# CSCA Math: Углы, значения и формулы приведения (Angles, values and reduction formulas)

22 задачи

### Задача 7 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 计算 \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\)

English: Compute \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\)

Русский: Вычислите \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\)

A. \(2\sqrt{2}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(1\)

Ответ: C

Решение: Значения тригонометрических функций: \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\).
Сумма синуса и косинуса: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).
Умножаем на тангенс: \(\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\).
Ответ: C.

### Задача 16 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若点 \(P(1, y)\) 是角 \(\alpha\) 终边上的点，且 \(\tan\alpha = 2\)，则 \(y =\)

English: If point \(P(1, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and \(\tan\alpha = 2\), then \(y =\)

Русский: Если точка \(P(1, y)\) лежит на стороне угла \(\alpha\), и \(\tan\alpha = 2\), то \(y =\)

A. \(1\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{3}\)
D. \(2\)

Ответ: D

Решение: Точка \(P(1,y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\).
По определению \(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{1}=y\).
Так как \(\tan\alpha=2\), получаем \(y=2\).
Ответ: D.

### Задача 19 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 是第二象限角，则 \(\cos\alpha =\)

English: Given that \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\) is in the second quadrant, then \(\cos\alpha =\)

Русский: Дано, что \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), и \(\alpha\) находится во второй четверти, тогда \(\cos\alpha =\)

A. \(\dfrac{4}{5}\)
B. \(-\dfrac{4}{5}\)
C. \(\dfrac{3}{4}\)
D. \(-\dfrac{3}{4}\)

Ответ: B

Решение: По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
\(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), значит \(\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5}\).
Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\).
Ответ: B.

### Задача 22 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ，则 \(\tan\alpha =\) ：

English: If \(\alpha\) is an acute angle and \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), then \(\tan\alpha =\) :

Русский: Если \(\alpha\) — острый угол и \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\tan\alpha =\) :

A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(\sqrt{3}\)
C. \(\dfrac{1}{4}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Ответ: B

Решение: \(\alpha\) острый, поэтому \(\cos\alpha>0\).
По основному тождеству \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}\).
Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\).
Ответ: B.

### Задача 34 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，则 \(\sin\alpha\) 的值是：

English: Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), the value of \(\sin\alpha\) is:

Русский: Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), тогда значение \(\sin\alpha\) равно:

A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(-\dfrac{1}{2}\)

Ответ: B

Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, синус положителен.
Извлекаем корень: \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: B.

### Задача 38 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 关于诱导公式，下列等式错误的是：

English: Which of the following reduction formulas is incorrect?

Русский: Какая из следующих формул приведения неверна?

A. \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\)
B. \(\tan(\pi + \alpha) = -\tan\alpha\)
C. \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\)
D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\)

Ответ: B

Решение: Проверим формулы приведения для каждой из предложенных записей.
Вариант A: \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) — верная формула, так как период косинуса равен \(2\pi\).
Вариант B: \(\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha\), а не \(-\tan\alpha\), поскольку тангенс имеет период \(\pi\). Эта формула неверна.
Вариант C: \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) — верная формула приведения для второй четверти.
Вариант D: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) — верная формула перехода к кофункции.
Ответ: B.

### Задача 55 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 假设角 \(\alpha=30^{\circ}\)。那么下列哪个陈述是正确的？

English: Suppose that an angle \(\alpha=30^{\circ}\). Then which of the following statements is correct?

Русский: Пусть угол \(\alpha=30^{\circ}\). Тогда какое из следующих утверждений верно?

A. \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
B. \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\)
D. \(\tan\alpha=\sqrt{3}\)

Ответ: B

Решение: Для \(\alpha=30^{\circ}\): \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Вариант A неверен: \(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), а не \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Вариант C неверен: \(\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), а не \(\dfrac{1}{2}\).
Вариант D неверен: \(\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), а не \(\sqrt{3}\).
Ответ: B.

### Задача 63 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 如果 \(\alpha\) 是 \(x\) 轴与一条过点 \(P(1,3)\) 的直线之间的夹角，那么 \(\sin\alpha=\)

English: If \(\alpha\) is the angle between the \(x\)-axis and a line containing the point \(P(1,3)\), then \(\sin\alpha=\)

Русский: Если \(\alpha\) — угол между осью \(x\) и прямой, проходящей через точку \(P(1,3)\), то \(\sin\alpha=\)

Ошибка в источнике: в условии не сказано, что прямая проходит через начало координат, это подразумевается.

