# CSCA Math: Декабрь 2025 (December 2025) Источник: CSCA Math Exam, https://cscamathexam.com/exam-dec-2025-p1.html ### 1. Задача 1 (Множества) 中文: 若集合 \(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则以下哪个是正确的？ English: If the sets \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), which of the following is true? Русский: Если множества \(A=\{1,2\}\) и \(B=\{1,2,3\}\), то какое из следующих утверждений верно? A. \(B \subseteq A\) B. \(A=B\) C. \(A\subseteq B\) D. \(A \not\subseteq B\) Ответ: C Решение: Множество \(A=\{1,2\}\) содержит элементы 1 и 2. Множество \(B=\{1,2,3\}\) содержит элементы 1, 2 и 3. Каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), поэтому \(A \subseteq B\). Вариант A неверен, так как 3 не входит в \(A\). Вариант B неверен, так как множества содержат разное число элементов. Вариант D противоречит установленному включению. Ответ: C. ### 2. Задача 2 (Множества) 中文: 若集合 \(A=(-1,3)\)，\(B=[2,4]\)，则 \(A\cap B\) 等于多少？ English: If the sets \(A=(-1,3)\) and \(B=[2,4]\), what is \(A\cap B\)? Русский: Если множества \(A=(-1,3)\) и \(B=[2,4]\), то чему равно \(A\cap B\)? A. \([2,3]\) B. \([2,3)\) C. \((2, 3]\) D. \((2, 3)\) Ответ: B Решение: Множество \(A=(-1,3)\) содержит числа от \(-1\) до \(3\), не включая обе границы. Множество \(B=[2,4]\) содержит числа от \(2\) до \(4\), включая обе границы. Пересечение состоит из чисел, принадлежащих обоим промежуткам, то есть от \(2\) до \(3\). Точка \(2\) входит в оба множества, поэтому левая граница включается. Точка \(3\) не входит в \(A\), поэтому правая граница не включается. Получаем промежуток \([2,3)\). Ответ: B. ### 3. Задача 3 (Квадратные неравенства) 中文: 一元二次不等式 \(x^{2}-5x+4<0\) 的解集为？ English: The solution set of the inequality \(x^{2}-5x+4<0\) is? Русский: Множество решений неравенства \(x^{2}-5x+4<0\) равно: A. \((-4,-1)\) B. \((-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\) C. \((-\infty, -4) \cup (-1, +\infty)\) D. \((1,4)\) Ответ: D Решение: Решаем квадратное уравнение \(x^2-5x+4=0\). По теореме Виета сумма корней равна 5, произведение равно 4, откуда корни \(x_1=1\) и \(x_2=4\). Старший коэффициент положителен, поэтому парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \(x^2-5x+4<0\) выполняется между корнями. Множество решений есть интервал \((1,4)\). Ответ: D. ### 4. Задача 4 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) 的定义域为？ English: The domain of the function \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) is? Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) равна: A. \([-1, +\infty)\) B. \((-1, +\infty)\) C. \((0, +\infty)\) D. \((-\infty, -1)\) Ответ: B Решение: Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x+1 \geq 0\). Корень стоит в знаменателе дроби, поэтому он не может равняться нулю: \(\sqrt{x+1} \neq 0\). Объединяя условия, получаем строгое неравенство \(x+1>0\). Отсюда \(x>-1\). Область определения функции есть промежуток \((-1,+\infty)\). Ответ: B. ### 5. Задача 5 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，首项 \(a_1=5\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{100}=\) English: If the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) has first term \(a_1=5\) and common difference \(d=2\), then \(a_{100}=\) Русский: Если арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) имеет первый член \(a_1=5\) и разность \(d=2\), то \(a_{100}=\) A. \(203\) B. \(205\) C. \(199\) D. \(204\) Ответ: A Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем известные значения: \(a_1=5\), \(d=2\), \(n=100\). Вычисляем \(a_{100} = 5 + (100-1) \cdot 2\). Упрощаем выражение: \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 5 + 198 = 203\). Ответ: A. ### 6. Задача 6 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \((-1,\,3-\pi)\) 位于平面直角坐标系的哪个象限？ English: The point \((-1,\,3-\pi)\) is located in which quadrant of the Cartesian coordinate system? Русский: Точка \((-1,\,3-\pi)\) находится в какой четверти декартовой системы координат? A. Third quadrant / 第三象限 / Третья четверть B. First quadrant / 第一象限 / Первая четверть C. Second quadrant / 第二象限 / Вторая четверть D. Fourth quadrant / 第四象限 / Четвёртая четверть Ответ: A Решение: Абсцисса точки равна \(-1\), что меньше нуля. Ордината равна \(3 - \pi\), и так как \(\pi \approx 3.14\), получаем \(3 - \pi < 0\). Точка с отрицательной абсциссой и отрицательной ординатой лежит в третьей четверти. Ответ: A. ### 7. Задача 7 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 计算 \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\) English: Compute \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\) Русский: Вычислите \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\) A. \(2\sqrt{2}\) B. \(2\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(1\) Ответ: C Решение: Значения тригонометрических функций: \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\). Сумма синуса и косинуса: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Умножаем на тангенс: \(\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\). Ответ: C. ### 8. Задача 8 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数中，哪个是奇函数？ English: Which of the following functions is an odd function? Русский: Какая из следующих функций является нечётной? A. \(y = x \sin x\) B. \(y = x^4\) C. \(y = \cos x\) D. \(y = x + x^3\) Ответ: D Решение: Функция нечётная, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Для \(y = x + x^3\) получаем \(f(-x) = -x + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x + x^3) = -f(x)\), значит функция нечётная. Вариант A: \((-x)\sin(-x) = x\sin x\) — чётная. Варианты B и C также чётные, так как \((-x)^4 = x^4\) и \(\cos(-x) = \cos x\). Ответ: D. ### 9. Задача 9 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 函数 \(y = x^3\) 的反函数是 English: The inverse function of \(y = x^3\) is Русский: Обратная функция функции \(y = x^3\) равна A. \(y = \dfrac{x}{3}\) B. \(y = 3x\) C. \(y = x^3\) D. \(y = \sqrt[3]{x}\) Ответ: D Решение: Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y=x^3\). Извлекаем кубический корень: \(x=\sqrt[3]{y}\). Меняем переменные местами: \(y=\sqrt[3]{x}\). Ответ: D. ### 10. Задача 10 (Монотонность и чётность) 中文: 下列函数中单调递增的是 English: Which of the following functions is monotonically increasing? Русский: Какая из следующих функций монотонно возрастает? A. \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) B. \(y = \log_{0.5} x\) C. \(y = 2x+1\) D. \(y = \sin x\) Ответ: C Решение: \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) убывает, так как основание меньше \(1\). \(y=\log_{0.5}x\) убывает, так как основание логарифма меньше \(1\). \(y=\sin x\) не монотонна на всей прямой. \(y=2x+1\) — линейная функция с угловым коэффициентом \(2>0\), она возрастает. Ответ: C. ### 11. Задача 11 (Координаты и расстояния) 中文: 下列点位于第三象限的是 English: The point located in the third quadrant is Русский: Точка, расположенная в третьей четверти, это A. \((-1,\,-2)\) B. \((-1, 2)\) C. \((2, 2)\) D. \((1, -2)\) Ответ: A Решение: В третьей четверти координатной плоскости обе координаты точки отрицательны. У точки \( (-1, -2) \) абсцисса \( -1 < 0 \) и ордината \( -2 < 0 \), значит она лежит в третьей четверти. Точка \( (-1, 2) \) во второй четверти, \( (2, 2) \) в первой, \( (1, -2) \) в четвёртой. Ответ: A. ### 12. Задача 12 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 不等式 \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) 的解集为 English: The solution set of the inequality \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) is Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) равно A. \((2, +\infty)\) B. \([1, 2]\) C. \((-\infty, 2)\) D. \((-\infty, 1]\) Ответ: C Решение: Перенесём единицу влево: \( \dfrac{x-1}{x-2} - 1 \leq 0 \). Приведём к общему знаменателю: \( \dfrac{x-1-(x-2)}{x-2} \leq 0 \), то есть \( \dfrac{1}{x-2} \leq 0 \). Дробь с положительным числителем неположительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: \( x - 2 < 0 \). Получаем \( x < 2 \), что соответствует промежутку \( (-\infty, 2) \). Ответ: C. ### 13. Задача 13 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 a, b 和 c 构成等差数列并且满足 a + c = 20, b = English: Given that a, b and c form an arithmetic sequence and satisfy a + c = 20, then b = Русский: Если a, b и c образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют a + c = 20, то b = A. \(10\) B. \(5\) C. \(20\) D. \(0\) Ответ: A Решение: По свойству арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних: \( b = \dfrac{a+c}{2} \). Подставим известную сумму: \( b = \dfrac{20}{2} = 10 \). Ответ: A. ### 14. Задача 14 (Прямая) 中文: 直线 \(y = \sqrt{3}x + 10\) 的倾斜角为 English: The inclination angle of the line \(y = \sqrt{3}x + 10\) is Русский: Угол наклона прямой \(y = \sqrt{3}x + 10\) равен A. 60° B. \(30°\) C. \(45°\) D. \(120°\) Ответ: A Решение: Угловой коэффициент прямой \( y = \sqrt{3}x + 10 \) равен \( k = \sqrt{3} \). Угловой коэффициент связан с углом наклона формулой \( k = \tan\alpha \). Находим угол: \( \tan\alpha = \sqrt{3} \), откуда \( \alpha = 60° \). Ответ: A. ### 15. Задача 15 (Показательная функция) 中文: 下列不等式正确的是 English: Which of the following inequalities is correct? Русский: Какое из следующих неравенств верно? A. \(0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}\) B. \(3^{4.5} > 3^5\) C. \(2.1^{-2} > 2.1^{-2}\) D. \(2.1^{\frac{2}{3}} > 1.2^{\frac{2}{3}}\) Ответ: D Решение: A: основание \(0{,}75<1\), функция убывает, поэтому \(0{,}75^{-0{,}2}<0{,}75^{-0{,}4}\) — неверно.\nB: основание \(3>1\), функция возрастает, поэтому \(3^{4{,}5}<3^5\) — неверно.\nC: слева и справа одно и то же число, строгое неравенство невозможно — неверно.\nD: степень \(\dfrac{2}{3}>0\), функция \(x^{2/3}\) возрастает при \(x>0\), а \(2{,}1>1{,}2\), значит \(2{,}1^{2/3}>1{,}2^{2/3}\) — верно. Ответ: D. ### 16. Задача 16 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若点 \(P(1, y)\) 是角 \(\alpha\) 终边上的点，且 \(\tan\alpha = 2\)，则 \(y =\) English: If point \(P(1, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and \(\tan\alpha = 2\), then \(y =\) Русский: Если точка \(P(1, y)\) лежит на стороне угла \(\alpha\), и \(\tan\alpha = 2\), то \(y =\) A. \(1\) B. \(\dfrac{1}{2}\) C. \(\sqrt{3}\) D. \(2\) Ответ: D Решение: Точка \(P(1,y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\). По определению \(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{1}=y\). Так как \(\tan\alpha=2\), получаем \(y=2\). Ответ: D. ### 17. Задача 17 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)，则 \(a_{2025} =\) English: Given that \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), then \(a_{2025} =\) Русский: Дано, что \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), тогда \(a_{2025} =\) A. \(2\) B. \(2025\) C. \(2024\) D. \(20\) Ответ: B Решение: Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=2-1=1\). Общий член: \(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)=n\). Тогда \(a_{2025}=2025\). Ответ: B. ### 18. Задача 18 (Окружность) 中文: 若圆的圆心坐标是 \((-3, 2)\)，半径是 \(4\)，则圆的方程是 English: If the center of the circle is \((-3, 2)\) and the radius is \(4\), then the equation of the circle is Русский: Если центр окружности имеет координаты \((-3, 2)\), а радиус равен \(4\), то уравнение окружности A. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\) B. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4\) C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) D. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\) Ответ: D Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x-(-3))^2+(y-2)^2=(x+3)^2+(y-2)^2\). Радиус \(4\) возводим в квадрат: \(r^2=16\). Итоговое уравнение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\), это вариант D. Ответ: D. ### 19. Задача 19 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 是第二象限角，则 \(\cos\alpha =\) English: Given that \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\) is in the second quadrant, then \(\cos\alpha =\) Русский: Дано, что \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), и \(\alpha\) находится во второй четверти, тогда \(\cos\alpha =\) A. \(\dfrac{4}{5}\) B. \(-\dfrac{4}{5}\) C. \(\dfrac{3}{4}\) D. \(-\dfrac{3}{4}\) Ответ: B Решение: По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). \(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), значит \(\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5}\). Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\). Ответ: B. ### 20. Задача 20 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y = \sqrt{x - 1}\) 的定义域是 English: The domain of the function \(y = \sqrt{x - 1}\) is Русский: Область определения функции \(y = \sqrt{x - 1}\) есть A. \([1, +\infty)\) B. \((1, +\infty)\) C. \((-\infty, 1]\) D. \((-\infty, 1)\) Ответ: A Решение: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x-1\ge 0\). Отсюда \(x\ge 1\), то есть \(x\in[1,+\infty)\). При \(x=1\) корень определён, поэтому скобка квадратная; варианты B, C, D не подходят. Ответ: A. ### 21. Задача 21 (Окружность) 中文: 设圆的方程为 \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\) ，则该圆的半径为： English: Given the equation of the circle is \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), then the radius of the circle is: Русский: Если уравнение окружности \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), то радиус окружности равен: A. \(2\) B. \(\dfrac{1}{2}\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(1\) Ответ: C Решение: Дополняем до полных квадратов: \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\) и \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\). Уравнение принимает вид \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0\), то есть \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\). Правая часть равна \(r^2 = 2\), значит \(r = \sqrt{2}\). Ответ: C. ### 22. Задача 22 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ，则 \(\tan\alpha =\) ： English: If \(\alpha\) is an acute angle and \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), then \(\tan\alpha =\) : Русский: Если \(\alpha\) — острый угол и \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\tan\alpha =\) : A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\sqrt{3}\) C. \(\dfrac{1}{4}\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) Ответ: B Решение: \(\alpha\) острый, поэтому \(\cos\alpha>0\). По основному тождеству \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}\). Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\). Ответ: B. ### 23. Задача 23 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的前三项为 1, 2, 4, 则数列的通项公式为： English: Given that the first three terms of the geometric sequence \(\{a_n\}\) are 1, 2, 4, then the general term formula of the sequence is: Русский: Если первые три члена геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равны 1, 2, 4, то её общий член равен: A. \(a_n = 2n\) B. \(a_n = 8\) C. \(a_n = 2^{n-1}\) D. \(a_n = 2^n\) Ответ: C Решение: Знаменатель прогрессии \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{2}{1}=2\). Общий член геометрической прогрессии \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}\). Проверка: \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_3=4\) — совпадает с условием. Ответ: C. ### 24. Задача 24 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 已知 \(a > b\) ，则： English: Given that \(a > b\), then: Русский: Если \(a > b\), то: A. \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}\) B. \(a^2 > b^2\) C. \(5^a > 5^b\) D. \(\sin a > \sin b\) Ответ: C Решение: Показательная функция \(y=5^x\) с основанием \(5>1\) возрастает, поэтому из \(a>b\) следует \(5^a>5^b\).\nA неверно: при \(a=1\), \(b=-1\) имеем \(\dfrac{1}{a}=1>-1=\dfrac{1}{b}\).\nB неверно: при \(a=1\), \(b=-2\) имеем \(a^2=1<4=b^2\).\nD неверно: при \(a=\pi\), \(b=\dfrac{\pi}{2}\) имеем \(\sin a=0<1=\sin b\). Ответ: C. ### 25. Задача 25 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \(P(-1, 2)\) 到点 \(Q(3, 1)\) 的距离是： English: The distance from point \(P(-1, 2)\) to point \(Q(3, 1)\) is: Русский: Расстояние от точки \(P(-1, 2)\) до точки \(Q(3, 1)\) равно: A. \(\sqrt{17}\) B. \(\sqrt{13}\) C. \(\sqrt{5}\) D. \(5\) Ответ: A Решение: Используем формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Подставляем координаты точек \(P(-1, 2)\) и \(Q(3, 1)\). Разность абсцисс: \(3 - (-1) = 4\), разность ординат: \(1 - 2 = -1\). Вычисляем: \(d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\). Ответ: A. ### 26. Задача 26 (Показательная функция) 中文: 下列关于函数 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) 的描述正确的是： English: Which of the following descriptions about the function \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является верным? A. The function is symmetric about the origin / 该函数关于原点对称 / Функция симметрична относительно начала координат B. The function is symmetric about the \(x\)-axis / 该函数关于 \(x\) 轴对称 / Функция симметрична относительно оси \(x\) C. The function is monotonically increasing / 该函数单调递增 / Функция является монотонно возрастающей D. The function is monotonically decreasing / 该函数单调递减 / Функция является монотонно убывающей Ответ: D Решение: Функция \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является показательной функцией с основанием \(a = \dfrac{1}{2}\). Так как \(0 < a < 1\), функция монотонно убывает на всей числовой прямой. Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной, поэтому симметрии относительно оси ординат или начала координат нет. График расположен выше оси абсцисс, поэтому симметрия относительно оси \(x\) невозможна. Варианты A, B и C неверны, верен только вариант D. Ответ: D. ### 27. Задача 27 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\) English: If \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\) Русский: Если \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\) A. \(-\dfrac{7}{8}\) B. \(\dfrac{1}{8}\) C. \(\dfrac{7}{8}\) D. \(-\dfrac{1}{8}\) Ответ: C Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\). Подставляем \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^2\). Вычисляем: \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{16} = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\). Ответ: C. ### 28. Задача 28 (Прямая) 中文: 直线 \(l_1: y = 2x + 1\) 和直线 \(l_2: x + y + 1 = 0\) 的交点为： English: The intersection point of line \(l_1: y = 2x + 1\) and line \(l_2: x + y + 1 = 0\) is: Русский: Точка пересечения прямых \(l_1: y = 2x + 1\) и \(l_2: x + y + 1 = 0\) имеет координаты: A. \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\) B. \(\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right)\) C. \(\left(\dfrac{-1}{3}, \dfrac{-2}{3}\right)\) D. \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\) Ответ: D Решение: Приравниваем \(y\) из первого уравнения во второе: \(x + (2x + 1) + 1 = 0\). Решаем: \(3x + 2 = 0\), откуда \(x = -\dfrac{2}{3}\). Находим \(y\): \(y = 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 1 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{3} = -\dfrac{1}{3}\). Точка пересечения: \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\). Ответ: D. ### 29. Задача 29 (Гипербола) 中文: 双曲线 \(x^2 - y^2 = 1\) 的焦点坐标是： English: The coordinates of the foci of the hyperbola \(x^2 - y^2 = 1\) are: Русский: Координаты фокусов гиперболы \(x^2 - y^2 = 1\): A. \((\pm \sqrt{2}, 0)\) B. \((0, \pm 2)\) C. \((0, \pm \sqrt{2})\) D. \((\pm 2, 0)\) Ответ: A Решение: Уравнение \(x^2 - y^2 = 1\) — каноническое уравнение гиперболы с \(a^2 = 1\) и \(b^2 = 1\). Находим фокусное расстояние: \(c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2\), значит \(c = \sqrt{2}\). Так как знак минус перед \(y^2\), фокусы лежат на оси \(Ox\): \((\pm \sqrt{2}, 0)\). Ответ: A. ### 30. Задача 30 (Логарифмы) 中文: 计算 \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\) English: Calculate \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\) Русский: Вычислите \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\) A. \(-5\) B. \(10\) C. \(0\) D. \(5\) Ответ: C Решение: Вычисляем первое слагаемое: \(\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5\). Вычисляем второе слагаемое: \(\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{2^{-1}} 2^5 = \dfrac{5}{-1} = -5\). Складываем: \(5 + (-5) = 0\). Ответ: C. ### 31. Задача 31 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 关于函数 \(y = \cos x\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y = \cos x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \cos x\) является верным? A. \(\cos(x + \pi) = \cos x\) B. The function is an odd function / 该函数是一个奇函数 / Функция является нечётной C. The function is monotonically increasing on the interval \([0, \pi]\) / 该函数在区间 \([0, \pi]\) 上单调递增 / Функция является монотонно возрастающей на отрезке \([0, \pi]\) D. The function is periodic with a period of \(2\pi\) / 该函数是一个以 \(2\pi\) 为周期的函数 / Функция является периодической с периодом \(2\pi\) Ответ: D Решение: Проверяем вариант A: \(\cos(x + \pi) = -\cos x\), а не \(\cos x\), неверно. Проверяем вариант B: \(\cos(-x) = \cos x\), функция чётная, а не нечётная, неверно. Проверяем вариант C: на \([0, \pi]\) функция убывает от \(1\) до \(-1\), неверно. Вариант D верен: период косинуса равен \(2\pi\). Ответ: D. ### 32. Задача 32 (Парабола) 中文: 关于抛物线 \(y^2 = 4x\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the parabola \(y^2 = 4x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о параболе \(y^2 = 4x\) является верным? A. Passes through the point \((-4, 4)\) / 经过点 \((-4, 4)\) / Проходит через точку \((-4, 4)\) B. The axis of symmetry is \(x = 0\) / 对称轴为 \(x = 0\) / Ось симметрии — \(x = 0\) C. The coordinates of the foci are \((\pm 1, 0)\) / 焦点坐标为 \((\pm 1, 0)\) / Координаты фокусов: \((\pm 1, 0)\) D. The coordinates