# CSCA Math: Пробник CSCA Math Exam (Mock: CSCA Math Exam)

Источник: CSCA Math Exam, https://cscamathexam.com/csca-mock-test-p1.html

### 1. Задача 235 (Множества)

中文: 下列说法正确的是：

English: Which of the following statements is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. \(-2 \in \mathbb{N}\)
B. \(\pi \in \mathbb{Q}\)
C. \(\dfrac{3}{2} \in \mathbb{Z}\)
D. \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\)

Ответ: D

Решение: \(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел, \(-2\) не натуральное, A неверно.
\(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел, \(\pi\) иррационально, B неверно.
\(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел, \(\dfrac{3}{2}\) не целое, C неверно.
\(\sqrt{3}\) — действительное число, поэтому \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), D верно.
Ответ: D.

### 2. Задача 236 (Множества)

中文: 若集合 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，\(B = \{3, 4, 5, 6\}\)，则下列运算正确的是：

English: If sets \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), which operation is correct?

Русский: Если множества \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), то какая из следующих операций верна?

A. \(A \cup B = \{3, 4\}\)
B. \(A \cap B = \{5, 6\}\)
C. \(A \cap B = \{1, 2, 5, 6\}\)
D. \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

Ответ: D

Решение: Объединение содержит все элементы обоих множеств без повторов: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Пересечение содержит только общие элементы: \(A \cap B = \{3,4\}\).
Варианты A, B, C противоречат этим результатам, верен только D.
Ответ: D.

### 3. Задача 237 (Квадратные неравенства)

中文: 解不等式 \(6+x-x^2 < 0\)：

English: Solve the inequality \(6+x-x^2 < 0\):

Русский: Решите неравенство \(6+x-x^2 < 0\):

A. \(x \in (-2,\,3)\)
B. \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\)
C. \(x \in (-3,\,2)\)
D. \(x \in (-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

Ответ: B

Решение: Умножим неравенство на \(-1\): \(x^2 - x - 6 > 0\).
Разложим на множители: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\).
Корни \(x=-2\) и \(x=3\), ветви параболы вверх, поэтому выражение положительно вне корней.
Решение: \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\).
Ответ: B.

### 4. Задача 238 (Область определения и значений)

中文: 函数 \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\) 的定义域为：

English: The domain of the function \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\) is:

Русский: Область определения функции \(f(x)=\ln x+\sqrt{1-x}\):

A. \(\{x\mid 0<x\leq 1\}\)
B. \(\{x\mid x>0\}\)
C. \(\{x\mid x\leq 1\}\)
D. \(\{x\mid x\geq 1\}\)

Ответ: A

Решение: Логарифм \(\ln x\) определён при \(x>0\).
Корень \(\sqrt{1-x}\) определён при \(1-x \geq 0\), то есть \(x \leq 1\).
Пересечение условий: \(0 < x \leq 1\).
Ответ: A.

### 5. Задача 239 (Координаты и расстояния)

中文: 若点 \(M(a+3,a+1)\) 在 \(x\) 轴上，则点 \(M\) 的坐标为

English: If the point \(M(a+3,a+1)\) lies on the \(x\)-axis, then the coordinates of \(M\) are

Русский: Если точка \(M(a+3,a+1)\) лежит на оси \(x\), то координаты точки \(M\) равны

A. \((0,-4)\)
B. \((0,-2)\)
C. \((2,0)\)
D. \((4,0)\)

Ответ: C

Решение: Точка лежит на оси \(x\), значит её ордината равна нулю: \(a + 1 = 0\).
Отсюда \(a = -1\).
Подставляем в абсциссу: \(a + 3 = -1 + 3 = 2\).
Координаты точки \(M\) равны \((2, 0)\).
Ответ: C.

### 6. Задача 240 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知角 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)，则下列结论正确的是：

English: Given angle \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\), which conclusion is correct?

Русский: Дан угол \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Какое из следующих заключений верно?

A. \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\)
B. \(\sin\alpha = -\dfrac{1}{2}\)
C. \(\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: A

Решение: Угол \( \dfrac{5\pi}{6} \) лежит во второй четверти, там синус положителен.
По формуле приведения \( \sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} \).
Табличное значение \( \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \).
Ответ: A.

### 7. Задача 241 (Монотонность и чётность)

中文: 下列函数是偶函数的是：

English: Which of the following functions is even?

Русский: Какая из следующих функций является чётной?

A. \(f(x) = 2x^2 + \cos x\)
B. \(f(x) = x + 3x^2\)
C. \(f(x) = \sqrt{x}\)
D. \(f(x) = x^2 - \sin x\)

Ответ: A

Решение: Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) при симметричной области определения.
В варианте A \(f(-x)=2x^2+\cos(-x)=2x^2+\cos x=f(x)\), функция чётная.
В B слагаемое \(x\) меняет знак, в D слагаемое \(-\sin x\) меняет знак, функции не чётные.
В C область определения \(x\geq 0\) не симметрична относительно нуля.
Ответ: A.

