# CSCA Math: Апрель 2026 (April 2026)

Источник: CSCA Math Exam, https://cscamathexam.com/exam-apr-2026-p1.html

### 1. Задача 140 (Множества)

中文: 设 \(A=\{1,3,4,6,7\}\)，\(B=\{1,3,4\}\) 为两个集合，下列说法正确的是：

English: Let \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) be two sets. Which of the following statements is correct?

Русский: Пусть \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) — два множества. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(A\in B\)
B. \(A\subseteq B\)
C. \(B\in A\)
D. \(B\subseteq A\)

Ответ: D

Решение: Множество \(B\) состоит из элементов \(1,3,4\), и все они входят в \(A\).
Значит, \(B\subseteq A\).
Вариант A неверен: \(A\) не является элементом \(B\).
Вариант B неверен: например, \(6\in A\), но \(6\notin B\).
Вариант C неверен: \(B\) не является элементом \(A\).
Ответ: D.

### 2. Задача 141 (Множества)

中文: 设 \(A=\{x\mid 3<x<5\}\)，\(B=\{x\mid x>4\}\)，则 \(A\cap B\) =

English: Let \(A=\{x\mid 3<x<5\}\), \(B=\{x\mid x>4\}\). Then \(A\cap B\) =

Русский: Пусть \(A=\{x\mid 3<x<5\}\), \(B=\{x\mid x>4\}\). Тогда \(A\cap B\) =

A. \(\{x\mid 3<x\le 4\}\)
B. \(\{x\mid 4\le x<5\}\)
C. \(\{x\mid 4<x<5\}\)
D. \(\{x\mid 3<x<4\}\)

Ответ: C

Решение: Пересечение состоит из чисел, удовлетворяющих обоим условиям.
Нужно одновременно \(3<x<5\) и \(x>4\).
Более сильное нижнее условие: \(x>4\), верхнее остаётся \(x<5\).
Получаем \(A\cap B=\{x\mid 4<x<5\}\).
Ответ: C.

### 3. Задача 58 (Координаты и расстояния)

中文: 下列哪个点在第三象限？

English: Which of the following points is in the third quadrant?

Русский: Какая из следующих точек находится в третьей четверти?

A. \((-1,2)\)
B. \((-1,-2)\)
C. \((1,2)\)
D. \((1,-2)\)

Ответ: B

Решение: В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\).
Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными.
\((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.
Ответ: B.

### 4. Задача 142 (Квадратные неравенства)

中文: 不等式 \(x^2-2x-3\ge 0\) 的解集是

English: The solution set of the inequality \(x^2-2x-3\ge 0\) is

Русский: Множество решений неравенства \(x^2-2x-3\ge 0\) — это

A. \((-1,3)\)
B. \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\)
C. \((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)
D. \([-1,3]\)

Ответ: B

Решение: Раскладываем на множители: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\).
Корни: \(x=-1\) и \(x=3\), ветви параболы направлены вверх.
Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.
Так как неравенство нестрогое, корни включаем: \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\).
Ответ: B.

### 5. Задача 143 (Область определения и значений)

中文: 函数 \(f(x)=\sqrt[3]{3x+1}\) 的定义域是

English: The domain of the function \(f(x)=\sqrt[3]{3x+1}\) is

Русский: Область определения функции \(f(x)=\sqrt[3]{3x+1}\) —

A. \((-\infty,0]\)
B. \((-\infty,+\infty)\)
C. \([1,+\infty)\)
D. \([0,+\infty)\)

Ответ: B

Решение: Функция задана кубическим корнем \(f(x) = \sqrt[3]{3x+1}\).
Кубический корень извлекается из любого действительного числа, в отличие от квадратного.
Выражение под корнем \(3x+1\) определено при всех действительных значениях \(x\).
Область определения функции — вся числовая прямая \((-\infty, +\infty)\).
Ответ: B.

### 6. Задача 144 (Координаты и расстояния)

中文: 在直角坐标系中，点\(M\)的横坐标为\(-4\)，到\(x\)轴的距离为\(5\)，则\(M\)的坐标为：

English: In the Cartesian coordinate system, the horizontal coordinate of point \(M\) is \(-4\), and its distance to the \(x\)-axis is \(5\). The coordinates of \(M\) are:

Русский: В декартовой системе координат абсцисса точки \(M\) равна \(-4\), а её расстояние до оси \(x\) равно \(5\). Координаты точки \(M\):

A. \((-4, 5)\) or \((-4, 3)\) / \((-4, 5)\)或\((-4, 3)\) / \((-4, 5)\) или \((-4, 3)\)
B. \((-4, 5)\) or \((-4, -5)\) / \((-4, 5)\)或\((-4, -5)\) / \((-4, 5)\) или \((-4, -5)\)
C. \((5, -4)\)
D. \((-5, -4)\)

Ответ: B

Решение: Абсцисса точки равна \(-4\), значит точка имеет вид \(M(-4, y)\).
Расстояние до оси \(x\) равно модулю ординаты: \(|y| = 5\).
Отсюда \(y = 5\) или \(y = -5\).
Координаты точки: \((-4, 5)\) или \((-4, -5)\).
Ответ: B.

