# CSCA Math: Прямая (Lines)

32 задачи

### Задача 14 (Прямая)

中文: 直线 \(y = \sqrt{3}x + 10\) 的倾斜角为

English: The inclination angle of the line \(y = \sqrt{3}x + 10\) is

Русский: Угол наклона прямой \(y = \sqrt{3}x + 10\) равен

A. 60°
B. \(30°\)
C. \(45°\)
D. \(120°\)

Ответ: A

Решение: Угловой коэффициент прямой \( y = \sqrt{3}x + 10 \) равен \( k = \sqrt{3} \).
Угловой коэффициент связан с углом наклона формулой \( k = \tan\alpha \).
Находим угол: \( \tan\alpha = \sqrt{3} \), откуда \( \alpha = 60° \).
Ответ: A.

### Задача 28 (Прямая)

中文: 直线 \(l_1: y = 2x + 1\) 和直线 \(l_2: x + y + 1 = 0\) 的交点为：

English: The intersection point of line \(l_1: y = 2x + 1\) and line \(l_2: x + y + 1 = 0\) is:

Русский: Точка пересечения прямых \(l_1: y = 2x + 1\) и \(l_2: x + y + 1 = 0\) имеет координаты:

A. \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\)
B. \(\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right)\)
C. \(\left(\dfrac{-1}{3}, \dfrac{-2}{3}\right)\)
D. \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\)

Ответ: D

Решение: Приравниваем \(y\) из первого уравнения во второе: \(x + (2x + 1) + 1 = 0\).
Решаем: \(3x + 2 = 0\), откуда \(x = -\dfrac{2}{3}\).
Находим \(y\): \(y = 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 1 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{3} = -\dfrac{1}{3}\).
Точка пересечения: \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\).
Ответ: D.

### Задача 33 (Прямая)

中文: 下列直线与直线 \(l: x + y + 3 = 0\) 垂直的是：

English: Which of the following lines is perpendicular to the line \(l: x + y + 3 = 0\)?

Русский: Какая из следующих прямых перпендикулярна прямой \(l: x + y + 3 = 0\)?

A. \(y = -2x + 1\)
B. \(y = x + 2\)
C. \(y = 1 - x\)
D. \(y = 2x + 2\)

Ответ: B

Решение: Прямая \(l: x + y + 3 = 0\) имеет угловой коэффициент \(-1\).
Перпендикулярная прямая должна иметь угловой коэффициент, обратный по знаку и величине: \(k = 1\).
Среди вариантов только прямая \(y = x + 2\) имеет угловой коэффициент \(1\).
Ответ: B.

### Задача 44 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1:x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_2:x+y+1=0\) 和 \(l_3:2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程是：

English: If line \(l\) is perpendicular to line \(l_1:x+2y+4=0\) and passes through the intersection point of lines \(l_2:x+y+1=0\) and \(l_3:2x+y-1=0\), then the equation of \(l\) is:

Русский: Если прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1:x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2:x+y+1=0\) и \(l_3:2x+y-1=0\), то уравнение прямой \(l\):

A. \(x+2y-3=0\)
B. \(2x+y-5=0\)
C. \(2x-y-7=0\)
D. \(x-2y-1=0\)

Ответ: C

Решение: Найдём точку пересечения прямых \(l_2\) и \(l_3\), решив систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\).
Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(x-2=0\), откуда \(x=2\), \(y=-3\).
Прямая \(l_1\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\).
Уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \((2,-3)\) с угловым коэффициентом \(2\): \(y+3=2(x-2)\).
Раскрывая скобки, получаем \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\).
Ответ: C.

### Задача 62 (Прямая)

中文: 如果直线 \(l\) 经过点 \(A(-2,3)\) 和 \(B(3,1)\)，那么 \(l\) 的斜率是：

English: If the straight line \(l\) passes through the points \(A(-2,3)\) and \(B(3,1)\), then the slope of \(l\) is:

Русский: Если прямая \(l\) проходит через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\), то угловой коэффициент прямой \(l\) равен:

A. \(\dfrac{2}{5}\)
B. \(\dfrac{5}{2}\)
C. \(-\dfrac{2}{5}\)
D. \(-\dfrac{5}{2}\)

Ответ: C

Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\): \(k=\dfrac{1-3}{3-(-2)}\).
\(k=\dfrac{-2}{5}=-\dfrac{2}{5}\).
Ответ: C.