### 8. Задача 242 (Координаты и расстояния)

中文: 若点 \((a,b)\) 在第二象限，则点 \((b,a)\) 在第几象限？

English: If point \((a,b)\) is in the second quadrant, in which quadrant is point \((b,a)\)?

Русский: Если точка \((a,b)\) находится во второй четверти, то в какой четверти находится точка \((b,a)\)?

A. The first quadrant / 第一象限 / Первая четверть
B. The second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть
C. The third quadrant / 第三象限 / Третья четверть
D. The fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть

Ответ: D

Решение: Во второй четверти абсцисса отрицательна, ордината положительна, значит \(a<0\), \(b>0\).
У точки \((b,a)\) абсцисса \(b>0\), ордината \(a<0\).
Положительная абсцисса и отрицательная ордината соответствуют четвёртой четверти.
Ответ: D.

### 9. Задача 243 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 设函数 \(y = 1-x^3\)，则其反函数为：

English: Given function \(y = 1 - x^3\), its inverse function is:

Русский: Дана функция \(y = 1 - x^3\), её обратная функция:

A. \(y = \sqrt[3]{1-x}\)
B. \(y = \sqrt[3]{x-1}\)
C. \(y = \sqrt[3]{1+x}\)
D. \(y = \sqrt{1-x}\)

Ответ: A

Решение: Выражаем \(x\) через \(y\): \(x^3=1-y\), откуда \(x=\sqrt[3]{1-y}\).
Меняем местами переменные: \(y=\sqrt[3]{1-x}\).
Кубический корень определён при всех \(x\), ограничений нет.
Ответ: A.

### 10. Задача 244 (Монотонность и чётность)

中文: 下列函数在 \((0,+\infty)\) 上是减函数的是：

English: Which function is decreasing on \((0,+\infty)\)?

Русский: Какая из функций убывает на \((0,+\infty)\)?

A. \(y = 3x\)
B. \(y = x^2\)
C. \(y = x^3\)
D. \(y = \dfrac{1}{x}\)

Ответ: D

Решение: Функции \(y=3x\), \(y=x^2\) и \(y=x^3\) возрастают на \((0,+\infty)\).
Для \(y=\dfrac{1}{x}\): если \(0<x_1<x_2\), то \(\dfrac{1}{x_1}>\dfrac{1}{x_2}\).
Значит, функция убывает на \((0,+\infty)\).
Ответ: D.

### 11. Задача 245 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 分式不等式 \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) 的解集为：

English: The solution set of the fractional inequality \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) is:

Русский: Множество решений дробного неравенства \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\):

A. \(\{x\mid 1<x\leq 2\}\)
B. \(\{x\mid 1\leq x<2\}\)
C. \(\{x\mid 1\leq x\leq 2\}\)
D. \(\{x\mid x<1 \text{ or } x>2\}\) / \(\{x\mid x<1 \text{ 或 } x>2\}\) / \(\{x\mid x<1 \text{ или } x>2\}\)

Ответ: A

Решение: Нули числителя и знаменателя: \(2x-4=0\) при \(x=2\), \(x-1=0\) при \(x=1\).
Методом интервалов дробь неположительна на \((1,2]\).
Точка \(x=1\) исключена, так как знаменатель обращается в нуль.
Точка \(x=2\) входит, так как неравенство нестрогое.
Ответ: A.

### 12. Задача 246 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知 \(a=\sqrt{2}+1\)，\(b=\sqrt{2}-1\)，则 a 和 b 的等比中项为：

English: Given \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), the geometric mean of a and b is:

Русский: Даны \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), среднее геометрическое a и b равно:

A. \(\pm 1\)
B. \(1\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(-1\)

Ответ: A

Решение: Среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\pm\sqrt{ab}\).
Вычислим произведение: \(ab = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2 - 1 = 1\).
Тогда \(\pm\sqrt{ab} = \pm\sqrt{1} = \pm 1\).
Ответ: A.

### 13. Задача 247 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=3\)，公比 \(q=2\)，求 \(a_4\)。

English: Let \(\{a_n\}\) be a geometric sequence with \(a_1=3\) and common ratio \(q=2\). Find \(a_4\).

Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия, \(a_1=3\), знаменатель \(q=2\). Найдите \(a_4\).

A. \(9\)
B. \(12\)
C. \(24\)
D. \(48\)

Ответ: C

Решение: Формула общего члена геометрической прогрессии \( a_n = a_1 q^{n-1} \).
Подставляем \( a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24 \).
Ответ: C.

### 14. Задача 248 (Прямая)

中文: 经过点 \(A(-1,1)\)，\(B(2,3)\) 的直线的斜率为：

English: The slope of the line passing through the points \(A(-1,1)\) and \(B(2,3)\) is:

Русский: Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\), равен:

A. \(\dfrac{3}{2}\)
B. \(-\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{2}{3}\)
D. \(-\dfrac{2}{3}\)

Ответ: C

Решение: Угловой коэффициент прямой через две точки \( k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Подставляем координаты \( k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)} = \dfrac{2}{3} \).
Ответ: C.

