# CSCA Math: Монотонность и чётность (Monotonicity and parity) 11 задач ### Задача 8 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数中，哪个是奇函数？ English: Which of the following functions is an odd function? Русский: Какая из следующих функций является нечётной? A. \(y = x \sin x\) B. \(y = x^4\) C. \(y = \cos x\) D. \(y = x + x^3\) Ответ: D Решение: Функция нечётная, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Для \(y = x + x^3\) получаем \(f(-x) = -x + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x + x^3) = -f(x)\), значит функция нечётная. Вариант A: \((-x)\sin(-x) = x\sin x\) — чётная. Варианты B и C также чётные, так как \((-x)^4 = x^4\) и \(\cos(-x) = \cos x\). Ответ: D. ### Задача 10 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数中单调递增的是 English: Which of the following functions is monotonically increasing? Русский: Какая из следующих функций монотонно возрастает? A. \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) B. \(y = \log_{0.5} x\) C. \(y = 2x+1\) D. \(y = \sin x\) Ответ: C Решение: \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) убывает, так как основание меньше \(1\). \(y=\log_{0.5}x\) убывает, так как основание логарифма меньше \(1\). \(y=\sin x\) не монотонна на всей прямой. \(y=2x+1\) — линейная функция с угловым коэффициентом \(2>0\), она возрастает. Ответ: C. ### Задача 56 (Монотонность и чётность) 中文: 关于函数 \(f(x)=x^4+3\)，下列哪个陈述是正确的？ English: About the function \(f(x)=x^4+3\), which of the following statements is correct? Русский: О функции \(f(x)=x^4+3\), какое из следующих утверждений верно? A. The function is odd / 函数是奇函数 / Функция является нечётной B. None is true / 以上都不是 / Ничего из вышеперечисленного C. Neither odd nor even / 函数既不是奇函数也不是偶函数 / Функция не является ни чётной, ни нечётной D. The function is even / 函数是偶函数 / Функция является чётной Ответ: D Решение: Проверяем чётность: \(f(-x)=(-x)^4+3=x^4+3=f(x)\). Равенство \(f(-x)=f(x)\) выполнено для всех \(x\), значит функция чётная. Ответ: D. ### Задача 59 (Монотонность и чётность) 中文: 已知 \(y = |x|\)，下列哪个结论是正确的？ English: Given that \(y = |x|\), which of the following conclusions is correct? Русский: Если \(y = |x|\), какое из следующих утверждений верно? A. When \(x < 0\), it is an increasing function / 当 \(x < 0\) 时，函数是增函数 / При \(x < 0\) функция возрастает B. When \(x > 0\), it is an increasing function / 当 \(x > 0\) 时，函数是增函数 / При \(x > 0\) функция возрастает C. When \(x \in \mathbb{R}\), it is a decreasing function / 当 \(x \in \mathbb{R}\) 时，函数是减函数 / При \(x \in \mathbb{R}\) функция убывает D. When \(x \in \mathbb{R}\), it is an increasing function / 当 \(x \in \mathbb{R}\) 时，函数是增函数 / При \(x \in \mathbb{R}\) функция возрастает Ответ: B Решение: При \(x>0\) имеем \(y=|x|=x\), это возрастающая прямая. При \(x<0\) имеем \(y=-x\), функция убывает. На всей прямой \(\mathbb{R}\) функция не монотонна, поэтому C и D неверны. Верное утверждение: при \(x>0\) функция возрастает. Ответ: B. ### Задача 103 (Монотонность и чётность) 中文: 在其定义域上，函数 \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) 是： English: Over its domain, the function \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) is: Русский: На своей области определения функция \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) является: A. uncertain about its parity / 无法确定其奇偶性 / неопределено её чётность B. neither odd nor even / 既非奇函数也非偶函数 / не является ни нечётной, ни чётной функцией C. odd / 奇函数 / нечётная функция D. even / 偶函数 / чётная функция Ответ: D Решение: Область определения: \(x^{2}>0\), то есть \(x\neq0\), она симметрична относительно нуля. \(f(-x)=\ln((-x)^{2})=\ln(x^{2})=f(x)\). Значит, функция чётная. Ответ: D. ### Задача 146 (Монотонность и чётность) 中文: 下列哪个函数是奇函数？ English: Which of the following functions is an odd function? Русский: Какая из следующих функций является нечётной? A. \(y=\sqrt{3x+2}\) B. \(y=x^2+3\) C. \(y=x^3+1\) D. \(y=-x\) Ответ: D Решение: Нечётная функция должна удовлетворять условию \(f(-x) = -f(x)\) и иметь симметричную относительно нуля область определения. Для \(y = -x\) получаем \(f(-x) = -(-x) = x = -f(x)\), условие выполнено. Функция \(y = \sqrt{3x+2}\) имеет область определения \(x \geq -\dfrac{2}{3}\), не симметричную относительно нуля. Функции \(y = x^2+3\) и \(y = x^3+1\) являются чётной и ни чётной ни нечётной соответственно, так как \(f(-x) \neq -f(x)\). Ответ: D. ### Задача 149 (Монотонность и чётность) 中文: 下列哪个函数在 \((-\infty, +\infty)\) 上单调递减？ English: Which of the following functions is a decreasing function on \((-\infty, +\infty)\)? Русский: Какая из следующих функций является убывающей на \((-\infty, +\infty)\)? A. \(y = -x + 5\) B. \(y = x^3\) C. \(y = x^2 + 1\) D. \(y = \dfrac{-1}{x}\) Ответ: A Решение: \(y=-x+5\): коэффициент \(-1<0\), функция убывает на всей прямой \(y=x^3\) возрастает на \((-\infty,+\infty)\) \(y=x^2+1\) убывает при \(x<0\) и возрастает при \(x>0\) \(y=\dfrac{-1}{x}\) не определена в нуле и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\) Ответ: A. ### Задача 193 (Монотонность и чётность) 中文: 下列关于奇函数 \(y=f(x)\) 的说法不正确的是： English: Which of the following statements about the odd function \(y=f(x)\) is incorrect? Русский: Какое из следующих утверждений о нечётной функции \(y=f(x)\) неверно? A. The domain of the function is symmetric about the origin / 函数的定义域关于原点对称 / Область определения функции симметрична относительно начала координат B. In the domain, \(f(-x)=f(x)\) / 在定义域内，\(f(-x)=f(x)\) / В области определения \(f(-x)=f(x)\) C. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат D. In the domain, \(f(-x)=-f(x)\) / 在定义域内，\(f(-x)=-f(x)\) / В области определения \(f(-x)=-f(x)\) Ответ: B Решение: Нечетная функция по определению удовлетворяет условию \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Область определения нечетной функции обязательно симметрична относительно начала координат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Утверждение \(f(-x) = f(x)\) является определением четной функции, а не нечетной, поэтому оно неверно. Ответ: B. ### Задача 241 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数是偶函数的是： English: Which of the following functions is even? Русский: Какая из следующих функций является чётной? A. \(f(x) = 2x^2 + \cos x\) B. \(f(x) = x + 3x^2\) C. \(f(x) = \sqrt{x}\) D. \(f(x) = x^2 - \sin x\) Ответ: A Решение: Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) при симметричной области определения. В варианте A \(f(-x)=2x^2+\cos(-x)=2x^2+\cos x=f(x)\), функция чётная. В B слагаемое \(x\) меняет знак, в D слагаемое \(-\sin x\) меняет знак, функции не чётные. В C область определения \(x\geq 0\) не симметрична относительно нуля. Ответ: A. ### Задача 244 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数在 \((0,+\infty)\) 上是减函数的是： English: Which function is decreasing on \((0,+\infty)\)? Русский: Какая из функций убывает на \((0,+\infty)\)? A. \(y = 3x\) B. \(y = x^2\) C. \(y = x^3\) D. \(y = \dfrac{1}{x}\) Ответ: D Решение: Функции \(y=3x\), \(y=x^2\) и \(y=x^3\) возрастают на \((0,+\infty)\). Для \(y=\dfrac{1}{x}\): если \(0\dfrac{1}{x_2}\). Значит, функция убывает на \((0,+\infty)\). Ответ: D. ### Задача 286 (Монотонность и чётность) 中文: 已知奇函数 \(f(x)\)，当 \(x > 0\) 时，\(f(x) = x^2 + x + b\)（其中 \(b\) 为常数且 \(b=1\)）。则 \(f(-1) =\)： English: Given the odd function \(f(x)\), when \(x > 0\), \(f(x) = x^2 + x + b\) (where \(b\) is a constant and \(b=1\)). Then \(f(-1) =\): Русский: Дана нечётная функция \(f(x)\), при \(x > 0\) \(f(x) = x^2 + x + b\) (где \(b\) — константа и \(b=1\)). Тогда \(f(-1) =\): A. \(1\) B. \(2\) C. \(-3\) D. \(3\) Ответ: C Решение: Функция \(f(x)\) нечётная, значит \(f(-1)=-f(1)\). При \(x>0\) задано \(f(x)=x^2+x+1\), так как \(b=1\). Находим \(f(1)=1^2+1+1=3\). Тогда \(f(-1)=-3\). Ответ: C.