# CSCA Math: Эллипс (Ellipses)

8 задач

### Задача 43 (Эллипс)

中文: 关于椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{20}=1\)，下面说法正确的是：

English: Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{20}=1\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{20}=1\) является верным?

A. The foci of this ellipse are \((0,\pm 4)\) / 该椭圆的两个焦点为 \((0,\pm 4)\) / Фокусы этого эллипса — \((0,\pm 4)\)
B. The foci of this ellipse are \((\pm 4,0)\) / 该椭圆的两个焦点为 \((\pm 4,0)\) / Фокусы этого эллипса — \((\pm 4,0)\)
C. The vertices of this ellipse are \((\pm 4,0)\) and \((0,\pm 20)\) / 该椭圆的顶点坐标为 \((\pm 4,0)\) 和 \((0,\pm 20)\) / Вершины этого эллипса — \((\pm 4,0)\) и \((0,\pm 20)\)
D. The lengths of the major and minor axes of this ellipse are \(20\) and \(4\) / 该椭圆长轴和短轴的长度分别是 \(20\) 和 \(4\) / Длины большой и малой осей этого эллипса равны \(20\) и \(4\)

Ответ: A

Решение: Уравнение эллипса: \( \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{20} = 1 \), где \( a^2 = 20 \), \( b^2 = 4 \).\nБольшая полуось \( a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) направлена вдоль оси \( y \).\nФокусы: \( c^2 = a^2 - b^2 = 20 - 4 = 16 \), \( c = 4 \).\nФокусы на оси \( y \): \( (0, \pm 4) \).\nВариант B неверен (фокусы не на оси \( x \)), C неверен (вершины \( (\pm 2, 0) \) и \( (0, \pm 2\sqrt{5}) \)), D неверен (длины осей \( 4\sqrt{5} \) и \( 4 \)).\nОтвет: A.

### Задача 91 (Эллипс)

中文: 假设椭圆 \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) 的焦点是 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)，且点 \(P\) 在椭圆上，则 \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) ：

English: Suppose the ellipse \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) has foci \(F_{1}\) and \(F_{2}\), and a point \(P\) lies on the ellipse. Then \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) :

Русский: Пусть у эллипса \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) фокусы \(F_{1}\) и \(F_{2}\), а точка \(P\) лежит на эллипсе. Тогда \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) :

A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(8\)
D. \(6\)

Ответ: B

Решение: Уравнение эллипса \(\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1\) даёт \(a^{2}=4\), значит \(a=2\).
По определению эллипса сумма расстояний от любой точки на нём до фокусов равна \(2a\).
Вычисляем: \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\cdot 2=4\).
Ответ: B.

### Задача 134 (Эллипс)

中文: 已知椭圆的长轴长为 \(10\)，两焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 分别在 \((3,0)\) 和 \((-3,0)\)，则该椭圆的方程为：

English: Suppose that the major axis of an ellipse is \(10\), and the two foci \(F_1\), \(F_2\) are located at \((3,0)\) and \((-3,0)\). The equation of the ellipse is:

Русский: Допустим, большая ось эллипса равна \(10\), а два фокуса \(F_1\), \(F_2\) расположены в точках \((3,0)\) и \((-3,0)\). Уравнение эллипса:

A. \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)
B. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)
C. \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1\)
D. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1\)

Ответ: A

Решение: Большая ось \( 2a=10 \), значит \( a=5 \), \( a^2=25 \).
Фокусы \( (\pm 3,0) \) дают \( c=3 \), \( c^2=9 \).
Тогда \( b^2=a^2-c^2=25-9=16 \), фокусы на оси \( x \), значит больший знаменатель под \( x^2 \).
Уравнение: \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \).
Ответ: A.

### Задача 178 (Эллипс)

中文: 若 \(a_n\) 椭圆 \(C\) 以原点为中心，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 \(4\)，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\)，则 \(C\) 的方程为

English: If \(a_n\) ellipse \(C\) is centered at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal length is \(4\), and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is

Русский: Если \(a_n\) эллипс \(C\) с центром в начале координат, фокусы находятся на оси \(y\), фокусное расстояние равно \(4\), а эксцентриситет \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид

A. \(\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{5} = 1\)
B. \(\dfrac{x^{2}}{8} + \dfrac{y^{2}}{12} = 1\)
C. \(\dfrac{x^{2}}{5} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)
D. \(\dfrac{x^{2}}{12} + \dfrac{y^{2}}{8} = 1\)

Ответ: C

Решение: Фокусное расстояние \(2c=4\), значит \(c=2\).
Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\), откуда \(a=3\), \(a^2=9\).
Тогда \(b^2=a^2-c^2=9-4=5\).
Фокусы на оси \(y\), поэтому больший знаменатель под \(y^2\): \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\).
Ответ: C.

