# CSCA Math: Двойной и половинный угол (Double and half angle)

16 задач

### Задача 27 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\)

English: If \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\)

Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\)

A. \(-\dfrac{7}{8}\)
B. \(\dfrac{1}{8}\)
C. \(\dfrac{7}{8}\)
D. \(-\dfrac{1}{8}\)

Ответ: C

Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\).
Подставляем \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^2\).
Вычисляем: \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{16} = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).
Ответ: C.

### Задача 37 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\)

English: If \(\alpha\) is an acute angle and \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\)

Русский: Если \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\)

A. \(\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\pm \dfrac{1}{2}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: D

Решение: Так как \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\).
Половина этого угла равна \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{6}\).
Угол \(\dfrac{\pi}{6}\) лежит в первой четверти, поэтому его синус положителен, варианты A и B с \(\pm\) отбрасываем.
Вычислим значение: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Ответ: D.

### Задача 72 (Двойной и половинный угол)

中文: 如果 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 属于第一象限，则 \(\sin 2\alpha =\)

English: If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) and \(\alpha\) belongs to the first quadrant, then \(\sin 2\alpha =\)

Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) и \(\alpha\) находится в первой четверти, то \(\sin 2\alpha =\)

A. \(\dfrac{12}{25}\)
B. \(\dfrac{24}{25}\)
C. \(\dfrac{18}{25}\)
D. \(\dfrac{7}{25}\)

Ответ: B

Решение: Так как угол \(\alpha\) в первой четверти, косинус положителен: \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).
По формуле синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).
Подставляем значения: \(\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}\).
Ответ: B.

### Задача 84 (Двойной и половинный угол)

中文: 设 \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\)，并且 \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\)。那么 \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)

English: Let \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\), and \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Then \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)

Русский: Пусть \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Тогда \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)

A. \(3\dfrac{\sqrt{13}}{13}\)
B. \(-3\dfrac{\sqrt{13}}{13}\)
C. \(-2\dfrac{\sqrt{13}}{13}\)
D. \(2\dfrac{\sqrt{13}}{13}\)

Ответ: C

Решение: Угол \(\alpha\) лежит в третьей четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\).
Находим \(\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = -\dfrac{5}{13}\).
Так как \(\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\), значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2} < 0\).
По формуле половинного угла \(\cos\dfrac{\alpha}{2} = -\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\dfrac{1 - 5/13}{2}} = -\sqrt{\dfrac{4}{13}} = -\dfrac{2}{\sqrt{13}}\).
Избавляемся от иррациональности: \(-\dfrac{2}{\sqrt{13}} = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\).
Варианты A и D положительны, вариант B не совпадает по модулю.
Ответ: C.

### Задача 85 (Двойной и половинный угол)

中文: 假设 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，那么 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：

English: Suppose that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:

Русский: Предположим, что \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:

A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{-1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: B

Решение: Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), то есть в первой четверти, где синус положителен.
Применяем формулу половинного угла: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).
Подставляем \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/2}{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Вариант A отрицателен, варианты C и D не равны полученному значению.
Ответ: B.

### Задача 120 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\cos 2a=\)

English: If \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\cos 2a=\)

Русский: Если \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), то \(\cos 2a=\)

A. \(\dfrac{2}{3}\)
B. \(\dfrac{1}{3}\)
C. \(-\dfrac{1}{3}\)
D. \(-\dfrac{2}{3}\)

Ответ: B

Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2a=1-2\sin^2 a\).
Подставляем \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\): \(\sin^2 a=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).
Тогда \(\cos 2a=1-2\cdot\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\).
Ответ: B.

### Задача 129 (Двойной и половинный угол)

中文: 若\(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)且\(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\)，则\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

English: If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) and \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), then \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

A. \(-\sqrt{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
D. \(\sqrt{2}\)

Ответ: C

Решение: Угол \(\alpha\) лежит в четвёртой четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).
Находим синус: \(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).
Используем формулу тангенса половинного угла: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).
Подставляем значения: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: C.