### 7. Задача 145 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: \(\sin 120^{\circ}=\)

English: \(\sin 120^{\circ}=\)

Русский: \(\sin 120^{\circ}=\)

A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{-1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: Используем формулу приведения для второй четверти: \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\).
Представляем угол как \(120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}\).
Тогда \(\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.

### 8. Задача 146 (Монотонность и чётность)

中文: 下列哪个函数是奇函数？

English: Which of the following functions is an odd function?

Русский: Какая из следующих функций является нечётной?

A. \(y=\sqrt{3x+2}\)
B. \(y=x^2+3\)
C. \(y=x^3+1\)
D. \(y=-x\)

Ответ: D

Решение: Нечётная функция должна удовлетворять условию \(f(-x) = -f(x)\) и иметь симметричную относительно нуля область определения.
Для \(y = -x\) получаем \(f(-x) = -(-x) = x = -f(x)\), условие выполнено.
Функция \(y = \sqrt{3x+2}\) имеет область определения \(x \geq -\dfrac{2}{3}\), не симметричную относительно нуля.
Функции \(y = x^2+3\) и \(y = x^3+1\) являются чётной и ни чётной ни нечётной соответственно, так как \(f(-x) \neq -f(x)\).
Ответ: D.

### 9. Задача 147 (Прямая)

中文: 过点 \(A(-1,1)\)，\(B(2,3)\) 的直线的斜率为

English: The slope of the straight line passing through points \(A(-1,1)\) and \(B(2,3)\) is

Русский: Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\), равен

A. \(\dfrac{-3}{2}\)
B. \(\dfrac{-2}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле \(k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
Подставляем координаты точек \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\): \(k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)}\).
Вычисляем разности: числитель равен \(2\), знаменатель равен \(3\).
Получаем \(k = \dfrac{2}{3}\).
Ответ: D.

### 10. Задача 148 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y=10x+3\) 的反函数是

English: The inverse function of the function \(y=10x+3\) is

Русский: Функция, обратная к функции \(y=10x+3\), —

A. \(y=\dfrac{x+10}{3}\)
B. \(y=\dfrac{x-10}{3}\)
C. \(y=\dfrac{x+3}{10}\)
D. \(y=\dfrac{x-3}{10}\)

Ответ: D

Решение: Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y = 10x + 3\).
Переносим 3 в левую часть: \(y - 3 = 10x\).
Делим обе части на 10: \(x = \dfrac{y - 3}{10}\).
Меняем переменные местами для записи обратной функции: \(y = \dfrac{x - 3}{10}\).
Ответ: D.

### 11. Задача 149 (Монотонность и чётность)

中文: 下列哪个函数在 \((-\infty, +\infty)\) 上单调递减？

English: Which of the following functions is a decreasing function on \((-\infty, +\infty)\)?

Русский: Какая из следующих функций является убывающей на \((-\infty, +\infty)\)?

A. \(y = -x + 5\)
B. \(y = x^3\)
C. \(y = x^2 + 1\)
D. \(y = \dfrac{-1}{x}\)

Ответ: A

Решение: \(y=-x+5\): коэффициент \(-1<0\), функция убывает на всей прямой
\(y=x^3\) возрастает на \((-\infty,+\infty)\)
\(y=x^2+1\) убывает при \(x<0\) и возрастает при \(x>0\)
\(y=\dfrac{-1}{x}\) не определена в нуле и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\)
Ответ: A.

### 12. Задача 150 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 不等式 \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) 的解集是

English: The solution set of the inequality \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) is

Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) равно

A. \((-\infty, \dfrac{-1}{2}] \cup [1, +\infty)\)
B. \(\left(\dfrac{-1}{2}, 1\right)\)
C. \(\left[\dfrac{-1}{2}, 1\right]\)
D. \(\left(-\infty, \dfrac{-1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)

Ответ: B

Решение: Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков
Нули: \(2x+1=0\) при \(x=-\dfrac{1}{2}\), \(x-1=0\) при \(x=1\)
На промежутке \(\left(-\dfrac{1}{2},1\right)\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь меньше нуля
Нули не входят: в \(x=-\dfrac{1}{2}\) дробь равна нулю, в \(x=1\) не определена
Ответ: B.

### 13. Задача 151 (Арифметическая прогрессия)

中文: 若 \(-1\)，\(a\)，\(15\) 是等差数列，则 \(a=\)

English: If \(-1\), \(a\), \(15\) is an arithmetic sequence, then \(a=\)

Русский: Если \(-1\), \(a\), \(15\) — арифметическая прогрессия, то \(a=\)

A. \(9\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(11\)

Ответ: C

Решение: В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних.
Значит \(a=\dfrac{-1+15}{2}=\dfrac{14}{2}=7\).
Ответ: C.