### Задача 181 (Эллипс)

中文: 椭圆 \(C\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 有相同的焦点，且其短轴长为 \(4\sqrt{5}\)，则椭圆 \(C\) 的方程为

English: Given that an ellipse \(C\) has the same foci as the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), and its minor axis has a length of \(4\sqrt{5}\), the equation of the ellipse \(C\) is

Русский: Эллипс \(C\) имеет те же фокусы, что и эллипс \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), а длина его малой оси равна \(4\sqrt{5}\). Уравнение эллипса \(C\) имеет вид

A. \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\)
B. \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{20}=1\)
C. \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{45}=1\)
D. \(\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{y^2}{85}=1\)

Ответ: A

Решение: Для эллипса \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) большая полуось \(a_0=3\), малая \(b_0=2\), фокусы на оси \(y\).
\(c^2=a_0^2-b_0^2=9-4=5\), значит \(c=\sqrt{5}\).
Малая ось эллипса \(C\) равна \(4\sqrt{5}\), поэтому \(2b=4\sqrt{5}\), \(b=2\sqrt{5}\), \(b^2=20\).
\(a^2=b^2+c^2=20+5=25\), фокусы на оси \(y\), значит больший знаменатель под \(y^2\).
Уравнение: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\).
Ответ: A.

### Задача 226 (Эллипс)

中文: 若椭圆 \(C\) 的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 4，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\) ，则 \(C\) 的方程是：

English: If the center of ellipse \(C\) is at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal distance is 4, and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is:

Русский: Если центр эллипса \(C\) находится в начале координат, его фокусы лежат на оси \(y\), фокусное расстояние равно 4, а эксцентриситет равен \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид:

A. \(\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{8} = 1\)
B. \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1\)
C. \(\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)
D. \(\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{12} = 1\)

Ответ: C

Решение: Фокусное расстояние \( 2c = 4 \), значит \( c = 2 \).
Эксцентриситет \( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \), откуда \( a = 3 \), \( a^2 = 9 \).
Тогда \( b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5 \).
Фокусы на оси \( y \), большая полуось вдоль \( y \): \( \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \).
Ответ: C.

### Задача 229 (Эллипс)

中文: 下列关于椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（ \(a, b > 0\) ）的说法，正确的是：

English: Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) верно?

A. The foci of the ellipse lie on the \(x\)-axis / 椭圆的焦点在 \(x\) 轴上 / Фокусы эллипса лежат на оси \(x\)
B. The sum of the distances from any point on the ellipse to the two foci is equal to \(2a\) / 椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于 \(2a\) / Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов равна \(2a\)
C. The center of the ellipse is at the origin / 椭圆的中心在原点 / Центр эллипса находится в начале координат
D. The eccentricity of the ellipse is \(e = \dfrac{b}{a}\) / 椭圆的离心率为 \(e = \dfrac{b}{a}\) / Эксцентриситет эллипса равен \(e = \dfrac{b}{a}\)

Ответ: C

Решение: Уравнение \( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) — каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, поэтому C верно.\nA неверно: без условия \( a > b \) фокусы могут лежать и на оси \( y \).\nB неверно: сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси, а \( a \) не обязана быть большей.\nD неверно: эксцентриситет равен \( e = \dfrac{c}{a} \) при \( a > b \), а не \( \dfrac{b}{a} \).
Ответ: C.

### Задача 277 (Эллипс)

中文: 已知椭圆的中心在原点，其长轴是短轴的2倍，且过点 \(P(-2,0)\)，则该椭圆的方程为：

English: An ellipse is centered at the origin, its major axis is twice its minor axis, and it passes through the point \(P(-2,0)\). Then its equation is:

Русский: Эллипс имеет центр в начале координат, его большая ось в 2 раза больше малой оси, и он проходит через точку \(P(-2,0)\). Тогда его уравнение имеет вид:

A. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) or \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) 或 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
B. \(x^2+\dfrac{y^2}{4}=1\)
C. \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) or \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 或 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
D. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

Ответ: C

Решение: Эллипс проходит через \(P(-2,0)\), значит вершина на оси \(x\) равна \(2\), то есть \(a=2\) или \(b=2\).
Большая ось вдвое больше малой, поэтому полуоси равны \(2\) и \(4\).
Если большая ось по \(x\): \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\), но точка \((-2,0)\) не лежит на нём как вершина большой оси, проверка: \(\dfrac{4}{16}+0=\dfrac{1}{4}\neq 1\), не подходит.
Значит полуось по \(x\) равна \(2\): \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b=1\) или \(b=4\).
Получаем \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\).
Ответ: C.