# CSCA Math: Статистика (Statistics)

4 задачи

### Задача 299 (Статистика)

中文: 下列说法正确的是：

English: Which of the following statements is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. If the mean of a data set comprising 1, \(a\), and 3 is 2, then the variance of this data set is \(\dfrac{2}{3}\) / 如果由 1，\(a\)，3 组成的数据集的平均数为 2，则该数据集的方差为 \(\dfrac{2}{3}\) / Если среднее значение набора данных, состоящего из 1, \(a\) и 3, равно 2, то дисперсия этого набора данных равна \(\dfrac{2}{3}\)
B. The linear regression line does not necessarily pass through the sample's centre point \((\bar{x},\bar{y})\) / 线性回归直线不一定经过样本的中心点 \((\bar{x},\bar{y})\) / Прямая линейной регрессии не обязательно проходит через центр выборки \((\bar{x},\bar{y})\)
C. The stronger the linear correlation between two random variables, the closer the correlation coefficient approaches 1 / 两个随机变量之间的线性相关性越强，相关系数越接近 1 / Чем сильнее линейная корреляция между двумя случайными величинами, тем ближе коэффициент корреляции к 1
D. Numbering all 2000 Year 13 students from 1 to 2000, then randomly selecting one student from the first 50 (numbered \(k\)), followed by selecting students numbered \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) constitutes stratified sampling / 将 2000 名高三学生从 1 到 2000 编号，然后从前 50 名学生中随机抽取一名（编号为 \(k\)），接着抽取编号为 \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) 的学生，这构成分层抽样 / Нумерация всех 2000 учеников выпускного класса от 1 до 2000, затем случайный выбор одного ученика из первых 50 (с номером \(k\)) и последующий выбор учеников с номерами \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) представляет собой стратифицированную выборку

Ответ: A

Решение: Проверим вариант A: среднее равно \(\dfrac{1+a+3}{3}=2\), откуда \(a=2\).
Дисперсия набора 1, 2, 3 равна \(\dfrac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\dfrac{2}{3}\), утверждение A верно.
Вариант B неверен: линия линейной регрессии всегда проходит через точку средних \((\bar{x},\bar{y})\).
Вариант C неверен: при сильной отрицательной связи коэффициент корреляции близок к \(-1\), а не к 1.
Вариант D неверен: описанный метод является систематической выборкой, а не стратифицированной.
Ответ: A.

### Задача 300 (Статистика)

中文: 通过抽签得到的一个样本的 5 个数据分别为 2, 4, 5, 7, 9。则该样本的平均数为：

English: A sample of five values drawn by lot are 2, 4, 5, 7, and 9. The mean of this sample is:

Русский: Выборка из пяти значений, полученных по жребию: 2, 4, 5, 7 и 9. Среднее значение этой выборки равно:

A. \(4.5\)
B. \(4.8\)
C. \(5.4\)
D. \(6\)

Ответ: C

Решение: Среднее арифметическое выборки равно сумме всех значений, делённой на их количество.
Сумма значений: \(2 + 4 + 5 + 7 + 9 = 27\).
Количество значений в выборке равно \(5\).
Среднее значение: \(\dfrac{27}{5} = 5.4\).
Ответ: C.

### Задача 301 (Статистика)

中文: 已知样本数据 \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) 的方差为 4，若 \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\)，则 \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) 的方差为：

English: Given sample data \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) with variance 4, if \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\), then the variance of \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) is:

Русский: Даны выборочные данные \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) с дисперсией 4. Если \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\), то дисперсия данных \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) равна:

A. \(13\)
B. \(14\)
C. \(15\)
D. \(16\)

Ответ: D

Решение: Дисперсия обладает свойством: при линейном преобразовании \(y_i = ax_i + b\) дисперсия умножается на квадрат коэффициента \(a\).
Слагаемое \(b\) (сдвиг) не влияет на разброс данных и не меняет дисперсию.
В данном случае \(a = 2\), \(b = 4\), исходная дисперсия равна \(4\).
Новая дисперсия равна \(2^2 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\).
Ответ: D.

### Задача 316 (Статистика)

中文: 一家鞋店试销一款新款女鞋，按鞋码统计的销售数据记录在表格中。如果你是这家鞋店的经理，以下哪项统计量对你最重要？

English: A shoe shop trial-sold a new style of women's shoes, and the sales data by shoe size were recorded in a table. If you were the manager of the shoe shop, which of the following statistics would be most important to you?

Русский: Обувной магазин провёл пробную продажу новой модели женской обуви, данные о продажах по размерам обуви записаны в таблице. Если бы вы были управляющим этого магазина, какая из следующих статистических характеристик была бы для вас наиболее важной?

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-34.png — Таблица продаж. Размер обуви: 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41. Продано пар в день: 2, 5, 9, 16, 9, 5, 3, 2.

A. Mean / 平均数 / Среднее арифметическое
B. Mode / 众数 / Мода
C. Median / 中位数 / Медиана
D. Range / 极差 / Размах

Ответ: B

Решение: По таблице наибольшее число продаж (16 пар) приходится на размер 37.
Для управления запасами магазина важнее всего знать самый популярный размер обуви.
Наиболее часто встречающееся значение в наборе данных называется модой.
Среднее, медиана и размах не указывают напрямую на самый ходовой товар.
Ответ: B.