### 14. Задача 152 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 的倾斜角为 \(60^{\circ}\)，则 \(l\) 的斜率为

English: If the angle of inclination of a straight line \(l\) is \(60^{\circ}\), then the slope of \(l\) is

Русский: Если угол наклона прямой \(l\) равен \(60^{\circ}\), то угловой коэффициент прямой \(l\) равен

A. \(-\sqrt{3}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\sqrt{3}\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 60^{\circ}\).
Так как \(\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\), получаем \(k=\sqrt{3}\).
Ответ: D.

### 15. Задача 153 (Арифметическая прогрессия)

中文: 若 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，则 \(a_{5} =\)

English: If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, with \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), then \(a_{5} =\)

Русский: Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), то \(a_{5} =\)

A. \(9\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(11\)

Ответ: A

Решение: Разность арифметической прогрессии равна \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).
Формула общего члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Подставляем \(n = 5\): \(a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9\).
Ответ: A.

### 16. Задача 154 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若点 \(P(x, y)\) 在角 \(\alpha\) 的终边上，\(P\) 到原点的距离为 \(r\) (\(r \neq 0\))，则 \(\cos \alpha =\)

English: If a point \(P(x, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and the distance from \(P\) to the origin is \(r\) (\(r \neq 0\)), then \(\cos \alpha =\)

Русский: Если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от \(P\) до начала координат равно \(r\) (\(r \neq 0\)), то \(\cos \alpha =\)

A. \(y/r\)
B. \(\dfrac{y}{x}\)
C. \(\dfrac{x}{y}\)
D. \(x/r\)

Ответ: D

Решение: По определению тригонометрических функций на координатной плоскости, если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от начала координат до неё равно \(r\), то косинус угла равен отношению абсциссы к этому расстоянию.
Следовательно, \(\cos \alpha = \dfrac{x}{r}\).
Вариант A даёт синус, варианты B и C дают тангенс и котангенс соответственно.
Ответ: D.

### 17. Задача 155 (Арифметическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n=2n-1\)，则下列说法正确的是：

English: If the general term of a sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n=2n-1\), which of the following statements is correct?

Русский: Если общий член последовательности \(\{a_n\}\) равен \(a_n=2n-1\), то какое из следующих утверждений верно?

A. \(\{a_n\}\) is both an arithmetic and a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 既是等差数列又是等比数列 / \(\{a_n\}\) является одновременно арифметической и геометрической прогрессией
B. \(\{a_n\}\) is neither an arithmetic nor a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 既不是等差数列也不是等比数列 / \(\{a_n\}\) не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией
C. \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence / \(\{a_n\}\) 是等差数列 / \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией
D. \(\{a_n\}\) is a geometric sequence / \(\{a_n\}\) 是等比数列 / \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией

Ответ: C

Решение: Общий член задан формулой \(a_n = 2n - 1\).
Найдём разность соседних членов: \(a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = 2\).
Разность постоянна и равна 2, значит последовательность является арифметической прогрессией.
Проверим отношение для геометрической прогрессии: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\), отношения \(\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{5}{3}\), поэтому она не геометрическая.
Ответ: C.

### 18. Задача 156 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \(A(0,3)\) 到点 \(B(x,-1)\) 的距离为 5，则 \(x=\)

English: Suppose that the distance from point \(A(0,3)\) to point \(B(x,-1)\) is 5. Then \(x=\)

Русский: Расстояние от точки \(A(0,3)\) до точки \(B(x,-1)\) равно 5. Тогда \(x=\)

A. \(\sqrt{21}\)
B. \(\pm 3\)
C. \(3\)
D. \(-3\)

Ответ: B

Решение: Используем формулу расстояния между точками: \(AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = 5\).
Возводим обе части в квадрат: \(x^2 + (-4)^2 = 25\).
Упрощаем: \(x^2 + 16 = 25\), откуда \(x^2 = 9\).
Извлекаем корень: \(x = \pm 3\).
Ответ: B.

### 19. Задача 157 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 的斜率为 \(-3\)，且过点 \((1,2)\)，则 \(l\) 的方程为：

English: If a line \(l\) has a slope of \(-3\) and passes through the point \((1,2)\), then the equation of \(l\) is:

Русский: Если прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(-3\) и проходит через точку \((1,2)\), то уравнение прямой \(l\):

A. \(3x+y-5=0\)
B. \(x+3y-7=0\)
C. \(3x+y+1=0\)
D. \(x+3y+5=0\)

Ответ: A

Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).
Подставляем \(k = -3\) и точку \((1, 2)\): \(y - 2 = -3(x - 1)\).
Раскрываем скобки: \(y - 2 = -3x + 3\).
Переносим все члены в одну сторону: \(3x + y - 5 = 0\).
Ответ: A.