### Задача 66 (Прямая)

中文: 如果一条直线 \(l\) 的倾斜角为 \(45^\circ\)，且经过点 \((0, 2)\)，则直线 \(l\) 的方程是：

English: If a straight line \(l\) has an angle of inclination of \(45^\circ\) and passes through the point \((0, 2)\), then the equation of \(l\) is:

Русский: Если прямая \(l\) имеет угол наклона \(45^\circ\) и проходит через точку \((0, 2)\), то уравнение прямой \(l\) имеет вид:

A. \(y = 2x - 2\)
B. \(y = x + 2\)
C. \(y = 2x + 2\)
D. \(y = x - 2\)

Ответ: B

Решение: Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 45^\circ=1\).
Прямая проходит через \((0,2)\), значит \(b=2\) в уравнении \(y=kx+b\).
\(y=x+2\).
Ответ: B.

### Задача 73 (Прямая)

中文: 直线 \(l_1:3x-y+8=0\) 和 \(l_2:x+2y-9=0\) 的交点坐标是：

English: The intersection of the lines \(l_1:3x-y+8=0\) and \(l_2:x+2y-9=0\) has coordinates:

Русский: Точка пересечения прямых \(l_1:3x-y+8=0\) и \(l_2:x+2y-9=0\) имеет координаты:

A. \((-5,1)\)
B. \((1,-5)\)
C. \((5,-1)\)
D. \((-1,5)\)

Ответ: D

Решение: Решаем систему: \(3x-y=-8\) и \(x+2y=9\).
Из первого уравнения \(y=3x+8\), подставляем во второе: \(x+2(3x+8)=9\).
Получаем \(7x+16=9\), откуда \(x=-1\).
Тогда \(y=3\cdot(-1)+8=5\), точка пересечения \((-1,5)\).
Ответ: D.

### Задача 80 (Прямая)

中文: 给定两条直线 \(l_1\)：\(ax+(a-1)y+3=0\) 和 \(l_2\)：\(2x+ay-1=0\)。如果 \(l_1\perp l_2\)，那么 \(a\) 的值是：

English: Given two straight lines \(l_1\): \(ax+(a-1)y+3=0\) and \(l_2\): \(2x+ay-1=0\). If \(l_1\perp l_2\), then the value of \(a\) is:

Русский: Даны две прямые \(l_1\): \(ax+(a-1)y+3=0\) и \(l_2\): \(2x+ay-1=0\). Если \(l_1\perp l_2\), то значение \(a\) равно:

A. \(-1\)
B. \(-1\) or \(1\) / \(-1\) 或 \(1\) / \(-1\) или \(1\)
C. \(1\)
D. \(0\) or \(-1\) / \(0\) 或 \(-1\) / \(0\) или \(-1\)

Ответ: D

Решение: Две прямые \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\).
Для данных прямых коэффициенты равны \(A_1 = a\), \(B_1 = a-1\), \(A_2 = 2\), \(B_2 = a\).
Составляем уравнение перпендикулярности: \(a \cdot 2 + (a-1) \cdot a = 0\).
Раскрываем скобки: \(2a + a^2 - a = 0\), что упрощается до \(a^2 + a = 0\).
Выносим общий множитель: \(a(a+1) = 0\), откуда \(a = 0\) или \(a = -1\).
Оба значения дают корректные пары перпендикулярных прямых.
Ответ: D.

### Задача 93 (Прямая)

中文: 假设直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_{1}: x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_{2}: x+y+1=0\) 与 \(l_{3}: 2x+y-1=0\) 的交点。则 \(l\) 的方程是：

English: Suppose a line \(l\) is perpendicular to the line \(l_{1}: x+2y+4=0\) and passes through the intersection of \(l_{2}: x+y+1=0\) and \(l_{3}: 2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is:

Русский: Пусть прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_{1}: x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_{2}: x+y+1=0\) и \(l_{3}: 2x+y-1=0\). Уравнение \(l\) равно:

A. \(2x-y-7=0\)
B. \(2x+y-5=0\)
C. \(x-2y-1=0\)
D. \(x+2y-3=0\)

Ответ: A

Решение: Прямая \(l_{1}: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\).
Находим точку пересечения \(l_{2}\) и \(l_{3}\): из системы \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\) вычитаем первое из второго, получаем \(x=2\), \(y=-3\).
Уравнение прямой \(l\) с угловым коэффициентом \(2\) через точку \((2,-3)\): \(y+3=2(x-2)\).
Раскрываем скобки: \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\).
Ответ: A.

