q\) 的坐标是：

English: Let \(P(1,2)\) be a point in the rectangular coordinate system. If a point \(Q\) together with \(P\) are symmetrical about the \(x\)-axis, then the coordinates of \(Q\) are:

Русский: Пусть точка \(P(1,2)\) задана в прямоугольной системе координат. Если точка \(Q\) симметрична точке \(P\) относительно оси \(x\), то координаты точки \(Q\) равны:

A. \((2,1)\)
B. \((1,-2)\)
C. \((-1,2)\)
D. \((-1,-2)\)

Ответ: B

Решение: При симметрии относительно оси \(x\) абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак.
Точка \(P(1,2)\) переходит в \(Q(1,-2)\).
Ответ: B.

### Задача 58 (Координаты и расстояния)

中文: 下列哪个点在第三象限？

English: Which of the following points is in the third quadrant?

Русский: Какая из следующих точек находится в третьей четверти?

A. \((-1,2)\)
B. \((-1,-2)\)
C. \((1,2)\)
D. \((1,-2)\)

Ответ: B

Решение: В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\).
Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными.
\((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.
Ответ: B.

### Задача 65 (Координаты и расстояния)

中文: 平面上从点 \(A(3, -2)\) 到点 \(B(-5, -1)\) 的距离为 \(|AB|=\)

English: The distance from point \(A(3, -2)\) to point \(B(-5, -1)\) on the plane is \(|AB|=\)

Русский: Расстояние от точки \(A(3, -2)\) до точки \(B(-5, -1)\) на плоскости равно \(|AB|=\)

A. \(65\)
B. \(\sqrt{65}\)
C. \(13\)
D. \(\sqrt{13}\)

Ответ: B

Решение: Расстояние между точками: \(|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
\(x_2-x_1=-5-3=-8\), \(y_2-y_1=-1-(-2)=1\).
\(|AB|=\sqrt{(-8)^2+1^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}\).
Ответ: B.

### Задача 81 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \(P(-1,2)\) 和 \(Q(3,1)\) 之间的距离是：

English: The distance between the points \(P(-1,2)\) and \(Q(3,1)\) is:

Русский: Расстояние между точками \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\) равно:

A. \(\sqrt{5}\)
B. \(\sqrt{17}\)
C. \(\sqrt{13}\)
D. \(5\)

Ответ: B

Решение: Применяем формулу расстояния между двумя точками: \(|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем координаты точек \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\): \(|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}\).
Вычисляем разности координат: \(3 - (-1) = 4\) и \(1 - 2 = -1\).
Возводим в квадрат и суммируем: \(4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17\).
Получаем расстояние \(|PQ| = \sqrt{17}\).
Ответ: B.

### Задача 101 (Координаты и расстояния)

中文: 若 \(a = -2\)，\(ab < 0\)，则点 \((a, b)\) 位于：

English: If \(a = -2\), \(ab < 0\), then the point \((a, b)\) belongs to:

Русский: Если \(a = -2\), \(ab < 0\), то точка \((a, b)\) находится в:

A. the third quadrant / 第三象限 / третья четверть
B. the fourth quadrant / 第四象限 / четвёртая четверть
C. the second quadrant / 第二象限 / вторая четверть
D. the first quadrant / 第一象限 / первая четверть

Ответ: C

Решение: Дано \(a = -2 < 0\).
Из \(ab < 0\) следует, что \(a\) и \(b\) разных знаков, значит \(b > 0\).
Точка с отрицательной абсциссой и положительной ординатой лежит во второй четверти.
Ответ: C.

