# CSCA Math: Рекуррентные последовательности и суммы (Recurrences and sums)

8 задач

### Задача 41 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\)（\(n\ge 2\)），则 \(a_{100}=\)

English: Given that the sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)), then \(a_{100}=\)

Русский: Дано, что последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)). Тогда \(a_{100}=\)

A. \(50\)
B. \(\dfrac{1}{100}\)
C. \(1\)
D. \(100\)

Ответ: B

Решение: Упростим рекуррентное соотношение: \( a_n = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}} = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1} \).\nТогда \( \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}} = 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} \).\nПоследовательность \( b_n = \dfrac{1}{a_n} \) арифметическая с разностью 1.\n\( b_1 = 1 \), значит \( b_n = n \), откуда \( a_n = \dfrac{1}{n} \).\n\( a_{100} = \dfrac{1}{100} \).\nОтвет: B.

### Задача 88 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 数列 \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) 的通项公式是 \(a_n =\)

English: The general term formula for the sequence \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) is \(a_n =\)

Русский: Формула общего члена последовательности \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) имеет вид \(a_n =\)

A. \(\dfrac{(-1)^{n-1}}{3n+2}\)
B. \(\dfrac{(-1)^n}{2n+3}\)
C. \(\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n+3}\)
D. \(\dfrac{(-1)^n}{3n+2}\)

Ответ: B

Решение: Знаки чередуются, начиная с минуса, значит множитель \((-1)^n\).
Знаменатели: \(5, 7, 9, 11\) — арифметическая прогрессия с общим членом \(2n + 3\).
Проверка: при \(n = 1\) получаем \(\dfrac{-1}{5}\), при \(n = 2\) получаем \(\dfrac{1}{7}\), совпадает.
Варианты A и D дают знаменатель \(3n+2 = 5, 8, 11\), не подходит.
Ответ: B.

### Задача 132 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 在数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=\dfrac{1}{2}\)，且 \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\)，\(n\ge 1\)，则 \(a_6=\)

English: In the sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=\dfrac{1}{2}\) and \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), then \(a_6=\)

Русский: В последовательности \(\{a_n\}\), если \(a_1=\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), то \(a_6=\)

A. \(\dfrac{1}{7}\)
B. \(\dfrac{1}{6}\)
C. \(\dfrac{1}{9}\)
D. \(\dfrac{1}{8}\)

Ответ: A

Решение: Пусть \( b_n=\dfrac{1}{a_n} \), тогда \( b_{n+1}=b_n+1 \) — арифметическая прогрессия.
\( b_1=\dfrac{1}{a_1}=2 \), значит \( b_n=2+(n-1)=n+1 \).
Тогда \( b_6=7 \) и \( a_6=\dfrac{1}{7} \).
Ответ: A.

### Задача 138 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 设 \(a_n=2^{n+1}-3n\)，\(n\ge 1\)。令 \(S_n\) 为数列的前 \(n\) 项和，则 \(S_n\) =

English: Suppose that \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of the sequence. Then \(S_n\) =

Русский: Пусть \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов последовательности. Тогда \(S_n\) =

A. \(2^{n+2}-\dfrac{3n(n+1)}{2}+4\)
B. \(2^{n+2}-3n-4\)
C. \(2^{n+2}+\dfrac{3n(n+1)}{2}-4\)
D. \(2^{n+2}-\dfrac{3n(n+1)}{2}-4\)

Ответ: D

Решение: Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3\sum_{k=1}^{n} k\).
Первая сумма геометрическая: \(2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 4\).
Вторая сумма: \(3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n(n+1)}{2}\).
Тогда \(S_n = 2^{n+2} - \dfrac{3n(n+1)}{2} - 4\).
Ответ: D.

### Задача 179 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\)（\(n \ge 2\)），且 \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\)，则 \(a_{4}=\)

English: If a sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) and \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), then \(a_{4}=\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) и \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), то \(a_{4}=\)

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{16}{3}\), верный \(-\dfrac{8}{3}\).

A. \(\dfrac{-16}{3}\)
B. \(\dfrac{-8}{3}\)
C. \(\dfrac{16}{3}\)
D. \(\dfrac{8}{3}\)

Ответ: B

Решение: \(a_2=(-1)^2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\).
\(a_3=(-1)^3\cdot 2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\).
\(a_4=(-1)^4\cdot 2\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}\).
Ответ: B.

### Задача 185 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\)，则通项公式 \(a_n=\)

English: If the sum of the first \(n\) terms of a sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), then the general term \(a_n=\)

Русский: Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), то общий член \(a_n=\)

A. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)
B. \((-2)^{n-1}\)
C. \((-2)^n\)
D. \(-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Ответ: B

Решение: При \(n=1\): \(S_1=a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{1}{3}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_1=1\).
При \(n\ge 2\): \(a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{2}{3}a_n-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_n=-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), \(a_n=-2a_{n-1}\).
Геометрическая прогрессия с \(a_1=1\), \(q=-2\): \(a_n=(-2)^{n-1}\).
Проверка: \(a_2=-2\), \(S_2=-1=\dfrac{2}{3}\cdot(-2)+\dfrac{1}{3}=-1\), верно.
Ответ: B.

### Задача 227 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = n^3 + n^2 + n\)，则通项 \(a_n =\)

English: If the sum of the first \(n\) terms of the sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n = n^3 + n^2 + n\), then the general term \(a_n =\)

Русский: Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n = n^3 + n^2 + n\), то общий член \(a_n =\)

A. \(3n^2 - n + 1\)
B. \(n^2 + n + 1\)
C. \(3n^2 + n + 1\)
D. \(3n^2 + 2n + 1\)

Ответ: A

Решение: Для \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + n^2 + n - \left((n-1)^3 + (n-1)^2 + (n-1)\right) \).
Раскрываем: \( (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \), \( (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \).
Вычитаем: \( a_n = 3n^2 - 3n + 1 + 2n - 1 + 1 = 3n^2 - n + 1 \).
Проверка: \( a_1 = S_1 = 3 \), и по формуле \( 3 - 1 + 1 = 3 \), совпадает.
Ответ: A.

### Задача 274 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，且 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)（\(n=1,2,\ldots\)），则 \(a_5\) =

English: If in the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\), \(a_2=3\), and \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), then \(a_5\) =

Русский: Если в последовательности \(\{a_n\}\) \(a_1=1\), \(a_2=3\) и \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), то \(a_5\) =

A. \(7\)
B. \(-7\)
C. \(11\)
D. \(-11\)

Ответ: C

Решение: Последовательно вычисляем члены последовательности по рекуррентной формуле \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\).
\(a_3=a_2+a_1=3+1=4\).
\(a_4=a_3+a_2=4+3=7\).
\(a_5=a_4+a_3=7+4=11\).
Ответ: C.