# CSCA Math: Геометрическая прогрессия (Geometric sequences)

17 задач

### Задача 23 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的前三项为 1, 2, 4, 则数列的通项公式为：

English: Given that the first three terms of the geometric sequence \(\{a_n\}\) are 1, 2, 4, then the general term formula of the sequence is:

Русский: Если первые три члена геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равны 1, 2, 4, то её общий член равен:

A. \(a_n = 2n\)
B. \(a_n = 8\)
C. \(a_n = 2^{n-1}\)
D. \(a_n = 2^n\)

Ответ: C

Решение: Знаменатель прогрессии \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{2}{1}=2\).
Общий член геометрической прогрессии \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}\).
Проверка: \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_3=4\) — совпадает с условием.
Ответ: C.

### Задача 95 (Геометрическая прогрессия)

中文: 假设数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_{1}=1\)，且 \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\)（\(n=1,2,\dots\)）。另设数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=|a_n|\)（\(n=1,2,\dots\)）。则数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\) ：

English: Suppose in a sequence \(\{a_n\}\) we have \(a_{1}=1\) and \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) for \(n=1,2,\dots\). Let another sequence \(\{b_n\}\) satisfy \(b_n=|a_n|\) for \(n=1,2,\dots\). Then the sum of the first \(n\) terms of \(\{b_n\}\) is \(S_n=\) :

Русский: Пусть в последовательности \(\{a_n\}\) задано \(a_{1}=1\) и \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) при \(n=1,2,\dots\). Другая последовательность \(\{b_n\}\) определяется как \(b_n=|a_n|\) при \(n=1,2,\dots\). Тогда сумма первых \(n\) членов \(\{b_n\}\) равна \(S_n=\) :

A. \(\dfrac{1+2^{n}}{3}\)
B. \(\dfrac{|1-(-2)^{n}|}{3}\)
C. \(2^{n}-1\)
D. \((-2)^{n}-1\)

Ответ: C

Решение: Из условия \(\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{2}{a_{n+1}} = 0\) получаем \(a_{n+1} = -2a_n\).
Значит, \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и знаменателем \(q = -2\).
Общий член: \(a_n = (-2)^{n-1}\).
Тогда \(b_n = |a_n| = |(-2)^{n-1}| = 2^{n-1}\).
Последовательность \(\{b_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2.
Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\).
Ответ: C.

### Задача 108 (Геометрическая прогрессия)

中文: 3和12的等比中项是：

English: The geometric mean of 3 and 12 is:

Русский: Среднее геометрическое чисел 3 и 12 равно:

A. \(\pm 10\)
B. \(\pm 8\)
C. \(\pm 4\)
D. \(\pm 6\)

Ответ: D

Решение: Среднее геометрическое двух положительных чисел \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле \(\pm\sqrt{ab}\).
Подставляем значения: \(\pm\sqrt{3 \cdot 12} = \pm\sqrt{36}\).
Извлекаем корень: \(\pm 6\).
Ответ: D.

### Задача 111 (Геометрическая прогрессия)

中文: 在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=4\)，\(a_4=32\)，则\(a_3\)等于：

English: In a geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=4\) and \(a_4=32\), then \(a_3\) is:

Русский: В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=4\) и \(a_4=32\), то \(a_3\) равен:

A. \(8\)
B. \(16\)
C. \(-8\)
D. \(-16\)

Ответ: B

Решение: В геометрической прогрессии \(a_4=a_1q^3\), значит \(32=4q^3\), \(q^3=8\), \(q=2\).
Тогда \(a_3=a_1q^2=4\cdot 4=16\).
Варианты с минусом невозможны: \(q^3=8\) даёт единственный действительный корень \(q=2\).
Ответ: B.

### Задача 160 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=-48\)，\(a_4=6\)，则公比 \(q=\)

English: If the sequence \(\{a_n\}\) is a geometric sequence, and \(a_1=-48\), \(a_4=6\), then the common ratio \(q=\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией, причём \(a_1=-48\), \(a_4=6\), то знаменатель \(q=\)

A. \(\dfrac{-1}{2}\)
B. \(-2\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(2\)

Ответ: A

Решение: Для геометрической прогрессии выполняется формула \(a_4=a_1 \cdot q^3\).
Подставляем известные значения: \(6=-48 \cdot q^3\).
Делим обе части на \(-48\): \(q^3=\dfrac{6}{-48}=-\dfrac{1}{8}\).
Извлекаем кубический корень: \(q=-\dfrac{1}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 167 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\)，则其通项公式 \(a_n =\)

English: If a sequence \(\{a_n\}\) is given by \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), then its general term is \(a_n =\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) задана как \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), то её общий член равен \(a_n =\)

A. \(\dfrac{1}{2^n}\)
B. \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\)
C. \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\)
D. \((-1)^n \cdot \dfrac{1}{2^n}\)

Ответ: B

Решение: Члены последовательности: \(a_1=\dfrac{1}{2}\), \(a_2=-\dfrac{1}{4}\), \(a_3=\dfrac{1}{8}\).
Знаменатель каждый раз удваивается, значит модуль равен \(\dfrac{1}{2^n}\).
Знаки чередуются, начиная с плюса, поэтому множитель \((-1)^{n-1}\).
Получаем \(a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{2^n}\).
Ответ: B.

