# CSCA Math: Множества (Sets)

16 задач

### Задача 1 (Множества)

中文: 若集合 \(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则以下哪个是正确的？

English: If the sets \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), which of the following is true?

Русский: Если множества \(A=\{1,2\}\) и \(B=\{1,2,3\}\), то какое из следующих утверждений верно?

A. \(B \subseteq A\)
B. \(A=B\)
C. \(A\subseteq B\)
D. \(A \not\subseteq B\)

Ответ: C

Решение: Множество \(A=\{1,2\}\) содержит элементы 1 и 2.
Множество \(B=\{1,2,3\}\) содержит элементы 1, 2 и 3.
Каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), поэтому \(A \subseteq B\).
Вариант A неверен, так как 3 не входит в \(A\).
Вариант B неверен, так как множества содержат разное число элементов.
Вариант D противоречит установленному включению.
Ответ: C.

### Задача 2 (Множества)

中文: 若集合 \(A=(-1,3)\)，\(B=[2,4]\)，则 \(A\cap B\) 等于多少？

English: If the sets \(A=(-1,3)\) and \(B=[2,4]\), what is \(A\cap B\)?

Русский: Если множества \(A=(-1,3)\) и \(B=[2,4]\), то чему равно \(A\cap B\)?

A. \([2,3]\)
B. \([2,3)\)
C. \((2, 3]\)
D. \((2, 3)\)

Ответ: B

Решение: Множество \(A=(-1,3)\) содержит числа от \(-1\) до \(3\), не включая обе границы.
Множество \(B=[2,4]\) содержит числа от \(2\) до \(4\), включая обе границы.
Пересечение состоит из чисел, принадлежащих обоим промежуткам, то есть от \(2\) до \(3\).
Точка \(2\) входит в оба множества, поэтому левая граница включается.
Точка \(3\) не входит в \(A\), поэтому правая граница не включается.
Получаем промежуток \([2,3)\).
Ответ: B.

### Задача 49 (Множества)

中文: 设 \(A=\{6,7,8,9,10\}\) 是一个集合，\(\emptyset\) 表示空集。那么下列哪个陈述是正确的？

English: Let \(A=\{6,7,8,9,10\}\) be a set, and \(\emptyset\) denote the empty set. Then which of the following statements is correct?

Русский: Пусть \(A=\{6,7,8,9,10\}\) — множество, а \(\emptyset\) обозначает пустое множество. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(9 \in A\)
B. \({6} \in A\)
C. \(6 \subseteq A\)
D. \(\emptyset\in A\)

Ответ: A

Решение: Множество \(A = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) содержит элемент 9, поэтому запись \(9 \in A\) верна.
Запись \(\{6\} \in A\) неверна, так как \(\{6\}\) является подмножеством, а не элементом множества \(A\).
Запись \(6 \subseteq A\) неверна, поскольку символ подмножества применяется к множествам, а 6 — это элемент.
Пустое множество \(\emptyset\) является подмножеством любого множества, но не элементом \(A\), поэтому \(\emptyset \in A\) неверно.
Ответ: A.

### Задача 50 (Множества)

中文: 设 \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\) 是两个集合。那么 \(A\cup B\)=

English: Let \(A=\{x\mid -2 \le x \le 2\}\) and \(B=\{x\mid x > 0\}\) be two sets. Then \(A \cup B\) =

Русский: Пусть \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\) — два множества. Тогда \(A\cup B\)=

A. \(\{x \mid x \leq -2\}\)
B. \(\{x \mid 0 < x \leq 2\}\)
C. \(\{x \mid x \geq -2\}\)
D. \(\{x \mid -2 \leq x < 0\}\)

Ответ: C

Решение: \(A\) — отрезок \([-2;2]\), \(B\) — луч \(x>0\).
Объединение покрывает все \(x\) от \(-2\) и дальше: и отрезок, и луч.
Значит \(A\cup B=\{x\mid x\ge -2\}\).
Вариант B — только пересечение, A и D — части отрезка.
Ответ: C.

### Задача 97 (Множества)

中文: 设集合 \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\)。下列说法正确的是：

English: Let \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\) be a set. Which of the following statements is correct?

Русский: Пусть дано множество \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\). Какое из следующих утверждений является верным?

A. \(-3 \in A\)
B. \(3 \in A\)
C. \(-2 \in A\)
D. \(2 \notin A\)

Ответ: B

Решение: Множество \(A = (-2, 3]\): левый конец не входит, правый входит.
\(-3 < -2\), значит \(-3 \notin A\), A неверно.
\(3\) входит, так как неравенство справа нестрогое, \(3 \in A\).
\(-2\) не входит, так как неравенство слева строгое, C неверно.
\(2 \in A\), так как \(-2 < 2 \le 3\), D неверно.
Ответ: B.

