# CSCA Math: Арифметическая прогрессия (Arithmetic sequences)
18 задач
### Задача 5 (Арифметическая прогрессия)
中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，首项 \(a_1=5\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{100}=\)
English: If the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) has first term \(a_1=5\) and common difference \(d=2\), then \(a_{100}=\)
Русский: Если арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) имеет первый член \(a_1=5\) и разность \(d=2\), то \(a_{100}=\)
A. \(203\)
B. \(205\)
C. \(199\)
D. \(204\)
Ответ: A
Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Подставляем известные значения: \(a_1=5\), \(d=2\), \(n=100\).
Вычисляем \(a_{100} = 5 + (100-1) \cdot 2\).
Упрощаем выражение: \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 5 + 198 = 203\).
Ответ: A.
### Задача 13 (Арифметическая прогрессия)
中文: 已知 a, b 和 c 构成等差数列并且满足 a + c = 20, b =
English: Given that a, b and c form an arithmetic sequence and satisfy a + c = 20, then b =
Русский: Если a, b и c образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют a + c = 20, то b =
A. \(10\)
B. \(5\)
C. \(20\)
D. \(0\)
Ответ: A
Решение: По свойству арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних: \( b = \dfrac{a+c}{2} \).
Подставим известную сумму: \( b = \dfrac{20}{2} = 10 \).
Ответ: A.
### Задача 17 (Арифметическая прогрессия)
中文: 已知 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)，则 \(a_{2025} =\)
English: Given that \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), then \(a_{2025} =\)
Русский: Дано, что \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), тогда \(a_{2025} =\)
A. \(2\)
B. \(2025\)
C. \(2024\)
D. \(20\)
Ответ: B
Решение: Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=2-1=1\).
Общий член: \(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)=n\).
Тогда \(a_{2025}=2025\).
Ответ: B.
### Задача 47 (Арифметическая прогрессия)
中文: 已知等差数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\)，则 \(S_{13}=\)
English: Given that the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\), then \(S_{13}=\)
Русский: Дано, что арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) удовлетворяет условию \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\). Тогда \(S_{13}=\)
A. \(104\)
B. \(52\)
C. \(39\)
D. \(26\)
Ответ: D
Решение: В арифметической прогрессии \(a_2+a_{14}=a_6+a_{10}=2a_8\), поэтому \(a_2+a_6+a_{10}+a_{14}=4a_8\).
Перегруппируем условие: \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=3a_2+5a_6+2a_{10}+2a_{14}=24\).
Подставим \(a_n=a_1+(n-1)d\): получаем \(12a_1+78d=24\), то есть \(a_1+\dfrac{13}{2}d=2\), значит \(a_7=2\).
Тогда \(S_{13}=\dfrac{13(a_1+a_{13})}{2}=\dfrac{13\cdot 2a_7}{2}=13\cdot 2=26\).
Ответ: D.
### Задача 52 (Арифметическая прогрессия)
中文: 设 \(\{a_n\}\) 是一个等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。那么 \(a_{100}=\)
English: Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence, with the first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)
Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)
A. \(299\)
B. \(302\)
C. \(305\)
D. \(298\)
Ответ: A
Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
Подставляем \( n=100 \), \( a_1=2 \), \( d=3 \): \( a_{100} = 2 + 99 \cdot 3 \).
Вычисляем: \( 2 + 297 = 299 \).
Ответ: A.
### Задача 61 (Арифметическая прогрессия)
中文: 已知 \(a = 2 - \sqrt{3}\) 和 \(b = 2 + \sqrt{3}\)，a 和 b 的算术平均数是：
English: Given that \(a = 2 - \sqrt{3}\) and \(b = 2 + \sqrt{3}\), the arithmetic mean of a and b is:
Русский: Если \(a = 2 - \sqrt{3}\) и \(b = 2 + \sqrt{3}\), их арифметическое среднее равно:
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(\pm 1\)
D. \(-1\)
Ответ: B
Решение: Среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{a+b}{2}\).
\(a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4\).
\(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).
Ответ: B.