### Задача 109 (Прямая)

中文: 直线\(x+\sqrt{3}\,y-2=0\)的倾斜角是：

English: The angle of inclination of the line \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) is:

Русский: Угол наклона прямой \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) равен:

A. \(150°\)
B. \(60°\)
C. \(30°\)
D. \(120°\)

Ответ: A

Решение: Запишем уравнение прямой в виде \(y=kx+b\): \(\sqrt{3}\,y=-x+2\), \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).
Угловой коэффициент \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Угол наклона берётся от \(0°\) до \(180°\), при отрицательном тангенсе угол тупой.
\(\alpha=180°-30°=150°\).
Ответ: A.

### Задача 113 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 经过两点 \(M(0,-1)\) 和 \(N(-2,0)\)，则 \(l\) 的方程为：

English: Suppose that a line \(l\) passes through two points \(M(0,-1)\) and \(N(-2,0)\). Then the equation of \(l\) is:

Русский: Пусть прямая \(l\) проходит через две точки \(M(0,-1)\) и \(N(-2,0)\). Тогда уравнение прямой \(l\):

A. \(2x+y+2=0\)
B. \(x+y+2=0\)
C. \(2x+y+1=0\)
D. \(x+2y+2=0\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой \(k=\dfrac{0-(-1)}{-2-0}=-\dfrac{1}{2}\).
Уравнение через точку \(M(0,-1)\): \(y=-\dfrac{1}{2}x-1\).
Умножаем на \(2\) и переносим всё влево: \(x+2y+2=0\).
Проверка точки \(N(-2,0)\): \(-2+0+2=0\), верно.
Ответ: D.

### Задача 121 (Прямая)

中文: 若三条直线 \(ax+2y+8=0\)、\(4x+3y=10\) 和 \(2x-y=10\) 交于一点，则 \(a=\)

English: If three lines \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) and \(2x-y=10\) intersect at one point, then \(a=\)

Русский: Если три прямые \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) и \(2x-y=10\) пересекаются в одной точке, то \(a=\)

A. \(1\)
B. \(-1\)
C. \(3\)
D. \(-3\)

Ответ: B

Решение: Находим точку пересечения двух известных прямых: складываем \(4x+3y=10\) и утроенное \(2x-y=10\), получаем \(10x=40\), \(x=4\).
Тогда \(y=2x-10=-2\), точка пересечения \((4;-2)\).
Подставляем её в первую прямую: \(4a+2\cdot(-2)+8=0\), \(4a+4=0\), \(a=-1\).
Ответ: B.

### Задача 126 (Прямая)

中文: 与直线 \(4x-2y-1=0\) 平行的直线是

English: The line that is parallel to \(4x-2y-1=0\) is

Русский: Прямая, параллельная прямой \(4x-2y-1=0\):

A. \(x+2y-1=0\)
B. \(2x-y-1=0\)
C. \(2x+y-1=0\)
D. \(x-2y-1=0\)

Ответ: B

Решение: Угловой коэффициент прямой \(4x-2y-1=0\): \(y=2x-\dfrac{1}{2}\), то есть \(k=2\).
Параллельная прямая должна иметь тот же коэффициент \(k=2\).
Вариант B: \(2x-y-1=0\) даёт \(y=2x-1\), \(k=2\), подходит.
Остальные: A даёт \(k=-\dfrac{1}{2}\), C даёт \(k=-2\), D даёт \(k=\dfrac{1}{2}\).
Ответ: B.

### Задача 136 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1\)：\(x+2y+4=0\)，且经过直线 \(l_2\)：\(x+y+1=0\) 和 \(l_3\)：\(2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为：

English: Suppose that a straight line \(l\) is perpendicular to line \(l_1\): \(x+2y+4=0\), and passes through the intersection of \(l_2\): \(x+y+1=0\) and \(l_3\): \(2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is:

Русский: Допустим, прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1\): \(x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2\): \(x+y+1=0\) и \(l_3\): \(2x+y-1=0\). Уравнение прямой \(l\):

A. \(2x - y - 7 = 0\)
B. \(x - 2y - 1 = 0\)
C. \(2x + y - 5 = 0\)
D. \(x + 2y - 3 = 0\)

Ответ: A

Решение: Решаем систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\): вычитаем, получаем \(x=2\), тогда \(y=-3\)
Прямая \(l\) проходит через точку \((2,-3)\)
Нормаль \(l_1\) равна \((1,2)\), значит направляющий вектор \(l_1\) равен \((2,-1)\)
Прямая \(l\) перпендикулярна \(l_1\), поэтому её нормаль \((2,-1)\) и уравнение \(2x-y+C=0\)
Подставляем \((2,-3)\): \(4+3+C=0\), откуда \(C=-7\), то есть \(2x-y-7=0\)
Ответ: A.