### 20. Задача 158 (Окружность)

中文: 圆心为 \((-1,2)\)，半径为 3 的圆的方程为：

English: Suppose that a circle has radius 3 and center at \((-1,2)\). Then the equation of the circle is:

Русский: Окружность имеет радиус 3 и центр в точке \((-1,2)\). Тогда уравнение окружности:

A. \(x^2+y^2-2x-4y-4=0\)
B. \(x^2+y^2+2x+4y-4=0\)
C. \(x^2+y^2+2x-4y+4=0\)
D. \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((-1,2)\) и радиусом \(3\) имеет вид \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).
Раскрываем скобки: \(x^2+2x+1+y^2-4y+4=9\).
Переносим все в левую часть: \(x^2+y^2+2x-4y+5-9=0\).
Получаем \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\).
Ответ: D.

### 21. Задача 159 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 若 \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\)，且 \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\)，则 \(\tan\alpha=\)

English: If \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) and \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), then \(\tan\alpha=\)

Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) и \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), то \(\tan\alpha=\)

A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Ответ: D

Решение: Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) находим \(\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\).
Так как \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), синус положителен: \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
Вычисляем тангенс: \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
Ответ: D.

### 22. Задача 160 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=-48\)，\(a_4=6\)，则公比 \(q=\)

English: If the sequence \(\{a_n\}\) is a geometric sequence, and \(a_1=-48\), \(a_4=6\), then the common ratio \(q=\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией, причём \(a_1=-48\), \(a_4=6\), то знаменатель \(q=\)

A. \(\dfrac{-1}{2}\)
B. \(-2\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(2\)

Ответ: A

Решение: Для геометрической прогрессии выполняется формула \(a_4=a_1 \cdot q^3\).
Подставляем известные значения: \(6=-48 \cdot q^3\).
Делим обе части на \(-48\): \(q^3=\dfrac{6}{-48}=-\dfrac{1}{8}\).
Извлекаем кубический корень: \(q=-\dfrac{1}{2}\).
Ответ: A.

### 23. Задача 161 (Окружность)

中文: 过点 \(A(2, 2)\)，圆心在 \((2, 0)\) 的圆的方程为：

English: If a circle passes through point \(A(2, 2)\) and has center at \((2, 0)\), then the equation of the circle is:

Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2, 2)\) и имеет центр в точке \((2, 0)\), то уравнение окружности имеет вид:

A. \(x^2 + (y - 2)^2 = 2\)
B. \((x - 2)^2 + y^2 = 4\)
C. \((x - 2)^2 + y^2 = 2\)
D. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\)

Ответ: B

Решение: Центр окружности \((2, 0)\), значит уравнение имеет вид \((x - 2)^2 + y^2 = r^2\).
Радиус — расстояние от центра до точки \(A(2, 2)\): \(r = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).
Тогда \(r^2 = 4\), уравнение: \((x - 2)^2 + y^2 = 4\).
Ответ: B.

### 24. Задача 162 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 若 \(a, b, c\) 是有理数，且 \(a > b\)，则下列说法正确的是：

English: If \(a, b, c\) are rational numbers, and \(a > b\), which of the following statements is correct?

Русский: Если \(a, b, c\) — рациональные числа и \(a > b\), то какое из следующих утверждений верно?

A. \(a + c > b + c\)
B. \(\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}\)
C. \(ac > bc\)
D. \(a - c < b - c\)

Ответ: A

Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак.
Из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\) при любом рациональном \(c\).
Варианты B и C неверны, так как при \(c < 0\) знак неравенства меняется, а при \(c = 0\) деление невозможно.
Вариант D неверен, так как вычитание \(c\) даёт \(a - c > b - c\).
Ответ: A.

### 25. Задача 163 (Показательная функция)

中文: 若指数函数 \(y = a^x\) 单调递减，则 \(a\) 的取值范围是：

English: If the exponential function \(y = a^x\) is monotonically decreasing, then the range of \(a\) is:

Русский: Если показательная функция \(y = a^x\) монотонно убывает, то область значений параметра \(a\) имеет вид:

A. \(a > 0\)
B. \(0 < a < 1\)
C. \(a > 1\)
D. \(a < 1\)

Ответ: B

Решение: Показательная функция \(y = a^x\) определена при \(a > 0\) и \(a \neq 1\).
Функция монотонно убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда основание меньше единицы.
Следовательно, \(0 < a < 1\).
Вариант A допускает \(a > 1\), при котором функция возрастает.
Вариант D допускает отрицательные значения, при которых показательная функция не определена.
Ответ: B.

### 26. Задача 164 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\)

English: If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\)

Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\)

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{7}{16}\), верный \(-\dfrac{1}{8}\).

A. \(\dfrac{7}{16}\)
B. \(-\dfrac{7}{16}\)
C. \(\dfrac{1}{8}\)
D. \(-\dfrac{1}{8}\)

Ответ: D

Решение: Используем формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).
Подставляем заданное значение: \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\).
Вычисляем квадрат синуса: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\).
Умножаем на два: \(2 \cdot \dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{8}\).
Находим разность: \(1 - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{8}\).
Ответ: D.

