# CSCA Math: Основные тождества и формулы суммы (Identities and sum formulas)

12 задач

### Задача 35 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 已知 \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\)

English: Given that \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), then \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\)

Русский: Известно, что \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), тогда \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\)

A. \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)
D. \(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{4}\)

Ответ: B

Решение: Представим угол \(\dfrac{\pi}{12}\) как разность \(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).
Применим формулу косинуса разности: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}\).
Подставим известные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).
Выполним умножение дробей: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\).
Сложим дроби с одинаковым знаменателем: \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).
Ответ: B.

### Задача 40 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 已知 \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\)，则 \(\tan\alpha =\)

English: Given that \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\), then \(\tan\alpha =\)

Русский: Известно, что \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\). Тогда \(\tan\alpha =\)

A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(\dfrac{1}{4}\)
C. \(\dfrac{2}{3}\)
D. \(\dfrac{1}{3}\)

Ответ: A

Решение: Разделим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\): \(\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{1}{3}\).
Умножаем крест-накрест: \(3(1-\tan\alpha)=1+\tan\alpha\).
Раскрываем скобки: \(3-3\tan\alpha=1+\tan\alpha\).
Переносим члены: \(2=4\tan\alpha\), откуда \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 82 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 设 \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，并且 \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)。那么 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)

English: Let \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Then \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)

Русский: Пусть \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)

A. \(\dfrac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{10}\)
B. \(\dfrac{(2\sqrt{15}+\sqrt{5})}{10}\)
C. \(\dfrac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{10}\)
D. \(\dfrac{(2\sqrt{5}+\sqrt{15})}{10}\)

Ответ: C

Решение: Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).
Находим синус через основное тригонометрическое тождество: \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\dfrac{\pi}{6}\sin\alpha\).
Подставляем известные значения: \(\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
Выполняем умножение: \(-\dfrac{\sqrt{5}}{10} + \dfrac{2\sqrt{15}}{10} = \dfrac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}\).
Ответ: C.

### Задача 115 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 下列哪个是正确的？

English: Which of the following is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. \(\tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x},\ \sin x \neq 0\)
B. \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x},\ \cos x \neq 0\)
C. \(\tan x = \dfrac{1}{\sin x},\ \sin x \neq 0\)
D. \(\tan x = \dfrac{1}{\cos x},\ \cos x \neq 0\)

Ответ: B

Решение: По определению тангенса: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).
Тангенс не определён, когда знаменатель равен нулю, поэтому требуется \(\cos x \neq 0\).
Вариант A перевёрнут, это котангенс; варианты C и D дают \(\dfrac{1}{\sin x}\) и \(\dfrac{1}{\cos x}\), что не является тангенсом.
Ответ: B.

### Задача 127 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 设\(\alpha\)，\(\beta\)为锐角，则下列哪个是正确的？

English: Let \(\alpha\), \(\beta\) be acute angles. Then which of the following is correct?

Русский: Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(\sin\alpha+\sin\beta<\sin(\alpha+\beta)\)
B. \(\cos(\alpha-\beta)<\cos(\alpha+\beta)\)
C. \(\cos\alpha\cos\beta<\cos(\alpha+\beta)\)
D. \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\)

Ответ: D

Решение: Проверим вариант D: разность \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\).
Так как \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы, \(\cos\alpha>0\) и \(\sin\beta>0\), значит разность строго положительна.
Следовательно, \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) верно всегда для острых углов.
Вариант A неверен: при малых углах \(\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)\).
Вариант B неверен: при \(\alpha=\beta\) получаем \(1<\cos 2\alpha\), что ложно.
Вариант C неверен: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha\cos\beta\), а не наоборот.
Ответ: D.

### Задача 159 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 若 \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\)，且 \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\)，则 \(\tan\alpha=\)

English: If \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) and \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), then \(\tan\alpha=\)

Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) и \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), то \(\tan\alpha=\)

A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Ответ: D

Решение: Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) находим \(\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\).
Так как \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), синус положителен: \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
Вычисляем тангенс: \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
Ответ: D.

### Задача 173 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: \(\cos 75^{\circ}=\)

English: \(\cos 75^{\circ}=\)

Русский: \(\cos 75^{\circ}=\)

A. \(-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

Ответ: D

Решение: Представим угол как сумму: \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\).
Применяем формулу косинуса суммы: \(\cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}\).
Подставляем табличные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).
Выполняем умножение: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
Ответ: D.

### Задача 206 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 若 \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\tan\alpha =\)？

English: If \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\tan\alpha =\)?

Русский: Если \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\tan\alpha =\)?

A. \(1\)
B. \(\pm 1\)
C. \(2\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: B

Решение: Из тождества \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) находим \(\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).
Вычисляем квадрат тангенса: \(\tan^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1/2}{1/2} = 1\).
Извлекаем корень: \(\tan\alpha = \pm 1\).
Знак зависит от четверти, в которой находится угол \(\alpha\), поэтому подходят оба значения.
Ответ: B.

### Задача 220 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 已知 \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)

English: Given that \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) and \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)

Русский: Дано, что \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) и \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), тогда \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)

A. \(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
B. \(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
C. \(2-\sqrt{3}\)
D. \(2+\sqrt{3}\)

Ответ: C

Решение: Представим угол как разность: \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).
Применим формулу тангенса разности: \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\).
Подставим известные значения: \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\).
Умножим числитель и знаменатель на 3: \(\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\).
Избавимся от иррациональности, умножив на сопряжённое выражение \(3 - \sqrt{3}\): \(\dfrac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}\).
Ответ: C.

### Задача 254 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 若 \(\tan\alpha=2\)，则 \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

English: If \(\tan\alpha=2\), then \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

Русский: Если \(\tan\alpha=2\), то \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

A. \(\dfrac{8}{5}\)
B. \(\dfrac{3}{5}\)
C. \(-\dfrac{8}{5}\)
D. \(\dfrac{5}{3}\)

Ответ: A

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\).
Получим выражение \(\dfrac{3\tan\alpha + 2}{4\tan\alpha - 3}\).
Подставим \(\tan\alpha = 2\): \(\dfrac{3 \cdot 2 + 2}{4 \cdot 2 - 3} = \dfrac{6 + 2}{8 - 3}\).
Вычисляем значение дроби: \(\dfrac{8}{5}\).
Ответ: A.

### Задача 268 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 已知\(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\)，且\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则\(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

English: Given \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), причём \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

A. \(-\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
C. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
D. \(\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)

Ответ: C

Решение: Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).
Находим \(\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}\).
Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}\).
Подставляем значения: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}\).
Ответ: C.

### Задача 289 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) 的值是：

English: The value of \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) is:

Русский: Значение выражения \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) равно:

Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный A.

A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: A

Решение: По формуле синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\).
\(\sin(75^\circ-15^\circ)=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.