# CSCA Math: Пробник Crossline (Mock: Crossline)

Источник: Crossline Education, https://www.crosslineedu.com/pages/online-csca-math-mock

### 1. Задача 283 (Множества)

中文: 下列各项中，能组成集合的是：

English: Which of the following objects can form a set?

Русский: Какой из следующих объектов может образовывать множество?

A. All real numbers very close to \(0\) / 所有非常接近 \(0\) 的实数 / Все действительные числа, очень близкие к \(0\)
B. All Year 10 students at Peking University Affiliated Middle School Yunnan Experimental School during the second semester of the academic year / 北大附中云南实验学校高一年级本学期在校的所有学生 / Все учащиеся первого года старшей школы Юньнаньской экспериментальной школы при Пекинском университете в текущем семестре
C. Year 10 pupils with relatively good eyesight / 高一年级视力比较好的同学 / Учащиеся первого года старшей школы с относительно хорошим зрением
D. Highly talented teachers in Year 10 / 高一年级中非常有才华的老师 / Очень талантливые учителя первого года старшей школы

Ответ: B

Решение: Множество должно иметь чёткий критерий принадлежности элементов.
Варианты A, C и D содержат неопределённые слова «очень близко», «относительно хорошее», «высоко талантливые», которые не задают точного условия.
Вариант B однозначно определяет конечный список конкретных учеников определённой школы, класса и семестра.
Ответ: B.

### 2. Задача 284 (Множества)

中文: 设 \(A\) 是一个集合，则下列结论正确的是：

English: Let \(A\) denote a set. Then which of the following is correct?

Русский: Пусть \(A\) — множество. Тогда какое из следующих утверждений верно?

Ошибка в источнике: варианты C и D одинаковые.

A. \(\emptyset \in A\)
B. \(\emptyset \subseteq A\)
C. \(\emptyset \supseteq A\)
D. \(\emptyset \supseteq A\)

Ответ: B

Решение: Пустое множество является подмножеством любого множества по определению.
Запись \(\emptyset \subseteq A\) верна для произвольного множества \(A\).
Вариант A неверен, так как пустое множество не обязано быть элементом \(A\).
Варианты C и D неверны, так как пустое множество не может содержать непустое множество.
Ответ: B.

### 3. Задача 285 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 若 \(a > 0\) 且 \(b < 0\)，则 \(a+b\) 与 \(a-b\) 的大小关系为：

English: If \(a > 0\) and \(b < 0\), then the relationship between the values of \(a+b\) and \(a-b\) is:

Русский: Если \(a > 0\) и \(b < 0\), то соотношение между значениями \(a+b\) и \(a-b\) таково:

A. \(a+b > a-b\)
B. \(a+b = a-b\)
C. \(a+b < a-b\)
D. Cannot be determined / 无法确定 / Невозможно определить

Ответ: C

Решение: Вычислим разность \((a+b)-(a-b)=2b\).
По условию \(b<0\), поэтому \(2b<0\).
Следовательно, \(a+b<a-b\).
Ответ: C.

### 4. Задача 286 (Монотонность и чётность)

中文: 已知奇函数 \(f(x)\)，当 \(x > 0\) 时，\(f(x) = x^2 + x + b\)（其中 \(b\) 为常数且 \(b=1\)）。则 \(f(-1) =\)：

English: Given the odd function \(f(x)\), when \(x > 0\), \(f(x) = x^2 + x + b\) (where \(b\) is a constant and \(b=1\)). Then \(f(-1) =\):

Русский: Дана нечётная функция \(f(x)\), при \(x > 0\) \(f(x) = x^2 + x + b\) (где \(b\) — константа и \(b=1\)). Тогда \(f(-1) =\):

A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(-3\)
D. \(3\)

Ответ: C

Решение: Функция \(f(x)\) нечётная, значит \(f(-1)=-f(1)\).
При \(x>0\) задано \(f(x)=x^2+x+1\), так как \(b=1\).
Находим \(f(1)=1^2+1+1=3\).
Тогда \(f(-1)=-3\).
Ответ: C.

### 5. Задача 287 (Область определения и значений)

中文: 已知 \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\)，则 \(f(3) =\)：

English: Given that \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\), then \(f(3) =\):

Русский: Дано, что \(f(x+1) = x^2 + 4x + 3\), тогда \(f(3) =\):

A. \(15\)
B. \(35\)
C. \(26\)
D. \(29\)

Ответ: A

Решение: Чтобы найти \(f(3)\), нужно подобрать \(x\) так, чтобы \(x+1=3\), откуда \(x=2\).
Подставляем \(x=2\) в выражение \(f(x+1)=x^2+4x+3\).
Получаем \(f(3)=2^2+4\cdot 2+3=4+8+3=15\).
Ответ: A.

### 6. Задача 288 (Производная)

中文: 已知函数 \(f(x) = x^3 - x\)，则 \(f'(1)\) 等于：

English: Given the function \(f(x) = x^3 - x\), then \(f'(1)\) equals:

Русский: Дана функция \(f(x) = x^3 - x\), тогда \(f'(1)\) равно:

Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.

A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(0\)
D. \(2\)

Ответ: D

Решение: \(f'(x)=3x^2-1\).
\(f'(1)=3-1=2\).
Значение \(2\) стоит и в варианте B, и в варианте D; в ключе источника D.
Ответ: D.

### 7. Задача 289 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) 的值是：

English: The value of \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) is:

Русский: Значение выражения \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) равно:

Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный A.

A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: A

Решение: По формуле синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\).
\(\sin(75^\circ-15^\circ)=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.

### 8. Задача 290 (Геометрическая прогрессия)

中文: 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1 = 2\) 且 \(a_3 = 8\)，则 \(a_4 =\)：

English: In the geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1 = 2\) and \(a_3 = 8\), then \(a_4 =\):

Русский: В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1 = 2\) и \(a_3 = 8\), то \(a_4 =\):

A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(12\)
D. \(16\)

Ответ: D

Решение: В геометрической прогрессии \(a_3 = a_1 \cdot q^2\), откуда \(8 = 2 \cdot q^2\) и \(q^2 = 4\).
Знаменатель прогрессии \(q = 2\) или \(q = -2\).
Четвёртый член равен \(a_4 = a_3 \cdot q = 8q\), то есть \(16\) или \(-16\).
Среди предложенных вариантов только \(16\) присутствует, вариант \(-16\) отсутствует.
Ответ: D.

### 9. Задача 291 (Арифметическая прогрессия)

中文: 下列数列中，<strong>不属于</strong>等差数列的是：

English: Which of the following sequences is <strong>not</strong> an arithmetic sequence?

Русский: Какая из следующих последовательностей <strong>не является</strong> арифметической прогрессией?

A. \(0,\ 0,\ 0,\ \ldots,\ 0,\ \ldots\)
B. \(-2,\ -1,\ 0,\ \ldots,\ n-3,\ \ldots\)
C. \(1,\ 3,\ 5,\ \ldots,\ 2n-1,\ \ldots\)
D. \(0,\ 1,\ 3,\ \ldots,\ \dfrac{n(n-1)}{2},\ \ldots\)

Ответ: D

Решение: Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между соседними членами.
В варианте A все члены равны нулю, разность \(d = 0\), это арифметическая прогрессия.
В варианте B разность \(d = 1\), общий член \(n - 3\), это арифметическая прогрессия.
В варианте C разность \(d = 2\), общий член \(2n - 1\), это арифметическая прогрессия.
В варианте D члены: \(0, 1, 3, 6, \ldots\), разности равны \(1, 2, 3, \ldots\) и не постоянны.
Ответ: D.