### 15. Задача 249 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 已知角 \(\alpha\) 的终边经过点 \(M(2,4)\)，则 \(\tan\alpha=\)

English: Given that the terminal side of the angle \(\alpha\) passes through the point \(M(2,4)\), then \(\tan\alpha=\)

Русский: Известно, что конечная сторона угла \(\alpha\) проходит через точку \(M(2,4)\). Тогда \(\tan\alpha=\)

A. \(2\)
B. \(-2\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(-\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: Для точки \( M(x, y) \) на терминальной стороне угла \( \tan\alpha = \dfrac{y}{x} \).
Подставляем координаты точки \( M(2, 4) \): \( \tan\alpha = \dfrac{4}{2} = 2 \).
Ответ: A.

### 16. Задача 250 (Арифметическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，则 \(a_5=\)

English: If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence with \(a_1=1\) and \(a_2=3\), then \(a_5=\)

Русский: Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_1=1\), \(a_2=3\), то \(a_5=\)

A. \(9\)
B. \(11\)
C. \(5\)
D. \(7\)

Ответ: A

Решение: Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \).
Формула общего члена \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
Подставляем \( a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9 \).
Ответ: A.

### 17. Задача 251 (Координаты и расстояния)

中文: 已知点 \(A(-1,2)\)，\(B(3,-1)\)，则 \(|AB|\) =

English: Given points \(A(-1,2)\), \(B(3,-1)\), the distance \(|AB|\) between them is:

Русский: Даны точки \(A(-1,2)\), \(B(3,-1)\). Найдите расстояние \(|AB|\) между ними:

A. \(\sqrt{5}\)
B. \(25\)
C. \(5\)
D. \(4\)

Ответ: C

Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле \(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем координаты: \(|AB| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2}\).
Вычисляем разности: \(3 - (-1) = 4\), \(-1 - 2 = -3\).
Возводим в квадрат и складываем: \(4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25\).
Извлекаем корень: \(|AB| = \sqrt{25} = 5\).
Ответ: C.

### 18. Задача 252 (Прямая)

中文: 过点 \(M(-2,3)\)，斜率 \(k=2\) 的直线方程是：

English: The equation of the line passing through the point \(M(-2,3)\) with slope \(k=2\) is:

Русский: Уравнение прямой, проходящей через точку \(M(-2,3)\) с угловым коэффициентом \(k=2\), имеет вид:

A. \(y=x+7\)
B. \(y=2x-1\)
C. \(y=2x+7\)
D. \(y=x+5\)

Ответ: C

Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).
Подставляем \(x_0 = -2\), \(y_0 = 3\), \(k = 2\): \(y - 3 = 2(x + 2)\).
Раскрываем скобки: \(y - 3 = 2x + 4\).
Выражаем \(y\): \(y = 2x + 7\).
Варианты A и D имеют неверный угловой коэффициент, вариант B не проходит через заданную точку.
Ответ: C.

### 19. Задача 253 (Окружность)

中文: 若圆过点 \(A(2,2)\)，圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为

English: If a circle passes through \(A(2,2)\) with center \((2,0)\), its equation is

Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то её уравнение

A. \((x-2)^2+y^2=2\)
B. \(x^2+(y-2)^2=2\)
C. \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)
D. \((x-2)^2+y^2=4\)

Ответ: D

Решение: Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).
Радиус равен расстоянию от центра до точки \(A(2, 2)\): \(R = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).
Квадрат радиуса \(R^2 = 4\).
Уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).
Ответ: D.

### 20. Задача 254 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 若 \(\tan\alpha=2\)，则 \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

English: If \(\tan\alpha=2\), then \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

Русский: Если \(\tan\alpha=2\), то \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

A. \(\dfrac{8}{5}\)
B. \(\dfrac{3}{5}\)
C. \(-\dfrac{8}{5}\)
D. \(\dfrac{5}{3}\)

Ответ: A

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\).
Получим выражение \(\dfrac{3\tan\alpha + 2}{4\tan\alpha - 3}\).
Подставим \(\tan\alpha = 2\): \(\dfrac{3 \cdot 2 + 2}{4 \cdot 2 - 3} = \dfrac{6 + 2}{8 - 3}\).
Вычисляем значение дроби: \(\dfrac{8}{5}\).
Ответ: A.

### 21. Задача 255 (Геометрическая прогрессия)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\)，则通项 \(a_n=\)

English: If sequence \(\{a_n\}\) is \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), then the general term \(a_n=\)

Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), то её общий член \(a_n=\)

A. \((-1)^n \cdot \dfrac{1}{2^n}\)
B. \(\dfrac{1}{2^n}\)
C. \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\)
D. \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\)

Ответ: C

Решение: Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).
Знаменатель прогрессии \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).
Формула общего члена: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).
Перепишем это как \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).
При \(n=1\) получаем \(\dfrac{1}{2}\), при \(n=2\) получаем \(-\dfrac{1}{4}\), что совпадает с условием.
Ответ: C.

