# CSCA Math: Показательная функция (Exponential functions)

7 задач

### Задача 15 (Показательная функция)

中文: 下列不等式正确的是

English: Which of the following inequalities is correct?

Русский: Какое из следующих неравенств верно?

A. \(0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}\)
B. \(3^{4.5} > 3^5\)
C. \(2.1^{-2} > 2.1^{-2}\)
D. \(2.1^{\frac{2}{3}} > 1.2^{\frac{2}{3}}\)

Ответ: D

Решение: A: основание \(0{,}75<1\), функция убывает, поэтому \(0{,}75^{-0{,}2}<0{,}75^{-0{,}4}\) — неверно.\nB: основание \(3>1\), функция возрастает, поэтому \(3^{4{,}5}<3^5\) — неверно.\nC: слева и справа одно и то же число, строгое неравенство невозможно — неверно.\nD: степень \(\dfrac{2}{3}>0\), функция \(x^{2/3}\) возрастает при \(x>0\), а \(2{,}1>1{,}2\), значит \(2{,}1^{2/3}>1{,}2^{2/3}\) — верно.
Ответ: D.

### Задача 26 (Показательная функция)

中文: 下列关于函数 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) 的描述正确的是：

English: Which of the following descriptions about the function \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является верным?

A. The function is symmetric about the origin / 该函数关于原点对称 / Функция симметрична относительно начала координат
B. The function is symmetric about the \(x\)-axis / 该函数关于 \(x\) 轴对称 / Функция симметрична относительно оси \(x\)
C. The function is monotonically increasing / 该函数单调递增 / Функция является монотонно возрастающей
D. The function is monotonically decreasing / 该函数单调递减 / Функция является монотонно убывающей

Ответ: D

Решение: Функция \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является показательной функцией с основанием \(a = \dfrac{1}{2}\).
Так как \(0 < a < 1\), функция монотонно убывает на всей числовой прямой.
Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной, поэтому симметрии относительно оси ординат или начала координат нет.
График расположен выше оси абсцисс, поэтому симметрия относительно оси \(x\) невозможна.
Варианты A, B и C неверны, верен только вариант D.
Ответ: D.

### Задача 71 (Показательная функция)

中文: 关于指数函数 \(y = a^x\)（\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），下列说法错误的是：

English: Regarding the exponential function \(y = a^x\) (\(a > 0\) and \(a \neq 1\)), which of the following statements is incorrect?

Русский: Относительно показательной функции \(y = a^x\) (\(a > 0\) и \(a \neq 1\)), какое из следующих утверждений неверно?

A. The range is \((0, +\infty)\) / 值域为 \((0, +\infty)\) / Область значений — \((0, +\infty)\)
B. The graph passes through the point \((0, 1)\) / 图像经过点 \((0, 1)\) / График проходит через точку \((0, 1)\)
C. The function is increasing over its domain / 函数在定义域上是增函数 / Функция является возрастающей на всей области определения
D. The domain is \(\mathbb{R}\) / 定义域为 \(\mathbb{R}\) / Область определения — \(\mathbb{R}\)

Ответ: C

Решение: Область определения показательной функции \(y = a^x\) — все действительные числа, область значений — \((0, +\infty)\), график проходит через точку \((0, 1)\).
Утверждения A, B и D верны для любых допустимых оснований.
Если \(0 < a < 1\), функция убывает на всей области определения, поэтому утверждение C не всегда верно.
Ответ: C.

### Задача 75 (Показательная функция)

中文: 下列哪个不等式是正确的：

English: Which of the following inequalities is correct?

Русский: Какое из следующих неравенств верно?

A. \(2.1^{-2}>1.2^{-2}\)
B. \(0.75^{-0.2}>0.75^{-0.4}\)
C. \(3^{2.25}>3^3\)
D. \(2.1^{2/3}>1.2^{2/3}\)

Ответ: D

Решение: Степенная функция \(y = x^{2/3}\) возрастает при \(x > 0\), так как показатель \(\dfrac{2}{3} > 0\).
Поскольку \(2.1 > 1.2 > 0\), получаем \(2.1^{2/3} > 1.2^{2/3}\), что совпадает с вариантом D.
В варианте A: \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\), так как \(2.1^2 > 1.2^2\).
В варианте B: основание \(0.75 < 1\), поэтому при большем показателе значение меньше, то есть \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).
В варианте C: основание \(3 > 1\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).
Ответ: D.

### Задача 119 (Показательная функция)

中文: 若指数函数 \(y=a^x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增，则 \(a\) 的取值范围是：

English: If the exponential function \(y=a^x\) is monotonically increasing on \(\mathbb{R}\), then the range of \(a\) is:

Русский: Если показательная функция \(y=a^x\) монотонно возрастает на \(\mathbb{R}\), то множество значений \(a\):

A. \(a>1\) / \(a>1\) / \(a>1\)
B. \(a<0\) or \(a>1\) / \(a<0\) 或 \(a>1\) / \(a<0\) или \(a>1\)
C. \(0<a<1\) / \(0<a<1\) / \(0<a<1\)
D. \(a>0\) / \(a>0\) / \(a>0\)

Ответ: A

Решение: Показательная функция \(y=a^x\) определена при \(a>0\), \(a\neq 1\).
При \(a>1\) она возрастает на \(\mathbb{R}\), при \(0<a<1\) — убывает.
Значит условию возрастания отвечает \(a>1\).
Ответ: A.

### Задача 163 (Показательная функция)

中文: 若指数函数 \(y = a^x\) 单调递减，则 \(a\) 的取值范围是：

English: If the exponential function \(y = a^x\) is monotonically decreasing, then the range of \(a\) is:

Русский: Если показательная функция \(y = a^x\) монотонно убывает, то область значений параметра \(a\) имеет вид:

A. \(a > 0\)
B. \(0 < a < 1\)
C. \(a > 1\)
D. \(a < 1\)

Ответ: B

Решение: Показательная функция \(y = a^x\) определена при \(a > 0\) и \(a \neq 1\).
Функция монотонно убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда основание меньше единицы.
Следовательно, \(0 < a < 1\).
Вариант A допускает \(a > 1\), при котором функция возрастает.
Вариант D допускает отрицательные значения, при которых показательная функция не определена.
Ответ: B.

### Задача 195 (Показательная функция)

中文: 下列函数中单调递减的是：

English: Which of the following functions is monotonically decreasing?

Русский: Какая из следующих функций монотонно убывает?

A. \(y=\dfrac{1}{e^x}\)
B. \(y=x^2-1\)
C. \(y=100x\)
D. \(y=\cos x\)

Ответ: A

Решение: Функция \(y = \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}\) имеет основание степени \(e > 1\) и отрицательный показатель, поэтому она монотонно убывает на всей числовой прямой.
Функция \(y = x^2 - 1\) убывает только при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\).
Функция \(y = 100x\) является линейной с положительным коэффициентом и монотонно возрастает.
Функция \(y = \cos x\) периодически возрастает и убывает, не являясь монотонной.
Ответ: A.