### 10. Задача 292 (Прямая)

中文: 如图所示，设直线 \(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\) 的斜率分别为 \(k_1\)、\(k_2\)、\(k_3\)。则 \(k_1\)、\(k_2\) 和 \(k_3\) 的大小关系为：

English: As shown in the figure, let the slopes of the lines \(l_1\), \(l_2\), and \(l_3\) be \(k_1\), \(k_2\), and \(k_3\) respectively. Then the order of magnitude for \(k_1\), \(k_2\), and \(k_3\) is:

Русский: Как показано на рисунке, пусть угловые коэффициенты прямых \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\) равны \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) соответственно. Тогда соотношение между \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) имеет вид:

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-10.png — Три прямые на координатной плоскости, у всех наклон вправо вверх: самая пологая l1, круче l2, самая крутая l3.

Ошибка в источнике: отмечен ответ A, верный B: все три прямые возрастают, круче всех \(l_3\).

A. \(k_3 < k_1 < k_2\)
B. \(k_1 < k_2 < k_3\)
C. \(k_2 < k_3 < k_1\)
D. \(k_1 < k_3 < k_2\)

Ответ: B

Решение: Все три прямые возрастают, значит углы наклона острые и все угловые коэффициенты положительны.
На промежутке \( \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( k = \tan \alpha \) возрастает: чем круче прямая, тем больше её угловой коэффициент.
По рисунку \( l_1 \) самая пологая, \( l_2 \) круче, \( l_3 \) самая крутая.
Поэтому \( k_1 < k_2 < k_3 \).
Ответ: B.

### 11. Задача 293 (Прямая)

中文: 已知直线 \(l_1 : x + y - 1 = 0\) 与直线 \(l_2 : x + y + 2 = 0\)，则 \(l_1\) 与 \(l_2\) 之间的距离为：

English: Given the line \(l_1 : x + y - 1 = 0\) and the line \(l_2 : x + y + 2 = 0\), the distance between \(l_1\) and \(l_2\) is:

Русский: Даны прямая \(l_1 : x + y - 1 = 0\) и прямая \(l_2 : x + y + 2 = 0\). Расстояние между \(l_1\) и \(l_2\) равно:

A. \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
B. \(\sqrt{2}\)
C. \(2\)
D. \(3\)

Ответ: A

Решение: Прямые \(x + y - 1 = 0\) и \(x + y + 2 = 0\) параллельны, так как коэффициенты при переменных пропорциональны.
Расстояние между параллельными прямыми \(ax + by + c_1 = 0\) и \(ax + by + c_2 = 0\) вычисляется по формуле \(d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
Подставляем значения: \(a = 1\), \(b = 1\), \(c_1 = -1\), \(c_2 = 2\).
Получаем \(d = \dfrac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: A.

### 12. Задача 294 (Стереометрия)

中文: 如图所示，采用斜二测画法画出的水平放置的 \(\triangle ABC\) 的直观图中，已知 \(A'B' = 4\) 且 \(A'C' = 3\)（其中 \(A'B' \perp A'C'\)），则实际图形中边 \(BC\) 上的中线长为：

English: As shown in the figure, in the oblique axonometric drawing of the horizontally placed \(\triangle ABC\), it is given that \(A'B' = 4\) and \(A'C' = 3\) (with \(A'B' \perp A'C'\)). The actual length of the median on edge \(BC\) is:

Русский: Как показано на рисунке, в аксонометрическом изображении горизонтально расположенного треугольника \(\triangle ABC\) дано \(A'B' = 4\) и \(A'C' = 3\) (при этом \(A'B' \perp A'C'\)). Действительная длина медианы, проведённой к стороне \(BC\), равна:

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-12.png — Косоугольный чертёж: оси O'x' и O'y' под углом 45°, вершина C' совпадает с началом O', точка A' лежит на оси x', точка B' на оси y'; треугольник A'B'C'.

Ошибка в источнике: данные противоречат рисунку, однозначного ответа нет. В ключе источника C.

A. \(5\)
B. \(\sqrt{29}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{29}}{2}\)
D. \(\dfrac{5}{2}\)

Ответ: C

Решение: На косоугольном чертеже отрезки вдоль оси \(x'\) сохраняют длину, вдоль оси \(y'\) уменьшаются вдвое, угол между осями \(45^\circ\).
На рисунке \(C'\) в начале координат, \(A'\) на оси \(x'\), \(B'\) на оси \(y'\), поэтому в настоящем треугольнике угол \(C\) прямой.
Но тогда \(A'B'\) не может быть перпендикулярна \(A'C'\): условие противоречит рисунку, однозначного ответа нет.
В ключе источника вариант C.
Ответ: C.

### 13. Задача 295 (Стереометрия)

中文: 关于棱柱，下列说法正确的个数是：<br><br>① 四棱柱是平行六面体；<br>② 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；<br>③ 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；<br>④ 底面是正多边形的棱柱是正棱柱。

English: The number of correct statements regarding prisms is:<br><br>① A quadrangular prism is a parallelepiped;<br>② A solid with two parallel faces and all other faces being parallelograms is a prism;<br>③ A geometric solid with two parallel faces, all other faces being quadrilaterals, and each pair of adjacent quadrilaterals sharing parallel common sides is a prism;<br>④ A prism with a regular polygon as its base is a regular prism.

Русский: Количество верных утверждений о призмах равно:<br><br>① четырёхугольная призма является параллелепипедом;<br>② тело с двумя параллельными гранями, все остальные грани которого — параллелограммы, является призмой;<br>③ геометрическое тело с двумя параллельными гранями, все остальные грани которого — четырёхугольники, причём общие стороны любых двух соседних четырёхугольников параллельны, является призмой;<br>④ призма, основанием которой является правильный многоугольник, является правильной призмой.

A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)

Ответ: A

Решение: ① Неверно: в основании четырёхугольной призмы может лежать не параллелограмм, а параллелепипед — призма, у которой в основании параллелограмм.
② Неверно: можно сложить тело из двух наклонных призм так, что две грани параллельны, остальные — параллелограммы, но боковые рёбра не параллельны.
③ Верно: если общие стороны соседних боковых граней параллельны, все боковые рёбра параллельны, это и есть призма.
④ Неверно: правильная призма должна быть ещё и прямой.
Верно одно утверждение.
Ответ: A.

### 14. Задача 296 (Векторы)

中文: 若单位向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 满足 \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\)，则 \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) 等于：

English: If the unit vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) satisfy \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), then \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) equals:

Русский: Если единичные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) удовлетворяют условию \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), то \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) равно:

A. \(\sqrt{3}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{7}\)
D. \(3\)

Ответ: C

Решение: \(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1=3\), откуда \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}\).
\(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-2+4=7\).
Значит \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}\).
Ответ: C.

### 15. Задача 297 (Классическая вероятность)

中文: 从 A、B、C、D、E 五名学生中随机抽取两名。设事件 M 为“选中学生 A”。则事件 M 包含的样本点个数为：

English: From five students A, B, C, D, E, two are selected at random. Let event M denote "Student A is selected". The number of sample points contained in event M is:

Русский: Из пяти студентов A, B, C, D, E случайным образом выбирают двоих. Пусть событие M означает «выбран студент A». Число элементарных исходов, содержащихся в событии M, равно:

A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(6\)
D. \(8\)

Ответ: B

Решение: Всего пять учеников, из них выбирают двух.
Событие M означает, что ученик A уже выбран.
Второго участника нужно выбрать из оставшихся четырёх учеников: B, C, D, E.
Каждый из этих четырёх учеников образует отдельный элементарный исход события M.
Количество элементарных исходов равно 4.
Ответ: B.

