# CSCA Math: Производная (Derivatives)

3 задачи

### Задача 288 (Производная)

中文: 已知函数 \(f(x) = x^3 - x\)，则 \(f'(1)\) 等于：

English: Given the function \(f(x) = x^3 - x\), then \(f'(1)\) equals:

Русский: Дана функция \(f(x) = x^3 - x\), тогда \(f'(1)\) равно:

Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.

A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(0\)
D. \(2\)

Ответ: D

Решение: \(f'(x)=3x^2-1\).
\(f'(1)=3-1=2\).
Значение \(2\) стоит и в варианте B, и в варианте D; в ключе источника D.
Ответ: D.

### Задача 320 (Производная)

中文: 已知曲线 \(y = x^3\) 在点 \(P\) 处的切线斜率 \(k\) 为 3，则点 \(P\) 的坐标为：

English: Given that the slope \(k\) of the tangent line to the curve \(y = x^3\) at point \(P\) is 3, the coordinates of point \(P\) are:

Русский: Угловой коэффициент \(k\) касательной к кривой \(y = x^3\) в точке \(P\) равен 3. Найдите координаты точки \(P\):

A. \((1,\ 1)\)
B. \((-1,\ 1)\)
C. \((1,\ 1)\) or \((-1,\ -1)\) / \((1,\ 1)\) 或 \((-1,\ -1)\) / \((1,\ 1)\) или \((-1,\ -1)\)
D. \((2,\ 8)\) or \((-2,\ -8)\) / \((2,\ 8)\) 或 \((-2,\ -8)\) / \((2,\ 8)\) или \((-2,\ -8)\)

Ответ: C

Решение: Производная \( y = x^3 \) равна \( y' = 3x^2 \).
По условию \( 3x^2 = 3 \), откуда \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1 \), точка \( (1, 1) \).
При \( x = -1 \): \( y = -1 \), точка \( (-1, -1) \).
Ответ: C.

### Задача 321 (Производная)

中文: 设 \(f(x) = \ln(2x+1)\)，则 \(f'(x) =\)：

English: Let \(f(x) = \ln(2x+1)\). Then \(f'(x) =\):

Русский: Пусть \(f(x) = \ln(2x+1)\). Тогда \(f'(x) =\):

A. \(\dfrac{1}{2x+1}\)
B. \(\dfrac{2}{2x+1}\)
C. \(-\dfrac{1}{2x+1}\)
D. \(-\dfrac{2}{2x+1}\)

Ответ: B

Решение: По правилу дифференцирования сложной функции \( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \).
Здесь \( u = 2x+1 \), \( u' = 2 \).
Тогда \( f'(x) = \dfrac{2}{2x+1} \).
Ответ: B.