### 22. Задача 256 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 若 \(a, b, c\) 为有理数，且 \(a>b>c\)，则下列式子中正确的是

English: If \(a, b, c\) are rational numbers and \(a>b>c\), which inequality is correct?

Русский: Если \(a, b, c\) — рациональные числа и \(a>b>c\), то какое из неравенств верно?

A. \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}\)
B. \(a+b>b+c\)
C. \(a-b>b-c\)
D. \(ab>bc\)

Ответ: B

Решение: Проверим вариант B: из условия \(a > c\) прибавляем к обеим частям \(b\), получаем \(a + b > b + c\), что верно всегда.
Вариант A неверен, так как при отрицательном \(c\) знак неравенства меняется на противоположный.
Вариант C эквивалентен \(a + c > 2b\), что не гарантировано условием \(a > b > c\).
Вариант D неверен, так как при отрицательном \(b\) умножение на него меняет знак неравенства.
Ответ: B.

### 23. Задача 257 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 关于幂函数 \(y=x^3\) 和 \(y=x^{1/3}\)，下列结论中正确的是

English: Regarding power functions \(y=x^3\) and \(y=x^{1/3}\), which conclusion is correct?

Русский: Относительно степенных функций \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) какое из утверждений верно?

A. Graphs are symmetric with respect to the \(x\)-axis / 两函数的图像关于 \(x\) 轴对称 / Графики функций симметричны относительно оси \(x\)
B. Graphs are symmetric with respect to the line \(y=x\) / 两函数的图像关于直线 \(y=x\) 对称 / Графики функций симметричны относительно прямой \(y=x\)
C. Graphs are symmetric with respect to the \(y\)-axis / 两函数的图像关于 \(y\) 轴对称 / Графики функций симметричны относительно оси \(y\)
D. Graphs are symmetric with respect to the origin / 两函数的图像关于原点对称 / Графики функций симметричны относительно начала координат

Ответ: B

Решение: Функции \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) являются взаимно обратными.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y=x\).
Ответ: B.

### 24. Задача 258 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)

English: If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos 2\alpha=\)

Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos 2\alpha=\)

A. \(4\sqrt{2}\)
B. \(\dfrac{7}{9}\)
C. \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)
D. \(-\dfrac{7}{9}\)

Ответ: D

Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем значение косинуса: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - 1\).
Вычисляем: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = \dfrac{2}{9} - \dfrac{9}{9} = -\dfrac{7}{9}\).
Ответ: D.

### 25. Задача 259 (Прямая)

中文: 直线 \(3x+2y+4=0\) 与 \(x-y+3=0\) 的交点坐标为：

English: The intersection point of the lines \(3x+2y+4=0\) and \(x-y+3=0\) is:

Русский: Координаты точки пересечения прямых \(3x+2y+4=0\) и \(x-y+3=0\) равны:

A. \((1,-2)\)
B. \((2,5)\)
C. \((-2,1)\)
D. \((5,2)\)

Ответ: C

Решение: Из второго уравнения выражаем \(y = x + 3\).
Подставляем в первое уравнение: \(3x + 2(x + 3) + 4 = 0\).
Раскрываем скобки: \(3x + 2x + 6 + 4 = 0\), откуда \(5x = -10\) и \(x = -2\).
Находим \(y = -2 + 3 = 1\), точка пересечения \((-2, 1)\).
Ответ: C.

### 26. Задача 260 (Гипербола)

中文: 双曲线 \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点坐标是：

English: The coordinates of the foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are:

Русский: Координаты фокусов гиперболы \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны:

A. \((0,4)\)
B. \((4,0)\)
C. \((0,\pm 4)\)
D. \((\pm 4,0)\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a^2 = 7\) и \(b^2 = 9\).
Фокусы лежат на оси абсцисс, так как положительный член содержит \(x\).
Вычисляем \(c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16\), откуда \(c = 4\).
Координаты фокусов: \((\pm 4, 0)\).
Ответ: D.

### 27. Задача 261 (Степенные и квадратичные функции)

中文: 下列不等式正确的是：

English: Which of the following inequalities is correct?

Русский: Какое из следующих неравенств верно?

A. \(2.1^3 > 1.2^3\)
B. \(2.1^{-2} > 1.2^{-2}\)
C. \(0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}\)
D. \(3^{2.25} > 3^3\)

Ответ: A

Решение: Степенная функция \(y = x^3\) возрастает при \(x > 0\).
Так как \(2.1 > 1.2\), то \(2.1^3 > 1.2^3\), вариант A верен.
В варианте B функция \(y = x^{-2}\) убывает при \(x > 0\), поэтому \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\).
В варианте C показательная функция с основанием \(0.75 < 1\) убывает, а \(-0.2 > -0.4\), значит \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).
В варианте D основание \(3 > 1\), функция возрастает, но \(2.25 < 3\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).
Ответ: A.