A. \(3\)
B. \(3\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
C. \(\dfrac{1}{3}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)

Ответ: B

Решение: Вектор направления прямой из начала координат через точку \(P(1,3)\) имеет координаты \((1,3)\).
Его длина равна \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\).
Синус угла с осью \(Ox\) равен отношению ординаты к длине: \(\sin\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\).
Рационализируем: \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).
Ответ: B.

### Задача 68 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知 \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)，且角 \(\alpha\) 属于第二象限，则下列说法正确的是：

English: Given that \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) and the angle \(\alpha\) lies in the second quadrant, which of the following statements is correct?

Русский: Известно, что \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\), а угол \(\alpha\) находится во второй четверти. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\)
B. \(\cos\alpha = \dfrac{-3}{5}\)
C. \(\tan\alpha = \dfrac{-3}{4}\)
D. \(\tan\alpha = \dfrac{4}{3}\)

Ответ: B

Решение: По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\).
Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}\).
Тангенс равен \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}\).
Вариант A неверен из-за знака косинуса, вариант C содержит перевёрнутую дробь для тангенса, вариант D имеет неверный знак.
Ответ: B.

### Задача 86 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 下列哪个陈述是正确的？

English: Which of the following statements is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\)
B. \(\cos(\pi + \alpha) = \cos \alpha\)
C. \(\sin(-\alpha) = \sin \alpha\)
D. \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\)

Ответ: D

Решение: \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому A неверно.
\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\), поэтому B неверно.
Синус нечётный: \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому C неверно.
Косинус чётный: \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), поэтому D верно.
Ответ: D.

### Задача 102 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 设 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)。则 \(\cos\alpha =\)

English: Let \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Then \(\cos\alpha =\)

Русский: Пусть \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Тогда \(\cos\alpha =\)

A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(-\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), угол во второй четверти, косинус отрицателен.
По формуле приведения: \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 130 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若\(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

English: If \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

Русский: Если \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

A. \(-\dfrac{1}{3}\)
B. \(-2\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
C. \(\dfrac{1}{3}\)
D. \(2\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

Ответ: A

Решение: По формуле приведения \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha \).
Подставляем \( \sin\alpha=\dfrac{1}{3} \), получаем \( -\dfrac{1}{3} \).
Ответ: A.

### Задача 145 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: \(\sin 120^{\circ}=\)

English: \(\sin 120^{\circ}=\)

Русский: \(\sin 120^{\circ}=\)

A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{-1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: Используем формулу приведения для второй четверти: \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\).
Представляем угол как \(120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}\).
Тогда \(\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.

### Задача 154 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若点 \(P(x, y)\) 在角 \(\alpha\) 的终边上，\(P\) 到原点的距离为 \(r\) (\(r \neq 0\))，则 \(\cos \alpha =\)

English: If a point \(P(x, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and the distance from \(P\) to the origin is \(r\) (\(r \neq 0\)), then \(\cos \alpha =\)

Русский: Если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от \(P\) до начала координат равно \(r\) (\(r \neq 0\)), то \(\cos \alpha =\)

A. \(y/r\)
B. \(\dfrac{y}{x}\)
C. \(\dfrac{x}{y}\)
D. \(x/r\)

Ответ: D

Решение: По определению тригонометрических функций на координатной плоскости, если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от начала координат до неё равно \(r\), то косинус угла равен отношению абсциссы к этому расстоянию.
Следовательно, \(\cos \alpha = \dfrac{x}{r}\).
Вариант A даёт синус, варианты B и C дают тангенс и котангенс соответственно.
Ответ: D.

### Задача 176 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 下列等式中正确的是

English: Which of the following equations is correct?

Русский: Какое из следующих равенств является верным?

A. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha\)
B. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha\)
C. \(\cos(\pi + \alpha) = \cos \alpha\)
D. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\)

Ответ: B

Решение: Проверяем формулы приведения для каждого варианта.
Вариант A: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.
Вариант B: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\), это верное тождество.
Вариант C: \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\), а не \(\cos\alpha\), вариант неверен.
Вариант D: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.
Ответ: B.