### Задача 183 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n=3a_{n+1}-3\)，则 \(S_n=\)

English: Suppose that the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n\), and \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Then \(S_n=\)

Русский: Пусть сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равна \(S_n\), причём \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Тогда \(S_n=\)

A. \(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\)
B. \(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{2}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\dfrac{3}{2}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\dfrac{2}{3}\)

Ответ: A

Решение: При \(n=1\): \(2S_1=3a_2-3\), то есть \(2a_1=3a_1q-3\).
При \(n\ge 2\): \(2S_n=3a_{n+1}-3\) и \(2S_{n-1}=3a_n-3\); вычитая, \(2a_n=3a_{n+1}-3a_n\), значит \(3a_{n+1}=5a_n\), \(q=\dfrac{5}{3}\).
Подставляем \(q=\dfrac{5}{3}\) в \(2a_1=3a_1q-3\): \(2a_1=5a_1-3\), \(a_1=1\).
\(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 198 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成等比数列并且满足 \(ac=100\)，则 \(b=\)

English: Given that \(a\), \(b\), and \(c\) form a geometric sequence and satisfy \(ac=100\), then \(b=\)

Русский: Дано, что \(a\), \(b\) и \(c\) образуют геометрическую прогрессию и удовлетворяют условию \(ac=100\), тогда \(b=\)

A. \(\pm 100\)
B. \(10\)
C. \(100\)
D. \(\pm 10\)

Ответ: D

Решение: В геометрической прогрессии \(b^2=ac\).
По условию \(ac=100\), значит \(b^2=100\).
Отсюда \(b=\pm 10\).
Ответ: D.

### Задача 207 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\)，则：

English: Given that the general term of the geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), then:

Русский: Дано, что общий член геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равен \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), тогда:

A. The common ratio of the sequence is \(q = -2\) / 数列的公比为 \(q = -2\) / Знаменатель прогрессии равен \(q = -2\)
B. The first term of the sequence is \(a_1 = -2\) / 数列的首项为 \(a_1 = -2\) / Первый член прогрессии равен \(a_1 = -2\)
C. The 100th term of the sequence is \(a_{100} = 2\) / 数列的第100项为 \(a_{100} = 2\) / 100-й член прогрессии равен \(a_{100} = 2\)
D. The sum of the first 10 terms is equal to \(0\) / 前10项之和等于 \(0\) / Сумма первых 10 членов равна \(0\)

Ответ: D

Решение: По формуле \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\) находим \(a_1 = 2\), \(a_2 = -2\), значит \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = -1\), варианты A и B неверны.
\(a_{100} = 2\cdot(-1)^{101} = -2\), вариант C неверен.
Каждая пара соседних членов даёт в сумме \(2 + (-2) = 0\), таких пар в десяти членах пять.
\(S_{10} = 5\cdot 0 = 0\).
Ответ: D.

### Задача 216 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\)，则通项 \(a_n=\)。

English: If the sequence \(\{a_n\}\) is \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), then the general term \(a_n=\).

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), то общий член \(a_n=\).

A. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)
B. \(\dfrac{1}{2^n}\)
C. \((-1)^{n-1}\cdot \dfrac{1}{2^n}\)
D. \((-1)^n\cdot \dfrac{1}{2^n}\)

Ответ: C

Решение: Последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).
Находим знаменатель прогрессии: \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).
Формула общего члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).
Подставляем значения: \(a_n = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).
Выносим знак минус из основания степени: \(a_n = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).
Ответ: C.

### Задача 231 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\)（ \(n = 1, 2, \ldots\) ），则 \(S_n\) =

English: Let the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) be \(S_n\), and \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ), then \(S_n\) =

Русский: Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), причём \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ). Тогда \(S_n\) =

A. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n - \dfrac{2}{3}\)
B. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2}\)
C. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n - \dfrac{3}{2}\)
D. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{2}{3}\)

Ответ: B

Решение: При \( n = 1 \): \( 2a_1 = 3a_2 - 3 \), а \( a_2 = qa_1 \), значит \( a_1(2 - 3q) = -3 \).
Записываем условие для \( n \) и \( n-1 \) и вычитаем: \( 2a_n = 3a_{n+1} - 3a_n \), то есть \( 3a_{n+1} = 5a_n \), \( q = \dfrac{5}{3} \).
Подставляем \( q = \dfrac{5}{3} \): \( a_1(2 - 5) = -3 \), откуда \( a_1 = 1 \).
Сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - 1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2} \).
Ответ: B.