### 27. Задача 165 (Прямая)

中文: 直线 \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) 与 \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) 的交点坐标为：

English: The coordinates of the intersection of the lines \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) and \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) are:

Русский: Координаты точки пересечения прямых \(l_1: 3x - y + 2 = 0\) и \(l_2: 4x - y + 3 = 0\) равны:

A. \((1, -1)\)
B. \((-1, -1)\)
C. \((-1, 1)\)
D. \((1, 1)\)

Ответ: B

Решение: Решаем систему уравнений прямых: \(3x - y + 2 = 0\) и \(4x - y + 3 = 0\).
Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 3x + 2\).
Подставляем во второе: \(4x - (3x + 2) + 3 = 0\), откуда \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\).
Находим ординату: \(y = 3(-1) + 2 = -1\).
Точка пересечения имеет координаты \((-1, -1)\).
Ответ: B.

### 28. Задача 166 (Гипербола)

中文: 若双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) 的离心率 \(e = 2\)，则 \(a =\)

English: If the eccentricity of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) is \(e = 2\), then \(a =\)

Русский: Если эксцентриситет гиперболы \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) равен \(e = 2\), то \(a =\)

A. \(2\)
B. \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
D. \(1\)

Ответ: D

Решение: Для гиперболы вида \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) параметры связаны соотношением \(c^2 = a^2 + b^2\).
Из уравнения видно, что \(b^2 = 3\), значит \(c^2 = a^2 + 3\).
Эксцентриситет равен \(e = \dfrac{c}{a} = 2\), откуда \(c = 2a\).
Подставляем в соотношение: \((2a)^2 = a^2 + 3\), получаем \(4a^2 = a^2 + 3\).
Отсюда \(3a^2 = 3\), \(a^2 = 1\), и с учётом условия \(a > 0\) находим \(a = 1\).
Ответ: D.

### 29. Задача 167 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\)，则其通项公式 \(a_n =\)

English: If a sequence \(\{a_n\}\) is given by \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), then its general term is \(a_n =\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) задана как \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), то её общий член равен \(a_n =\)

A. \(\dfrac{1}{2^n}\)
B. \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\)
C. \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\)
D. \((-1)^n \cdot \dfrac{1}{2^n}\)

Ответ: B

Решение: Члены последовательности: \(a_1=\dfrac{1}{2}\), \(a_2=-\dfrac{1}{4}\), \(a_3=\dfrac{1}{8}\).
Знаменатель каждый раз удваивается, значит модуль равен \(\dfrac{1}{2^n}\).
Знаки чередуются, начиная с плюса, поэтому множитель \((-1)^{n-1}\).
Получаем \(a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{2^n}\).
Ответ: B.

### 30. Задача 168 (Логарифмы)

中文: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\)

English: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\)

Русский: \((\log_{3} 27)(\log_{64} 16) =\)

A. \(\dfrac{1}{6}\)
B. \(2\)
C. \(6\)
D. \(5\)

Ответ: B

Решение: \(\log_3 27=\log_3 3^3=3\).
\(\log_{64}16=\dfrac{\lg 16}{\lg 64}=\dfrac{4\lg 2}{6\lg 2}=\dfrac{2}{3}\).
Произведение: \(3\cdot\dfrac{2}{3}=2\).
Ответ: B.

### 31. Задача 169 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(y=\cos 5x+4\) 的最小值为

English: The minimum value of the function \(y=\cos 5x+4\) is

Русский: Наименьшее значение функции \(y=\cos 5x+4\) равно

A. \(5\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(2\)

Ответ: B

Решение: Функция косинуса принимает значения от \(-1\) до \(1\) при любом аргументе.
Минимальное значение \(\cos 5x\) равно \(-1\).
Подставляем его в выражение функции: \(y_{\min}=-1+4=3\).
Ответ: B.

### 32. Задача 170 (Парабола)

中文: 若抛物线 \(y=ax^2\) 过点 \((1,2)\)，则 \(a=\)

English: If the parabola \(y=ax^2\) passes through the point \((1,2)\), then \(a=\)

Русский: Если парабола \(y=ax^2\) проходит через точку \((1,2)\), то \(a=\)

A. \(-\dfrac{1}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(1\)

Ответ: B

Решение: Парабола проходит через точку \((1,2)\), значит координаты точки удовлетворяют уравнению.
Подставляем \(x=1\) и \(y=2\) в уравнение \(y=ax^2\): \(2=a \cdot 1^2\).
Отсюда \(a=2\).
Ответ: B.

### 33. Задача 171 (Прямая)

中文: 下列直线与直线 \(-2x+y-2=0\) 垂直的是

English: Which of the following straight lines is perpendicular to the line \(-2x+y-2=0\)?

Русский: Какая из следующих прямых перпендикулярна прямой \(-2x+y-2=0\)?

