# CSCA Math: Гипербола (Hyperbolas)

7 задач

### Задача 29 (Гипербола)

中文: 双曲线 \(x^2 - y^2 = 1\) 的焦点坐标是：

English: The coordinates of the foci of the hyperbola \(x^2 - y^2 = 1\) are:

Русский: Координаты фокусов гиперболы \(x^2 - y^2 = 1\):

A. \((\pm \sqrt{2}, 0)\)
B. \((0, \pm 2)\)
C. \((0, \pm \sqrt{2})\)
D. \((\pm 2, 0)\)

Ответ: A

Решение: Уравнение \(x^2 - y^2 = 1\) — каноническое уравнение гиперболы с \(a^2 = 1\) и \(b^2 = 1\).
Находим фокусное расстояние: \(c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2\), значит \(c = \sqrt{2}\).
Так как знак минус перед \(y^2\), фокусы лежат на оси \(Ox\): \((\pm \sqrt{2}, 0)\).
Ответ: A.

### Задача 74 (Гипербола)

中文: 已知双曲线的方程是 \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\)，下列哪个陈述是正确的：

English: Given that the equation of a hyperbola is \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\), which of the following statements is correct?

Русский: Дано уравнение гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\). Какое из следующих утверждений верно?

A. The focal distance is \(8\sqrt{5}\) / 焦距是 \(8\sqrt{5}\) / Фокусное расстояние равно \(8\sqrt{5}\)
B. The semi-major axis has length \(4\) / 半长轴的长度是 \(4\) / Длина полуоси равна \(4\)
C. The eccentricity of the hyperbola is \(\sqrt{5}\) / 双曲线的离心率是 \(\sqrt{5}\) / Эксцентриситет гиперболы равен \(\sqrt{5}\)
D. The semi-minor axis has length \(8\) / 半短轴的长度是 \(8\) / Длина мнимой полуоси равна \(8\)

Ответ: A

Решение: Из уравнения гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\) находим \(a^2=64\), \(b^2=16\), то есть \(a=8\), \(b=4\).
Параметр \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).
Фокусное расстояние равно \(2c=8\sqrt{5}\), что совпадает с вариантом A.
Длина полуоси действительной равна \(a=8\), а не \(4\), поэтому B неверно.
Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), поэтому C неверно.
Мнимая полуось равна \(b=4\), а не \(8\), поэтому D неверно.
Ответ: A.

### Задача 122 (Гипербола)

中文: 设 \(mx^2+ny^2=1\) 表示双曲线，则 \(m\)、\(n\) 满足：

English: Let \(mx^2+ny^2=1\) be a hyperbola. Then \(m\) and \(n\) satisfy:

Русский: Пусть \(mx^2+ny^2=1\) задаёт гиперболу. Тогда \(m\) и \(n\) удовлетворяют условию:

A. \(mn>1\) / \(mn>1\) / \(mn>1\)
B. \(mn<0\) / \(mn<0\) / \(mn<0\)
C. \(mn<1\) / \(mn<1\) / \(mn<1\)
D. \(mn>0\) / \(mn>0\) / \(mn>0\)

Ответ: B

Решение: Каноническое уравнение гиперболы: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) или \(\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1\).
Значит, в уравнении \(mx^2+ny^2=1\) коэффициенты \(m\) и \(n\) должны иметь разные знаки.
Произведение чисел разных знаков отрицательно: \(mn<0\).
Ответ: B.

### Задача 166 (Гипербола)

中文: 若双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) 的离心率 \(e = 2\)，则 \(a =\)

English: If the eccentricity of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) is \(e = 2\), then \(a =\)

Русский: Если эксцентриситет гиперболы \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) равен \(e = 2\), то \(a =\)

A. \(2\)
B. \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
D. \(1\)

Ответ: D

Решение: Для гиперболы вида \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) параметры связаны соотношением \(c^2 = a^2 + b^2\).
Из уравнения видно, что \(b^2 = 3\), значит \(c^2 = a^2 + 3\).
Эксцентриситет равен \(e = \dfrac{c}{a} = 2\), откуда \(c = 2a\).
Подставляем в соотношение: \((2a)^2 = a^2 + 3\), получаем \(4a^2 = a^2 + 3\).
Отсюда \(3a^2 = 3\), \(a^2 = 1\), и с учётом условия \(a > 0\) находим \(a = 1\).
Ответ: D.

### Задача 214 (Гипербола)

中文: 双曲线 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点为：

English: The foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are:

Русский: Фокусы гиперболы \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны:

A. \((\pm 25,0)\)
B. \((0,\pm 25)\)
C. \((0,\pm 5)\)
D. \((\pm 5,0)\)

Ответ: D

Решение: Из канонического уравнения гиперболы определяем параметры: \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 9\).
Находим квадрат расстояния от центра до фокуса: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\).
Отсюда \(c = 5\).
Так как член с \(x^2\) положительный, фокусы расположены на оси абсцисс.
Координаты фокусов равны \((\pm 5, 0)\).
Ответ: D.

### Задача 260 (Гипербола)

中文: 双曲线 \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点坐标是：

English: The coordinates of the foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are:

Русский: Координаты фокусов гиперболы \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны:

A. \((0,4)\)
B. \((4,0)\)
C. \((0,\pm 4)\)
D. \((\pm 4,0)\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a^2 = 7\) и \(b^2 = 9\).
Фокусы лежат на оси абсцисс, так как положительный член содержит \(x\).
Вычисляем \(c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16\), откуда \(c = 4\).
Координаты фокусов: \((\pm 4, 0)\).
Ответ: D.

### Задача 324 (Гипербола)

中文: 与双曲线 \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) 具有相同的离心率和渐近线的双曲线方程是：

English: The equation of the hyperbola with the same eccentricity and asymptotes as the hyperbola \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) is:

Русский: Уравнение гиперболы, имеющей тот же эксцентриситет и те же асимптоты, что и гипербола \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\), имеет вид:

Ошибка в источнике: вариант C — это сама данная гипербола, формально тоже подходит. В ключе источника C.

A. \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1\)
B. \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = -1\)
C. \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)
D. \(\dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{81} = 1\)

Ответ: D

Решение: У гиперболы \( \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1 \): \( a^2 = 4 \), \( b^2 = 9 \), \( c^2 = 13 \), \( e = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{3}{2}x \).
Вариант D: \( \dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{81} = 1 \), \( a^2 = 36 \), \( b^2 = 81 \), \( c^2 = 117 \), \( e = \dfrac{\sqrt{117}}{6} = \dfrac{3\sqrt{13}}{6} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{9}{6}x = \pm \dfrac{3}{2}x \) — совпадают.
Вариант A: другие асимптоты \( y = \pm \dfrac{2}{3}x \); B: сопряжённая гипербола с другой эксцентриситетом; C: та же самая гипербола.
Ответ: D.