# CSCA Math: Логарифмы (Logarithms)

11 задач

### Задача 30 (Логарифмы)

中文: 计算 \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\)

English: Calculate \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\)

Русский: Вычислите \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\)

A. \(-5\)
B. \(10\)
C. \(0\)
D. \(5\)

Ответ: C

Решение: Вычисляем первое слагаемое: \(\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5\).
Вычисляем второе слагаемое: \(\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{2^{-1}} 2^5 = \dfrac{5}{-1} = -5\).
Складываем: \(5 + (-5) = 0\).
Ответ: C.

### Задача 42 (Логарифмы)

中文: 关于对数函数 \(y = \log_a x\) ，下面说法正确的是：

English: Which of the following statements about the logarithmic function \(y = \log_a x\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о логарифмической функции \(y = \log_a x\) верно?

A. The domain of this function is \((-\infty, +\infty)\) / 该函数的定义域为 \((-\infty, +\infty)\) / Область определения этой функции — \((-\infty, +\infty)\)
B. When \(a > 1\), it is a monotonically decreasing function over its domain / 当 \(a > 1\) 时，在定义域上是一个单调递减函数 / При \(a > 1\) функция монотонно убывает на своей области определения
C. When \(a > 1\), for any \(x > 0\) we always have \(\log_a x > 1\) / 当 \(a > 1\) 时，对任意的 \(x > 0\) 总有 \(\log_a x > 1\) / При \(a > 1\) для любого \(x > 0\) всегда выполняется \(\log_a x > 1\)
D. When \(0 < a < 1\), it is a monotonically decreasing function over its domain / 当 \(0 < a < 1\) 时，在定义域上是一个单调递减函数 / При \(0 < a < 1\) функция монотонно убывает на своей области определения

Ответ: D

Решение: Область определения \((0,+\infty)\), а не \((-\infty,+\infty)\) — A неверно.
При \(a>1\) логарифм возрастает — B неверно.
При \(a>1\) и \(0<x<1\) имеем \(\log_a x<0\) — C неверно.
При \(0<a<1\) функция \(y=\log_a x\) убывает на всей области определения — D верно.
Ответ: D.

### Задача 77 (Логарифмы)

中文: 设 \(a>0\)，\(b>0\) 为实数。那么下列哪个陈述是不正确的：

English: Let \(a>0\) and \(b>0\) be real numbers. Then which of the following statements is incorrect?

Русский: Пусть \(a>0\) и \(b>0\) — действительные числа. Какое из следующих утверждений неверно?

A. \(\ln(a^b)=b\ln a\)
B. \(\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}\ (a\neq 1,\ b\neq 1)\)
C. \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b\)
D. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)

Ответ: B

Решение: Проверим свойства логарифмов для \(a > 0\) и \(b > 0\).
Вариант A: \(\ln(a^b) = b \ln a\) — верное свойство логарифма степени.
Вариант C: \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) — верное свойство логарифма частного.
Вариант D: \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) — верное свойство логарифма произведения.
Вариант B: формула перехода к новому основанию \(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}\) требует только условия \(a > 0\) и \(a \neq 1\), а ограничение \(b \neq 1\) является лишним и делает утверждение некорректным, так как при \(b = 1\) формула даёт верный результат \(\log_a 1 = 0\).
Ответ: B.

### Задача 89 (Логарифмы)

中文: 如果函数 \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) 的图像经过一个定点 \(P\)，则 \(P\) 的坐标是：

English: If the graph of the function \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) passes through a fixed point \(P\), then the coordinates of \(P\) are:

Русский: Если график функции \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) проходит через фиксированную точку \(P\), то координаты \(P\) равны:

A. \((3,1)\)
B. \((3,0)\)
C. \((4,0)\)
D. \((4,2)\)

Ответ: D

Решение: Логарифм \(\log_{a}(x-3)\) равен нулю при \(x-3=1\), то есть при \(x=4\).
Подставляем \(x=4\) в функцию: \(f(4)=2+\log_{a}(1)=2+0=2\).
Функция проходит через точку \((4,2)\) при любом допустимом основании \(a\).
Ответ: D.

### Задача 123 (Логарифмы)

中文: 设 \(a=\lg 4\)，\(b=\lg 5\)，则 \(a+2b=\)

English: Let \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Then \(a+2b=\)

Русский: Пусть \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Тогда \(a+2b=\)

A. \(100\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(2\)

Ответ: D

Решение: По свойству логарифмов \(2b=2\lg 5=\lg 25\).
Тогда \(a+2b=\lg 4+\lg 25=\lg(4\cdot 25)=\lg 100\).
Так как \(\lg 100=2\), получаем \(a+2b=2\).
Ответ: D.