A. \(2x+y-2=0\)
B. \(x+2y-2=0\)
C. \(x+y-2=0\)
D. \(-x+2y-2=0\)

Ответ: B

Решение: Запишем уравнение данной прямой в виде \(y = 2x + 2\), её угловой коэффициент равен \(2\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\dfrac{1}{2}\).
В варианте B уравнение \(x + 2y - 2 = 0\) приводится к виду \(y = -\dfrac{1}{2}x + 1\), угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\).
Варианты A, C и D имеют угловые коэффициенты \(-2\), \(-1\) и \(\dfrac{1}{2}\) соответственно, они не подходят.
Ответ: B.

### 34. Задача 172 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

English: Given that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(-\dfrac{1}{2}\)

Ответ: C

Решение: Так как \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), значит \(\sin\dfrac{\alpha}{2} > 0\).
По формуле половинного угла \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\).
Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{2} = \dfrac{3}{4}\).
Извлекаем корень с учётом знака: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: C.

### 35. Задача 173 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: \(\cos 75^{\circ}=\)

English: \(\cos 75^{\circ}=\)

Русский: \(\cos 75^{\circ}=\)

A. \(-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

Ответ: D

Решение: Представим угол как сумму: \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\).
Применяем формулу косинуса суммы: \(\cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}\).
Подставляем табличные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).
Выполняем умножение: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
Ответ: D.

### 36. Задача 174 (Область определения и значений)

中文: 若函数 \(y=f(x)\) 的定义域为 \((-1,0)\)，则函数 \(y=f(x^2-1)\) 的定义域为

English: If the function \(y=f(x)\) has a domain \((-1,0)\), then the domain of the function \(y=f(x^2-1)\) is

Русский: Если область определения функции \(y=f(x)\) есть \((-1,0)\), то область определения функции \(y=f(x^2-1)\) есть

A. \([-1,1]\)
B. \((-1,1)\)
C. \((-1,0)\cup(0,1)\)
D. \((-1,0)\)

Ответ: C

Решение: Область определения функции \(f(x)\) есть \((-1, 0)\), поэтому аргумент функции \(f(x^2 - 1)\) должен удовлетворять неравенству \(-1 < x^2 - 1 < 0\).
Прибавляем 1 ко всем частям: \(0 < x^2 < 1\).
Неравенство \(x^2 > 0\) означает, что \(x \neq 0\).
Неравенство \(x^2 < 1\) даёт \(-1 < x < 1\).
Пересечение условий: \(x \in (-1, 0) \cup (0, 1)\).
Ответ: C.

### 37. Задача 175 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) ，且 \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) ，则 \(\cos\frac{\alpha}{2} =\) ：

English: If \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) and \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), then \(\cos\frac{\alpha}{2} =\).

Русский: Если \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) и \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\cos\frac{\alpha}{2} =\).

A. \(-\dfrac{4}{5}\)
B. \(\dfrac{4}{5}\)
C. \(\dfrac{3}{5}\)
D. \(-\dfrac{3}{5}\)

Ответ: C

Решение: По формуле половинного угла \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}=\dfrac{9}{25}\).
Значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\dfrac{3}{5}\).
Из условия \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) следует \(\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}\), это первая четверть, косинус положителен.
Поэтому \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{5}\).
Ответ: C.

### 38. Задача 176 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 下列等式中正确的是

English: Which of the following equations is correct?

Русский: Какое из следующих равенств является верным?

A. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha\)
B. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha\)
C. \(\cos(\pi + \alpha) = \cos \alpha\)
D. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\)

Ответ: B

Решение: Проверяем формулы приведения для каждого варианта.
Вариант A: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.
Вариант B: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\), это верное тождество.
Вариант C: \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\), а не \(\cos\alpha\), вариант неверен.
Вариант D: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.
Ответ: B.

### 39. Задача 177 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) 的最小正周期为

English: The minimum positive period of the function \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) is

Русский: Минимальный положительный период функции \(y = 2\tan(3x + \dfrac{\pi}{4})\) равен

A. \(\dfrac{\pi}{3}\)
B. \(2\pi\)
C. \(\dfrac{\pi}{4}\)
D. \(\pi\)

Ответ: A

Решение: Период функции \(y=\tan x\) равен \(\pi\).
При замене аргумента на \(3x+\dfrac{\pi}{4}\) период делится на коэффициент при \(x\).
Минимальный положительный период: \(T=\dfrac{\pi}{3}\).
Ответ: A.

