# CSCA Math: Стереометрия (Solid geometry)

4 задачи

### Задача 295 (Стереометрия)

中文: 关于棱柱，下列说法正确的个数是：<br><br>① 四棱柱是平行六面体；<br>② 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；<br>③ 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；<br>④ 底面是正多边形的棱柱是正棱柱。

English: The number of correct statements regarding prisms is:<br><br>① A quadrangular prism is a parallelepiped;<br>② A solid with two parallel faces and all other faces being parallelograms is a prism;<br>③ A geometric solid with two parallel faces, all other faces being quadrilaterals, and each pair of adjacent quadrilaterals sharing parallel common sides is a prism;<br>④ A prism with a regular polygon as its base is a regular prism.

Русский: Количество верных утверждений о призмах равно:<br><br>① четырёхугольная призма является параллелепипедом;<br>② тело с двумя параллельными гранями, все остальные грани которого — параллелограммы, является призмой;<br>③ геометрическое тело с двумя параллельными гранями, все остальные грани которого — четырёхугольники, причём общие стороны любых двух соседних четырёхугольников параллельны, является призмой;<br>④ призма, основанием которой является правильный многоугольник, является правильной призмой.

A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)

Ответ: A

Решение: ① Неверно: в основании четырёхугольной призмы может лежать не параллелограмм, а параллелепипед — призма, у которой в основании параллелограмм.
② Неверно: можно сложить тело из двух наклонных призм так, что две грани параллельны, остальные — параллелограммы, но боковые рёбра не параллельны.
③ Верно: если общие стороны соседних боковых граней параллельны, все боковые рёбра параллельны, это и есть призма.
④ Неверно: правильная призма должна быть ещё и прямой.
Верно одно утверждение.
Ответ: A.

### Задача 311 (Стереометрия)

中文: 在三棱柱 \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) 中，\(G\) 和 \(H\) 分别是 \(AB\) 和 \(AC\) 的中点。则 \(GH\) 与 \(A_1B_1\) 的位置关系是：

English: In the triangular prism \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\), \(G\) and \(H\) are the midpoints of \(AB\) and \(AC\) respectively. Then the positional relationship between \(GH\) and \(A_1B_1\) is:

Русский: В треугольной призме \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) точки \(G\) и \(H\) являются серединами \(AB\) и \(AC\) соответственно. Тогда взаимное расположение \(GH\) и \(A_1B_1\):

Ошибка в источнике: отмечен ответ C (параллельны), верный B (скрещиваются).

A. Intersecting / 相交 / Пересекаются
B. Skew / 异面 / Скрещиваются
C. Parallel / 平行 / Параллельны
D. Perpendicular / 垂直 / Перпендикулярны

Ответ: B

Решение: Точки \(G\) и \(H\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), поэтому \(GH \parallel BC\).
В призме \(BC \parallel B_1C_1\), значит \(GH \parallel B_1C_1\).
Прямая \(GH\) лежит в плоскости нижнего основания, а \(A_1B_1\) — в плоскости верхнего.
Прямая \(A_1B_1\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(B_1\), которая не лежит на \(GH\).
Две прямые лежат в параллельных плоскостях и не параллельны друг другу, следовательно, они скрещиваются.
Ответ: B.

### Задача 312 (Стереометрия)

中文: 已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形。若该三棱柱的体积为8，则其左视图的面积为：

English: Given that the lateral edges of a triangular prism are perpendicular to its base, and the base is an equilateral triangle with side length 2. If the volume of the prism is 8, then the area of its left view is:

Русский: Известно, что боковые рёбра треугольной призмы перпендикулярны её основанию, а основание представляет собой равносторонний треугольник со стороной 2. Если объём призмы равен 8, то площадь её вида слева равна:

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-30.png — Главный вид призмы: прямоугольник шириной 2 (подписаны отрезки 1 и 1 внизу) с пунктирной линией посередине.

Ошибка в источнике: отмечен ответ C, верный A.

A. \(8\)
B. \(4\)
C. \(4\sqrt{3}\)
D. \(2\sqrt{3}\)

Ответ: A

Решение: Площадь основания равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3} \).
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \( \sqrt{3} h = 8 \), откуда \( h = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \).
Вид слева представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы \( h \), а другая — высоте треугольного основания.
Высота равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \sqrt{3} \).
Площадь вида слева: \( S = h \cdot \sqrt{3} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8 \).
Ответ: A.

### Задача 325 (Стереометрия)

中文: 如果某圆锥的侧面展开图是半径为 \(5\)，弧长为 \(8\pi\) 的扇形，那么由两条母线所界定的最大截面面积是：

English: If the lateral surface development of a cone is a sector with radius \(5\) and arc length \(8\pi\), then the maximum cross-sectional area defined by two generatrices is:

Русский: Если развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор с радиусом \(5\) и длиной дуги \(8\pi\), то максимальная площадь сечения, образованного двумя образующими, равна:

A. \(25\)
B. \(4\)
C. \(\dfrac{25}{2}\)
D. \(\dfrac{25\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: C

Решение: Образующая конуса \(l=5\), длина дуги развёртки \(8\pi\) — это длина окружности основания, значит \(2\pi r=8\pi\), \(r=4\).
Высота конуса \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{25-16}=3\).
Осевое сечение — треугольник со сторонами \(5,5,8\), его угол при вершине тупой, поэтому максимум площади \(\tfrac12 l^2\sin\varphi\) достигается при \(\varphi=90^\circ\).
\(S_{\max}=\dfrac12\cdot 5\cdot 5=\dfrac{25}{2}\).
Ответ: C.