### 28. Задача 262 (Логарифмы)

中文: 计算 \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)

English: Calculate \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)

Русский: Вычислите \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)

A. \(\dfrac{3}{2}\)
B. \(-\dfrac{3}{2}\)
C. \(-\dfrac{2}{3}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\)

Ответ: A

Решение: По формуле смены основания \(\log_4 27=\dfrac{\log_2 27}{\log_2 4}\).
\(\log_2 27=\log_2 3^3=3\log_2 3\), а \(\log_2 4=2\).
Тогда \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\dfrac{3\log_2 3}{2\log_2 3}=\dfrac{3}{2}\).
Ответ: A.

### 29. Задача 263 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于余弦函数 \(y=\cos x\)，以下结论中正确的是：

English: Regarding the cosine function \(y=\cos x\), which of the following conclusions is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно?

A. It is a periodic function / 该函数为周期函数 / Эта функция является периодической
B. It is a decreasing function / 该函数为减函数 / Эта функция является убывающей
C. It is an increasing function / 该函数为增函数 / Эта функция является возрастающей
D. It is an odd function / 该函数为奇函数 / Эта функция является нечётной

Ответ: A

Решение: \(y=\cos x\) периодична с периодом \(2\pi\), поэтому A верно.
Она не монотонна на всей числовой прямой: убывает на \([2k\pi,\pi+2k\pi]\) и возрастает на \([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\), значит B и C неверны.
\(\cos(-x)=\cos x\), функция чётная, а не нечётная, D неверно.
Ответ: A.

### 30. Задача 264 (Парабола)

中文: 顶点在原点，焦点为 \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) 的抛物线的标准方程为：

English: The standard equation of the parabola with vertex at the origin and focus \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) is:

Русский: Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) имеет вид:

A. \(y^2 = \dfrac{3}{2}x\)
B. \(y^2 = 3x\)
C. \(y^2 = 6x\)
D. \(y^2 = -6x\)

Ответ: C

Решение: Вершина в начале координат и фокус \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) на оси \(x\), значит ветви вправо и уравнение имеет вид \(y^2=2px\).
Фокус такой параболы: \(\left(\dfrac{p}{2},0\right)\), поэтому \(\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}\), то есть \(p=3\).
Подставляем: \(y^2=2\cdot 3\,x=6x\).
Ответ: C.

### 31. Задача 265 (Координаты и расстояния)

中文: 点\(P(1,3)\)到点\(Q(3,-1)\)的距离是：

English: The distance from point \(P(1,3)\) to point \(Q(3,-1)\) is:

Русский: Расстояние от точки \(P(1,3)\) до точки \(Q(3,-1)\) равно:

A. \(\sqrt{5}\)
B. \(2\sqrt{5}\)
C. \(\sqrt{17}\)
D. \(2\)

Ответ: B

Решение: По формуле расстояния \(PQ=\sqrt{(3-1)^2+(-1-3)^2}\).
Считаем разности: \(3-1=2\), \(-1-3=-4\).
\(PQ=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Ответ: B.

### 32. Задача 266 (Прямая)

中文: 已知直线\(l_1\)：\(ax+2y-1=0\)与\(l_2\)：\(x+(a+1)y+4=0\)平行，则\(a=\)

English: Given lines \(l_1\): \(ax+2y-1=0\) and \(l_2\): \(x+(a+1)y+4=0\) are parallel, then \(a=\)

Русский: Даны прямые \(l_1\): \(ax+2y-1=0\) и \(l_2\): \(x+(a+1)y+4=0\), параллельные друг другу, тогда \(a=\)

A. \(1\)
B. \(a=-2\) или \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=2\) или \(a=-1\)

Ответ: B

Решение: Прямые \(a_1x+b_1y+c_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2=0\) параллельны, когда \(a_1b_2=a_2b_1\).
Здесь \(a(a+1)=1\cdot 2\), то есть \(a^2+a-2=0\).
Корни: \(a=1\) или \(a=-2\).
Проверка на совпадение: при \(a=1\) прямые \(x+2y-1=0\) и \(x+2y+4=0\) различны, при \(a=-2\) прямые \(-2x+2y-1=0\) и \(x-y+4=0\) также различны, оба значения подходят.
Ответ: B.