of the focus are \((1, 0)\) / 焦点坐标为 \((1, 0)\) / Координаты фокуса: \((1, 0)\) Ответ: D Решение: Уравнение \(y^2 = 4x\) имеет вид \(y^2 = 2px\), где \(2p = 4\), значит \(p = 2\). Фокус такой параболы находится в точке \(\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (1, 0)\). Проверка A: при \(x = -4\) получаем \(y^2 = -16\), невозможно, точка не лежит на параболе. Ось симметрии — ось \(y = 0\), а не \(x = 0\), вариант B неверен. Фокус один, а не два, вариант C неверен. Ответ: D. ### 33. Задача 33 (Прямая) 中文: 下列直线与直线 \(l: x + y + 3 = 0\) 垂直的是： English: Which of the following lines is perpendicular to the line \(l: x + y + 3 = 0\)? Русский: Какая из следующих прямых перпендикулярна прямой \(l: x + y + 3 = 0\)? A. \(y = -2x + 1\) B. \(y = x + 2\) C. \(y = 1 - x\) D. \(y = 2x + 2\) Ответ: B Решение: Прямая \(l: x + y + 3 = 0\) имеет угловой коэффициент \(-1\). Перпендикулярная прямая должна иметь угловой коэффициент, обратный по знаку и величине: \(k = 1\). Среди вариантов только прямая \(y = x + 2\) имеет угловой коэффициент \(1\). Ответ: B. ### 34. Задача 34 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，则 \(\sin\alpha\) 的值是： English: Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), the value of \(\sin\alpha\) is: Русский: Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), тогда значение \(\sin\alpha\) равно: A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(-\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\). Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, синус положителен. Извлекаем корень: \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ответ: B. ### 35. Задача 35 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知 \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\) English: Given that \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), then \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\) Русский: Известно, что \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), тогда \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\) A. \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\) D. \(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{4}\) Ответ: B Решение: Представим угол \(\dfrac{\pi}{12}\) как разность \(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\). Применим формулу косинуса разности: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}\). Подставим известные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\). Выполним умножение дробей: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\). Сложим дроби с одинаковым знаменателем: \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\). Ответ: B. ### 36. Задача 36 (Область определения и значений) 中文: 下列函数与函数 \(y = |x|\) 相同的是： English: Which of the following functions is identical to \(y = |x|\)? Русский: Какая из следующих функций тождественно равна функции \(y = |x|\)? A. \(y = \sqrt[3]{x^3}\) B. \(y = (\sqrt{x})^2\) C. \(y = x\) D. \(y = \sqrt{x^2}\) Ответ: D Решение: Две функции тождественны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений. Функция \(y = |x|\) определена при всех действительных \(x\) и принимает неотрицательные значения. Вариант A: \(y = \sqrt[3]{x^3} = x\), что не равно \(|x|\) при отрицательных \(x\). Вариант B: \(y = (\sqrt{x})^2 = x\) определена только при \(x \geq 0\), область определения уже. Вариант C: \(y = x\) принимает отрицательные значения, не совпадает с \(|x|\). Вариант D: \(y = \sqrt{x^2} = |x|\), область определения — все действительные числа, правило совпадает. Ответ: D. ### 37. Задача 37 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\) English: If \(\alpha\) is an acute angle and \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\) Русский: Если \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\) A. \(\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) B. \(\pm \dfrac{1}{2}\) C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: D Решение: Так как \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\). Половина этого угла равна \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{6}\). Угол \(\dfrac{\pi}{6}\) лежит в первой четверти, поэтому его синус положителен, варианты A и B с \(\pm\) отбрасываем. Вычислим значение: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). Ответ: D. ### 38. Задача 38 