### Задача 112 (Координаты и расстояния)

中文: 已知点\(A(-2,-1)\)和\(B(a,3)\)，且\(|AB|=5\)，则\(a\)的值为：

English: Let \(A(-2,-1)\) and \(B(a,3)\) be two points, and \(|AB|=5\). Then the value of \(a\) is:

Русский: Даны точки \(A(-2,-1)\) и \(B(a,3)\), причём \(|AB|=5\). Тогда значение \(a\) равно:

A. \(\pm 5\)
B. \(\pm 1\)
C. \(-1\) или \(5\)
D. \(1\) или \(-5\)

Ответ: D

Решение: По формуле расстояния \(|AB|^2=(a+2)^2+(3+1)^2=25\).
\((a+2)^2+16=25\), \((a+2)^2=9\), \(a+2=\pm 3\).
Отсюда \(a=1\) или \(a=-5\).
Ответ: D.

### Задача 144 (Координаты и расстояния)

中文: 在直角坐标系中，点\(M\)的横坐标为\(-4\)，到\(x\)轴的距离为\(5\)，则\(M\)的坐标为：

English: In the Cartesian coordinate system, the horizontal coordinate of point \(M\) is \(-4\), and its distance to the \(x\)-axis is \(5\). The coordinates of \(M\) are:

Русский: В декартовой системе координат абсцисса точки \(M\) равна \(-4\), а её расстояние до оси \(x\) равно \(5\). Координаты точки \(M\):

A. \((-4, 5)\) or \((-4, 3)\) / \((-4, 5)\)或\((-4, 3)\) / \((-4, 5)\) или \((-4, 3)\)
B. \((-4, 5)\) or \((-4, -5)\) / \((-4, 5)\)或\((-4, -5)\) / \((-4, 5)\) или \((-4, -5)\)
C. \((5, -4)\)
D. \((-5, -4)\)

Ответ: B

Решение: Абсцисса точки равна \(-4\), значит точка имеет вид \(M(-4, y)\).
Расстояние до оси \(x\) равно модулю ординаты: \(|y| = 5\).
Отсюда \(y = 5\) или \(y = -5\).
Координаты точки: \((-4, 5)\) или \((-4, -5)\).
Ответ: B.

### Задача 156 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \(A(0,3)\) 到点 \(B(x,-1)\) 的距离为 5，则 \(x=\)

English: Suppose that the distance from point \(A(0,3)\) to point \(B(x,-1)\) is 5. Then \(x=\)

Русский: Расстояние от точки \(A(0,3)\) до точки \(B(x,-1)\) равно 5. Тогда \(x=\)

A. \(\sqrt{21}\)
B. \(\pm 3\)
C. \(3\)
D. \(-3\)

Ответ: B

Решение: Используем формулу расстояния между точками: \(AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = 5\).
Возводим обе части в квадрат: \(x^2 + (-4)^2 = 25\).
Упрощаем: \(x^2 + 16 = 25\), откуда \(x^2 = 9\).
Извлекаем корень: \(x = \pm 3\).
Ответ: B.

### Задача 191 (Координаты и расстояния)

中文: 若点 \(P(x,y)\) 位于第二象限，则点 \(Q(2x,3y)\) 位于：

English: If point \(P(x,y)\) lies in the second quadrant, then point \(Q(2x,3y)\) lies in:

Русский: Если точка \(P(x,y)\) лежит во второй четверти, то точка \(Q(2x,3y)\) лежит:

A. the fourth quadrant / 第四象限 / в четвёртой четверти
B. the third quadrant / 第三象限 / в третьей четверти
C. the second quadrant / 第二象限 / во второй четверти
D. the first quadrant / 第一象限 / в первой четверти

Ответ: C

Решение: Точка \(P(x,y)\) во второй четверти, значит \(x<0\) и \(y>0\).
Тогда \(2x<0\) и \(3y>0\).
Координаты точки \(Q(2x,3y)\) имеют знаки минус и плюс.
Отрицательная абсцисса и положительная ордината соответствуют второй четверти.
Ответ: C.

### Задача 197 (Координаты и расстояния)

中文: 下列点位于第三象限的是：

English: Which of the following points lies in the third quadrant?

Русский: Какая из следующих точек лежит в третьей четверти?