### 33. Задача 267 (Окружность)

中文: 若圆的圆心坐标是\((-3,2)\)，半径是4，则圆的方程是：

English: If a circle has center \((-3,2)\) and radius 4, its equation is:

Русский: Если центр окружности находится в точке \((-3,2)\), а радиус равен 4, то уравнение окружности имеет вид:

A. \((x-3)^2+(y+2)^2=4\)
B. \((x-3)^2+(y+2)^2=16\)
C. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
D. \((x+3)^2+(y-2)^2=16\)

Ответ: D

Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a,b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Подставляем центр \((-3,2)\) и радиус \(4\): \((x-(-3))^2+(y-2)^2=4^2\).
Получаем \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).
Варианты A и B имеют неверные знаки при координатах центра.
Вариант C содержит \(4\) вместо \(16\) в правой части.
Ответ: D.

### 34. Задача 268 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 已知\(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\)，且\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则\(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

English: Given \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), причём \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

A. \(-\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
C. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
D. \(\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)

Ответ: C

Решение: Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).
Находим \(\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}\).
Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}\).
Подставляем значения: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}\).
Ответ: C.

### 35. Задача 269 (Область определения и значений)

中文: 下列各对函数中，两函数相同的是：

English: Which pair of functions are identical?

Русский: Какая из следующих пар функций является тождественно равной?

A. \(y=\ln x^2\) and \(y=2\ln x\) / \(y=\ln x^2\)与\(y=2\ln x\) / \(y=\ln x^2\) и \(y=2\ln x\)
B. \(y=|x-1|\) and \(y=\sqrt{(x-1)^2}\) / \(y=|x-1|\)与\(y=\sqrt{(x-1)^2}\) / \(y=|x-1|\) и \(y=\sqrt{(x-1)^2}\)
C. \(y=x^2+1\) and \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) / \(y=x^2+1\)与\(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\) / \(y=x^2+1\) и \(y=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}\)
D. \(y=\ln[x(x-1)]\) and \(y=\ln x+\ln(x-1)\) / \(y=\ln[x(x-1)]\)与\(y=\ln x+\ln(x-1)\) / \(y=\ln[x(x-1)]\) и \(y=\ln x+\ln(x-1)\)

Ответ: B

Решение: Две функции тождественно равны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений.
В варианте A область определения первой функции все \(x\neq 0\), а второй только \(x>0\).
В варианте B обе функции определены на всей числовой прямой, и по свойству модуля \(|x-1|=\sqrt{(x-1)^2}\) для любого \(x\).
В варианте C вторая функция не определена при \(x=\pm 1\), а первая определена везде.
В варианте D области определения различаются: первая требует \(x(x-1)>0\), вторая \(x>0\) и \(x-1>0\).
Ответ: B.

### 36. Задача 270 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，且\(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则\(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

English: Given \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), then \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

Русский: Дано \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), причём \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тогда \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

A. \(\dfrac{3}{5}\)
B. \(\dfrac{4}{3}\)
C. \(\dfrac{3}{4}\)
D. \(\dfrac{4}{5}\)

Ответ: C

Решение: По формуле двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем в дробь: \(\dfrac{2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\tan\alpha\).
Выражение принимает вид \(2\tan\alpha - \tan\alpha = \tan\alpha\).
Так как \(\alpha\) в первой четверти и \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), то \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).
Находим \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\).
Ответ: C.

### 37. Задача 271 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 下列各式中正确的是：

English: Which of the following equations is correct?

Русский: Какое из следующих равенств верно?

A. \(\sin(\alpha+4\pi)=\cos\alpha\)
B. \(\sin(\alpha+3\pi)=\sin\alpha\)
C. \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\)
D. \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\)

Ответ: C

Решение: Функция синус имеет период \(2\pi\), поэтому \(\sin(\alpha+4\pi)=\sin\alpha\), вариант A неверен.
Прибавление \(3\pi\) равносильно прибавлению \(\pi\) с точностью до периода, значит \(\sin(\alpha+3\pi)=-\sin\alpha\), вариант B неверен.
По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\), вариант C верен.
По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha\), вариант D неверен.
Ответ: C.

### 38. Задача 272 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于正切函数 \(y=\tan x\)，下列说法不正确的是：

English: Regarding the tangent function \(y=\tan x\), which statement is incorrect?

Русский: Какое утверждение о функции \(y=\tan x\) неверно?

A. The range is \(\mathbb{R}\) / 值域为 \(\mathbb{R}\) / Область значений — \(\mathbb{R}\)
B. It is an odd function / 是奇函数 / Она является нечётной функцией
C. It is periodic, and its smallest positive period is \(\pi\) / 是周期函数，且最小正周期为 \(\pi\) / Она периодическая, и её наименьший положительный период равен \(\pi\)
D. The domain is \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) / 定义域为 \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\) / Область определения — \(\{x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\)

Ответ: D

Решение: Область значений функции \(y=\tan x\) есть все действительные числа \(\mathbb{R}\), утверждение A верно.
Функция нечётная, так как \(\tan(-x)=-\tan x\), утверждение B верно.
Наименьший положительный период равен \(\pi\), утверждение C верно.
Область определения состоит из всех \(x\), для которых \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
В варианте D указана область определения для котангенса, а не для тангенса, поэтому это утверждение неверно.
Ответ: D.

