# CSCA Math: Обратная функция и преобразования графиков (Inverse functions and graph transformations)

7 задач

### Задача 9 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y = x^3\) 的反函数是

English: The inverse function of \(y = x^3\) is

Русский: Обратная функция функции \(y = x^3\) равна

A. \(y = \dfrac{x}{3}\)
B. \(y = 3x\)
C. \(y = x^3\)
D. \(y = \sqrt[3]{x}\)

Ответ: D

Решение: Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y=x^3\).
Извлекаем кубический корень: \(x=\sqrt[3]{y}\).
Меняем переменные местами: \(y=\sqrt[3]{x}\).
Ответ: D.

### Задача 57 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y = x^3 + 3\)，\(x \in \mathbb{R}\) 的反函数是：

English: The inverse function of the function \(y = x^3 + 3\), \(x \in \mathbb{R}\) is:

Русский: Обратная функция функции \(y = x^3 + 3\), \(x \in \mathbb{R}\) равна:

A. \(y = \sqrt[3]{x - 3},\ x \in \mathbb{R}\)
B. \(y = \sqrt[3]{x + 3},\ x \ge -3\)
C. \(y = \sqrt[3]{x + 3},\ x \in \mathbb{R}\)
D. \(y = \sqrt[3]{x - 3},\ x \ge 3\)

Ответ: A

Решение: Выражаем \(x\) через \(y\): \(y-3=x^3\), значит \(x=\sqrt[3]{y-3}\).
Меняем переменные местами: обратная функция \(y=\sqrt[3]{x-3}\).
Кубический корень определён при всех \(x\), поэтому \(x\in\mathbb{R}\).
Варианты с \(x+3\) и с ограничением области не подходят.
Ответ: A.

### Задача 104 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) 的反函数是：

English: The inverse function of \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) is:

Русский: Обратная функция к \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) равна:

A. \(y = \dfrac{x+2}{2x-3}\)
B. \(y = \dfrac{2x-3}{x+2}\)
C. \(y = -\dfrac{2x-3}{x+2}\)
D. \(y = -\dfrac{x+2}{2x-3}\)

Ответ: D

Решение: Выражаем \(x\) из \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\): \(y(2x+1)=3x-2\).
\(2xy+y=3x-2\), \(x(2y-3)=-y-2\), \(x=\dfrac{-y-2}{2y-3}=-\dfrac{y+2}{2y-3}\).
Меняем \(x\) и \(y\): \(y=-\dfrac{x+2}{2x-3}\).
Ответ: D.

### Задача 148 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y=10x+3\) 的反函数是

English: The inverse function of the function \(y=10x+3\) is

Русский: Функция, обратная к функции \(y=10x+3\), —

A. \(y=\dfrac{x+10}{3}\)
B. \(y=\dfrac{x-10}{3}\)
C. \(y=\dfrac{x+3}{10}\)
D. \(y=\dfrac{x-3}{10}\)

Ответ: D

Решение: Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y = 10x + 3\).
Переносим 3 в левую часть: \(y - 3 = 10x\).
Делим обе части на 10: \(x = \dfrac{y - 3}{10}\).
Меняем переменные местами для записи обратной функции: \(y = \dfrac{x - 3}{10}\).
Ответ: D.

### Задача 194 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y=2x\)，\(x\in[-1,1]\) 的反函数是：

English: The inverse function of \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\) is:

Русский: Обратная функция для \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\):

A. \(y=\dfrac{x}{2}, x\in[-1,1]\)
B. \(y=\dfrac{x}{2}\)
C. \(y=\dfrac{x}{2}, x\in[-2,2]\)
D. \(y=2x, x\in[-1,1]\)

Ответ: C

Решение: Исходная функция \(y = 2x\) задана на отрезке \(x \in [-1, 1]\).
Выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \dfrac{y}{2}\).
Меняем переменные местами, получаем обратную функцию \(y = \dfrac{x}{2}\).
Область значений исходной функции при \(x \in [-1, 1]\) равна \([-2, 2]\), это и будет областью определения обратной функции.
Ответ: C.

### Задача 243 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 设函数 \(y = 1-x^3\)，则其反函数为：

English: Given function \(y = 1 - x^3\), its inverse function is:

Русский: Дана функция \(y = 1 - x^3\), её обратная функция:

A. \(y = \sqrt[3]{1-x}\)
B. \(y = \sqrt[3]{x-1}\)
C. \(y = \sqrt[3]{1+x}\)
D. \(y = \sqrt{1-x}\)

Ответ: A

Решение: Выражаем \(x\) через \(y\): \(x^3=1-y\), откуда \(x=\sqrt[3]{1-y}\).
Меняем местами переменные: \(y=\sqrt[3]{1-x}\).
Кубический корень определён при всех \(x\), ограничений нет.
Ответ: A.

### Задача 257 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 关于幂函数 \(y=x^3\) 和 \(y=x^{1/3}\)，下列结论中正确的是

English: Regarding power functions \(y=x^3\) and \(y=x^{1/3}\), which conclusion is correct?

Русский: Относительно степенных функций \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) какое из утверждений верно?

A. Graphs are symmetric with respect to the \(x\)-axis / 两函数的图像关于 \(x\) 轴对称 / Графики функций симметричны относительно оси \(x\)
B. Graphs are symmetric with respect to the line \(y=x\) / 两函数的图像关于直线 \(y=x\) 对称 / Графики функций симметричны относительно прямой \(y=x\)
C. Graphs are symmetric with respect to the \(y\)-axis / 两函数的图像关于 \(y\) 轴对称 / Графики функций симметричны относительно оси \(y\)
D. Graphs are symmetric with respect to the origin / 两函数的图像关于原点对称 / Графики функций симметричны относительно начала координат

Ответ: B

Решение: Функции \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) являются взаимно обратными.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y=x\).
Ответ: B.