### Задача 98 (Множества)

中文: 设集合 \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\)，\(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\)。则 \(M \cap N =\)

English: Let \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) and \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\) be two sets. Then \(M \cap N =\)

Русский: Пусть даны множества \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) и \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\). Тогда \(M \cap N =\)

A. \([-4, 2)\)
B. \((-5, 2)\)
C. \([-5, 2]\)
D. \((-4, 2)\)

Ответ: A

Решение: \(M = [-5, 2)\), \(N = [-4, 2]\).
Пересечение берёт общую часть: левая граница \(\max(-5, -4) = -4\), входит.
Правая граница \(\min\) по значению равна \(2\), но в \(M\) точка \(2\) не входит.
Значит \(M \cap N = [-4, 2)\).
Ответ: A.

### Задача 140 (Множества)

中文: 设 \(A=\{1,3,4,6,7\}\)，\(B=\{1,3,4\}\) 为两个集合，下列说法正确的是：

English: Let \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) be two sets. Which of the following statements is correct?

Русский: Пусть \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) — два множества. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(A\in B\)
B. \(A\subseteq B\)
C. \(B\in A\)
D. \(B\subseteq A\)

Ответ: D

Решение: Множество \(B\) состоит из элементов \(1,3,4\), и все они входят в \(A\).
Значит, \(B\subseteq A\).
Вариант A неверен: \(A\) не является элементом \(B\).
Вариант B неверен: например, \(6\in A\), но \(6\notin B\).
Вариант C неверен: \(B\) не является элементом \(A\).
Ответ: D.

### Задача 141 (Множества)

中文: 设 \(A=\{x\mid 3<x<5\}\)，\(B=\{x\mid x>4\}\)，则 \(A\cap B\) =

English: Let \(A=\{x\mid 3<x<5\}\), \(B=\{x\mid x>4\}\). Then \(A\cap B\) =

Русский: Пусть \(A=\{x\mid 3<x<5\}\), \(B=\{x\mid x>4\}\). Тогда \(A\cap B\) =

A. \(\{x\mid 3<x\le 4\}\)
B. \(\{x\mid 4\le x<5\}\)
C. \(\{x\mid 4<x<5\}\)
D. \(\{x\mid 3<x<4\}\)

Ответ: C

Решение: Пересечение состоит из чисел, удовлетворяющих обоим условиям.
Нужно одновременно \(3<x<5\) и \(x>4\).
Более сильное нижнее условие: \(x>4\), верхнее остаётся \(x<5\).
Получаем \(A\cap B=\{x\mid 4<x<5\}\).
Ответ: C.

### Задача 187 (Множества)

中文: 若集合 \(A=\{x \mid x^2=1\}\)，则下列表示正确的是：

English: If the set \(A=\{x \mid x^2=1\}\), then which of the following representations is correct?

Русский: Если множество \(A=\{x \mid x^2=1\}\), то какое из следующих представлений верно?

A. \(A=-1\)
B. \(\{1\} \subseteq A\)
C. \(1 \subseteq A\)
D. \(A=\{1\}\)

Ответ: B

Решение: Решим уравнение \(x^2=1\), получим \(x=1\) или \(x=-1\), значит \(A=\{-1, 1\}\).
Вариант A неверен, так как множество не может быть равно числу.
Вариант C неверен, так как знак \(\subseteq\) применяется к множествам, а не к элементам.
Вариант D неверен, так как в множестве \(A\) два элемента, а не один.
Множество \(\{1\}\) является подмножеством \(A\), поэтому вариант B верен.
Ответ: B.

### Задача 188 (Множества)

中文: 若集合 \(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,\ldots,2026\}\)，则 \(A \cap B=\)

English: If the sets \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), then \(A \cap B=\)

Русский: Если множества \(A=\{1,2,3\}\) и \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), то \(A \cap B=\)

A. \(\{2,3\}\)
B. \(\{1,2,3\}\)
C. \(\{2,3,\ldots,2026\}\)
D. \(\{1,2,\ldots,2026\}\)

Ответ: A

Решение: Множество \(A\) содержит элементы 1, 2 и 3.
Множество \(B\) содержит все целые числа от 2 до 2026 включительно.
Пересечение \(A \cap B\) состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам.
Элемент 1 не входит в \(B\), а элементы 2 и 3 входят в оба множества.
Следовательно, \(A \cap B = \{2, 3\}\).
Ответ: A.

### Задача 235 (Множества)

中文: 下列说法正确的是：

English: Which of the following statements is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. \(-2 \in \mathbb{N}\)
B. \(\pi \in \mathbb{Q}\)
C. \(\dfrac{3}{2} \in \mathbb{Z}\)
D. \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\)

Ответ: D

Решение: \(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел, \(-2\) не натуральное, A неверно.
\(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел, \(\pi\) иррационально, B неверно.
\(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел, \(\dfrac{3}{2}\) не целое, C неверно.
\(\sqrt{3}\) — действительное число, поэтому \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), D верно.
Ответ: D.