### 39. Задача 273 (Двойной и половинный угол)

中文: 已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：

English: Given \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) =

Русский: Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) =

A. \(-\dfrac{1}{2}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: D

Решение: Из условия \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) находим \(\alpha = \dfrac{2\pi}{3}\).
Тогда \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{3}\).
Вычисляем \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: D.

### 40. Задача 274 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，且 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)（\(n=1,2,\ldots\)），则 \(a_5\) =

English: If in the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\), \(a_2=3\), and \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), then \(a_5\) =

Русский: Если в последовательности \(\{a_n\}\) \(a_1=1\), \(a_2=3\) и \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), то \(a_5\) =

A. \(7\)
B. \(-7\)
C. \(11\)
D. \(-11\)

Ответ: C

Решение: Последовательно вычисляем члены последовательности по рекуррентной формуле \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\).
\(a_3=a_2+a_1=3+1=4\).
\(a_4=a_3+a_2=4+3=7\).
\(a_5=a_4+a_3=7+4=11\).
Ответ: C.

### 41. Задача 275 (Парабола)

中文: 抛物线的顶点在原点，准线为 \(x=\dfrac{1}{4}\)，求抛物线方程。

English: A parabola has its vertex at the origin and directrix \(x=\dfrac{1}{4}\). Find the equation of the parabola.

Русский: Вершина параболы находится в начале координат, а директриса задана уравнением \(x=\dfrac{1}{4}\). Найдите уравнение параболы.

A. \(y^2=x\)
B. \(y^2=-x\)
C. \(y^2=4x\)
D. \(y^2=-4x\)

Ответ: B

Решение: Директриса параболы с вершиной в начале координат имеет вид \(x=-\dfrac{p}{2}\) для уравнения \(y^2=2px\).
По условию директриса \(x=\dfrac{1}{4}\), следовательно \(-\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4}\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).
Подставляем в каноническое уравнение: \(y^2=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x=-x\).
Ответ: B.

### 42. Задача 276 (Логарифмы)

中文: 已知 \(a=\ln 3\)，\(b=\log_{0.3}2\)，\(c=\log_3 2\)，则 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的大小关系是：

English: Given \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\), then the order of \(a\), \(b\), \(c\) is:

Русский: Дано \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\). Тогда порядок величин \(a\), \(b\), \(c\):

A. \(a<c<b\)
B. \(c<a<b\)
C. \(a<b<c\)
D. \(b<c<a\)

Ответ: D

Решение: Так как \(3 > e\), то \(a = \ln 3 > \ln e = 1\).
Основание логарифма в \(b = \log_{0.3} 2\) меньше единицы, а аргумент больше единицы, поэтому \(b < 0\).
Для \(c = \log_3 2\) основание больше единицы и \(1 < 2 < 3\), значит \(0 < c < 1\).
Собираем вместе: \(b < 0 < c < 1 < a\), то есть \(b < c < a\).
Ответ: D.

### 43. Задача 277 (Эллипс)

中文: 已知椭圆的中心在原点，其长轴是短轴的2倍，且过点 \(P(-2,0)\)，则该椭圆的方程为：

English: An ellipse is centered at the origin, its major axis is twice its minor axis, and it passes through the point \(P(-2,0)\). Then its equation is:

Русский: Эллипс имеет центр в начале координат, его большая ось в 2 раза больше малой оси, и он проходит через точку \(P(-2,0)\). Тогда его уравнение имеет вид:

A. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) or \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) 或 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
B. \(x^2+\dfrac{y^2}{4}=1\)
C. \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) or \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 或 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) / \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
D. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

Ответ: C

Решение: Эллипс проходит через \(P(-2,0)\), значит вершина на оси \(x\) равна \(2\), то есть \(a=2\) или \(b=2\).
Большая ось вдвое больше малой, поэтому полуоси равны \(2\) и \(4\).
Если большая ось по \(x\): \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\), но точка \((-2,0)\) не лежит на нём как вершина большой оси, проверка: \(\dfrac{4}{16}+0=\dfrac{1}{4}\neq 1\), не подходит.
Значит полуось по \(x\) равна \(2\): \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b=1\) или \(b=4\).
Получаем \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\).
Ответ: C.

### 44. Задача 278 (Векторы)

中文: 设向量 \(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-1)\)，则 \(3\vec{a}-\vec{b}=\)

English: Given vectors \(\vec{a}=(-1,2)\) and \(\vec{b}=(3,-1)\), then \(3\vec{a}-\vec{b}=\)

Русский: Даны векторы \(\vec{a}=(-1,2)\) и \(\vec{b}=(3,-1)\). Тогда \(3\vec{a}-\vec{b}=\)

A. \((0,-3)\)
B. \((0,5)\)
C. \((-6,5)\)
D. \((-6,7)\)

Ответ: D

Решение: \(3\vec{a}=3(-1,2)=(-3,6)\).
\(3\vec{a}-\vec{b}=(-3,6)-(3,-1)=(-3-3,\,6-(-1))=(-6,7)\).
Ответ: D.