### Задача 147 (Прямая)

中文: 过点 \(A(-1,1)\)，\(B(2,3)\) 的直线的斜率为

English: The slope of the straight line passing through points \(A(-1,1)\) and \(B(2,3)\) is

Русский: Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\), равен

A. \(\dfrac{-3}{2}\)
B. \(\dfrac{-2}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле \(k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
Подставляем координаты точек \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\): \(k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)}\).
Вычисляем разности: числитель равен \(2\), знаменатель равен \(3\).
Получаем \(k = \dfrac{2}{3}\).
Ответ: D.

### Задача 152 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 的倾斜角为 \(60^{\circ}\)，则 \(l\) 的斜率为

English: If the angle of inclination of a straight line \(l\) is \(60^{\circ}\), then the slope of \(l\) is

Русский: Если угол наклона прямой \(l\) равен \(60^{\circ}\), то угловой коэффициент прямой \(l\) равен

A. \(-\sqrt{3}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\sqrt{3}\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 60^{\circ}\).
Так как \(\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\), получаем \(k=\sqrt{3}\).
Ответ: D.

### Задача 157 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 的斜率为 \(-3\)，且过点 \((1,2)\)，则 \(l\) 的方程为：

English: If a line \(l\) has a slope of \(-3\) and passes through the point \((1,2)\), then the equation of \(l\) is:

Русский: Если прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(-3\) и проходит через точку \((1,2)\), то уравнение прямой \(l\):

A. \(3x+y-5=0\)
B. \(x+3y-7=0\)
C. \(3x+y+1=0\)
D. \(x+3y+5=0\)

Ответ: A

Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).
Подставляем \(k = -3\) и точку \((1, 2)\): \(y - 2 = -3(x - 1)\).
Раскрываем скобки: \(y - 2 = -3x + 3\).
Переносим все члены в одну сторону: \(3x + y - 5 = 0\).
Ответ: A.

### Задача 165 (Прямая)

中文: 直线 \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) 与 \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) 的交点坐标为：

English: The coordinates of the intersection of the lines \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) and \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) are:

Русский: Координаты точки пересечения прямых \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) и \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) равны:

A. \((1, -1)\)
B. \((-1, -1)\)
C. \((-1, 1)\)
D. \((1, 1)\)

Ответ: B

Решение: Решаем систему уравнений прямых: \(3x - y + 2 = 0\) и \(4x - y + 3 = 0\).
Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 3x + 2\).
Подставляем во второе: \(4x - (3x + 2) + 3 = 0\), откуда \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\).
Находим ординату: \(y = 3(-1) + 2 = -1\).
Точка пересечения имеет координаты \((-1, -1)\).
Ответ: B.

### Задача 171 (Прямая)

中文: 下列直线与直线 \(-2x+y-2=0\) 垂直的是

English: Which of the following straight lines is perpendicular to the line \(-2x+y-2=0\)?

Русский: Какая из следующих прямых перпендикулярна прямой \(-2x+y-2=0\)?

A. \(2x+y-2=0\)
B. \(x+2y-2=0\)
C. \(x+y-2=0\)
D. \(-x+2y-2=0\)

Ответ: B

Решение: Запишем уравнение данной прямой в виде \(y = 2x + 2\), её угловой коэффициент равен \(2\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\dfrac{1}{2}\).
В варианте B уравнение \(x + 2y - 2 = 0\) приводится к виду \(y = -\dfrac{1}{2}x + 1\), угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\).
Варианты A, C и D имеют угловые коэффициенты \(-2\), \(-1\) и \(\dfrac{1}{2}\) соответственно, они не подходят.
Ответ: B.