### Задача 236 (Множества)

中文: 若集合 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，\(B = \{3, 4, 5, 6\}\)，则下列运算正确的是：

English: If sets \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), which operation is correct?

Русский: Если множества \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), то какая из следующих операций верна?

A. \(A \cup B = \{3, 4\}\)
B. \(A \cap B = \{5, 6\}\)
C. \(A \cap B = \{1, 2, 5, 6\}\)
D. \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

Ответ: D

Решение: Объединение содержит все элементы обоих множеств без повторов: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Пересечение содержит только общие элементы: \(A \cap B = \{3,4\}\).
Варианты A, B, C противоречат этим результатам, верен только D.
Ответ: D.

### Задача 283 (Множества)

中文: 下列各项中，能组成集合的是：

English: Which of the following objects can form a set?

Русский: Какой из следующих объектов может образовывать множество?

A. All real numbers very close to \(0\) / 所有非常接近 \(0\) 的实数 / Все действительные числа, очень близкие к \(0\)
B. All Year 10 students at Peking University Affiliated Middle School Yunnan Experimental School during the second semester of the academic year / 北大附中云南实验学校高一年级本学期在校的所有学生 / Все учащиеся первого года старшей школы Юньнаньской экспериментальной школы при Пекинском университете в текущем семестре
C. Year 10 pupils with relatively good eyesight / 高一年级视力比较好的同学 / Учащиеся первого года старшей школы с относительно хорошим зрением
D. Highly talented teachers in Year 10 / 高一年级中非常有才华的老师 / Очень талантливые учителя первого года старшей школы

Ответ: B

Решение: Множество должно иметь чёткий критерий принадлежности элементов.
Варианты A, C и D содержат неопределённые слова «очень близко», «относительно хорошее», «высоко талантливые», которые не задают точного условия.
Вариант B однозначно определяет конечный список конкретных учеников определённой школы, класса и семестра.
Ответ: B.

### Задача 284 (Множества)

中文: 设 \(A\) 是一个集合，则下列结论正确的是：

English: Let \(A\) denote a set. Then which of the following is correct?

Русский: Пусть \(A\) — множество. Тогда какое из следующих утверждений верно?

Ошибка в источнике: варианты C и D одинаковые.

A. \(\emptyset \in A\)
B. \(\emptyset \subseteq A\)
C. \(\emptyset \supseteq A\)
D. \(\emptyset \supseteq A\)

Ответ: B

Решение: Пустое множество является подмножеством любого множества по определению.
Запись \(\emptyset \subseteq A\) верна для произвольного множества \(A\).
Вариант A неверен, так как пустое множество не обязано быть элементом \(A\).
Варианты C и D неверны, так как пустое множество не может содержать непустое множество.
Ответ: B.

### Задача 302 (Множества)

中文: 已知集合 \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\)，则集合 \(A\cup B\) 为：

English: Given the sets \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) and \(B=\{x\mid x>0\}\), the set \(A\cup B\) is:

Русский: Даны множества \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\). Тогда множество \(A\cup B\) равно:

A. \([-1,\ 2]\)
B. \([0,\ 2]\)
C. \([-1,\ +\infty)\)
D. \((0,\ +\infty)\)

Ответ: C

Решение: Решаем неравенство \(x^2-x-2\le 0\): корни \(x=-1\) и \(x=2\), значит \(A=[-1,\ 2]\).
Множество \(B=(0,\ +\infty)\).
Объединение \(A\cup B=[-1,\ +\infty)\): все числа от \(-1\) включительно и дальше покрываются либо \(A\), либо \(B\).
Ответ: C.

### Задача 317 (Множества)

中文: 已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\)，\(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\)，则 \(A \cap B =\)：

English: Given the sets \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) and \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\), then \(A \cap B =\):

Русский: Даны множества \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) и \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\). Тогда \(A \cap B =\):

A. \([1,\ 2]\)
B. \([0,\ 2]\)
C. \([1,\ 3]\)
D. \([0,\ 3]\)

Ответ: A

Решение: Решаем неравенство для множества \(A\): \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\), корни 1 и 2, значит \(A = [1, 2]\).
Решаем неравенство для множества \(B\): \(2^{1-x} + 1 \leq 3\), откуда \(2^{1-x} \leq 2\).
Так как основание степени больше 1, получаем \(1 - x \leq 1\), то есть \(x \geq 0\), значит \(B = [0, +\infty)\).
Пересечение множеств: \(A \cap B = [1, 2] \cap [0, +\infty) = [1, 2]\).
Ответ: A.