# CSCA Math: Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое (Properties of inequalities, AM-GM)

7 задач

### Задача 24 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 已知 \(a > b\) ，则：

English: Given that \(a > b\), then:

Русский: Если \(a > b\), то:

A. \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}\)
B. \(a^2 > b^2\)
C. \(5^a > 5^b\)
D. \(\sin a > \sin b\)

Ответ: C

Решение: Показательная функция \(y=5^x\) с основанием \(5>1\) возрастает, поэтому из \(a>b\) следует \(5^a>5^b\).\nA неверно: при \(a=1\), \(b=-1\) имеем \(\dfrac{1}{a}=1>-1=\dfrac{1}{b}\).\nB неверно: при \(a=1\), \(b=-2\) имеем \(a^2=1<4=b^2\).\nD неверно: при \(a=\pi\), \(b=\dfrac{\pi}{2}\) имеем \(\sin a=0<1=\sin b\).
Ответ: C.

### Задача 70 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 设 \(a, b, c\) 为三个实数，则下列说法正确的是：

English: Let \(a, b, c\) be three real numbers. Which of the following statements is correct?

Русский: Пусть \(a, b, c\) — три действительных числа. Какое из следующих утверждений верно?

A. If \(a > b\), then \(ac > bc\) / 如果 \(a > b\)，那么 \(ac > bc\) / Если \(a > b\), то \(ac > bc\)
B. If \(a > b\), then \(a + c > b + c\) / 如果 \(a > b\)，那么 \(a + c > b + c\) / Если \(a > b\), то \(a + c > b + c\)
C. If \(ac > bc\), then \(a > b\) / 如果 \(ac > bc\)，那么 \(a > b\) / Если \(ac > bc\), то \(a > b\)
D. If \(a > b\), then \(a^2 > b^2\) / 如果 \(a > b\)，那么 \(a^2 > b^2\) / Если \(a > b\), то \(a^2 > b^2\)

Ответ: B

Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак, поэтому утверждение B верно всегда.
Утверждение A неверно при \(c < 0\), так как знак неравенства меняется на противоположный.
Утверждение C неверно по той же причине: если \(c < 0\), то из \(ac > bc\) следует \(a < b\).
Утверждение D неверно, например, при \(a = 1\) и \(b = -2\) получаем \(1 > -2\), но \(1 < 4\).
Ответ: B.

### Задача 117 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 设 a > b。则下列哪个是正确的？

English: Let a > b. Then which of the following is correct?

Русский: Пусть a > b. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(a^3 > b^3\)
B. \(|a| > |b|\)
C. \(a^2 > b^2\)
D. \(|a| < |b|\)

Ответ: A

Решение: Функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому из \(a > b\) следует \(a^3 > b^3\).
Вариант B неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) имеем \(a > b\), но \(|a| = 1 < 2 = |b|\).
Вариант C неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) получаем \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).
Вариант D неверен: при \(a = 2\), \(b = 1\) имеем \(|a| = 2 > 1 = |b|\).
Ответ: A.

### Задача 162 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 若 \(a, b, c\) 是有理数，且 \(a > b\)，则下列说法正确的是：

English: If \(a, b, c\) are rational numbers, and \(a > b\), which of the following statements is correct?

Русский: Если \(a, b, c\) — рациональные числа и \(a > b\), то какое из следующих утверждений верно?

A. \(a + c > b + c\)
B. \(\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}\)
C. \(ac > bc\)
D. \(a - c < b - c\)

Ответ: A

Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак.
Из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\) при любом рациональном \(c\).
Варианты B и C неверны, так как при \(c < 0\) знак неравенства меняется, а при \(c = 0\) деление невозможно.
Вариант D неверен, так как вычитание \(c\) даёт \(a - c > b - c\).
Ответ: A.

### Задача 208 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 已知 \(a > b\)，\(c \in \mathbb{R}\)，则：

English: Given that \(a > b\) and \(c \in \mathbb{R}\), then:

Русский: Дано, что \(a > b\) и \(c \in \mathbb{R}\), тогда:

A. \(a^2 > b^2\)
B. \(ac > bc\)
C. \(a + c > b + c\)
D. \(|a| > |b|\)

Ответ: C

Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет знак: из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\).\nA неверно: \(a = 1\), \(b = -2\), тогда \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).\nB неверно при \(c \le 0\): например, \(c = -1\) даёт \(ac < bc\).\nD неверно для того же примера: \(|1| < |-2|\).
Ответ: C.

### Задача 256 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 若 \(a, b, c\) 为有理数，且 \(a>b>c\)，则下列式子中正确的是

English: If \(a, b, c\) are rational numbers and \(a>b>c\), which inequality is correct?

Русский: Если \(a, b, c\) — рациональные числа и \(a>b>c\), то какое из неравенств верно?

A. \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}\)
B. \(a+b>b+c\)
C. \(a-b>b-c\)
D. \(ab>bc\)

Ответ: B

Решение: Проверим вариант B: из условия \(a > c\) прибавляем к обеим частям \(b\), получаем \(a + b > b + c\), что верно всегда.
Вариант A неверен, так как при отрицательном \(c\) знак неравенства меняется на противоположный.
Вариант C эквивалентен \(a + c > 2b\), что не гарантировано условием \(a > b > c\).
Вариант D неверен, так как при отрицательном \(b\) умножение на него меняет знак неравенства.
Ответ: B.

### Задача 285 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 若 \(a > 0\) 且 \(b < 0\)，则 \(a+b\) 与 \(a-b\) 的大小关系为：

English: If \(a > 0\) and \(b < 0\), then the relationship between the values of \(a+b\) and \(a-b\) is:

Русский: Если \(a > 0\) и \(b < 0\), то соотношение между значениями \(a+b\) и \(a-b\) таково:

A. \(a+b > a-b\)
B. \(a+b = a-b\)
C. \(a+b < a-b\)
D. Cannot be determined / 无法确定 / Невозможно определить

Ответ: C

Решение: Вычислим разность \((a+b)-(a-b)=2b\).
По условию \(b<0\), поэтому \(2b<0\).
Следовательно, \(a+b<a-b\).
Ответ: C.