### Задача 64 (Арифметическая прогрессия)
中文: 在以下四个数列中，等差数列的个数是： (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
English: Among the four sequences below, the number of arithmetic sequences is: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Русский: Среди четырёх приведённых последовательностей количество арифметических прогрессий равно: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(1\)
D. \(4\)
Ответ: A
Решение: Арифметическая прогрессия: разность соседних членов постоянна.
(1) \(13-7=6,\ 19-13=6,\ 25-19=6\) — арифметическая.
(2) \(4-2=2,\ 7-4=3\) — разности разные, не арифметическая.
(3) \(-3-(-1)=-2,\ -5-(-3)=-2,\ -7-(-5)=-2\) — арифметическая.
(4) \(4-2=2,\ 8-4=4\) — не арифметическая, это геометрическая.
Подходят две последовательности: (1) и (3).
Ответ: A.
### Задача 69 (Арифметическая прогрессия)
中文: 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_2 = 1\) 且 \(a_4 = 5\)，则首项 \(a_1\) 和公差 \(d\) 分别是：
English: In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_2 = 1\) and \(a_4 = 5\), then the first term \(a_1\) and common difference \(d\) are respectively:
Русский: В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) известно, что \(a_2 = 1\) и \(a_4 = 5\). Тогда первый член \(a_1\) и разность прогрессии \(d\) соответственно равны:
A. \(-1, 2\)
B. \(1, -2\)
C. \(-1, -2\)
D. \(1, 2\)
Ответ: A
Решение: Разность арифметической прогрессии находится из соотношения \(a_4 - a_2 = 2d\), откуда \(5 - 1 = 2d\) и \(d = 2\).
Первый член вычисляем по формуле \(a_1 = a_2 - d = 1 - 2 = -1\).
Получаем \(a_1 = -1\) и \(d = 2\).
Ответ: A.
### Задача 106 (Арифметическая прогрессия)
中文: 设 \(\{a_n\}\) 是等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。则 \(a_{100}=\)
English: Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence with first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)
Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)
A. \(298\)
B. \(299\)
C. \(302\)
D. \(305\)
Ответ: B
Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\).
\(a_{100}=2+99\cdot3=2+297=299\).
Ответ: B.
### Задача 116 (Арифметическая прогрессия)
中文: 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{10}=\)
English: In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=1\) and its common difference \(d=2\), then \(a_{10}=\)
Русский: В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=1\) и разность \(d=2\), то \(a_{10}=\)
A. \(19\)
B. \(17\)
C. \(15\)
D. \(21\)
Ответ: A
Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Подставляем \(a_1=1\), \(d=2\), \(n=10\): \(a_{10}=1+9\cdot 2=19\).
Ответ: A.
### Задача 151 (Арифметическая прогрессия)
中文: 若 \(-1\)，\(a\)，\(15\) 是等差数列，则 \(a=\)
English: If \(-1\), \(a\), \(15\) is an arithmetic sequence, then \(a=\)
Русский: Если \(-1\), \(a\), \(15\) — арифметическая прогрессия, то \(a=\)
A. \(9\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(11\)
Ответ: C
Решение: В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних.
Значит \(a=\dfrac{-1+15}{2}=\dfrac{14}{2}=7\).
Ответ: C.
### Задача 153 (Арифметическая прогрессия)
中文: 若 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，则 \(a_{5} =\)
English: If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, with \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), then \(a_{5} =\)
Русский: Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), то \(a_{5} =\)
A. \(9\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(11\)
Ответ: A
Решение: Разность арифметической прогрессии равна \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).
Формула общего члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Подставляем \(n = 5\): \(a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9\).
Ответ: A.
### Задача 155 (Арифметическая прогрессия)
中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n=2n-1\)，则下列说法正确的是：
English: If the general term of a sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n=2n-1\), which of the following statements is correct?
Русский: Если общий член последовательности \(\{a_n\}\) равен \(a_n=2n-1\), то какое из следующих утверждений верно?