### 45. Задача 279 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1: x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_2: x+y+1=0\) 与 \(l_3: 2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为：

English: Line \(l\) is perpendicular to line \(l_1: x+2y+4=0\) and passes through the intersection of lines \(l_2: x+y+1=0\) and \(l_3: 2x+y-1=0\). Then the equation of \(l\) is:

Русский: Прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1: x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2: x+y+1=0\) и \(l_3: 2x+y-1=0\). Тогда уравнение прямой \(l\) имеет вид:

A. \(2x-y-7=0\)
B. \(x+2y-3=0\)
C. \(2x+y-5=0\)
D. \(x-2y-1=0\)

Ответ: A

Решение: Находим пересечение \(l_2\) и \(l_3\): вычитаем \(x+y+1=0\) из \(2x+y-1=0\), получаем \(x-2=0\), \(x=2\), тогда \(y=-3\).
Прямая \(l_1: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), перпендикулярная ей прямая имеет коэффициент \(2\).
Уравнение \(l\): \(y+3=2(x-2)\), то есть \(2x-y-7=0\).
Ответ: A.

### 46. Задача 280 (Комплексные числа)

中文: 已知复数 \(z\) 满足 \(|z|=1\)，则 \(|2z+1|\) 的最大值为：

English: Given a complex number \(z\) with \(|z|=1\), the maximum value of \(|2z+1|\) is:

Русский: Дано комплексное число \(z\), для которого \(|z|=1\). Тогда наибольшее значение \(|2z+1|\) равно:

A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(\dfrac{5}{2}\)
D. \(3\)

Ответ: D

Решение: По неравенству треугольника \( |2z+1| \le |2z| + |1| = 2|z| + 1 \).
Подставляем \( |z|=1 \): \( |2z+1| \le 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).
Равенство достигается, когда \( 2z \) и \( 1 \) имеют одинаковый аргумент, то есть при \( z=1 \).
Проверка: \( |2(1)+1| = |3| = 3 \).
Ответ: D.

### 47. Задача 281 (Геометрическая прогрессия)

中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，若 \(S_2=4\)，\(S_4=20\)，则 \(S_8=\)

English: Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\). If \(S_2=4\) and \(S_4=20\), then \(S_8=\)

Русский: Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\). Если \(S_2=4\) и \(S_4=20\), то \(S_8=\)

A. \(160\)
B. \(340\)
C. \(180\)
D. \(210\)

Ответ: B

Решение: Для геометрической прогрессии \( S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1+q^2) \).
Подставляем значения: \( 20 = 4(1+q^2) \), откуда \( q^2 = 4 \).
Аналогично \( S_8 = S_4 + q^4 S_4 = S_4(1+q^4) \).
Так как \( q^4 = (q^2)^2 = 16 \), получаем \( S_8 = 20(1+16) = 20 \cdot 17 = 340 \).
Ответ: B.

### 48. Задача 282 (Классическая вероятность)

中文: 有6个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，6。不放回地逐个随机取出3个球。设 \(m\) 为前两次取出球的号码的平均值，\(n\) 为三次取出球的号码的平均值，则 \(|m-n|\) 不超过 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率为：

English: There are 6 identical balls labeled with the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6. Three balls are drawn at random one at a time without replacement. Let \(m\) be the average of the numbers on the first two balls drawn, and \(n\) be the average of the numbers on all three balls drawn. Then the probability that \(|m-n|\) does not exceed \(\dfrac{1}{2}\) is:

Русский: Имеется 6 одинаковых шаров, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайным образом по одному без возвращения вынимают 3 шара. Пусть \(m\) — среднее арифметическое номеров первых двух вынутых шаров, а \(n\) — среднее арифметическое номеров всех трёх вынутых шаров. Тогда вероятность того, что \(|m-n|\) не превосходит \(\dfrac{1}{2}\), равна:

A. \(\dfrac{13}{30}\)
B. \(\dfrac{3}{10}\)
C. \(\dfrac{8}{15}\)
D. \(\dfrac{7}{15}\)

Ответ: D

Решение: Пусть \(a,b,c\) — числа на шарах по порядку: \(m=\dfrac{a+b}{2}\), \(n=\dfrac{a+b+c}{3}\), \(m-n=\dfrac{a+b-2c}{6}\).
Условие \(|m-n|\le\dfrac{1}{2}\) равносильно \(|a+b-2c|\le 3\).
Всего упорядоченных троек \(6\cdot 5\cdot 4=120\).
Пар \(\{a,b\}\) для каждого \(c\): при \(c=1\) одна, \(c=2\) пять, \(c=3\) восемь, \(c=4\) восемь, \(c=5\) пять, \(c=6\) одна; всего 28 пар, то есть 56 упорядоченных троек.
\(P=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}\).
Ответ: D.