### Задача 192 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 下列结果正确的是：

English: Which of the following results is correct?

Русский: Какой из следующих результатов верен?

A. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\)
B. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)
C. \(\sin\pi=1\)
D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Ответ: B

Решение: \(\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\neq 2\), вариант A неверен.
\(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\), вариант B верен.
\(\sin\pi=0\neq 1\), вариант C неверен.
\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq \dfrac{1}{2}\), вариант D неверен.
Ответ: B.

### Задача 200 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若点 \(P(1, 2)\) 是角 \(\alpha\) 的终边上的点，则 \(\sin\alpha =\)

English: If point \(P(1, 2)\) lies on the terminal side of angle \(\alpha\), then \(\sin\alpha =\)

Русский: Если точка \(P(1, 2)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), то \(\sin\alpha =\)

A. \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

Ответ: D

Решение: Расстояние от начала координат до точки \(P(1,2)\): \(r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\).
По определению \(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\).
Рационализируем: \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
Ответ: D.

### Задача 223 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 关于诱导公式，下列表达式正确的是：

English: Which of the following expressions about reduction formulas is correct?

Русский: Какое из следующих выражений для формул приведения является верным?

A. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\)
B. \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha\)
C. \(\tan(\pi + \alpha) = -\tan \alpha\)
D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha\)

Ответ: B

Решение: Проверяем вариант A: \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), знак неверный.
Вариант B: \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \), косинус периодичен с \( 2\pi \) и чётен, верно.
Вариант C: \( \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha \), знак неверный.
Вариант D: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \), а не \( \sin \alpha \).
Ответ: B.

### Задача 240 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知角 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)，则下列结论正确的是：

English: Given angle \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\), which conclusion is correct?

Русский: Дан угол \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Какое из следующих заключений верно?

A. \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\)
B. \(\sin\alpha = -\dfrac{1}{2}\)
C. \(\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: A

Решение: Угол \( \dfrac{5\pi}{6} \) лежит во второй четверти, там синус положителен.
По формуле приведения \( \sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} \).
Табличное значение \( \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \).
Ответ: A.

### Задача 249 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知角 \(\alpha\) 的终边经过点 \(M(2,4)\)，则 \(\tan\alpha=\)

English: Given that the terminal side of the angle \(\alpha\) passes through the point \(M(2,4)\), then \(\tan\alpha=\)

Русский: Известно, что конечная сторона угла \(\alpha\) проходит через точку \(M(2,4)\). Тогда \(\tan\alpha=\)

A. \(2\)
B. \(-2\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(-\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: Для точки \( M(x, y) \) на терминальной стороне угла \( \tan\alpha = \dfrac{y}{x} \).
Подставляем координаты точки \( M(2, 4) \): \( \tan\alpha = \dfrac{4}{2} = 2 \).
Ответ: A.

### Задача 271 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 下列各式中正确的是：

English: Which of the following equations is correct?

Русский: Какое из следующих равенств верно?

A. \(\sin(\alpha+4\pi)=\cos\alpha\)
B. \(\sin(\alpha+3\pi)=\sin\alpha\)
C. \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\)
D. \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\)

Ответ: C

Решение: Функция синус имеет период \(2\pi\), поэтому \(\sin(\alpha+4\pi)=\sin\alpha\), вариант A неверен.
Прибавление \(3\pi\) равносильно прибавлению \(\pi\) с точностью до периода, значит \(\sin(\alpha+3\pi)=-\sin\alpha\), вариант B неверен.
По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\), вариант C верен.
По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha\), вариант D неверен.
Ответ: C.

### Задача 322 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 将 \(\dfrac{5\pi}{12}\) 弧度化为角度：

English: Express \(\dfrac{5\pi}{12}\) radians in terms of degrees:

Русский: Выразите \(\dfrac{5\pi}{12}\) радиан в градусах:

A. \(60^\circ\)
B. \(75^\circ\)
C. \(80^\circ\)
D. \(90^\circ\)

Ответ: B

Решение: Перевод радиан в градусы: умножаем на \( \dfrac{180^\circ}{\pi} \).
\( \dfrac{5\pi}{12} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 75^\circ \).
Ответ: B.