### 40. Задача 178 (Эллипс)

中文: 若 \(a_n\) 椭圆 \(C\) 以原点为中心，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 \(4\)，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\)，则 \(C\) 的方程为

English: If \(a_n\) ellipse \(C\) is centered at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal length is \(4\), and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is

Русский: Если \(a_n\) эллипс \(C\) с центром в начале координат, фокусы находятся на оси \(y\), фокусное расстояние равно \(4\), а эксцентриситет \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид

A. \(\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{5} = 1\)
B. \(\dfrac{x^{2}}{8} + \dfrac{y^{2}}{12} = 1\)
C. \(\dfrac{x^{2}}{5} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)
D. \(\dfrac{x^{2}}{12} + \dfrac{y^{2}}{8} = 1\)

Ответ: C

Решение: Фокусное расстояние \(2c=4\), значит \(c=2\).
Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\), откуда \(a=3\), \(a^2=9\).
Тогда \(b^2=a^2-c^2=9-4=5\).
Фокусы на оси \(y\), поэтому больший знаменатель под \(y^2\): \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\).
Ответ: C.

### 41. Задача 179 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\)（\(n \ge 2\)），且 \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\)，则 \(a_{4}=\)

English: If a sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) and \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), then \(a_{4}=\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) и \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), то \(a_{4}=\)

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{16}{3}\), верный \(-\dfrac{8}{3}\).

A. \(\dfrac{-16}{3}\)
B. \(\dfrac{-8}{3}\)
C. \(\dfrac{16}{3}\)
D. \(\dfrac{8}{3}\)

Ответ: B

Решение: \(a_2=(-1)^2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\).
\(a_3=(-1)^3\cdot 2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\).
\(a_4=(-1)^4\cdot 2\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}\).
Ответ: B.

### 42. Задача 180 (Область определения и значений)

中文: 函数 \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) 的定义域是

English: The domain of the function \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) is

Русский: Область определения функции \(y = \dfrac{1}{\lg|x-5|}\) состоит из

A. \((-\infty, 4) \cup (4, 5) \cup (5, 6) \cup (6, +\infty)\)
B. \((-\infty, 4) \cup (4, +\infty)\)
C. \((-\infty, 5) \cup (5, 6) \cup (6, +\infty)\)
D. \((-\infty, 5) \cup (5, +\infty)\)

Ответ: A

Решение: Для логарифма требуется \(|x-5|>0\), то есть \(x \ne 5\).
Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(\lg|x-5| \ne 0\), значит \(|x-5| \ne 1\).
Отсюда \(x-5 \ne \pm 1\), то есть \(x \ne 4\) и \(x \ne 6\).
Область определения: все действительные числа, кроме \(4\), \(5\), \(6\).
Ответ: A.

### 43. Задача 181 (Эллипс)

中文: 椭圆 \(C\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 有相同的焦点，且其短轴长为 \(4\sqrt{5}\)，则椭圆 \(C\) 的方程为

English: Given that an ellipse \(C\) has the same foci as the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), and its minor axis has a length of \(4\sqrt{5}\), the equation of the ellipse \(C\) is

Русский: Эллипс \(C\) имеет те же фокусы, что и эллипс \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), а длина его малой оси равна \(4\sqrt{5}\). Уравнение эллипса \(C\) имеет вид

A. \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\)
B. \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{20}=1\)
C. \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{45}=1\)
D. \(\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{y^2}{85}=1\)

Ответ: A

Решение: Для эллипса \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) большая полуось \(a_0=3\), малая \(b_0=2\), фокусы на оси \(y\).
\(c^2=a_0^2-b_0^2=9-4=5\), значит \(c=\sqrt{5}\).
Малая ось эллипса \(C\) равна \(4\sqrt{5}\), поэтому \(2b=4\sqrt{5}\), \(b=2\sqrt{5}\), \(b^2=20\).
\(a^2=b^2+c^2=20+5=25\), фокусы на оси \(y\), значит больший знаменатель под \(y^2\).
Уравнение: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\).
Ответ: A.

### 44. Задача 182 (Векторы)

中文: 设 \(ABCD\) 是正方形，\(E\) 是 \(CD\) 的中点，\(\vec{AB}=\vec{a}\)，\(\vec{AD}=\vec{b}\)，则 \(\vec{BE}=\)

English: Let \(ABCD\) be a square, \(E\) is the midpoint of \(CD\). Given \(\vec{AB}=\vec{a}\) and \(\vec{AD}=\vec{b}\), then \(\vec{BE}=\)

Русский: Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(E\) — середина \(CD\). Дано \(\vec{AB}=\vec{a}\) и \(\vec{AD}=\vec{b}\). Тогда \(\vec{BE}=\)

A. \(\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
B. \(\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\)
C. \(\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
D. \(\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{a}\)

Ответ: B

Решение: \(\vec{BE}=\vec{BC}+\vec{CE}\).
\(\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{b}\) как противоположные стороны квадрата.
\(E\) — середина \(CD\), поэтому \(\vec{CE}=\dfrac{1}{2}\vec{CD}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).
\(\vec{BE}=\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).
Ответ: B.