A. \(\{a_n\}\) is both an arithmetic and a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 既是等差数列又是等比数列 / \(\{a_n\}\) является одновременно арифметической и геометрической прогрессией
B. \(\{a_n\}\) is neither an arithmetic nor a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 既不是等差数列也不是等比数列 / \(\{a_n\}\) не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией
C. \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence / \(\{a_n\}\) 是等差数列 / \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией
D. \(\{a_n\}\) is a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 是等比数列 / \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией
Ответ: C
Решение: Общий член задан формулой \(a_n = 2n - 1\).
Найдём разность соседних членов: \(a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = 2\).
Разность постоянна и равна 2, значит последовательность является арифметической прогрессией.
Проверим отношение для геометрической прогрессии: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\), отношения \(\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{5}{3}\), поэтому она не геометрическая.
Ответ: C.
### Задача 202 (Арифметическая прогрессия)
中文: 已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_{1}=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{9} =\)
English: Given that the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic progression with \(a_{1}=1\) and common difference \(d=2\), then \(a_{9} =\)
Русский: Если дано, что последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией с \(a_{1}=1\) и разностью \(d=2\), то \(a_{9} =\)
A. \(20\)
B. \(18\)
C. \(19\)
D. \(17\)
Ответ: D
Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Подставляем \(a_1 = 1\), \(d = 2\), \(n = 9\).
\(a_9 = 1 + (9-1) \cdot 2 = 1 + 8 \cdot 2 = 1 + 16 = 17\).
Ответ: D.
### Задача 210 (Арифметическая прогрессия)
中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，则 \(a_5 =\)？
English: If the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), then \(a_5 =\)?
Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), то \(a_5 =\)?
A. \(11\)
B. \(5\)
C. \(9\)
D. \(7\)
Ответ: C
Решение: Разность прогрессии \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).
Общий член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
\(a_5 = 1 + 4\cdot 2 = 9\).
Ответ: C.
### Задача 233 (Арифметическая прогрессия)
中文: 已知 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)， \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\)，令 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)，则 \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
English: Given that \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\), let \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), then \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Русский: Дано, что \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\). Пусть \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), тогда \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
A. \(n(n + 1)\)
B. \(n(n - 1)\)
C. \(\dfrac{n^2}{2}\)
D. \(n^2\)
Ответ: A
Решение: \( b_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2 \).
Значит \( \{b_n\} \) — арифметическая прогрессия с разностью \( 2 \).
\( b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 2 \), поэтому \( b_n = 2 + 2(n-1) = 2n \).
\( S_n = 2 + 4 + \cdots + 2n = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \).
Ответ: A.
### Задача 250 (Арифметическая прогрессия)
中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，则 \(a_5=\)
English: If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence with \(a_1=1\) and \(a_2=3\), then \(a_5=\)
Русский: Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_1=1\), \(a_2=3\), то \(a_5=\)
A. \(9\)
B. \(11\)
C. \(5\)
D. \(7\)
Ответ: A
Решение: Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \).
Формула общего члена \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
Подставляем \( a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9 \).
Ответ: A.
### Задача 291 (Арифметическая прогрессия)
中文: 下列数列中，不属于等差数列的是：
English: Which of the following sequences is not an arithmetic sequence?
Русский: Какая из следующих последовательностей не является арифметической прогрессией?
A. \(0,\ 0,\ 0,\ \ldots,\ 0,\ \ldots\)
B. \(-2,\ -1,\ 0,\ \ldots,\ n-3,\ \ldots\)
C. \(1,\ 3,\ 5,\ \ldots,\ 2n-1,\ \ldots\)
D. \(0,\ 1,\ 3,\ \ldots,\ \dfrac{n(n-1)}{2},\ \ldots\)
Ответ: D
Решение: Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между соседними членами.
В варианте A все члены равны нулю, разность \(d = 0\), это арифметическая прогрессия.
В варианте B разность \(d = 1\), общий член \(n - 3\), это арифметическая прогрессия.
В варианте C разность \(d = 2\), общий член \(2n - 1\), это арифметическая прогрессия.
В варианте D члены: \(0, 1, 3, 6, \ldots\), разности равны \(1, 2, 3, \ldots\) и не постоянны.
Ответ: D.