# CSCA Math: Дробные неравенства и неравенства с модулем (Rational and absolute value inequalities)

6 задач

### Задача 12 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 不等式 \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) 的解集为

English: The solution set of the inequality \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) is

Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) равно

A. \((2, +\infty)\)
B. \([1, 2]\)
C. \((-\infty, 2)\)
D. \((-\infty, 1]\)

Ответ: C

Решение: Перенесём единицу влево: \( \dfrac{x-1}{x-2} - 1 \leq 0 \).
Приведём к общему знаменателю: \( \dfrac{x-1-(x-2)}{x-2} \leq 0 \), то есть \( \dfrac{1}{x-2} \leq 0 \).
Дробь с положительным числителем неположительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: \( x - 2 < 0 \).
Получаем \( x < 2 \), что соответствует промежутку \( (-\infty, 2) \).
Ответ: C.

### Задача 60 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 有理不等式 \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) 的解集是：

English: The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) is:

Русский: Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) равно:

A. \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right)\)
B. \(\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right] \cup (2,\ +\infty)\)
C. \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right]\)
D. \(\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right)\)

Ответ: A

Решение: Нули числителя и знаменателя: \(x=-\dfrac{1}{2}\) и \(x=2\).
Методом интервалов дробь неположительна на \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right)\).
Точка \(x=-\dfrac{1}{2}\) входит, так как неравенство нестрогое.
Точка \(x=2\) исключена, знаменатель обращается в нуль.
Ответ: A.

### Задача 107 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 不等式 \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) 的解集是：

English: The solution set of the inequality \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) is:

Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) равно:

A. \(\left[\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right]\)
B. \(\left(\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right)\)
C. \(\left(\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right]\)
D. \(\left[\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right)\)

Ответ: C

Решение: Нули числителя и знаменателя: \(2x-3=0\) даёт \(x=\dfrac{3}{2}\), \(3x-4=0\) даёт \(x=\dfrac{4}{3}\).
Методом интервалов дробь \(\le0\) между корнями: \(x\in\left[\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).
Знаменатель не может быть нулём, поэтому \(x=\dfrac{4}{3}\) исключаем, а \(x=\dfrac{3}{2}\) входит.
Итог: \(\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).
Ответ: C.

### Задача 150 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 不等式 \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) 的解集是

English: The solution set of the inequality \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) is

Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) равно

A. \((-\infty, \dfrac{-1}{2}] \cup [1, +\infty)\)
B. \(\left(\dfrac{-1}{2}, 1\right)\)
C. \(\left[\dfrac{-1}{2}, 1\right]\)
D. \(\left(-\infty, \dfrac{-1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)

Ответ: B

Решение: Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков
Нули: \(2x+1=0\) при \(x=-\dfrac{1}{2}\), \(x-1=0\) при \(x=1\)
На промежутке \(\left(-\dfrac{1}{2},1\right)\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь меньше нуля
Нули не входят: в \(x=-\dfrac{1}{2}\) дробь равна нулю, в \(x=1\) не определена
Ответ: B.

### Задача 196 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 分式不等式 \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) 的解集为：

English: The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) is:

Русский: Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\):

A. \((-\infty,2)\)
B. \((2,+\infty)\)
C. \([0,2]\)
D. \((-\infty,2]\)

Ответ: A

Решение: Дробь \(\dfrac{2}{x-2}\) меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю.
Числитель равен \(2\), что строго больше нуля, поэтому дробь равна нулю быть не может.
Значит, знаменатель должен быть строго отрицательным: \(x - 2 < 0\).
Решая неравенство, получаем \(x < 2\), то есть множество решений \((-\infty, 2)\).
Ответ: A.

### Задача 245 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 分式不等式 \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) 的解集为：

English: The solution set of the fractional inequality \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) is:

Русский: Множество решений дробного неравенства \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\):

A. \(\{x\mid 1<x\leq 2\}\)
B. \(\{x\mid 1\leq x<2\}\)
C. \(\{x\mid 1\leq x\leq 2\}\)
D. \(\{x\mid x<1 \text{ or } x>2\}\) / \(\{x\mid x<1 \text{ 或 } x>2\}\) / \(\{x\mid x<1 \text{ или } x>2\}\)

Ответ: A

Решение: Нули числителя и знаменателя: \(2x-4=0\) при \(x=2\), \(x-1=0\) при \(x=1\).
Методом интервалов дробь неположительна на \((1,2]\).
Точка \(x=1\) исключена, так как знаменатель обращается в нуль.
Точка \(x=2\) входит, так как неравенство нестрогое.
Ответ: A.