# CSCA Math: Степенные и квадратичные функции (Power and quadratic functions)

3 задачи

### Задача 209 (Степенные и квадратичные функции)

中文: 下列关于函数 \(y = x^2\) 说法正确的是：

English: Which of the following statements about the function \(y = x^2\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = x^2\) верно?

A. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат
B. The function is monotonically decreasing on its domain / 函数在定义域上单调递减 / Функция монотонно убывает на своей области определения
C. The graph of the function is symmetric about the \(y\)-axis / 函数的图象关于 \(y\) 轴对称 / График функции симметричен относительно оси \(y\)
D. The function is monotonically increasing on its domain / 函数在定义域上单调递增 / Функция монотонно возрастает на своей области определения

Ответ: C

Решение: Функция \(y = x^2\) чётная: \((-x)^2 = x^2\), поэтому её график симметричен относительно оси \(y\).\nA неверно: симметрия относительно начала координат бывает у нечётных функций.\nB и D неверны: функция убывает при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\), на всей области определения монотонной не является.
Ответ: C.

### Задача 261 (Степенные и квадратичные функции)

中文: 下列不等式正确的是：

English: Which of the following inequalities is correct?

Русский: Какое из следующих неравенств верно?

A. \(2.1^3 > 1.2^3\)
B. \(2.1^{-2} > 1.2^{-2}\)
C. \(0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}\)
D. \(3^{2.25} > 3^3\)

Ответ: A

Решение: Степенная функция \(y = x^3\) возрастает при \(x > 0\).
Так как \(2.1 > 1.2\), то \(2.1^3 > 1.2^3\), вариант A верен.
В варианте B функция \(y = x^{-2}\) убывает при \(x > 0\), поэтому \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\).
В варианте C показательная функция с основанием \(0.75 < 1\) убывает, а \(-0.2 > -0.4\), значит \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).
В варианте D основание \(3 > 1\), функция возрастает, но \(2.25 < 3\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).
Ответ: A.

### Задача 305 (Степенные и квадратичные функции)

中文: 下列结论中正确的是：① 当 \(n\) 为奇数时，\(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\)；② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\)；③ 函数 \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) 的定义域为 \(\{3\}\)；④ \((\sqrt{a})^2=a\)。

English: Which of the following conclusions are correct? ① When \(n\) is odd, \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\); ② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\); ③ the domain of the function \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) is \(\{3\}\); ④ \((\sqrt{a})^2=a\).

Русский: Какие из следующих утверждений верны? ① Если \(n\) нечётное, то \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\); ② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\); ③ область определения функции \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) есть \(\{3\}\); ④ \((\sqrt{a})^2=a\).

Ошибка в источнике: в ключе источника B (одно верное утверждение). Спорно только ④: оно верно везде, где определено, то есть при \(a\ge 0\).

A. 0 correct / 0 个正确 / верных: 0
B. 1 correct / 1 个正确 / верных: 1
C. 2 correct / 2 个正确 / верных: 2
D. 3 correct / 3 个正确 / верных: 3

Ответ: D

Решение: ① Верно: корень нечётной степени определён для любых чисел и \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\).
② Неверно: \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\).
③ Верно: нужно \(x-3\ge 0\) и \(3-x\ge 0\), откуда \(x=3\).
④ Верно: \(\sqrt{a}\) определён только при \(a\ge 0\), и тогда \((\sqrt{a})^2=a\).
Верных утверждений три.
Ответ: D.