# CSCA Math: Парабола (Parabolas)

9 задач

### Задача 32 (Парабола)

中文: 关于抛物线 \(y^2 = 4x\)，下列说法正确的是：

English: Which of the following statements about the parabola \(y^2 = 4x\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о параболе \(y^2 = 4x\) является верным?

A. Passes through the point \((-4, 4)\) / 经过点 \((-4, 4)\) / Проходит через точку \((-4, 4)\)
B. The axis of symmetry is \(x = 0\) / 对称轴为 \(x = 0\) / Ось симметрии — \(x = 0\)
C. The coordinates of the foci are \((\pm 1, 0)\) / 焦点坐标为 \((\pm 1, 0)\) / Координаты фокусов: \((\pm 1, 0)\)
D. The coordinates of the focus are \((1, 0)\) / 焦点坐标为 \((1, 0)\) / Координаты фокуса: \((1, 0)\)

Ответ: D

Решение: Уравнение \(y^2 = 4x\) имеет вид \(y^2 = 2px\), где \(2p = 4\), значит \(p = 2\).
Фокус такой параболы находится в точке \(\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (1, 0)\).
Проверка A: при \(x = -4\) получаем \(y^2 = -16\), невозможно, точка не лежит на параболе.
Ось симметрии — ось \(y = 0\), а не \(x = 0\), вариант B неверен.
Фокус один, а не два, вариант C неверен.
Ответ: D.

### Задача 39 (Парабола)

中文: 抛物线 \(y^2 = -x\) 的准线方程为：

English: The equation of the directrix of the parabola \(y^2 = -x\) is:

Русский: Уравнение директрисы параболы \(y^2 = -x\):

A. \(x = \dfrac{1}{2}\)
B. \(x = -\dfrac{1}{2}\)
C. \(x = \dfrac{1}{4}\)
D. \(x = -\dfrac{1}{4}\)

Ответ: C

Решение: Каноническое уравнение параболы с горизонтальной осью имеет вид \(y^2 = 2px\).
Из уравнения \(y^2 = -x\) получаем \(2p = -1\), откуда \(p = -\dfrac{1}{2}\).
Директриса такой параболы задаётся уравнением \(x = -\dfrac{p}{2}\).
Подставляем найденное значение: \(x = -\dfrac{-1/2}{2} = \dfrac{1}{4}\).
Ответ: C.

### Задача 79 (Парабола)

中文: 设抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点 \(P\) 在抛物线上，且点 \(P\) 的横坐标为 \(4\)，则 \(|PF|\) =

English: Let the focus of the parabola \(y^2=4x\) be \(F\). Suppose that a point \(P\) is on the parabola, and the horizontal coordinate of \(P\) is \(4\). Then \(|PF|\) =

Русский: Пусть фокус параболы \(y^2=4x\) — это \(F\). Точка \(P\) лежит на параболе, и абсцисса точки \(P\) равна \(4\). Тогда \(|PF|\) =

A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)

Ответ: D

Решение: Уравнение \(y^2=4x\) имеет вид \(y^2=2px\) с \(2p=4\), значит \(p=2\) и фокус \(F(1,0)\).
Директриса параболы — прямая \(x=-1\).
По определению параболы \(|PF|\) равно расстоянию от \(P\) до директрисы.
При абсциссе \(x_P=4\) это расстояние равно \(4-(-1)=5\).
Ответ: D.

### Задача 90 (Парабола)

中文: 抛物线 \(y^{2}=-x\) 的准线方程是：

English: The equation of the directrix of the parabola \(y^{2}=-x\) is:

Русский: Уравнение директрисы параболы \(y^{2}=-x\) равно:

A. \(x=\dfrac{1}{4}\)
B. \(x=\dfrac{-1}{4}\)
C. \(x=\dfrac{-1}{2}\)
D. \(x=\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^{2}=2px\).
Из уравнения \(y^{2}=-x\) получаем \(2p=-1\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).
Директриса параболы задаётся уравнением \(x=-\dfrac{p}{2}\).
Подставляем: \(x=-\dfrac{-1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\).
Ответ: A.

