# CSCA Math: Квадратные неравенства (Quadratic inequalities)

6 задач

### Задача 3 (Квадратные неравенства)

中文: 一元二次不等式 \(x^{2}-5x+4<0\) 的解集为？

English: The solution set of the inequality \(x^{2}-5x+4<0\) is?

Русский: Множество решений неравенства \(x^{2}-5x+4<0\) равно:

A. \((-4,-1)\)
B. \((-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\)
C. \((-\infty, -4) \cup (-1, +\infty)\)
D. \((1,4)\)

Ответ: D

Решение: Решаем квадратное уравнение \(x^2-5x+4=0\).
По теореме Виета сумма корней равна 5, произведение равно 4, откуда корни \(x_1=1\) и \(x_2=4\).
Старший коэффициент положителен, поэтому парабола направлена ветвями вверх.
Неравенство \(x^2-5x+4<0\) выполняется между корнями.
Множество решений есть интервал \((1,4)\).
Ответ: D.

### Задача 51 (Квадратные неравенства)

中文: 不等式 \(x^{2} - x - 2 > 0\) 的解集是：

English: The solution set of the inequality \(x^{2} - x - 2 > 0\) is:

Русский: Множество решений неравенства \(x^{2} - x - 2 > 0\) равно:

A. \(\{x \mid x < -1 \text{ or } x > 2\}\)
B. \(\{x \mid -1 < x < 2\}\)
C. \(\{x \mid x < -2 \text{ or } x > -1\}\)
D. \(\{x \mid -2 < x \leq 1\}\)

Ответ: A

Решение: Разложим левую часть: \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \).\nНеравенство \( (x-2)(x+1) > 0 \) выполняется, когда оба множителя одного знака.\nОба положительны при \( x > 2 \), оба отрицательны при \( x < -1 \).\nРешение: \( x < -1 \) или \( x > 2 \).\nОтвет: A.

### Задача 99 (Квадратные неравенства)

中文: 不等式 \(x^2 - x - 6 > 0\) 的解集是：

English: The solution set of the inequality \(x^2 - x - 6 > 0\) is:

Русский: Множество решений неравенства \(x^2 - x - 6 > 0\):

A. \(\{x \mid x < -2\) or \(x > 3\}\) / \(\{x \mid x < -2\) 或 \(x > 3\}\) / \(\{x \mid x < -2\) или \(x > 3\}\)
B. \(\{x \mid -2 < x < 3\}\)
C. \(\{x \mid x > 3\}\)
D. \(\{x \mid x < -2\}\)

Ответ: A

Решение: Раскладываем квадратный трёхчлен: \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\).
Корни: \(x = 3\) и \(x = -2\), ветви параболы направлены вверх.
Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями: \(x < -2\) или \(x > 3\).
Ответ: A.

### Задача 142 (Квадратные неравенства)

中文: 不等式 \(x^2-2x-3\ge 0\) 的解集是

English: The solution set of the inequality \(x^2-2x-3\ge 0\) is

Русский: Множество решений неравенства \(x^2-2x-3\ge 0\) — это

A. \((-1,3)\)
B. \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\)
C. \((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)
D. \([-1,3]\)

Ответ: B

Решение: Раскладываем на множители: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\).
Корни: \(x=-1\) и \(x=3\), ветви параболы направлены вверх.
Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.
Так как неравенство нестрогое, корни включаем: \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\).
Ответ: B.

### Задача 189 (Квадратные неравенства)

中文: 一元二次不等式 \(3(x+4)(x-2)<0\) 的解集为：

English: The solution set of the quadratic inequality \(3(x+4)(x-2)<0\) is:

Русский: Множество решений квадратного неравенства \(3(x+4)(x-2)<0\):

A. \((2,+\infty)\)
B. \((-4,2)\)
C. \((-\infty,-4) \cup (2,+\infty)\)
D. \((-\infty,2) \cup (-4,+\infty)\)

Ответ: B

Решение: Разделим обе части неравенства на 3, получим \((x+4)(x-2)<0\).
Корни соответствующего уравнения равны \(x=-4\) и \(x=2\).
Парабола \(y=(x+4)(x-2)\) имеет ветви, направленные вверх.
Значения функции отрицательны между корнями, то есть при \(-4 < x < 2\).
Множество решений записывается как интервал \((-4, 2)\).
Ответ: B.

### Задача 237 (Квадратные неравенства)

中文: 解不等式 \(6+x-x^2 < 0\)：

English: Solve the inequality \(6+x-x^2 < 0\):

Русский: Решите неравенство \(6+x-x^2 < 0\):

A. \(x \in (-2,\,3)\)
B. \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\)
C. \(x \in (-3,\,2)\)
D. \(x \in (-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

Ответ: B

Решение: Умножим неравенство на \(-1\): \(x^2 - x - 6 > 0\).
Разложим на множители: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\).
Корни \(x=-2\) и \(x=3\), ветви параболы вверх, поэтому выражение положительно вне корней.
Решение: \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\).
Ответ: B.