A. \((-1,-2)\)
B. \((-1,2)\)
C. \((1,2)\)
D. \((1,-2)\)

Ответ: A

Решение: В третьей четверти обе координаты точки отрицательны: \(x<0\) и \(y<0\).
Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными, значит лежит в третьей четверти.
Точка \((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.
Ответ: A.

### Задача 203 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \(P(a, b)\) 到点 \(Q(a + 1, b - 1)\) 的距离为

English: The distance from point \(P(a, b)\) to point \(Q(a + 1, b - 1)\) is

Русский: Расстояние от точки \(P(a, b)\) до точки \(Q(a + 1, b - 1)\) равно

A. \(\sqrt{(2a+1)^2 + (2b-1)^2}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(4\)

Ответ: C

Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле \(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Разность абсцисс: \((a+1) - a = 1\).
Разность ординат: \((b-1) - b = -1\).
\(PQ = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
Ответ: C.

### Задача 239 (Координаты и расстояния)

中文: 若点 \(M(a+3,a+1)\) 在 \(x\) 轴上，则点 \(M\) 的坐标为

English: If the point \(M(a+3,a+1)\) lies on the \(x\)-axis, then the coordinates of \(M\) are

Русский: Если точка \(M(a+3,a+1)\) лежит на оси \(x\), то координаты точки \(M\) равны

A. \((0,-4)\)
B. \((0,-2)\)
C. \((2,0)\)
D. \((4,0)\)

Ответ: C

Решение: Точка лежит на оси \(x\), значит её ордината равна нулю: \(a + 1 = 0\).
Отсюда \(a = -1\).
Подставляем в абсциссу: \(a + 3 = -1 + 3 = 2\).
Координаты точки \(M\) равны \((2, 0)\).
Ответ: C.

### Задача 242 (Координаты и расстояния)

中文: 若点 \((a,b)\) 在第二象限，则点 \((b,a)\) 在第几象限？

English: If point \((a,b)\) is in the second quadrant, in which quadrant is point \((b,a)\)?

Русский: Если точка \((a,b)\) находится во второй четверти, то в какой четверти находится точка \((b,a)\)?

A. The first quadrant / 第一象限 / Первая четверть
B. The second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть
C. The third quadrant / 第三象限 / Третья четверть
D. The fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть

Ответ: D

Решение: Во второй четверти абсцисса отрицательна, ордината положительна, значит \(a<0\), \(b>0\).
У точки \((b,a)\) абсцисса \(b>0\), ордината \(a<0\).
Положительная абсцисса и отрицательная ордината соответствуют четвёртой четверти.
Ответ: D.

### Задача 251 (Координаты и расстояния)

中文: 已知点 \(A(-1,2)\)，\(B(3,-1)\)，则 \(|AB|\) =

English: Given points \(A(-1,2)\), \(B(3,-1)\), the distance \(|AB|\) between them is:

Русский: Даны точки \(A(-1,2)\), \(B(3,-1)\). Найдите расстояние \(|AB|\) между ними:

A. \(\sqrt{5}\)
B. \(25\)
C. \(5\)
D. \(4\)

Ответ: C

Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле \(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем координаты: \(|AB| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2}\).
Вычисляем разности: \(3 - (-1) = 4\), \(-1 - 2 = -3\).
Возводим в квадрат и складываем: \(4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25\).
Извлекаем корень: \(|AB| = \sqrt{25} = 5\).
Ответ: C.

### Задача 265 (Координаты и расстояния)

中文: 点\(P(1,3)\)到点\(Q(3,-1)\)的距离是：

English: The distance from point \(P(1,3)\) to point \(Q(3,-1)\) is:

Русский: Расстояние от точки \(P(1,3)\) до точки \(Q(3,-1)\) равно:

A. \(\sqrt{5}\)
B. \(2\sqrt{5}\)
C. \(\sqrt{17}\)
D. \(2\)

Ответ: B

Решение: По формуле расстояния \(PQ=\sqrt{(3-1)^2+(-1-3)^2}\).
Считаем разности: \(3-1=2\), \(-1-3=-4\).
\(PQ=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Ответ: B.