### Задача 246 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知 \(a=\sqrt{2}+1\)，\(b=\sqrt{2}-1\)，则 a 和 b 的等比中项为：

English: Given \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), the geometric mean of a and b is:

Русский: Даны \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), среднее геометрическое a и b равно:

A. \(\pm 1\)
B. \(1\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(-1\)

Ответ: A

Решение: Среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\pm\sqrt{ab}\).
Вычислим произведение: \(ab = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2 - 1 = 1\).
Тогда \(\pm\sqrt{ab} = \pm\sqrt{1} = \pm 1\).
Ответ: A.

### Задача 247 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=3\)，公比 \(q=2\)，求 \(a_4\)。

English: Let \(\{a_n\}\) be a geometric sequence with \(a_1=3\) and common ratio \(q=2\). Find \(a_4\).

Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия, \(a_1=3\), знаменатель \(q=2\). Найдите \(a_4\).

A. \(9\)
B. \(12\)
C. \(24\)
D. \(48\)

Ответ: C

Решение: Формула общего члена геометрической прогрессии \( a_n = a_1 q^{n-1} \).
Подставляем \( a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24 \).
Ответ: C.

### Задача 255 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\)，则通项 \(a_n=\)

English: If sequence \(\{a_n\}\) is \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), then the general term \(a_n=\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), то её общий член \(a_n=\)

A. \((-1)^n \cdot \dfrac{1}{2^n}\)
B. \(\dfrac{1}{2^n}\)
C. \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\)
D. \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\)

Ответ: C

Решение: Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).
Знаменатель прогрессии \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).
Формула общего члена: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).
Перепишем это как \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).
При \(n=1\) получаем \(\dfrac{1}{2}\), при \(n=2\) получаем \(-\dfrac{1}{4}\), что совпадает с условием.
Ответ: C.

### Задача 281 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，若 \(S_2=4\)，\(S_4=20\)，则 \(S_8=\)

English: Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\). If \(S_2=4\) and \(S_4=20\), then \(S_8=\)

Русский: Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\). Если \(S_2=4\) и \(S_4=20\), то \(S_8=\)

A. \(160\)
B. \(340\)
C. \(180\)
D. \(210\)

Ответ: B

Решение: Для геометрической прогрессии \( S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1+q^2) \).
Подставляем значения: \( 20 = 4(1+q^2) \), откуда \( q^2 = 4 \).
Аналогично \( S_8 = S_4 + q^4 S_4 = S_4(1+q^4) \).
Так как \( q^4 = (q^2)^2 = 16 \), получаем \( S_8 = 20(1+16) = 20 \cdot 17 = 340 \).
Ответ: B.

### Задача 290 (Геометрическая прогрессия)

中文: 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1 = 2\) 且 \(a_3 = 8\)，则 \(a_4 =\)：

English: In the geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1 = 2\) and \(a_3 = 8\), then \(a_4 =\):

Русский: В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1 = 2\) и \(a_3 = 8\), то \(a_4 =\):

A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(12\)
D. \(16\)

Ответ: D

Решение: В геометрической прогрессии \(a_3 = a_1 \cdot q^2\), откуда \(8 = 2 \cdot q^2\) и \(q^2 = 4\).
Знаменатель прогрессии \(q = 2\) или \(q = -2\).
Четвёртый член равен \(a_4 = a_3 \cdot q = 8q\), то есть \(16\) или \(-16\).
Среди предложенных вариантов только \(16\) присутствует, вариант \(-16\) отсутствует.
Ответ: D.

### Задача 323 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\)，其前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，关于数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 极限的说法正确的是：

English: Given the sequence \(\{a_n\}\) with general term \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\) and sum of first \(n\) terms \(S_n\), which of the following statements about the limits of \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) is correct?

Русский: Дана последовательность \(\{a_n\}\) с общим членом \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\), сумма первых \(n\) членов которой равна \(S_n\). Какое из следующих утверждений о пределах \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) верно?

Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный C: пределы равны \(0\) и \(1\).

A. The limit of \(\{a_n\}\) does not exist, while the limit of \(\{S_n\}\) exists / \(\{a_n\}\) 的极限不存在，而 \(\{S_n\}\) 的极限存在 / Предел последовательности \(\{a_n\}\) не существует, а предел последовательности \(\{S_n\}\) существует
B. The sequence \(\{a_n\}\) has a limit, but \(\{S_n\}\) does not / 数列 \(\{a_n\}\) 有极限，但 \(\{S_n\}\) 没有极限 / Последовательность \(\{a_n\}\) имеет предел, а \(\{S_n\}\) не имеет предела
C. Both \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) have limits, but the limit values are unequal / \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 都有极限，但两者的极限值不相等 / Обе последовательности \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) имеют пределы, но их значения не равны
D. Both \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) have limits, and these limits are equal / \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 都有极限，且两者的极限值相等 / Обе последовательности \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) имеют пределы, и эти пределы равны

Ответ: C

Решение: \( a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 0.
\( S_n \) — сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \).
\( S_n \to 1 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 1.
Оба предела существуют, но не равны: \( 0 \neq 1 \).
Ответ: C.