### Задача 199 (Прямая)

中文: 若直线经过点 \((-1, 1)\) 和 \((0, 2)\)，则直线的倾斜角为：

English: If a line passes through the points \((-1, 1)\) and \((0, 2)\), then the angle of inclination of the line is:

Русский: Если прямая проходит через точки \((-1, 1)\) и \((0, 2)\), то угол наклона этой прямой равен:

A. \(135^\circ\)
B. \(30^\circ\)
C. \(45^\circ\)
D. \(60^\circ\)

Ответ: C

Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \((-1,1)\) и \((0,2)\): \(k=\dfrac{2-1}{0-(-1)}=1\).
Угол наклона \(\alpha\) удовлетворяет \(\tan\alpha=k=1\).
Так как \(0^\circ\le\alpha<180^\circ\), получаем \(\alpha=45^\circ\).
Ответ: C.

### Задача 201 (Прямая)

中文: 经过点 \(A(-1, 1)\)，\(B(2, 3)\) 的直线的斜率为

English: The slope of the line passing through points \(A(-1, 1)\) and \(B(2, 3)\) is

Русский: Наклон прямой, проходящей через точки \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\), равен

A. \(\dfrac{2}{3}\)
B. \(\dfrac{-2}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(\dfrac{-3}{2}\)

Ответ: A

Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\): \(k=\dfrac{3-1}{2-(-1)}\).
Вычисляем: \(k=\dfrac{2}{3}\).
Ответ: A.

### Задача 204 (Прямая)

中文: 过原点并且斜率为 2 的直线方程是

English: The equation of the line passing through the origin with slope 2 is

Русский: Уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей наклон 2, выглядит так

A. \(y = x + 2\)
B. \(y = x\)
C. \(y = 2x\)
D. \(y = 2x + 2\)

Ответ: C

Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через начало координат, имеет вид \(y = kx\).
По условию угловой коэффициент \(k = 2\).
Подставляем и получаем \(y = 2x\).
Варианты A и D не проходят через начало координат, вариант B имеет неверный угловой коэффициент.
Ответ: C.

### Задача 212 (Прямая)

中文: 已知直线 \(l_1\)：\(y=x+3\)，直线 \(l_2\) 经过点 \(A(1,0)\) 和 \(B(0,1)\)，则直线 \(l_1\) 和直线 \(l_2\) 的交点为：

English: Given line \(l_1\): \(y=x+3\), and line \(l_2\) passing through points \(A(1,0)\) and \(B(0,1)\), the intersection point of \(l_1\) and \(l_2\) is:

Русский: Дана прямая \(l_1\): \(y=x+3\) и прямая \(l_2\), проходящая через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\). Точка пересечения прямых \(l_1\) и \(l_2\) равна:

A. \(\left(\dfrac{-3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\)
B. \((-2,1)\)
C. \((-1,2)\)
D. \((0,3)\)

Ответ: C

Решение: Уравнение прямой \(l_2\), проходящей через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\), имеет вид \(y = -x + 1\).
Приравниваем правые части уравнений прямых: \(x + 3 = -x + 1\).
Решаем уравнение: \(2x = -2\), откуда \(x = -1\).
Подставляем \(x = -1\) в уравнение \(l_1\): \(y = -1 + 3 = 2\).
Точка пересечения прямых равна \((-1, 2)\).
Ответ: C.

### Задача 219 (Прямая)

中文: 关于三条直线 \(l_1:x+2y+1=0\)，\(l_2:x-y=0\)，\(l_3:2x-y+8=0\)，下列说法正确的是：

English: Which of the following statements about the three lines \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о трёх прямых \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) верно?

A. \(l_1\) is parallel to \(l_3\) / \(l_1\) 平行于 \(l_3\) / \(l_1\) параллельна \(l_3\)
B. \(l_1\) is perpendicular to \(l_2\) / \(l_1\) 垂直于 \(l_2\) / \(l_1\) перпендикулярна \(l_2\)
C. \(l_1\) is parallel to \(l_2\) / \(l_1\) 平行于 \(l_2\) / \(l_1\) параллельна \(l_2\)
D. \(l_1\) is perpendicular to \(l_3\) / \(l_1\) 垂直于 \(l_3\) / \(l_1\) перпендикулярна \(l_3\)

Ответ: D

Решение: Угловые коэффициенты: \( l_1: y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \), \( k_1=-\dfrac{1}{2} \); \( l_2: k_2=1 \); \( l_3: k_3=2 \).
Параллельность требует равных коэффициентов: \( k_1\neq k_2 \) и \( k_1\neq k_3 \), варианты A и C неверны.
Перпендикулярность: \( k_1k_2=-\dfrac{1}{2}\neq -1 \), вариант B неверен; \( k_1k_3=-\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1 \), значит \( l_1\perp l_3 \).
Ответ: D.