### 16. Задача 298 (Нормальное распределение)

中文: 设随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。若 \(P(X\le 4)=0.3\)，则 \(P(X>2\mu-4)\) 等于：

English: Let the random variable \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). If \(P(X\le 4)=0.3\), then \(P(X>2\mu-4)\) equals:

Русский: Пусть случайная величина \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Если \(P(X\le 4)=0.3\), то \(P(X>2\mu-4)\) равно:

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(0.7\), верный \(0.3\).

A. \(0.7\)
B. \(0.3\)
C. \(0.8\)
D. \(0.9\)

Ответ: B

Решение: Нормальная кривая симметрична относительно прямой \(x=\mu\).
Точки \(4\) и \(2\mu-4\) симметричны относительно \(\mu\): их середина \(\dfrac{4+(2\mu-4)}{2}=\mu\).
Поэтому \(P(X>2\mu-4)=P(X<4)=0.3\).
Ответ: B.

### 17. Задача 299 (Статистика)

中文: 下列说法正确的是：

English: Which of the following statements is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. If the mean of a data set comprising 1, \(a\), and 3 is 2, then the variance of this data set is \(\dfrac{2}{3}\) / 如果由 1，\(a\)，3 组成的数据集的平均数为 2，则该数据集的方差为 \(\dfrac{2}{3}\) / Если среднее значение набора данных, состоящего из 1, \(a\) и 3, равно 2, то дисперсия этого набора данных равна \(\dfrac{2}{3}\)
B. The linear regression line does not necessarily pass through the sample's centre point \((\bar{x},\bar{y})\) / 线性回归直线不一定经过样本的中心点 \((\bar{x},\bar{y})\) / Прямая линейной регрессии не обязательно проходит через центр выборки \((\bar{x},\bar{y})\)
C. The stronger the linear correlation between two random variables, the closer the correlation coefficient approaches 1 / 两个随机变量之间的线性相关性越强，相关系数越接近 1 / Чем сильнее линейная корреляция между двумя случайными величинами, тем ближе коэффициент корреляции к 1
D. Numbering all 2000 Year 13 students from 1 to 2000, then randomly selecting one student from the first 50 (numbered \(k\)), followed by selecting students numbered \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) constitutes stratified sampling / 将 2000 名高三学生从 1 到 2000 编号，然后从前 50 名学生中随机抽取一名（编号为 \(k\)），接着抽取编号为 \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) 的学生，这构成分层抽样 / Нумерация всех 2000 учеников выпускного класса от 1 до 2000, затем случайный выбор одного ученика из первых 50 (с номером \(k\)) и последующий выбор учеников с номерами \(k+50,\ k+100,\ \ldots\) представляет собой стратифицированную выборку

Ответ: A

Решение: Проверим вариант A: среднее равно \(\dfrac{1+a+3}{3}=2\), откуда \(a=2\).
Дисперсия набора 1, 2, 3 равна \(\dfrac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\dfrac{2}{3}\), утверждение A верно.
Вариант B неверен: линия линейной регрессии всегда проходит через точку средних \((\bar{x},\bar{y})\).
Вариант C неверен: при сильной отрицательной связи коэффициент корреляции близок к \(-1\), а не к 1.
Вариант D неверен: описанный метод является систематической выборкой, а не стратифицированной.
Ответ: A.

### 18. Задача 300 (Статистика)

中文: 通过抽签得到的一个样本的 5 个数据分别为 2, 4, 5, 7, 9。则该样本的平均数为：

English: A sample of five values drawn by lot are 2, 4, 5, 7, and 9. The mean of this sample is:

Русский: Выборка из пяти значений, полученных по жребию: 2, 4, 5, 7 и 9. Среднее значение этой выборки равно:

A. \(4.5\)
B. \(4.8\)
C. \(5.4\)
D. \(6\)

Ответ: C

Решение: Среднее арифметическое выборки равно сумме всех значений, делённой на их количество.
Сумма значений: \(2 + 4 + 5 + 7 + 9 = 27\).
Количество значений в выборке равно \(5\).
Среднее значение: \(\dfrac{27}{5} = 5.4\).
Ответ: C.

### 19. Задача 301 (Статистика)

中文: 已知样本数据 \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) 的方差为 4，若 \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\)，则 \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) 的方差为：

English: Given sample data \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) with variance 4, if \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\), then the variance of \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) is:

Русский: Даны выборочные данные \(x_1,x_2,\ldots,x_{2020}\) с дисперсией 4. Если \(y_i=2x_i+4\) \((i=1,2,\ldots,2020)\), то дисперсия данных \(y_1,y_2,\ldots,y_{2020}\) равна:

A. \(13\)
B. \(14\)
C. \(15\)
D. \(16\)

Ответ: D

Решение: Дисперсия обладает свойством: при линейном преобразовании \(y_i = ax_i + b\) дисперсия умножается на квадрат коэффициента \(a\).
Слагаемое \(b\) (сдвиг) не влияет на разброс данных и не меняет дисперсию.
В данном случае \(a = 2\), \(b = 4\), исходная дисперсия равна \(4\).
Новая дисперсия равна \(2^2 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\).
Ответ: D.

### 20. Задача 302 (Множества)

中文: 已知集合 \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\)，则集合 \(A\cup B\) 为：

English: Given the sets \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) and \(B=\{x\mid x>0\}\), the set \(A\cup B\) is:

Русский: Даны множества \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\). Тогда множество \(A\cup B\) равно:

A. \([-1,\ 2]\)
B. \([0,\ 2]\)
C. \([-1,\ +\infty)\)
D. \((0,\ +\infty)\)

Ответ: C

Решение: Решаем неравенство \(x^2-x-2\le 0\): корни \(x=-1\) и \(x=2\), значит \(A=[-1,\ 2]\).
Множество \(B=(0,\ +\infty)\).
Объединение \(A\cup B=[-1,\ +\infty)\): все числа от \(-1\) включительно и дальше покрываются либо \(A\), либо \(B\).
Ответ: C.

### 21. Задача 303 (Необходимое и достаточное условие)

中文: 已知 \(x\ge 0\)，则“\(x=0\)”是“\(x^2+x=0\)”的：

English: Given that \(x\ge 0\), then "\(x=0\)" is a _____ of "\(x^2+x=0\)".

Русский: Пусть \(x\ge 0\). Тогда условие «\(x=0\)» является для условия «\(x^2+x=0\)»:

A. Necessary and sufficient condition / 充分必要条件 / необходимым и достаточным условием
B. Sufficient but not necessary condition / 充分不必要条件 / достаточным, но не необходимым условием
C. Necessary but not sufficient condition / 必要不充分条件 / необходимым, но не достаточным условием
D. Neither sufficient nor necessary condition / 既不充分也不必要条件 / ни необходимым, ни достаточным условием

Ответ: A

Решение: При \(x\ge 0\) уравнение \(x^2+x=0\), то есть \(x(x+1)=0\), имеет единственный корень \(x=0\): корень \(-1\) не подходит.
Значит, при \(x\ge 0\) утверждения «\(x=0\)» и «\(x^2+x=0\)» равносильны.
Условие необходимое и достаточное.
Ответ: A.

