# CSCA Math: Область определения и значений (Domain and range) 15 задач ### Задача 4 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) 的定义域为？ English: The domain of the function \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) is? Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) равна: A. \([-1, +\infty)\) B. \((-1, +\infty)\) C. \((0, +\infty)\) D. \((-\infty, -1)\) Ответ: B Решение: Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x+1 \geq 0\). Корень стоит в знаменателе дроби, поэтому он не может равняться нулю: \(\sqrt{x+1} \neq 0\). Объединяя условия, получаем строгое неравенство \(x+1>0\). Отсюда \(x>-1\). Область определения функции есть промежуток \((-1,+\infty)\). Ответ: B. ### Задача 20 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y = \sqrt{x - 1}\) 的定义域是 English: The domain of the function \(y = \sqrt{x - 1}\) is Русский: Область определения функции \(y = \sqrt{x - 1}\) есть A. \([1, +\infty)\) B. \((1, +\infty)\) C. \((-\infty, 1]\) D. \((-\infty, 1)\) Ответ: A Решение: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x-1\ge 0\). Отсюда \(x\ge 1\), то есть \(x\in[1,+\infty)\). При \(x=1\) корень определён, поэтому скобка квадратная; варианты B, C, D не подходят. Ответ: A. ### Задача 36 (Область определения и значений) 中文: 下列函数与函数 \(y = |x|\) 相同的是： English: Which of the following functions is identical to \(y = |x|\)? Русский: Какая из следующих функций тождественно равна функции \(y = |x|\)? A. \(y = \sqrt[3]{x^3}\) B. \(y = (\sqrt{x})^2\) C. \(y = x\) D. \(y = \sqrt{x^2}\) Ответ: D Решение: Две функции тождественны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений. Функция \(y = |x|\) определена при всех действительных \(x\) и принимает неотрицательные значения. Вариант A: \(y = \sqrt[3]{x^3} = x\), что не равно \(|x|\) при отрицательных \(x\). Вариант B: \(y = (\sqrt{x})^2 = x\) определена только при \(x \geq 0\), область определения уже. Вариант C: \(y = x\) принимает отрицательные значения, не совпадает с \(|x|\). Вариант D: \(y = \sqrt{x^2} = |x|\), область определения — все действительные числа, правило совпадает. Ответ: D. ### Задача 53 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) 的定义域是： English: The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) is: Русский: Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) равна: A. \((-\infty, 1]\) B. \((-\infty, 0) \cup (0, 1)\) C. \((-\infty, 0) \cup (0, 1]\) D. \([1, +\infty)\) Ответ: C Решение: Для дроби \( \dfrac{1}{x} \) требуется \( x \neq 0 \).\nДля корня \( \sqrt{1-x} \) требуется \( 1-x \ge 0 \), то есть \( x \le 1 \).\nОбъединяя условия: \( x \le 1 \) и \( x \neq 0 \).\nОбласть определения: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1] \).\nОтвет: C. ### Задача 83 (Область определения и значений) 中文: 下列哪组函数是同一个函数？ English: Which of the following pairs are the same function? Русский: Какие из следующих пар являются одной и той же функцией? Ошибка в источнике: варианты C и D восстановлены неточно: это не пары функций, а равенство D само по себе тоже верно. A. \(y=(\sqrt{x})^2\) and \(y=\sqrt{x^2}\) are the same function / \(y=(\sqrt{x})^2\) 和 \(y=\sqrt{x^2}\) 是同一个函数 / \(y=(\sqrt{x})^2\) и \(y=\sqrt{x^2}\) — одна и та же функция B. \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) and \(y=x^2-1\) are the same function / \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) 和 \(y=x^2-1\) 是同一个函数 / \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) и \(y=x^2-1\) — одна и та же функция C. \(\sin(-\alpha)=\sin\alpha\) D. \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) Ответ: B Решение: Две функции совпадают, если у них одинаковые области определения и одинаковое правило соответствия. В варианте A область определения первой функции \(x \geq 0\), а второй — все действительные числа, поэтому они не совпадают. В варианте B дробь \(\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) определена при всех \(x\), так как знаменатель \(x^2+1 > 0\) всегда. Числитель