### Задача 248 (Прямая)

中文: 经过点 \(A(-1,1)\)，\(B(2,3)\) 的直线的斜率为：

English: The slope of the line passing through the points \(A(-1,1)\) and \(B(2,3)\) is:

Русский: Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\), равен:

A. \(\dfrac{3}{2}\)
B. \(-\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{2}{3}\)
D. \(-\dfrac{2}{3}\)

Ответ: C

Решение: Угловой коэффициент прямой через две точки \( k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Подставляем координаты \( k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)} = \dfrac{2}{3} \).
Ответ: C.

### Задача 252 (Прямая)

中文: 过点 \(M(-2,3)\)，斜率 \(k=2\) 的直线方程是：

English: The equation of the line passing through the point \(M(-2,3)\) with slope \(k=2\) is:

Русский: Уравнение прямой, проходящей через точку \(M(-2,3)\) с угловым коэффициентом \(k=2\), имеет вид:

A. \(y=x+7\)
B. \(y=2x-1\)
C. \(y=2x+7\)
D. \(y=x+5\)

Ответ: C

Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).
Подставляем \(x_0 = -2\), \(y_0 = 3\), \(k = 2\): \(y - 3 = 2(x + 2)\).
Раскрываем скобки: \(y - 3 = 2x + 4\).
Выражаем \(y\): \(y = 2x + 7\).
Варианты A и D имеют неверный угловой коэффициент, вариант B не проходит через заданную точку.
Ответ: C.

### Задача 259 (Прямая)

中文: 直线 \(3x+2y+4=0\) 与 \(x-y+3=0\) 的交点坐标为：

English: The intersection point of the lines \(3x+2y+4=0\) and \(x-y+3=0\) is:

Русский: Координаты точки пересечения прямых \(3x+2y+4=0\) и \(x-y+3=0\) равны:

A. \((1,-2)\)
B. \((2,5)\)
C. \((-2,1)\)
D. \((5,2)\)

Ответ: C

Решение: Из второго уравнения выражаем \(y = x + 3\).
Подставляем в первое уравнение: \(3x + 2(x + 3) + 4 = 0\).
Раскрываем скобки: \(3x + 2x + 6 + 4 = 0\), откуда \(5x = -10\) и \(x = -2\).
Находим \(y = -2 + 3 = 1\), точка пересечения \((-2, 1)\).
Ответ: C.

### Задача 266 (Прямая)

中文: 已知直线\(l_1\)：\(ax+2y-1=0\)与\(l_2\)：\(x+(a+1)y+4=0\)平行，则\(a=\)

English: Given lines \(l_1\): \(ax+2y-1=0\) and \(l_2\): \(x+(a+1)y+4=0\) are parallel, then \(a=\)

Русский: Даны прямые \(l_1\): \(ax+2y-1=0\) и \(l_2\): \(x+(a+1)y+4=0\), параллельные друг другу, тогда \(a=\)

A. \(1\)
B. \(a=-2\) или \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=2\) или \(a=-1\)

Ответ: B

Решение: Прямые \(a_1x+b_1y+c_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2=0\) параллельны, когда \(a_1b_2=a_2b_1\).
Здесь \(a(a+1)=1\cdot 2\), то есть \(a^2+a-2=0\).
Корни: \(a=1\) или \(a=-2\).
Проверка на совпадение: при \(a=1\) прямые \(x+2y-1=0\) и \(x+2y+4=0\) различны, при \(a=-2\) прямые \(-2x+2y-1=0\) и \(x-y+4=0\) также различны, оба значения подходят.
Ответ: B.