### 22. Задача 304 (Производная)

中文: 若函数 \(f(x)=\ln x-ax^2+(2a-1)x\) 的导数为 \(f'(x)\)，且 \(f'(x)>0\) 的解集为 \((0,\ 2)\)，则 \(a\) 的值为：

English: If the derivative of the function \(f(x)=\ln x-ax^2+(2a-1)x\) is \(f'(x)\), and the solution set of \(f'(x)>0\) is \((0,\ 2)\), then the value of \(a\) is:

Русский: Пусть \(f'(x)\) — производная функции \(f(x)=\ln x-ax^2+(2a-1)x\), и множеством решений неравенства \(f'(x)>0\) является \((0,\ 2)\). Тогда значение \(a\) равно:

Ошибка в источнике: ни при каком \(a\) множество решений не равно \((0,2)\). В ключе источника D.

A. \(a=\dfrac{1}{4}\)
B. \(a=\dfrac{1}{2}\)
C. \(a=1\)
D. \(a=\dfrac{1}{2}\)

Ответ: D

Решение: \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-2ax+2a-1=\dfrac{-(2ax+1)(x-1)}{x}\), где \(x>0\).
Числитель обращается в ноль при \(x=1\) при любом \(a\), поэтому множество решений \(f'(x)>0\) не может быть ровно \((0,2)\).
Условие испорчено; в ключе источника вариант D, \(a=\dfrac{1}{2}\): тогда \(f'(x)>0\) на \((0,1)\).
Ответ: D.

### 23. Задача 305 (Степенные и квадратичные функции)

中文: 下列结论中正确的是：① 当 \(n\) 为奇数时，\(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\)；② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\)；③ 函数 \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) 的定义域为 \(\{3\}\)；④ \((\sqrt{a})^2=a\)。

English: Which of the following conclusions are correct? ① When \(n\) is odd, \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\); ② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\); ③ the domain of the function \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) is \(\{3\}\); ④ \((\sqrt{a})^2=a\).

Русский: Какие из следующих утверждений верны? ① Если \(n\) нечётное, то \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\); ② \(\sqrt{(-2)^2}=-2\); ③ область определения функции \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\) есть \(\{3\}\); ④ \((\sqrt{a})^2=a\).

Ошибка в источнике: в ключе источника B (одно верное утверждение). Спорно только ④: оно верно везде, где определено, то есть при \(a\ge 0\).

A. 0 correct / 0 个正确 / верных: 0
B. 1 correct / 1 个正确 / верных: 1
C. 2 correct / 2 个正确 / верных: 2
D. 3 correct / 3 个正确 / верных: 3

Ответ: D

Решение: ① Верно: корень нечётной степени определён для любых чисел и \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\).
② Неверно: \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\).
③ Верно: нужно \(x-3\ge 0\) и \(3-x\ge 0\), откуда \(x=3\).
④ Верно: \(\sqrt{a}\) определён только при \(a\ge 0\), и тогда \((\sqrt{a})^2=a\).
Верных утверждений три.
Ответ: D.

### 24. Задача 306 (Производная)

中文: 函数 \(f(x)\) 的图象如图所示，则不等式 \(f'(x)>0\) 的解集为：

English: The graph of the function \(f(x)\) is shown in the figure. The solution set of \(f'(x)>0\) is:

Русский: На рисунке изображён график функции \(f(x)\). Множество решений неравенства \(f'(x)>0\) равно:

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-24.png — График функции f(x): убывает до точки x = −3, где касается оси x, возрастает до локального максимума при x = −2, убывает, проходит через ось y и достигает минимума при x = 1, затем возрастает и пересекает ось x при x = 3.

Ошибка в источнике: рисунок не подходит к вариантам ответа. В ключе источника A.

A. \((-2,\ 0)\cup(2,\ +\infty)\)
B. \((-\infty,\ -2)\cup(0,\ 2)\)
C. \((-2,\ 2)\)
D. \((-\infty,\ 0)\)

Ответ: A

Решение: \(f'(x)>0\) там, где функция возрастает.
По рисунку функция возрастает на \((-3,-2)\) и правее точки минимума \(x=1\), то есть на \((-3,-2)\cup(1,+\infty)\).
Такого варианта нет: рисунок в источнике не подходит к вариантам ответа; в ключе источника A.
Ответ: A.

### 25. Задача 307 (Производная)

中文: 已知函数 \(f(x) = \dfrac{x \cdot g(x)}{x+1}\) 且 \(f'(1) = 1\)，则实数 \(g'(1)\) 等于：

English: Given the function \(f(x) = \dfrac{x \cdot g(x)}{x+1}\) and \(f'(1) = 1\), the real number \(g'(1)\) equals:

Русский: Дана функция \(f(x) = \dfrac{x \cdot g(x)}{x+1}\) и \(f'(1) = 1\). Тогда действительное число \(g'(1)\) равно:

Ошибка в источнике: в условии не хватает значения \(g(1)\). В ключе источника A.

A. \(2024\)
B. \(2023\)
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: \(f'(x)=\dfrac{(g(x)+xg'(x))(x+1)-xg(x)}{(x+1)^2}\).
При \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{2g(1)+2g'(1)-g(1)}{4}=\dfrac{g(1)+2g'(1)}{4}=1\), то есть \(g(1)+2g'(1)=4\).
Без значения \(g(1)\) найти \(g'(1)\) нельзя: в условии не хватает данных; в ключе источника A.
Ответ: A.

### 26. Задача 308 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于函数 \(y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\) 和 \(y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)\) 的单调性，下列说法正确的是：

English: Regarding the monotonicity of the functions \(y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\) and \(y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)\), the correct statement is:

Русский: Относительно монотонности функций \(y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\) и \(y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)\) верным утверждением является:

Ошибка в источнике: промежутки вариантов B и C подходят к функции \(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\), а не к \(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\). В ключе источника C.

A. Monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) and monotonically decreasing on \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) / 在 \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) 上单调递减 / Монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) и монотонно убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\)
B. Monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) and monotonically decreasing on \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) / 在 \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) 上单调递减 / Монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) и монотонно убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\)
C. \(y = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) is monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) and \(\left[\dfrac{7\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right]\), monotonically decreasing on \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) / \(y = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) 在 \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) 和 \(\left[\dfrac{7\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\) 上单调递减 / \(y = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}\right]\) и \(\left[\dfrac{7\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right]\), монотонно убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{7\pi}{12}\right]\)
D. Monotonically increasing on \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\), monotonically decreasing on \(\left[-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}\right]\) and \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) / 在 \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) 上单调递增，在 \(\left[-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}\right]\) 和 \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\) 上单调递减 / Монотонно возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\), монотонно убывает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}\right]\) и \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\)

Ответ: C

Решение: \(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) возрастает, когда \(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le 2x+\dfrac{\pi}{6}\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\), то есть на \(\left[-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right]\).
\(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}+\pi k,\dfrac{\pi}{12}+\pi k\right]\) и убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}+\pi k,\dfrac{7\pi}{12}+\pi k\right]\).
Промежутки из вариантов B и C подходят ко второй функции, а в варианте C они приписаны первой: условие искажено; в ключе источника C.
Ответ: C.