### Задача 164 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\)

English: If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\)

Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\)

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{7}{16}\), верный \(-\dfrac{1}{8}\).

A. \(\dfrac{7}{16}\)
B. \(-\dfrac{7}{16}\)
C. \(\dfrac{1}{8}\)
D. \(-\dfrac{1}{8}\)

Ответ: D

Решение: Используем формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).
Подставляем заданное значение: \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\).
Вычисляем квадрат синуса: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\).
Умножаем на два: \(2 \cdot \dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{8}\).
Находим разность: \(1 - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{8}\).
Ответ: D.

### Задача 172 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

English: Given that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(-\dfrac{1}{2}\)

Ответ: C

Решение: Так как \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), значит \(\sin\dfrac{\alpha}{2} > 0\).
По формуле половинного угла \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\).
Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{2} = \dfrac{3}{4}\).
Извлекаем корень с учётом знака: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: C.

### Задача 175 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) ，且 \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) ，则 \(\cos\frac{\alpha}{2} =\) ：

English: If \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) and \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), then \(\cos\frac{\alpha}{2} =\).

Русский: Если \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) и \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\cos\frac{\alpha}{2} =\).

A. \(-\dfrac{4}{5}\)
B. \(\dfrac{4}{5}\)
C. \(\dfrac{3}{5}\)
D. \(-\dfrac{3}{5}\)

Ответ: C

Решение: По формуле половинного угла \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}=\dfrac{9}{25}\).
Значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\dfrac{3}{5}\).
Из условия \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) следует \(\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}\), это первая четверть, косинус положителен.
Поэтому \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{5}\).
Ответ: C.

### Задача 211 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)。

English: If \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha=\).

Русский: Если \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha=\).

A. \(\dfrac{-7}{8}\)
B. \(\dfrac{7}{8}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{-1}{2}\)

Ответ: C

Решение: Формула двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).
Подставляем \(\sin^2\alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).
Ответ: C.

### Задача 222 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\)，且 \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

English: If \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) and \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

Русский: Если \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) и \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

A. \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\pm 2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
D. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

Ответ: A

Решение: Из условия \(\alpha \in \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) следует, что \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right]\).
В этом промежутке синус положителен, поэтому берём только знак плюс в формуле половинного угла.
Применим формулу: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).
Подставим \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\).
Упростим результат: \(\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
Ответ: A.

### Задача 224 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) ， \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\) ，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：

English: Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) and \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\), the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:

Русский: Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\). Тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:

A. \(\dfrac{-1}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: D

Решение: По формуле половинного угла \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2} \).
Подставляем: \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} \).
Так как \( \alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) \), то \( \dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), синус положителен.
Значит \( \sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).
Ответ: D.

### Задача 258 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)

English: If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos 2\alpha=\)

Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos 2\alpha=\)

A. \(4\sqrt{2}\)
B. \(\dfrac{7}{9}\)
C. \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)
D. \(-\dfrac{7}{9}\)

Ответ: D

Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем значение косинуса: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - 1\).
Вычисляем: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = \dfrac{2}{9} - \dfrac{9}{9} = -\dfrac{7}{9}\).
Ответ: D.

### Задача 270 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，且\(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则\(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

English: Given \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), then \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

Русский: Дано \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), причём \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тогда \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

A. \(\dfrac{3}{5}\)
B. \(\dfrac{4}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{4}\)
D. \(\dfrac{4}{5}\)

Ответ: C

Решение: По формуле двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем в дробь: \(\dfrac{2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\tan\alpha\).
Выражение принимает вид \(2\tan\alpha - \tan\alpha = \tan\alpha\).
Так как \(\alpha\) в первой четверти и \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), то \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).
Находим \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\).
Ответ: C.

### Задача 273 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：

English: Given \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) =

Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) =

A. \(-\dfrac{1}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: D

Решение: Из условия \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) находим \(\alpha = \dfrac{2\pi}{3}\).
Тогда \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{3}\).
Вычисляем \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: D.