раскладывается как разность квадратов: \(x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)\). После сокращения на \(x^2+1\) получаем \(y = x^2-1\) с той же областью определения, значит функции совпадают. Варианты C и D являются тригонометрическими тождествами, а не парами функций. Ответ: B. ### Задача 100 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) 的定义域是： English: The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) is: Русский: Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\): A. \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\) B. \(\mathbb{R}\) C. \((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\) D. \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) Ответ: D Решение: Область определения задаётся условием: знаменатель не равен нулю. \(1 - x \neq 0\), значит \(x \neq 1\). Область определения: \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\). Ответ: D. ### Задача 128 (Область определения и значений) 中文: 函数\(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\)（\(x\in\mathbb{R}\)）的值域是： English: The range of the function \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)) is: Русский: Область значений функции \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)): A. \((0,1]\) B. \([0,1]\) C. \([0,1)\) D. \((0,1)\) Ответ: A Решение: Для любого действительного \(x\) модуль \(|x|\geqslant 0\), поэтому знаменатель \(1+|x|\geqslant 1\). Дробь \(\dfrac{1}{1+|x|}\) принимает наибольшее значение \(1\) при \(x=0\). При \(|x|\to\infty\) знаменатель неограниченно растёт, а значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает. Значит, множество значений функции — полуинтервал \((0,1]\). Ответ: A. ### Задача 143 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x)=\sqrt[3]{3x+1}\) 的定义域是 English: The domain of the function \(f(x)=\sqrt[3]{3x+1}\) is Русский: Область определения функции \(f(x)=\sqrt[3]{3x+1}\) — A. \((-\infty,0]\) B. \((-\infty,+\infty)\) C. \([1,+\infty)\) D. \([0,+\infty)\) Ответ: B Решение: Функция задана кубическим корнем \(f(x) = \sqrt[3]{3x+1}\). Кубический корень извлекается из любого действительного числа, в отличие от квадратного. Выражение под корнем \(3x+1\) определено при всех действительных значениях \(x\). Область определения функции — вся числовая прямая \((-\infty, +\infty)\). Ответ: B. ### Задача 174 (Область определения и значений) 中文: 若函数 \(y=f(x)\) 的定义域为 \((-1,0)\)，则函数 \(y=f(x^2-1)\) 的定义域为 English: If the function \(y=f(x)\) has a domain \((-1,0)\), then the domain of the function \(y=f(x^2-1)\) is Русский: Если область определения функции \(y=f(x)\) есть \((-1,0)\), то область определения функции \(y=f(x^2-1)\) есть A. \([-1,1]\) B. \((-1,1)\) C. \((-1,0)\cup(0,1)\) D. \((-1,0)\) Ответ: C Решение: Область определения функции \(f(x)\) есть \((-1, 0)\), поэтому аргумент функции \(f(x^2 - 1)\) должен удовлетворять неравенству \(-1 < x^2 - 1 < 0\). Прибавляем 1 ко всем частям: \(0 < x^2 < 1\). Неравенство \(x^2 > 0\) означает, что \(x \neq 0\). Неравенство \(x^2 < 1\) даёт \(-1 < x < 1\). Пересечение условий: \(x \in (-1, 0) \cup (0, 1)\). Ответ: C. ### Задача 180 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) 的定义域是 English: The domain of the function \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) is Русский: Область определения функции \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) состоит из A. \((-\infty, 4) \cup (4, 5) \cup (5, 6) \cup (6, +\infty)\) B. \((-\infty, 4) \cup (4, +\infty)\) C. \((-\infty, 5) \cup (5, 6) \cup (6, +\infty)\) D. \((-\infty, 5) \cup (5, +\infty)\) Ответ: A Решение: Для логарифма требуется \(|x-5|>0\), то есть \(x \ne 5\). Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(\lg|x-5| \ne 0\), значит \(|x-5| \ne 1\). Отсюда \(x-5 \ne \pm 1\), то есть \(x \ne 4\) и \(x \ne 6\). Область определения: все действительные числа, кроме \(4\), \(5\), \(6\). Ответ: A. ### Задача 190 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) 的定义域为： English: The domain of the function \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) is: Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\): A. \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\) B. \(\{1,2,3\}\) C. \([1,3]\) D. \(\mathbb{R}\) Ответ: A Решение: Функция определена при условии, что знаменатели всех дробей не равны нулю. Из первого слагаемого получаем ограничение \(x-1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\). Из второго слагаемого \(x-2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Из третьего слагаемого \(x-3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\). Область определения — вся числовая прямая кроме точек 1, 2 и 3, что соответствует объединению интервалов \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\). Ответ: A. ### Задача 221 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) 的定义域是： English: The domain of the function \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) is: Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\): A. \([-3,+\infty)\) B. \((-3,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) C. \((0,2)\cup(2,+\infty)\) D. \([-3,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) Ответ: C Решение: Область определения функции задаётся системой ограничений для каждого её элемента. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x + 3 \geq 0\), откуда \(x \geq -3\). Знаменатель дроби не может равняться нулю: \(x - 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(x > 0\). Пересечение условий \(x \geq -3\) и \(x > 0\) даёт \(x > 0\). Исключая точку \(x = 2\), получаем область определения \((0, 2) \cup (2, +\infty)\). Ответ: C. ### Задача 238 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\) 的定义域为： English: The domain of the function \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\) is: Русский: Область определения функции \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\): A. \(\{x\mid 00\}\) C. \(\{x\mid x\leq 1\}\) D. \(\{x\mid x\geq 1\}\) Ответ: A Решение: Логарифм \(\ln x\) определён при \(x>0\). Корень \(\sqrt{1-x}\) определён при \(1-x \geq 0\), то есть \(x \leq 1\). Пересечение условий: \(0 < x \leq 1\). Ответ: A. ### Задача 269 (Область определения и значений) 中文: 下列各对函数中，两函数相同的是： English: Which pair of functions are identical? Русский: Какая из следующих пар функций является тождественно равной? A. \(y=\ln x^2\) and \(y=2\ln x\) / \(y=\ln x^2\)与\(y=2\ln x\) / \(y=\ln x^2\) и \(y=2\ln x\) B. \(y=|x-1|\) and \(y=\sqrt{(x-1)^2}\) / \(y=|x-1|\)与\(y=\sqrt{(x-1)^2}\) / \(y=|x-1|\) и \(y=\sqrt{(x-1)^2}\) C. \(y=x^2+1\) and \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) / \(y=x^2+1\)与\(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) / \(y=x^2+1\) и \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) D. \(y=\ln[x(x-1)]\) and \(y=\ln x+\ln(x-1)\) / \(y=\ln[x(x-1)]\)与\(y=\ln x+\ln(x-1)\) / \(y=\ln[x(x-1)]\) и \(y=\ln x+\ln(x-1)\) Ответ: B Решение: Две функции тождественно равны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений. В варианте A область определения первой функции все \(x\neq 0\), а второй только \(x>0\). В варианте B обе функции определены на всей числовой прямой, и по свойству модуля \(|x-1|=\sqrt{(x-1)^2}\) для любого \(x\). В варианте C вторая функция не определена при \(x=\pm 1\), а первая определена везде. В варианте D области определения различаются: первая требует \(x(x-1)>0\), вторая \(x>0\) и \(x-1>0\). Ответ: B. ### Задача 287 (Область определения и значений) 中文: 已知 \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\)，则 \(f(3) =\)： English: Given that \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\), then \(f(3) =\): Русский: Дано, что \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\), тогда \(f(3) =\): A. \(15\) B. \(35\) C. \(26\) D. \(29\) Ответ: A Решение: Чтобы найти \(f(3)\), нужно подобрать \(x\) так, чтобы \(x+1=3\), откуда \(x=2\). Подставляем \(x=2\) в выражение \(f(x+1)=x^2+4x+3\). Получаем \(f(3)=2^2+4\cdot 2+3=4+8+3=15\). Ответ: A.