### 27. Задача 309 (Геометрическая прогрессия)

中文: 8个工程队共同承建10万个基站。从第2队起，每个队建站数均比前一个队少10%。已知各队建站数构成等比数列，则第1队大约建了多少个基站（单位：万个）：

English: Eight engineering teams are collectively constructing 100,000 base stations. From the second team onwards, each subsequent team builds 10% fewer stations than its predecessor. Given that the number of stations built by each team forms a geometric sequence, the approximate number of stations constructed by the first team (in ten-thousand units) is:

Русский: Восемь строительных бригад совместно возводят 100 тысяч базовых станций. Начиная со второй бригады, каждая последующая строит на 10% меньше станций, чем предыдущая. Известно, что количество станций, построенных каждой бригадой, образует геометрическую прогрессию. Приблизительное количество станций, построенных первой бригадой (в десятках тысяч), равно:

Ошибка в источнике: верный ответ около \(1.76\), его нет среди вариантов. В ключе источника B.

A. \(\dfrac{10}{1-0.9^8} \approx 1.88\)
B. \(\dfrac{10(1-0.9^8)}{1-0.9} \approx 1.88\)
C. \(\approx 2.00\)
D. \(\approx 1.50\)

Ответ: B

Решение: Пусть первый отряд построил \(a_1\) (в десятках тысяч), тогда \(S_8=a_1\cdot\dfrac{1-0.9^8}{1-0.9}=10\).
\(0.9^8\approx 0.43\), поэтому \(a_1=\dfrac{10\cdot 0.1}{1-0.9^8}\approx\dfrac{1}{0.57}\approx 1.76\).
Такого значения в вариантах нет, а формулы в вариантах A и B записаны с ошибкой; в ключе источника B.
Ответ: B.

### 28. Задача 310 (Прямая)

中文: 过点 \((1, -2)\) 且与直线 \(x - 2y + 3 = 0\) 垂直的直线方程为：

English: The equation of the line passing through the point \((1, -2)\) and perpendicular to the line \(x - 2y + 3 = 0\) is:

Русский: Уравнение прямой, проходящей через точку \((1, -2)\) и перпендикулярной прямой \(x - 2y + 3 = 0\), имеет вид:

A. \(x - 2y - 5 = 0\)
B. \(2x + y - 4 = 0\)
C. \(x - 2y + 5 = 0\)
D. \(2x + y = 0\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой \(x - 2y + 3 = 0\) равен \(\dfrac{1}{2}\).
Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент \(-2\).
Уравнение прямой через точку \((1, -2)\): \(y + 2 = -2(x - 1)\).
Раскрываем скобки: \(y + 2 = -2x + 2\), откуда \(2x + y = 0\).
Вариант B не подходит, так как при подстановке точки \((1,-2)\) получаем \(2 - 2 - 4 \neq 0\).
Ответ: D.

### 29. Задача 311 (Стереометрия)

中文: 在三棱柱 \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) 中，\(G\) 和 \(H\) 分别是 \(AB\) 和 \(AC\) 的中点。则 \(GH\) 与 \(A_1B_1\) 的位置关系是：

English: In the triangular prism \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\), \(G\) and \(H\) are the midpoints of \(AB\) and \(AC\) respectively. Then the positional relationship between \(GH\) and \(A_1B_1\) is:

Русский: В треугольной призме \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) точки \(G\) и \(H\) являются серединами \(AB\) и \(AC\) соответственно. Тогда взаимное расположение \(GH\) и \(A_1B_1\):

Ошибка в источнике: отмечен ответ C (параллельны), верный B (скрещиваются).

A. Intersecting / 相交 / Пересекаются
B. Skew / 异面 / Скрещиваются
C. Parallel / 平行 / Параллельны
D. Perpendicular / 垂直 / Перпендикулярны

Ответ: B

Решение: Точки \(G\) и \(H\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), поэтому \(GH \parallel BC\).
В призме \(BC \parallel B_1C_1\), значит \(GH \parallel B_1C_1\).
Прямая \(GH\) лежит в плоскости нижнего основания, а \(A_1B_1\) — в плоскости верхнего.
Прямая \(A_1B_1\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(B_1\), которая не лежит на \(GH\).
Две прямые лежат в параллельных плоскостях и не параллельны друг другу, следовательно, они скрещиваются.
Ответ: B.

### 30. Задача 312 (Стереометрия)

中文: 已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形。若该三棱柱的体积为8，则其左视图的面积为：

English: Given that the lateral edges of a triangular prism are perpendicular to its base, and the base is an equilateral triangle with side length 2. If the volume of the prism is 8, then the area of its left view is:

Русский: Известно, что боковые рёбра треугольной призмы перпендикулярны её основанию, а основание представляет собой равносторонний треугольник со стороной 2. Если объём призмы равен 8, то площадь её вида слева равна:

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-30.png — Главный вид призмы: прямоугольник шириной 2 (подписаны отрезки 1 и 1 внизу) с пунктирной линией посередине.

Ошибка в источнике: отмечен ответ C, верный A.

A. \(8\)
B. \(4\)
C. \(4\sqrt{3}\)
D. \(2\sqrt{3}\)

Ответ: A

Решение: Площадь основания равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3} \).
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \( \sqrt{3} h = 8 \), откуда \( h = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \).
Вид слева представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы \( h \), а другая — высоте треугольного основания.
Высота равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \sqrt{3} \).
Площадь вида слева: \( S = h \cdot \sqrt{3} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8 \).
Ответ: A.

### 31. Задача 313 (Комплексные числа)

中文: 在复平面内，复数 \(z = \dfrac{2+i}{1-2i}\) 对应的点位于：

English: In the complex plane, the point corresponding to the complex number \(z = \dfrac{2+i}{1-2i}\) is located in:

Русский: На комплексной плоскости точка, соответствующая комплексному числу \(z = \dfrac{2+i}{1-2i}\), расположена:

Ошибка в источнике: при знаменателе \(1-2i\) точка лежит на мнимой оси; ответ ключа D получается при знаменателе \(1+2i\).

A. First quadrant / 第一象限 / Первая четверть
B. Second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть
C. Third quadrant / 第三象限 / Третья четверть
D. Fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть

Ответ: D

Решение: \(z=\dfrac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{2+4i+i+2i^2}{5}=\dfrac{5i}{5}=i\).
Точка \((0,1)\) лежит на мнимой оси и не попадает ни в одну четверть.
В ключе источника D: так получается, если в знаменателе \(1+2i\): \(z=\dfrac{(2+i)(1-2i)}{5}=\dfrac{4-3i}{5}\), четвёртая четверть.
Ответ: D.

### 32. Задача 314 (Классическая вероятность)

中文: 某百货公司开展促销活动：商品每件进价 3 元，售价 8 元。每天从售出的第 20 件起，售价减半。该店记录了过去 10 天的销售数据（见条形图）。若从日利润不低于 96 元的天数中任选两天，则这两天的日利润都恰好为 97 元的概率是：

English: A department store runs a promotion: the purchase price per unit is 3 yuan and the selling price is 8 yuan. Starting from the 20th unit sold each day, the selling price is halved. The store recorded sales data for the past 10 days (see the bar chart). If two days are chosen at random from the days on which the daily profit is no less than 96 yuan, what is the probability that the daily profit on both chosen days is exactly 97 yuan?