### Задача 133 (Логарифмы)

中文: 设 \(f(x)=\log_5(2x+1)\)，则不等式 \(f(x)\ge 0\) 的解集是：

English: Let \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Then the solution set of \(f(x)\ge 0\) is:

Русский: Пусть \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Тогда множество решений неравенства \(f(x)\ge 0\):

A. \(\{x \mid x > 1\}\)
B. \(\{x \mid x > 0\}\)
C. \(\{x \mid x \geq 0\}\)
D. \(\{x \mid x \geq 1\}\)

Ответ: C

Решение: Неравенство \( \log_5(2x+1)\ge 0 \) равносильно \( 2x+1\ge 5^0=1 \), так как основание \( 5>1 \).
Отсюда \( 2x\ge 0 \), то есть \( x\ge 0 \), при этом область определения \( x>-\dfrac{1}{2} \) выполнена.
Ответ: C.

### Задача 168 (Логарифмы)

中文: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\)

English: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\)

Русский: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\)

A. \(\dfrac{1}{6}\)
B. \(2\)
C. \(6\)
D. \(5\)

Ответ: B

Решение: \(\log_3 27=\log_3 3^3=3\).
\(\log_{64}16=\dfrac{\lg 16}{\lg 64}=\dfrac{4\lg 2}{6\lg 2}=\dfrac{2}{3}\).
Произведение: \(3\cdot\dfrac{2}{3}=2\).
Ответ: B.

### Задача 215 (Логарифмы)

中文: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\)。

English: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\).

Русский: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\).

A. \(3\)
B. \(2\)
C. \(0\)
D. \(4\)

Ответ: A

Решение: Логарифм единицы по любому основанию равен нулю: \(\log_5 1 = 0\).
Переходим к основанию 5 во втором логарифме: \(\log_{25} 4 = \dfrac{\log_5 4}{\log_5 25} = \dfrac{\log_5 4}{2}\).
Делим первый логарифм на полученное выражение: \(\dfrac{\log_5 8}{\frac{\log_5 4}{2}} = \dfrac{2 \log_5 8}{\log_5 4}\).
Используем свойства логарифмов: \(\log_5 8 = 3 \log_5 2\) и \(\log_5 4 = 2 \log_5 2\).
Подставляем и сокращаем: \(\dfrac{2 \cdot 3 \log_5 2}{2 \log_5 2} = 3\).
Ответ: A.

### Задача 228 (Логарифмы)

中文: 关于对数函数下面说法正确的是：

English: Which of the following statements about logarithmic functions is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о логарифмических функциях является верным?

A. \(\log_2 3 < \log_3 5\)
B. If \(\log_a x > \log_a x^2\) ( \(a > 1\) ), then \(0 < x < 1\) / 若 \(\log_a x > \log_a x^2\)（ \(a > 1\) ），则 \(0 < x < 1\) / Если \(\log_a x > \log_a x^2\) ( \(a > 1\) ), то \(0 < x < 1\)
C. \(\log_{100} 10 = \log_{10} 1\)
D. If \(\log_a x > \log_b x\), then \(a > b\) / 若 \(\log_a x > \log_b x\)，则 \(a > b\) / Если \(\log_a x > \log_b x\), то \(a > b\)

Ответ: B

Решение: При \(a>1\) функция \(\log_a t\) возрастает, поэтому из \(\log_a x > \log_a x^2\) следует \(x > x^2\) при \(x>0\).
Неравенство \(x > x^2\) равносильно \(x(1-x)>0\), откуда \(0<x<1\), вариант B верен.
Проверка A: \(\log_2 3 \approx 1{,}58\), \(\log_3 5 \approx 1{,}46\), неравенство неверно.
Проверка C: \(\log_{100} 10 = \dfrac{1}{2}\), а \(\log_{10} 1 = 0\), равенства нет.
Проверка D: при \(x=2\), \(a=2\), \(b=3\) имеем \(\log_2 2 = 1 > \log_3 2\), но \(a<b\), утверждение неверно.
Ответ: B.

### Задача 262 (Логарифмы)

中文: 计算 \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)

English: Calculate \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)

Русский: Вычислите \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)

A. \(\dfrac{3}{2}\)
B. \(-\dfrac{3}{2}\)
C. \(-\dfrac{2}{3}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\)

Ответ: A

Решение: По формуле смены основания \(\log_4 27=\dfrac{\log_2 27}{\log_2 4}\).
\(\log_2 27=\log_2 3^3=3\log_2 3\), а \(\log_2 4=2\).
Тогда \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\dfrac{3\log_2 3}{2\log_2 3}=\dfrac{3}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 276 (Логарифмы)

中文: 已知 \(a=\ln 3\)，\(b=\log_{0.3}2\)，\(c=\log_3 2\)，则 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的大小关系是：

English: Given \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\), then the order of \(a\), \(b\), \(c\) is:

Русский: Дано \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\). Тогда порядок величин \(a\), \(b\), \(c\):

A. \(a<c<b\)
B. \(c<a<b\)
C. \(a<b<c\)
D. \(b<c<a\)

Ответ: D

Решение: Так как \(3 > e\), то \(a = \ln 3 > \ln e = 1\).
Основание логарифма в \(b = \log_{0.3} 2\) меньше единицы, а аргумент больше единицы, поэтому \(b < 0\).
Для \(c = \log_3 2\) основание больше единицы и \(1 < 2 < 3\), значит \(0 < c < 1\).
Собираем вместе: \(b < 0 < c < 1 < a\), то есть \(b < c < a\).
Ответ: D.