# CSCA Math: Векторы (Vectors)

7 задач

### Задача 45 (Векторы)

中文: 已知 \(O\) 为坐标原点，\(A\) 和 \(B\) 是平面上的两个点，\(P\) 为 \(AB\) 中点，则向量 \(\overrightarrow{OP}=\)

English: Given that \(O\) is the origin, \(A\) and \(B\) are two points on the plane, and \(P\) is the midpoint of \(AB\), then the vector \(\overrightarrow{OP}=\)

Русский: Дано, что \(O\) — начало координат, \(A\) и \(B\) — две точки на плоскости, а \(P\) — середина отрезка \(AB\). Тогда вектор \(\overrightarrow{OP}=\)

A. \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
B. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
C. \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
D. \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\)

Ответ: A

Решение: По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\).
Так как \(P\) — середина отрезка \(AB\), вектор \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
Вектор \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), поэтому \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\).
Подставляя, получаем \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).
Ответ: A.

### Задача 92 (Векторы)

中文: 已知向量 \(\vec{AB}=a+5b\)，\(\vec{BC}=-2a+8b\)，\(\vec{CD}=3a-3b\)。因此，：

English: Given vectors \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Thus, :

Русский: Даны векторы \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Следовательно, :

A. A, C, D are on the same line / A, C, D 在同一直线上 / A, C, D находятся на одной прямой
B. A, B, D are on the same line / A, B, D 在同一直线上 / A, B, D находятся на одной прямой
C. B, C, D are on the same line / B, C, D 在同一直线上 / B, C, D находятся на одной прямой
D. A, B, C are on the same line / A, B, C 在同一直线上 / A, B, C находятся на одной прямой

Ответ: B

Решение: Найдём вектор \(\vec{BD}=\vec{BC}+\vec{CD}=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b\).
Сравниваем с \(\vec{AB}=a+5b\) и видим, что \(\vec{BD}=\vec{AB}\).
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BD}\) равны, значит они коллинеарны и имеют общую точку \(B\).
Следовательно, точки \(A\), \(B\) и \(D\) лежат на одной прямой.
Ответ: B.

### Задача 135 (Векторы)

中文: 设 \(\vec{a}=(-2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则 \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

English: Let \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Then \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

Русский: Пусть \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Тогда \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

A. \((-6,1)\)
B. \((-6,-1)\)
C. \((6,-1)\)
D. \((6,1)\)

Ответ: A

Решение: \(2\vec{b}=(4,2)\)
\(\vec{a}-2\vec{b}=(-2-4,\ 3-2)=(-6,1)\)
Ответ: A.

### Задача 182 (Векторы)

中文: 设 \(ABCD\) 是正方形，\(E\) 是 \(CD\) 的中点，\(\vec{AB}=\vec{a}\)，\(\vec{AD}=\vec{b}\)，则 \(\vec{BE}=\)

English: Let \(ABCD\) be a square, \(E\) is the midpoint of \(CD\). Given \(\vec{AB}=\vec{a}\) and \(\vec{AD}=\vec{b}\), then \(\vec{BE}=\)

Русский: Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(E\) — середина \(CD\). Дано \(\vec{AB}=\vec{a}\) и \(\vec{AD}=\vec{b}\). Тогда \(\vec{BE}=\)

A. \(\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
B. \(\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\)
C. \(\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
D. \(\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{a}\)

Ответ: B

Решение: \(\vec{BE}=\vec{BC}+\vec{CE}\).
\(\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{b}\) как противоположные стороны квадрата.
\(E\) — середина \(CD\), поэтому \(\vec{CE}=\dfrac{1}{2}\vec{CD}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).
\(\vec{BE}=\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).
Ответ: B.

### Задача 230 (Векторы)

中文: 已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}|=1\)， \(|\boldsymbol{b}|=1\)， \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\)，且 \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\)（ \(\lambda\in\mathbb{R}\) ），则 \(|\boldsymbol{c}|\) 的最小值为：

English: Given that plane vectors \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) satisfy \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), and \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ), the minimum value of \(|\boldsymbol{c}|\) is:

Русский: Даны плоские векторы \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\), удовлетворяющие условиям \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), и \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ). Наименьшее значение \(|\boldsymbol{c}|\) равно:

A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(1\)
D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: A

Решение: \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2\lambda(1-\lambda)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + (1-\lambda)^2|\boldsymbol{b}|^2 \).
Подставляем \( |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 \), \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2} \): \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2 - \lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2 = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \).
Минимум квадратичной функции при \( \lambda = \dfrac{1}{2} \): \( 3\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} \).
Тогда \( |\boldsymbol{c}|_{\min} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \).
Ответ: A.

### Задача 278 (Векторы)

中文: 设向量 \(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-1)\)，则 \(3\vec{a}-\vec{b}=\)

English: Given vectors \(\vec{a}=(-1,2)\) and \(\vec{b}=(3,-1)\), then \(3\vec{a}-\vec{b}=\)

Русский: Даны векторы \(\vec{a}=(-1,2)\) и \(\vec{b}=(3,-1)\). Тогда \(3\vec{a}-\vec{b}=\)

A. \((0,-3)\)
B. \((0,5)\)
C. \((-6,5)\)
D. \((-6,7)\)

Ответ: D

Решение: \(3\vec{a}=3(-1,2)=(-3,6)\).
\(3\vec{a}-\vec{b}=(-3,6)-(3,-1)=(-3-3,\,6-(-1))=(-6,7)\).
Ответ: D.

### Задача 296 (Векторы)

中文: 若单位向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 满足 \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\)，则 \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) 等于：

English: If the unit vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) satisfy \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), then \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) equals:

Русский: Если единичные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) удовлетворяют условию \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), то \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) равно:

A. \(\sqrt{3}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{7}\)
D. \(3\)

Ответ: C

Решение: \(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1=3\), откуда \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}\).
\(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-2+4=7\).
Значит \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}\).
Ответ: C.