Русский: Универмаг проводит акцию: закупочная цена товара составляет 3 юаня за штуку, а цена продажи — 8 юаней. Начиная с 20-й проданной за день единицы товара, цена продажи снижается вдвое. Магазин записал данные о продажах за последние 10 дней (см. столбчатую диаграмму). Если из дней, в которые дневная прибыль составила не менее 96 юаней, случайным образом выбрать два дня, то какова вероятность того, что дневная прибыль в оба выбранных дня составила ровно 97 юаней?

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-32.png — Столбчатая диаграмма за 10 дней: продажи 18 штук — 1 день, 19 штук — 4 дня, 20 штук — 3 дня, 21 штука — 2 дня.

A. \(\dfrac{3}{10}\)
B. \(\dfrac{1}{10}\)
C. \(\dfrac{2}{5}\)
D. \(\dfrac{1}{5}\)

Ответ: B

Решение: Прибыль за единицу до 19-й включительно равна \(8 - 3 = 5\) юаней, с 20-й единицы цена продажи \(4\), прибыль \(4 - 3 = 1\) юань.
Для 18 единиц: \(18 \cdot 5 = 90 < 96\), не подходит (1 день).
Для 19 единиц: \(19 \cdot 5 = 95 < 96\), не подходит (4 дня).
Для 20 единиц: \(19 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 96\) (3 дня), для 21 единицы: \(19 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 97\) (2 дня).
Дней с прибылью не менее 96 всего \(3 + 2 = 5\), из них ровно 97 дают 2 дня.
Вероятность выбрать оба таких дня: \(\dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}\).
Ответ: B.

### 33. Задача 315 (Нормальное распределение)

中文: 在正态分布 \(N(100, 100)\) 下，大约有 99.74% 的分数落在 \((\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma)\) 范围内。某人的得分为 130 分，该分数落在哪个区间内：

English: Under the normal distribution \(N(100, 100)\), approximately 99.74% of scores fall within \((\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma)\). A person's score is 130. In which interval does this score fall:

Русский: При нормальном распределении \(N(100, 100)\) примерно 99.74% результатов попадают в интервал \((\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma)\). Некий человек получил 130 баллов. В какой интервал попадает этот результат:

Ошибка в источнике: отмечен ответ C, но число \(130\) не входит в интервал \((100,130)\).

A. \((70,\ 100)\)
B. \([100,\ 130]\)
C. \((100,\ 130)\)
D. \((130,\ 160)\)

Ответ: B

Решение: Параметры нормального распределения: \(\mu = 100\), \(\sigma^2 = 100\), откуда \(\sigma = 10\).
Интервал \((\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)\) равен \((70, 130)\).
Балл 130 совпадает с правой границей этого интервала.
Среди предложенных вариантов только отрезок \([100, 130]\) содержит значение 130 и лежит внутри области значений.
Варианты A и C не содержат точку 130, вариант D начинается строго после 130.
Ответ: B.

### 34. Задача 316 (Статистика)

中文: 一家鞋店试销一款新款女鞋，按鞋码统计的销售数据记录在表格中。如果你是这家鞋店的经理，以下哪项统计量对你最重要？

English: A shoe shop trial-sold a new style of women's shoes, and the sales data by shoe size were recorded in a table. If you were the manager of the shoe shop, which of the following statistics would be most important to you?

Русский: Обувной магазин провёл пробную продажу новой модели женской обуви, данные о продажах по размерам обуви записаны в таблице. Если бы вы были управляющим этого магазина, какая из следующих статистических характеристик была бы для вас наиболее важной?

Рисунок: https://csca-mu.vercel.app/fig/crossline-34.png — Таблица продаж. Размер обуви: 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41. Продано пар в день: 2, 5, 9, 16, 9, 5, 3, 2.

A. Mean / 平均数 / Среднее арифметическое
B. Mode / 众数 / Мода
C. Median / 中位数 / Медиана
D. Range / 极差 / Размах

Ответ: B

Решение: По таблице наибольшее число продаж (16 пар) приходится на размер 37.
Для управления запасами магазина важнее всего знать самый популярный размер обуви.
Наиболее часто встречающееся значение в наборе данных называется модой.
Среднее, медиана и размах не указывают напрямую на самый ходовой товар.
Ответ: B.

### 35. Задача 317 (Множества)

中文: 已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\)，\(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\)，则 \(A \cap B =\)：

English: Given the sets \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) and \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\), then \(A \cap B =\):

Русский: Даны множества \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) и \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\). Тогда \(A \cap B =\):

A. \([1,\ 2]\)
B. \([0,\ 2]\)
C. \([1,\ 3]\)
D. \([0,\ 3]\)

Ответ: A

Решение: Решаем неравенство для множества \(A\): \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\), корни 1 и 2, значит \(A = [1, 2]\).
Решаем неравенство для множества \(B\): \(2^{1-x} + 1 \leq 3\), откуда \(2^{1-x} \leq 2\).
Так как основание степени больше 1, получаем \(1 - x \leq 1\), то есть \(x \geq 0\), значит \(B = [0, +\infty)\).
Пересечение множеств: \(A \cap B = [1, 2] \cap [0, +\infty) = [1, 2]\).
Ответ: A.

### 36. Задача 318 (Степенные и квадратичные функции)

中文: 设 \(a\) 为实数。若方程 \(x^2 - 2ax + a + 2 = 0\) 在区间 \((0, 3)\) 内有两个不相等的实数根，则 \(a\) 的取值范围是：

English: Let \(a\) be a real number. If the equation \(x^2 - 2ax + a + 2 = 0\) has two distinct real roots in the interval \((0, 3)\), then the range of values of \(a\) is:

Русский: Пусть \(a\) — действительное число. Если уравнение \(x^2 - 2ax + a + 2 = 0\) имеет два различных действительных корня на интервале \((0, 3)\), то множество значений \(a\) равно:

Ошибка в источнике: верный ответ \(2<a<\dfrac{11}{5}\), его нет среди вариантов. В ключе источника C.

A. \(1 < a < 3\)
B. \(a > 1\)
C. \(1 < a < \frac{11}{4}\)
D. \(\frac{11}{4} < a < 3\)

Ответ: C

Решение: Пусть \(f(x)=x^2-2ax+a+2\). Для двух различных корней на \((0,3)\) нужно: \(D>0\), \(0<a<3\), \(f(0)>0\), \(f(3)>0\).
\(D=4a^2-4(a+2)>0\), откуда \(a<-1\) или \(a>2\); \(f(0)=a+2>0\); \(f(3)=11-5a>0\), откуда \(a<\dfrac{11}{5}\).
Пересечение: \(2<a<\dfrac{11}{5}\). Такого варианта нет; в ключе источника C.
Ответ: C.

### 37. Задача 319 (Монотонность и чётность)

中文: 已知函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x) + 2f(3-x) = x^2\)，则 \(f(x)\) 的解析式为：

English: Given that the function \(f(x)\) satisfies \(f(x) + 2f(3-x) = x^2\), the analytical expression for \(f(x)\) is:

Русский: Функция \(f(x)\) удовлетворяет условию \(f(x) + 2f(3-x) = x^2\). Найдите аналитическое выражение для \(f(x)\):

Ошибка в источнике: верный ответ \(f(x)=\dfrac{1}{3}(x^2-12x+18)\), его нет среди вариантов. В ключе источника B.