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 关于诱导公式，下列等式错误的是： English: Which of the following reduction formulas is incorrect? Русский: Какая из следующих формул приведения неверна? A. \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) B. \(\tan(\pi + \alpha) = -\tan\alpha\) C. \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) Ответ: B Решение: Проверим формулы приведения для каждой из предложенных записей. Вариант A: \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) — верная формула, так как период косинуса равен \(2\pi\). Вариант B: \(\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha\), а не \(-\tan\alpha\), поскольку тангенс имеет период \(\pi\). Эта формула неверна. Вариант C: \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) — верная формула приведения для второй четверти. Вариант D: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) — верная формула перехода к кофункции. Ответ: B. ### 39. Задача 39 (Парабола) 中文: 抛物线 \(y^2 = -x\) 的准线方程为： English: The equation of the directrix of the parabola \(y^2 = -x\) is: Русский: Уравнение директрисы параболы \(y^2 = -x\): A. \(x = \dfrac{1}{2}\) B. \(x = -\dfrac{1}{2}\) C. \(x = \dfrac{1}{4}\) D. \(x = -\dfrac{1}{4}\) Ответ: C Решение: Каноническое уравнение параболы с горизонтальной осью имеет вид \(y^2 = 2px\). Из уравнения \(y^2 = -x\) получаем \(2p = -1\), откуда \(p = -\dfrac{1}{2}\). Директриса такой параболы задаётся уравнением \(x = -\dfrac{p}{2}\). Подставляем найденное значение: \(x = -\dfrac{-1/2}{2} = \dfrac{1}{4}\). Ответ: C. ### 40. Задача 40 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知 \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\)，则 \(\tan\alpha =\) English: Given that \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\), then \(\tan\alpha =\) Русский: Известно, что \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\). Тогда \(\tan\alpha =\) A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{1}{4}\) C. \(\dfrac{2}{3}\) D. \(\dfrac{1}{3}\) Ответ: A Решение: Разделим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\): \(\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{1}{3}\). Умножаем крест-накрест: \(3(1-\tan\alpha)=1+\tan\alpha\). Раскрываем скобки: \(3-3\tan\alpha=1+\tan\alpha\). Переносим члены: \(2=4\tan\alpha\), откуда \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\). Ответ: A. ### 41. Задача 41 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\)（\(n\ge 2\)），则 \(a_{100}=\) English: Given that the sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)), then \(a_{100}=\) Русский: Дано, что последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)). Тогда \(a_{100}=\) A. \(50\) B. \(\dfrac{1}{100}\) C. \(1\) D. \(100\) Ответ: B Решение: Упростим рекуррентное соотношение: \( a_n = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}} = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1} \).\nТогда \( \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}} = 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} \).\nПоследовательность \( b_n = \dfrac{1}{a_n} \) арифметическая с разностью 1.\n\( b_1 = 1 \), значит \( b_n = n \), откуда \( a_n = \dfrac{1}{n} \).\n\( a_{100} = \dfrac{1}{100} \).\nОтвет: B. ### 42. Задача 42 (Логарифмы) 中文: 关于对数函数 \(y = \log_a x\) ，下面说法正确的是： English: Which of the following statements about the logarithmic function \(y = \log_a x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о логарифмической функции \(y = \log_a x\) верно? A. The domain of this function is \((-\infty, +\infty)\) / 该函数的定义域为 \((-\infty, +\infty)\) / Область определения этой функции — \((-\infty, +\infty)\) B. When \(a > 1\), it is a monotonically decreasing function over its domain / 当 \(a > 1\) 时，在定义域上是一个单调递减函数 / При \(a > 1\) функция монотонно убывает на своей области определения C. When \(a > 1\), for any \(x > 0\) we always have \(\log_a x > 1\) / 当 \(a > 1\) 时，对任意的 \(x > 0\) 总有 \(\log_a x > 1\) / При \(a > 1\) для любого \(x > 0\) всегда выполняется \(\log_a x > 1\) D. When \(0 < a < 1\), it is a monotonically decreasing function over its domain / 当 \(0 < a < 1\) 时，在定义域上是一个单调递减函数 / При \(0 < a < 1\) функция монотонно убывает на своей области определения Ответ: D Решение: Область определения \((0,+\infty)\), а не \((-\infty,+\infty)\) — A неверно. При \(a>1\) логарифм возрастает — B неверно. При \(a>1\) и \(0