### Задача 279 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1: x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_2: x+y+1=0\) 与 \(l_3: 2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为：

English: Line \(l\) is perpendicular to line \(l_1: x+2y+4=0\) and passes through the intersection of lines \(l_2: x+y+1=0\) and \(l_3: 2x+y-1=0\). Then the equation of \(l\) is:

Русский: Прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1: x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2: x+y+1=0\) и \(l_3: 2x+y-1=0\). Тогда уравнение прямой \(l\) имеет вид:

A. \(2x-y-7=0\)
B. \(x+2y-3=0\)
C. \(2x+y-5=0\)
D. \(x-2y-1=0\)

Ответ: A

Решение: Находим пересечение \(l_2\) и \(l_3\): вычитаем \(x+y+1=0\) из \(2x+y-1=0\), получаем \(x-2=0\), \(x=2\), тогда \(y=-3\).
Прямая \(l_1: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), перпендикулярная ей прямая имеет коэффициент \(2\).
Уравнение \(l\): \(y+3=2(x-2)\), то есть \(2x-y-7=0\).
Ответ: A.

### Задача 292 (Прямая)

中文: 如图所示，设直线 \(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\) 的斜率分别为 \(k_1\)、\(k_2\)、\(k_3\)。则 \(k_1\)、\(k_2\) 和 \(k_3\) 的大小关系为：

English: As shown in the figure, let the slopes of the lines \(l_1\), \(l_2\), and \(l_3\) be \(k_1\), \(k_2\), and \(k_3\) respectively. Then the order of magnitude for \(k_1\), \(k_2\), and \(k_3\) is:

Русский: Как показано на рисунке, пусть угловые коэффициенты прямых \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\) равны \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) соответственно. Тогда соотношение между \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) имеет вид:

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-10.png — Три прямые на координатной плоскости, у всех наклон вправо вверх: самая пологая l1, круче l2, самая крутая l3.

Ошибка в источнике: отмечен ответ A, верный B: все три прямые возрастают, круче всех \(l_3\).

A. \(k_3 < k_1 < k_2\)
B. \(k_1 < k_2 < k_3\)
C. \(k_2 < k_3 < k_1\)
D. \(k_1 < k_3 < k_2\)

Ответ: B

Решение: Все три прямые возрастают, значит углы наклона острые и все угловые коэффициенты положительны.
На промежутке \( \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( k = \tan \alpha \) возрастает: чем круче прямая, тем больше её угловой коэффициент.
По рисунку \( l_1 \) самая пологая, \( l_2 \) круче, \( l_3 \) самая крутая.
Поэтому \( k_1 < k_2 < k_3 \).
Ответ: B.

### Задача 293 (Прямая)

中文: 已知直线 \(l_1 : x + y - 1 = 0\) 与直线 \(l_2 : x + y + 2 = 0\)，则 \(l_1\) 与 \(l_2\) 之间的距离为：

English: Given the line \(l_1 : x + y - 1 = 0\) and the line \(l_2 : x + y + 2 = 0\), the distance between \(l_1\) and \(l_2\) is:

Русский: Даны прямая \(l_1 : x + y - 1 = 0\) и прямая \(l_2 : x + y + 2 = 0\). Расстояние между \(l_1\) и \(l_2\) равно:

A. \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
B. \(\sqrt{2}\)
C. \(2\)
D. \(3\)

Ответ: A

Решение: Прямые \(x + y - 1 = 0\) и \(x + y + 2 = 0\) параллельны, так как коэффициенты при переменных пропорциональны.
Расстояние между параллельными прямыми \(ax + by + c_1 = 0\) и \(ax + by + c_2 = 0\) вычисляется по формуле \(d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
Подставляем значения: \(a = 1\), \(b = 1\), \(c_1 = -1\), \(c_2 = 2\).
Получаем \(d = \dfrac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 310 (Прямая)

中文: 过点 \((1, -2)\) 且与直线 \(x - 2y + 3 = 0\) 垂直的直线方程为：

English: The equation of the line passing through the point \((1, -2)\) and perpendicular to the line \(x - 2y + 3 = 0\) is:

Русский: Уравнение прямой, проходящей через точку \((1, -2)\) и перпендикулярной прямой \(x - 2y + 3 = 0\), имеет вид:

A. \(x - 2y - 5 = 0\)
B. \(2x + y - 4 = 0\)
C. \(x - 2y + 5 = 0\)
D. \(2x + y = 0\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой \(x - 2y + 3 = 0\) равен \(\dfrac{1}{2}\).
Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент \(-2\).
Уравнение прямой через точку \((1, -2)\): \(y + 2 = -2(x - 1)\).
Раскрываем скобки: \(y + 2 = -2x + 2\), откуда \(2x + y = 0\).
Вариант B не подходит, так как при подстановке точки \((1,-2)\) получаем \(2 - 2 - 4 \neq 0\).
Ответ: D.