### 45. Задача 183 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n=3a_{n+1}-3\)，则 \(S_n=\)

English: Suppose that the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n\), and \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Then \(S_n=\)

Русский: Пусть сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равна \(S_n\), причём \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Тогда \(S_n=\)

A. \(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\)
B. \(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{2}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\dfrac{3}{2}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\dfrac{2}{3}\)

Ответ: A

Решение: При \(n=1\): \(2S_1=3a_2-3\), то есть \(2a_1=3a_1q-3\).
При \(n\ge 2\): \(2S_n=3a_{n+1}-3\) и \(2S_{n-1}=3a_n-3\); вычитая, \(2a_n=3a_{n+1}-3a_n\), значит \(3a_{n+1}=5a_n\), \(q=\dfrac{5}{3}\).
Подставляем \(q=\dfrac{5}{3}\) в \(2a_1=3a_1q-3\): \(2a_1=5a_1-3\), \(a_1=1\).
\(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\).
Ответ: A.

### 46. Задача 184 (Комплексные числа)

中文: 若复数 \(z\) 满足方程 \((z-2i)(2-i)=5\)，则 \(z=\)

English: If a complex number \(z\) satisfies the equation \((z-2i)(2-i)=5\), then \(z=\)

Русский: Если комплексное число \(z\) удовлетворяет уравнению \((z-2i)(2-i)=5\), то \(z=\)

A. \(2+3i\)
B. \(2-3i\)
C. \(3-2i\)
D. \(3+2i\)

Ответ: A

Решение: Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2z - zi - 4i + 2i^2 = 5\).
Поскольку \(i^2 = -1\), получаем \(2z - zi - 4i - 2 = 5\), откуда \(2z - zi = 7 + 4i\).
Вынесем \(z\): \(z(2 - i) = 7 + 4i\), значит \(z = \dfrac{7 + 4i}{2 - i}\).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(2 + i\).
Числитель: \((7 + 4i)(2 + i) = 14 + 7i + 8i + 4i^2 = 14 + 15i - 4 = 10 + 15i\).
Знаменатель: \((2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5\). Тогда \(z = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i\).
Ответ: A.

### 47. Задача 185 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\)，则通项公式 \(a_n=\)

English: If the sum of the first \(n\) terms of a sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), then the general term \(a_n=\)

Русский: Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), то общий член \(a_n=\)

A. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)
B. \((-2)^{n-1}\)
C. \((-2)^n\)
D. \(-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Ответ: B

Решение: При \(n=1\): \(S_1=a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{1}{3}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_1=1\).
При \(n\ge 2\): \(a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{2}{3}a_n-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_n=-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), \(a_n=-2a_{n-1}\).
Геометрическая прогрессия с \(a_1=1\), \(q=-2\): \(a_n=(-2)^{n-1}\).
Проверка: \(a_2=-2\), \(S_2=-1=\dfrac{2}{3}\cdot(-2)+\dfrac{1}{3}=-1\), верно.
Ответ: B.

### 48. Задача 186 (Классическая вероятность)

中文: 一个不透明袋子里有 12 个形状相同的球：红、黑、黄、绿各若干个。随机取一个球，取到红球的概率为 \(\dfrac{1}{3}\)，取到黄球或绿球的概率为 \(\dfrac{5}{12}\)，取到黑球或黄球的概率也为 \(\dfrac{5}{12}\)。则取到黄球、黑球、绿球的概率分别为

English: There are 12 balls of identical shape in an opaque bag: red, black, yellow, and green. One ball is drawn at random. The probability of drawing a red ball is \(\dfrac{1}{3}\), the probability of drawing a yellow or green ball is \(\dfrac{5}{12}\), and the probability of drawing a black or yellow ball is also \(\dfrac{5}{12}\). The probabilities of drawing a yellow, a black, and a green ball, respectively, are

Русский: В непрозрачном мешке лежат 12 одинаковых по форме шаров: красные, чёрные, жёлтые и зелёные. Наугад вынимают один шар. Вероятность вынуть красный шар равна \(\dfrac{1}{3}\), вероятность вынуть жёлтый или зелёный шар равна \(\dfrac{5}{12}\), вероятность вынуть чёрный или жёлтый шар также равна \(\dfrac{5}{12}\). Вероятности вынуть жёлтый, чёрный и зелёный шар соответственно равны

A. \(\dfrac{1}{6},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{4}\)
B. \(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{6}\)
C. \(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{1}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{5},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{6}\)

Ответ: A

Решение: Вероятность вытащить красный шар равна \(\dfrac{1}{3}\), значит красных шаров \(12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4\).
Остальных шаров (черных, желтых, зеленых) вместе \(12 - 4 = 8\), их суммарная вероятность \(\dfrac{2}{3}\).
По условию \(P(Y) + P(G) = \dfrac{5}{12}\) и \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\), откуда \(P(G) = P(B)\).
Так как \(P(B) + P(Y) + P(G) = \dfrac{2}{3}\), подставляем \(P(B) = P(G)\) и получаем \(2P(B) + P(Y) = \dfrac{2}{3}\).
Из \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\) вычитаем: \(P(B) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{4}\).
Тогда \(P(Y) = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}\) и \(P(G) = \dfrac{1}{4}\).
Ответ: A.