A. \(f(x) = x^2 - 12x + 18\)
B. \(f(x) = \dfrac{1}{3}(x^2 - 4x + 6)\)
C. \(f(x) = 6x + 9\)
D. \(f(x) = 2x + 3\)

Ответ: B

Решение: Подставим \(3-x\) вместо \(x\): \(f(3-x)+2f(x)=(3-x)^2\).
Умножим это равенство на 2 и вычтем исходное: \(3f(x)=2(3-x)^2-x^2=x^2-12x+18\).
\(f(x)=\dfrac{1}{3}(x^2-12x+18)\). Такого варианта нет; в ключе источника B.
Ответ: B.

### 38. Задача 320 (Производная)

中文: 已知曲线 \(y = x^3\) 在点 \(P\) 处的切线斜率 \(k\) 为 3，则点 \(P\) 的坐标为：

English: Given that the slope \(k\) of the tangent line to the curve \(y = x^3\) at point \(P\) is 3, the coordinates of point \(P\) are:

Русский: Угловой коэффициент \(k\) касательной к кривой \(y = x^3\) в точке \(P\) равен 3. Найдите координаты точки \(P\):

A. \((1,\ 1)\)
B. \((-1,\ 1)\)
C. \((1,\ 1)\) or \((-1,\ -1)\) / \((1,\ 1)\) 或 \((-1,\ -1)\) / \((1,\ 1)\) или \((-1,\ -1)\)
D. \((2,\ 8)\) or \((-2,\ -8)\) / \((2,\ 8)\) 或 \((-2,\ -8)\) / \((2,\ 8)\) или \((-2,\ -8)\)

Ответ: C

Решение: Производная \( y = x^3 \) равна \( y' = 3x^2 \).
По условию \( 3x^2 = 3 \), откуда \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1 \), точка \( (1, 1) \).
При \( x = -1 \): \( y = -1 \), точка \( (-1, -1) \).
Ответ: C.

### 39. Задача 321 (Производная)

中文: 设 \(f(x) = \ln(2x+1)\)，则 \(f'(x) =\)：

English: Let \(f(x) = \ln(2x+1)\). Then \(f'(x) =\):

Русский: Пусть \(f(x) = \ln(2x+1)\). Тогда \(f'(x) =\):

A. \(\dfrac{1}{2x+1}\)
B. \(\dfrac{2}{2x+1}\)
C. \(-\dfrac{1}{2x+1}\)
D. \(-\dfrac{2}{2x+1}\)

Ответ: B

Решение: По правилу дифференцирования сложной функции \( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \).
Здесь \( u = 2x+1 \), \( u' = 2 \).
Тогда \( f'(x) = \dfrac{2}{2x+1} \).
Ответ: B.

### 40. Задача 322 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 将 \(\dfrac{5\pi}{12}\) 弧度化为角度：

English: Express \(\dfrac{5\pi}{12}\) radians in terms of degrees:

Русский: Выразите \(\dfrac{5\pi}{12}\) радиан в градусах:

A. \(60^\circ\)
B. \(75^\circ\)
C. \(80^\circ\)
D. \(90^\circ\)

Ответ: B

Решение: Перевод радиан в градусы: умножаем на \( \dfrac{180^\circ}{\pi} \).
\( \dfrac{5\pi}{12} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 75^\circ \).
Ответ: B.

### 41. Задача 323 (Геометрическая прогрессия)

中文: 已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\)，其前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，关于数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 极限的说法正确的是：

English: Given the sequence \(\{a_n\}\) with general term \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\) and sum of first \(n\) terms \(S_n\), which of the following statements about the limits of \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) is correct?

Русский: Дана последовательность \(\{a_n\}\) с общим членом \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\), сумма первых \(n\) членов которой равна \(S_n\). Какое из следующих утверждений о пределах \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) верно?

Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный C: пределы равны \(0\) и \(1\).

A. The limit of \(\{a_n\}\) does not exist, while the limit of \(\{S_n\}\) exists / \(\{a_n\}\) 的极限不存在，而 \(\{S_n\}\) 的极限存在 / Предел последовательности \(\{a_n\}\) не существует, а предел последовательности \(\{S_n\}\) существует
B. The sequence \(\{a_n\}\) has a limit, but \(\{S_n\}\) does not / 数列 \(\{a_n\}\) 有极限，但 \(\{S_n\}\) 没有极限 / Последовательность \(\{a_n\}\) имеет предел, а \(\{S_n\}\) не имеет предела
C. Both \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) have limits, but the limit values are unequal / \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 都有极限，但两者的极限值不相等 / Обе последовательности \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) имеют пределы, но их значения не равны
D. Both \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) have limits, and these limits are equal / \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 都有极限，且两者的极限值相等 / Обе последовательности \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) имеют пределы, и эти пределы равны

Ответ: C

Решение: \( a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 0.
\( S_n \) — сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \).
\( S_n \to 1 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 1.
Оба предела существуют, но не равны: \( 0 \neq 1 \).
Ответ: C.

### 42. Задача 324 (Гипербола)

中文: 与双曲线 \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) 具有相同的离心率和渐近线的双曲线方程是：

English: The equation of the hyperbola with the same eccentricity and asymptotes as the hyperbola \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) is:

Русский: Уравнение гиперболы, имеющей тот же эксцентриситет и те же асимптоты, что и гипербола \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\), имеет вид:

Ошибка в источнике: вариант C — это сама данная гипербола, формально тоже подходит. В ключе источника C.

A. \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1\)
B. \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = -1\)
C. \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)
D. \(\dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{81} = 1\)

Ответ: D

Решение: У гиперболы \( \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1 \): \( a^2 = 4 \), \( b^2 = 9 \), \( c^2 = 13 \), \( e = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{3}{2}x \).
Вариант D: \( \dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{81} = 1 \), \( a^2 = 36 \), \( b^2 = 81 \), \( c^2 = 117 \), \( e = \dfrac{\sqrt{117}}{6} = \dfrac{3\sqrt{13}}{6} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{9}{6}x = \pm \dfrac{3}{2}x \) — совпадают.
Вариант A: другие асимптоты \( y = \pm \dfrac{2}{3}x \); B: сопряжённая гипербола с другой эксцентриситетом; C: та же самая гипербола.
Ответ: D.

### 43. Задача 325 (Стереометрия)

中文: 如果某圆锥的侧面展开图是半径为 \(5\)，弧长为 \(8\pi\) 的扇形，那么由两条母线所界定的最大截面面积是：

English: If the lateral surface development of a cone is a sector with radius \(5\) and arc length \(8\pi\), then the maximum cross-sectional area defined by two generatrices is:

Русский: Если развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор с радиусом \(5\) и длиной дуги \(8\pi\), то максимальная площадь сечения, образованного двумя образующими, равна:

A. \(25\)
B. \(4\)
C. \(\dfrac{25}{2}\)
D. \(\dfrac{25\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: C

Решение: Образующая конуса \(l=5\), длина дуги развёртки \(8\pi\) — это длина окружности основания, значит \(2\pi r=8\pi\), \(r=4\).
Высота конуса \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{25-16}=3\).
Осевое сечение — треугольник со сторонами \(5,5,8\), его угол при вершине тупой, поэтому максимум площади \(\tfrac12 l^2\sin\varphi\) достигается при \(\varphi=90^\circ\).
\(S_{\max}=\dfrac12\cdot 5\cdot 5=\dfrac{25}{2}\).
Ответ: C.

### 44. Задача 326 (Стереометрия)

中文: 棱长为 \(\sqrt{2}\) 的正四面体内切球的体积是：

English: The volume of the sphere inscribed in a regular tetrahedron with edge length \(\sqrt{2}\) is:

Русский: Объём шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром \(\sqrt{2}\), равен:

Ошибка в источнике: верный объём \(\dfrac{\sqrt{3}\pi}{54}\), его нет среди вариантов. В ключе источника D.