### Задача 125 (Парабола)

中文: 抛物线 \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) 的准线方程是

English: The equation of the directrix of the parabola \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) is

Русский: Уравнение директрисы параболы \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\):

A. \(y=\dfrac{1}{16}\)
B. \(x=\dfrac{1}{16}\)
C. \(y=1\)
D. \(x=1\)

Ответ: C

Решение: Перепишем уравнение: \(x^2=-4y\), это каноническое уравнение \(x^2=-2py\).
Отсюда \(2p=4\), \(p=2\), ветви направлены вниз.
Директриса параболы \(x^2=-2py\) — прямая \(y=\dfrac{p}{2}=1\).
Ответ: C.

### Задача 170 (Парабола)

中文: 若抛物线 \(y=ax^2\) 过点 \((1,2)\)，则 \(a=\)

English: If the parabola \(y=ax^2\) passes through the point \((1,2)\), then \(a=\)

Русский: Если парабола \(y=ax^2\) проходит через точку \((1,2)\), то \(a=\)

A. \(-\dfrac{1}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(1\)

Ответ: B

Решение: Парабола проходит через точку \((1,2)\), значит координаты точки удовлетворяют уравнению.
Подставляем \(x=1\) и \(y=2\) в уравнение \(y=ax^2\): \(2=a \cdot 1^2\).
Отсюда \(a=2\).
Ответ: B.

### Задача 218 (Парабола)

中文: 关于抛物线 \(y=\dfrac{x^2}{4}\)，下列说法正确的是：

English: Which of the following statements about the parabola \(y=\dfrac{x^2}{4}\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о параболе \(y=\dfrac{x^2}{4}\) верно?

A. The axis of symmetry is \(y=0\) / 对称轴为 \(y=0\) / Осью симметрии является \(y=0\)
B. The parabola passes through the point \((4,-4)\) / 抛物线过点 \((4,-4)\) / Парабола проходит через точку \((4,-4)\)
C. The focus is \((0,\pm 1)\) / 焦点为 \((0,\pm 1)\) / Фокусом является \((0,\pm 1)\)
D. The directrix is \(y=-1\) / 准线为 \(y=-1\) / Директрисой является \(y=-1\)

Ответ: D

Решение: Приведём уравнение параболы к каноническому виду: \(x^2 = 4y\).
Сравнивая с формулой \(x^2 = 2py\), получаем \(2p = 4\), откуда \(p = 2\).
Фокус параболы находится в точке \((0, \dfrac{p}{2}) = (0, 1)\), поэтому вариант C неверен.
Директриса задаётся уравнением \(y = -\dfrac{p}{2} = -1\).
Ось симметрии — прямая \(x = 0\), а не \(y = 0\), что исключает вариант A.
При \(x = 4\) значение \(y = \dfrac{16}{4} = 4 \neq -4\), поэтому вариант B неверен.
Ответ: D.

### Задача 264 (Парабола)

中文: 顶点在原点，焦点为 \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) 的抛物线的标准方程为：

English: The standard equation of the parabola with vertex at the origin and focus \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) is:

Русский: Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) имеет вид:

A. \(y^2 = \dfrac{3}{2}x\)
B. \(y^2 = 3x\)
C. \(y^2 = 6x\)
D. \(y^2 = -6x\)

Ответ: C

Решение: Вершина в начале координат и фокус \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) на оси \(x\), значит ветви вправо и уравнение имеет вид \(y^2=2px\).
Фокус такой параболы: \(\left(\dfrac{p}{2},0\right)\), поэтому \(\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}\), то есть \(p=3\).
Подставляем: \(y^2=2\cdot 3\,x=6x\).
Ответ: C.

### Задача 275 (Парабола)

中文: 抛物线的顶点在原点，准线为 \(x=\dfrac{1}{4}\)，求抛物线方程。

English: A parabola has its vertex at the origin and directrix \(x=\dfrac{1}{4}\). Find the equation of the parabola.

Русский: Вершина параболы находится в начале координат, а директриса задана уравнением \(x=\dfrac{1}{4}\). Найдите уравнение параболы.

A. \(y^2=x\)
B. \(y^2=-x\)
C. \(y^2=4x\)
D. \(y^2=-4x\)

Ответ: B

Решение: Директриса параболы с вершиной в начале координат имеет вид \(x=-\dfrac{p}{2}\) для уравнения \(y^2=2px\).
По условию директриса \(x=\dfrac{1}{4}\), следовательно \(-\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4}\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).
Подставляем в каноническое уравнение: \(y^2=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x=-x\).
Ответ: B.