# CSCA Math: Графики и свойства тригонометрических функций (Trigonometric graphs and properties)

12 задач

### Задача 31 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于函数 \(y = \cos x\)，下列说法正确的是：

English: Which of the following statements about the function \(y = \cos x\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \cos x\) является верным?

A. \(\cos(x + \pi) = \cos x\)
B. The function is an odd function / 该函数是一个奇函数 / Функция является нечётной
C. The function is monotonically increasing on the interval \([0, \pi]\) / 该函数在区间 \([0, \pi]\) 上单调递增 / Функция является монотонно возрастающей на отрезке \([0, \pi]\)
D. The function is periodic with a period of \(2\pi\) / 该函数是一个以 \(2\pi\) 为周期的函数 / Функция является периодической с периодом \(2\pi\)

Ответ: D

Решение: Проверяем вариант A: \(\cos(x + \pi) = -\cos x\), а не \(\cos x\), неверно.
Проверяем вариант B: \(\cos(-x) = \cos x\), функция чётная, а не нечётная, неверно.
Проверяем вариант C: на \([0, \pi]\) функция убывает от \(1\) до \(-1\), неверно.
Вариант D верен: период косинуса равен \(2\pi\).
Ответ: D.

### Задача 78 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 给定正弦函数 \(y=\sin x\)，下列哪个陈述是不正确的：

English: Given the sine function \(y=\sin x\), which of the following statements is incorrect?

Русский: Для функции синуса \(y=\sin x\) какое из следующих утверждений неверно?

A. The maximum and minimum values are \(1\) and \(-1\) respectively / 最大值和最小值分别是 \(1\) 和 \(-1\) / Наибольшее и наименьшее значения равны \(1\) и \(-1\) соответственно
B. The function is a periodic function / 该函数是周期函数 / Функция является периодической
C. The function is even / 该函数是偶函数 / Функция является чётной
D. The domain is \(\mathbb{R}\) / 定义域是 \(\mathbb{R}\) / Область определения — \(\mathbb{R}\)

Ответ: C

Решение: Функция \(y = \sin x\) определена на всей числовой прямой, её область определения \(\mathbb{R}\), вариант D верен.
Наибольшее значение функции равно \(1\), наименьшее равно \(-1\), вариант A верен.
Функция периодическая с периодом \(2\pi\), вариант B верен.
Функция синуса является нечётной, так как \(\sin(-x) = -\sin x\), а не чётной, поэтому вариант C неверен.
Ответ: C.

### Задача 87 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于正切函数 \(y = \tan x\)，下列陈述正确的是：

English: About the tangent function \(y = \tan x\), which of the following statements is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции тангенса \(y = \tan x\) является верным?

A. The range is \([-1, 1]\) / 值域是 \([-1, 1]\) / Область значений: \([-1, 1]\)
B. The domain is \(\mathbb{R}\) / 定义域是 \(\mathbb{R}\) / Область определения: \(\mathbb{R}\)
C. The function is even / 该函数是偶函数 / Функция является чётной
D. The minimum positive period of the function is \(\pi\) / 该函数的最小正周期是 \(\pi\) / Наименьший положительный период функции равен \(\pi\)

Ответ: D

Решение: Область значений \(y = \tan x\) — все действительные числа \(\mathbb{R}\), а не \([-1, 1]\), A неверно.
Область определения исключает точки \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), значит B неверно.
\(\tan(-x) = -\tan x\), функция нечётная, а не чётная, C неверно.
Наименьший положительный период тангенса равен \(\pi\).
Ответ: D.

### Задача 105 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(f(x)=\sin x\) 单调递增的区间是：

English: The function \(f(x)=\sin x\) is monotonic increasing over:

Русский: Функция \(f(x)=\sin x\) монотонно возрастает на:

A. \([\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]\)
B. \([-\pi, \pi]\)
C. \((-\infty, +\infty)\)
D. \([0, \pi]\)

Ответ: A

Решение: Производная \((\sin x)'=\cos x\), а \(\cos x\ge0\) при \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).
На \([-\pi,\pi]\) и на \([0,\pi]\) функция сначала возрастает, потом убывает, на всей прямой тоже не монотонна.
Значит, синус возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Ответ: A.

### Задача 124 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) 的最小正周期是

English: The minimum positive period of the function \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) is

Русский: Наименьший положительный период функции \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) равен

A. \(\dfrac{\pi}{4}\)
B. \(2\pi\)
C. \(\dfrac{\pi}{2}\)
D. \(\dfrac{\pi}{3}\)

Ответ: C

Решение: Период функции \(\cos(kx+b)\) равен \(T=\dfrac{2\pi}{k}\).
Здесь \(k=4\), поэтому \(T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\).
Ответ: C.

### Задача 131 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于函数\(f(x)=\tan x\)的描述，下列哪个是错误的？

English: Which of the following descriptions about the function \(f(x)=\tan x\) is incorrect?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(f(x)=\tan x\) неверно?

A. \(f(x)\) satisfies \(f(-x)=-f(x)\) on its domain / \(f(x)\)在其定义域上满足\(f(-x)=-f(x)\) / \(f(x)\) удовлетворяет условию \(f(-x)=-f(x)\) на своей области определения
B. \(f(x)\) is even / \(f(x)\)是偶函数 / \(f(x)\) — чётная функция
C. \(f(x)\) is monotonically increasing over \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) / \(f(x)\)在区间\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上单调递增 / \(f(x)\) монотонно возрастает на интервале \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)
D. \(f(x)\) has exactly one zero on the interval \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) / \(f(x)\)在区间\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上恰有一个零点 / \(f(x)\) имеет ровно один нуль на интервале \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)

Ответ: B

Решение: Тангенс нечётный: \( f(-x)=\tan(-x)=-\tan x \), значит A верно, а B неверно.
На \( \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( \tan x \) возрастает, C верно.
Единственный ноль на этом интервале в точке \( x=0 \), D верно.
Ответ: B.