A. \(\dfrac{\pi}{6}\)
B. \(\dfrac{\pi}{3}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}\)
D. \(\dfrac{\pi}{12}\)

Ответ: D

Решение: Радиус вписанного шара правильного тетраэдра \(r=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}\); при \(a=\sqrt{2}\) получаем \(r=\dfrac{\sqrt{12}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\).
\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{216}=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{54}\).
Такого варианта нет; в ключе источника D.
Ответ: D.

### 45. Задача 327 (Окружность)

中文: 关于奇数哥德巴赫猜想：任何大于 \(5\) 的奇数都可以表示为三个素数之和。如果从 \(1\) 到 \(10\) 中任选两个不同的素数构成点 \(A(a,b)\) 和 \(B(c,d)\)，其中 \(a+b=10\)，\(c+d=10\)，且所有这些点都在圆 \(C\) 上，则圆 \(C\) 的标准方程是：

English: Regarding the odd-numbered Goldbach conjecture: any odd number greater than \(5\) is the sum of three prime numbers. If distinct prime numbers are selected from \(1\) to \(10\) to form points \(A(a,b)\) and \(B(c,d)\), where \(a+b=10\), \(c+d=10\), and all points lie on the circle \(C\), then the standard equation of circle \(C\) is:

Русский: Относительно гипотезы Гольдбаха для нечётных чисел: любое нечётное число, большее \(5\), является суммой трёх простых чисел. Если из чисел от \(1\) до \(10\) выбрать различные простые числа для образования точек \(A(a,b)\) и \(B(c,d)\), где \(a+b=10\), \(c+d=10\), и все эти точки лежат на окружности \(C\), то каноническое уравнение окружности \(C\) имеет вид:

A. \((x-5)^2+(y-5)^2=2\)
B. \((x-5)^2+(y-5)^2=4\)
C. \(x^2+y^2=50\)
D. \((x-5)^2+(y-5)^2=8\)

Ответ: D

Решение: Простые числа от 1 до 10: \(2,3,5,7\); различные простые с суммой 10 — это \(3\) и \(7\), поэтому точки \(A(3,7)\) и \(B(7,3)\).
Проверяем варианты: для центра \((5,5)\) получаем \((3-5)^2+(7-5)^2=8\), для варианта C \(3^2+7^2=58\ne 50\).
Обе точки лежат только на окружности \((x-5)^2+(y-5)^2=8\).
Ответ: D.

### 46. Задача 328 (Комплексные числа)

中文: 设复数 \(z_1\) 和 \(z_2\) 对应的向量分别为 \(\vec{OA}\) 和 \(\vec{OB}\)，且 \(z_1 = 1 + i\)。若将 \(\vec{OA}\) 绕原点顺时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，将 \(\vec{OB}\) 绕原点逆时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，使得这两个向量的终点重合，则 \(z_2 =\)：

English: Let the vectors corresponding to the complex numbers \(z_1\) and \(z_2\) be \(\vec{OA}\) and \(\vec{OB}\) respectively, with \(z_1 = 1 + i\). If \(\vec{OA}\) is rotated clockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) and \(\vec{OB}\) is rotated counterclockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) so that the endpoints of the two vectors coincide, then \(z_2 =\):

Русский: Пусть комплексным числам \(z_1\) и \(z_2\) соответствуют векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\), причём \(z_1 = 1 + i\). Если вектор \(\vec{OA}\) повернуть вокруг начала координат по часовой стрелке на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), а вектор \(\vec{OB}\) — против часовой стрелки на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), так что концы этих векторов совпадут, то \(z_2 =\):

Ошибка в источнике: отмечен ответ B, верный A.

A. \(1 - i\)
B. \(\sqrt{2}\,i\)
C. \(-\sqrt{2}\,i\)
D. \(\sqrt{2}\)

Ответ: A

Решение: Поворот по часовой стрелке на \( \dfrac{\pi}{4} \) — умножение на \( e^{-i\pi/4} \), против часовой — на \( e^{i\pi/4} \).
Совпадение концов: \( z_1 e^{-i\pi/4}=z_2 e^{i\pi/4} \), откуда \( z_2=z_1 e^{-i\pi/2}=-i z_1 \).
Вычисляем: \( z_2=-i(1+i)=1-i \).
Ответ: A.

### 47. Задача 329 (Классическая вероятность)

中文: 从 \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\) 中任选三个不同的数字组成一个三位数，则该数能被 \(3\) 整除的概率为：

English: Selecting any three distinct digits from \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) to form a three-digit number, the probability that this number is divisible by \(3\) is:

Русский: Если выбрать любые три различные цифры из \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) и составить из них трёхзначное число, то вероятность того, что это число делится на \(3\), равна:

Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.

A. \(\dfrac{1}{5}\)
B. \(\dfrac{2}{5}\)
C. \(\dfrac{3}{5}\)
D. \(\dfrac{2}{5}\)

Ответ: D

Решение: Всего трёхзначных чисел из различных цифр: \(5\cdot4\cdot3=60\).
Число делится на \(3\), если сумма цифр делится на \(3\); подходят наборы \(\{1,2,3\},\{1,3,5\},\{2,3,4\},\{3,4,5\}\) — всего \(4\) набора.
Каждый набор даёт \(3!=6\) чисел, благоприятных \(4\cdot6=24\).
Вероятность \(P=\dfrac{24}{60}=\dfrac25\).
Ответ: D.

### 48. Задача 330 (Нормальное распределение)

中文: 为了检验罐装咖啡，检验员每天随机抽取 \(n\) 罐。在正常情况下，每罐的质量服从 \(N(\mu,\sigma^2)\)。设 \(X\) 表示抽取的 \(n\) 罐中质量落在 \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\) 之外的罐数。若数学期望 \(E(X)\geq 1\)，则 \(n\) 的最小值为：<br><br><em>附：若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)=0.9974\)。</em>

English: To inspect canned coffee, inspectors randomly sample \(n\) cans daily. Under normal conditions, the mass of each can follows \(N(\mu,\sigma^2)\). Let \(X\) denote the number of cans among the \(n\) sampled whose mass falls outside \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\). If the mathematical expectation \(E(X)\geq 1\), then the minimum value of \(n\) is:<br><br><em>Appendix: If \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), then \(P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)=0.9974\).</em>

Русский: Для проверки консервированного кофе инспекторы ежедневно случайным образом отбирают \(n\) банок. В нормальных условиях масса каждой банки подчиняется распределению \(N(\mu,\sigma^2)\). Пусть \(X\) — количество банок среди \(n\) отобранных, масса которых выходит за пределы интервала \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\). Если математическое ожидание \(E(X)\geq 1\), то минимальное значение \(n\) равно:<br><br><em>Приложение: если \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), то \(P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)=0.9974\).</em>

Ошибка в источнике: по данным условия минимум \(n=385\), такого варианта нет. В ключе источника B.

A. \(10\)
B. \(11\)
C. \(12\)
D. \(13\)

Ответ: B

Решение: Вероятность выйти за \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\) равна \(1-0.9974=0.0026\).
\(X\) распределена по биномиальному закону, \(E(X)=0.0026n\ge 1\), откуда \(n\ge 385\).
Такого варианта нет; в ключе источника B.
Ответ: B.