### Задача 169 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(y=\cos 5x+4\) 的最小值为

English: The minimum value of the function \(y=\cos 5x+4\) is

Русский: Наименьшее значение функции \(y=\cos 5x+4\) равно

A. \(5\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(2\)

Ответ: B

Решение: Функция косинуса принимает значения от \(-1\) до \(1\) при любом аргументе.
Минимальное значение \(\cos 5x\) равно \(-1\).
Подставляем его в выражение функции: \(y_{\min}=-1+4=3\).
Ответ: B.

### Задача 177 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) 的最小正周期为

English: The minimum positive period of the function \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) is

Русский: Минимальный положительный период функции \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) равен

A. \(\dfrac{\pi}{3}\)
B. \(2\pi\)
C. \(\dfrac{\pi}{4}\)
D. \(\pi\)

Ответ: A

Решение: Период функции \(y=\tan x\) равен \(\pi\).
При замене аргумента на \(3x+\dfrac{\pi}{4}\) период делится на коэффициент при \(x\).
Минимальный положительный период: \(T=\dfrac{\pi}{3}\).
Ответ: A.

### Задача 217 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 下列关于函数 \(y=\cos x\) 说法正确的是：

English: Which of the following statements about the function \(y=\cos x\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно?

A. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат
B. The function has infinitely many zeros / 函数有无数个零点 / Функция имеет бесконечно много нулей
C. \(\cos\pi=\cos 2\pi\)
D. The function is monotonically increasing on \([2\pi,3\pi]\) / 函数在 \([2\pi,3\pi]\) 上单调递增 / Функция монотонно возрастает на \([2\pi,3\pi]\)

Ответ: B

Решение: График \(y=\cos x\) симметричен относительно оси ординат, а не начала координат, A неверно.
Уравнение \(\cos x=0\) имеет решения \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть нулей бесконечно много, B верно.
\(\cos\pi=-1\), а \(\cos 2\pi=1\), значения не равны, C неверно.
На \([2\pi,3\pi]\) косинус сначала убывает, затем возрастает, монотонности нет, D неверно.
Ответ: B.

### Задача 225 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 下列关于函数 \(y = \tan(-2x)\) 的说法，正确的是：

English: Which of the following statements about the function \(y = \tan(-2x)\) is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \tan(-2x)\) является верным?

A. The function is bounded on its domain / 函数在定义域上有界 / Функция ограничена на своей области определения
B. The domain of the function is \(\mathbb{R}\) / 函数的定义域为 \(\mathbb{R}\) / Область определения функции — \(\mathbb{R}\)
C. The fundamental period of the function is \(\pi\) / 函数的最小正周期为 \(\pi\) / Наименьший положительный период функции равен \(\pi\)
D. The function is monotonically decreasing on \(\left(\dfrac{-\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) / 函数在 \(\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) 上单调递减 / Функция монотонно убывает на \(\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\)

Ответ: D

Решение: Тангенс не ограничен, поэтому A неверно.
Область определения исключает точки \( x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \), поэтому B неверно.
Период равен \( \dfrac{\pi}{2} \), а не \( \pi \), поэтому C неверно.
На \( \left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right) \) аргумент \( -2x \) убывает, а тангенс возрастает, значит функция убывает.
Ответ: D.

### Задача 263 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于余弦函数 \(y=\cos x\)，以下结论中正确的是：

English: Regarding the cosine function \(y=\cos x\), which of the following conclusions is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно?

A. It is a periodic function / 该函数为周期函数 / Эта функция является периодической
B. It is a decreasing function / 该函数为减函数 / Эта функция является убывающей
C. It is an increasing function / 该函数为增函数 / Эта функция является возрастающей
D. It is an odd function / 该函数为奇函数 / Эта функция является нечётной

Ответ: A

Решение: \(y=\cos x\) периодична с периодом \(2\pi\), поэтому A верно.
Она не монотонна на всей числовой прямой: убывает на \([2k\pi,\pi+2k\pi]\) и возрастает на \([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\), значит B и C неверны.
\(\cos(-x)=\cos x\), функция чётная, а не нечётная, D неверно.
Ответ: A.

### Задача 272 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于正切函数 \(y=\tan x\)，下列说法不正确的是：

English: Regarding the tangent function \(y=\tan x\), which statement is incorrect?

Русский: Какое утверждение о функции \(y=\tan x\) неверно?

A. The range is \(\mathbb{R}\) / 值域为 \(\mathbb{R}\) / Область значений — \(\mathbb{R}\)
B. It is an odd function / 是奇函数 / Она является нечётной функцией
C. It is periodic, and its smallest positive period is \(\pi\) / 是周期函数，且最小正周期为 \(\pi\) / Она периодическая, и её наименьший положительный период равен \(\pi\)
D. The domain is \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) / 定义域为 \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) / Область определения — \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\)

Ответ: D

Решение: Область значений функции \(y=\tan x\) есть все действительные числа \(\mathbb{R}\), утверждение A верно.
Функция нечётная, так как \(\tan(-x)=-\tan x\), утверждение B верно.
Наименьший положительный период равен \(\pi\), утверждение C верно.
Область определения состоит из всех \(x\), для которых \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
В варианте D указана область определения для котангенса, а не для тангенса, поэтому это утверждение неверно.
Ответ: D.