# CSCA Math: Июнь 2026 (June 2026) Источник: CSCA Math Exam, https://cscamathexam.com/exam-jun-2026-p1.html ### 1. Задача 187 (Множества) 中文: 若集合 \(A=\{x \mid x^2=1\}\)，则下列表示正确的是： English: If the set \(A=\{x \mid x^2=1\}\), then which of the following representations is correct? Русский: Если множество \(A=\{x \mid x^2=1\}\), то какое из следующих представлений верно? A. \(A=-1\) B. \(\{1\} \subseteq A\) C. \(1 \subseteq A\) D. \(A=\{1\}\) Ответ: B Решение: Решим уравнение \(x^2=1\), получим \(x=1\) или \(x=-1\), значит \(A=\{-1, 1\}\). Вариант A неверен, так как множество не может быть равно числу. Вариант C неверен, так как знак \(\subseteq\) применяется к множествам, а не к элементам. Вариант D неверен, так как в множестве \(A\) два элемента, а не один. Множество \(\{1\}\) является подмножеством \(A\), поэтому вариант B верен. Ответ: B. ### 2. Задача 188 (Множества) 中文: 若集合 \(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,\ldots,2026\}\)，则 \(A \cap B=\) English: If the sets \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), then \(A \cap B=\) Русский: Если множества \(A=\{1,2,3\}\) и \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), то \(A \cap B=\) A. \(\{2,3\}\) B. \(\{1,2,3\}\) C. \(\{2,3,\ldots,2026\}\) D. \(\{1,2,\ldots,2026\}\) Ответ: A Решение: Множество \(A\) содержит элементы 1, 2 и 3. Множество \(B\) содержит все целые числа от 2 до 2026 включительно. Пересечение \(A \cap B\) состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам. Элемент 1 не входит в \(B\), а элементы 2 и 3 входят в оба множества. Следовательно, \(A \cap B = \{2, 3\}\). Ответ: A. ### 3. Задача 189 (Квадратные неравенства) 中文: 一元二次不等式 \(3(x+4)(x-2)<0\) 的解集为： English: The solution set of the quadratic inequality \(3(x+4)(x-2)<0\) is: Русский: Множество решений квадратного неравенства \(3(x+4)(x-2)<0\): A. \((2,+\infty)\) B. \((-4,2)\) C. \((-\infty,-4) \cup (2,+\infty)\) D. \((-\infty,2) \cup (-4,+\infty)\) Ответ: B Решение: Разделим обе части неравенства на 3, получим \((x+4)(x-2)<0\). Корни соответствующего уравнения равны \(x=-4\) и \(x=2\). Парабола \(y=(x+4)(x-2)\) имеет ветви, направленные вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при \(-4 < x < 2\). Множество решений записывается как интервал \((-4, 2)\). Ответ: B. ### 4. Задача 190 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) 的定义域为： English: The domain of the function \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) is: Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\): A. \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\) B. \(\{1,2,3\}\) C. \([1,3]\) D. \(\mathbb{R}\) Ответ: A Решение: Функция определена при условии, что знаменатели всех дробей не равны нулю. Из первого слагаемого получаем ограничение \(x-1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\). Из второго слагаемого \(x-2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Из третьего слагаемого \(x-3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\). Область определения — вся числовая прямая кроме точек 1, 2 и 3, что соответствует объединению интервалов \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\). Ответ: A. ### 5. Задача 191 (Координаты и расстояния) 中文: 若点 \(P(x,y)\) 位于第二象限，则点 \(Q(2x,3y)\) 位于： English: If point \(P(x,y)\) lies in the second quadrant, then point \(Q(2x,3y)\) lies in: Русский: Если точка \(P(x,y)\) лежит во второй четверти, то точка \(Q(2x,3y)\) лежит: A. the fourth quadrant / 第四象限 / в четвёртой четверти B. the third quadrant / 第三象限 / в третьей четверти C. the second quadrant / 第二象限 / во второй четверти D. the first quadrant / 第一象限 / в первой четверти Ответ: C Решение: Точка \(P(x,y)\) во второй четверти, значит \(x<0\) и \(y>0\). Тогда \(2x<0\) и \(3y>0\). Координаты точки \(Q(2x,3y)\) имеют знаки минус и плюс. Отрицательная абсцисса и положительная ордината соответствуют второй четверти. Ответ: C. ### 6. Задача 192 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 下列结果正确的是： English: Which of the following results is correct? Русский: Какой из следующих результатов верен? A. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\) B. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) C. \(\sin\pi=1\) D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: \(\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\neq 2\), вариант A неверен. \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\), вариант B верен. \(\sin\pi=0\neq 1\), вариант C неверен. \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq \dfrac{1}{2}\), вариант D неверен. Ответ: B. ### 7. Задача 193 (Монотонность и чётность) 中文: 下列关于奇函数 \(y=f(x)\) 的说法不正确的是： English: Which of the following statements about the odd function \(y=f(x)\) is incorrect? Русский: Какое из следующих утверждений о нечётной функции \(y=f(x)\) неверно? A. The domain of the function is symmetric about the origin / 函数的定义域关于原点对称 / Область определения функции симметрична относительно начала координат B. In the domain, \(f(-x)=f(x)\) / 在定义域内，\(f(-x)=f(x)\) / В области определения \(f(-x)=f(x)\) C. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат D. In the domain, \(f(-x)=-f(x)\) / 在定义域内，\(f(-x)=-f(x)\) / В области определения \(f(-x)=-f(x)\) Ответ: B Решение: Нечетная функция по определению удовлетворяет условию \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Область определения нечетной функции обязательно симметрична относительно начала координат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Утверждение \(f(-x) = f(x)\) является определением четной функции, а не нечетной, поэтому оно неверно. Ответ: B. ### 8. Задача 194 (Обратная функция и преобразования графиков) 中文: 函数 \(y=2x\)，\(x\in[-1,1]\) 的反函数是： English: The inverse function of \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\) is: Русский: Обратная функция для \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\): A. \(y=\dfrac{x}{2}, x\in[-1,1]\) B. \(y=\dfrac{x}{2}\) C. \(y=\dfrac{x}{2}, x\in[-2,2]\) D. \(y=2x, x\in[-1,1]\) Ответ: C Решение: Исходная функция \(y = 2x\) задана на отрезке \(x \in [-1, 1]\). Выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \dfrac{y}{2}\). Меняем переменные местами, получаем обратную функцию \(y = \dfrac{x}{2}\). Область значений исходной функции при \(x \in [-1, 1]\) равна \([-2, 2]\), это и будет областью определения обратной функции. Ответ: C. ### 9. Задача 195 (Показательная функция) 中文: 下列函数中单调递减的是： English: Which of the following functions is monotonically decreasing? Русский: Какая из следующих функций монотонно убывает? A. \(y=\dfrac{1}{e^x}\) B. \(y=x^2-1\) C. \(y=100x\) D. \(y=\cos x\) Ответ: A Решение: Функция \(y = \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}\) имеет основание степени \(e > 1\) и отрицательный показатель, поэтому она монотонно убывает на всей числовой прямой. Функция \(y = x^2 - 1\) убывает только при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\). Функция \(y = 100x\) является линейной с положительным коэффициентом и монотонно возрастает. Функция \(y = \cos x\) периодически возрастает и убывает, не являясь монотонной. Ответ: A. ### 10. Задача 196 (Дробные неравенства и неравенства с модулем) 中文: 分式不等式 \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) 的解集为： English: The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) is: Русский: Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\): A. \((-\infty,2)\) B. \((2,+\infty)\) C. \([0,2]\) D. \((-\infty,2]\) Ответ: A Решение: Дробь \(\dfrac{2}{x-2}\) меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю. Числитель равен \(2\), что строго больше нуля, поэтому дробь равна нулю быть не может. Значит, знаменатель должен быть строго отрицательным: \(x - 2 < 0\). Решая неравенство, получаем \(x < 2\), то есть множество решений \((-\infty, 2)\). Ответ: A. ### 11. Задача 197 (Координаты и расстояния) 中文: 下列点位于第三象限的是： English: Which of the following points lies in the third quadrant? Русский: Какая из следующих точек лежит в третьей четверти? A. \((-1,-2)\) B. \((-1,2)\) C. \((1,2)\) D. \((1,-2)\) Ответ: A Решение: В третьей четверти обе координаты точки отрицательны: \(x<0\) и \(y<0\). Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными, значит лежит в третьей четверти. Точка \((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая. Ответ: A. ### 12. Задача 198 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成等比数列并且满足 \(ac=100\)，则 \(b=\) English: Given that \(a\), \(b\), and \(c\) form a geometric sequence and satisfy \(ac=100\), then \(b=\) Русский: Дано, что \(a\), \(b\) и \(c\) образуют геометрическую прогрессию и удовлетворяют условию \(ac=100\), тогда \(b=\) A. \(\pm 100\) B. \(10\) C. \(100\) D. \(\pm 10\) Ответ: D Решение: В геометрической прогрессии \(b^2=ac\). По условию \(ac=100\), значит \(b^2=100\). Отсюда \(b=\pm 10\). Ответ: D. ### 13. Задача 199 (Прямая) 中文: 若直线经过点 \((-1, 1)\) 和 \((0, 2)\)，则直线的倾斜角为： English: If a line passes through the points \((-1, 1)\) and \((0, 2)\), then the angle of inclination of the line is: Русский: Если прямая проходит через точки \((-1, 1)\) и \((0, 2)\), то угол наклона этой прямой равен: A. \(135^\circ\) B. \(30^\circ\) C. \(45^\circ\) D. \(60^\circ\) Ответ: C Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \((-1,1)\) и \((0,2)\): \(k=\dfrac{2-1}{0-(-1)}=1\). Угол наклона \(\alpha\) удовлетворяет \(\tan\alpha=k=1\). Так как \(0^\circ\le\alpha<180^\circ\), получаем \(\alpha=45^\circ\). Ответ: C. ### 14. Задача 200 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 若点 \(P(1, 2)\) 是角 \(\alpha\) 的终边上的点，则 \(\sin\alpha =\) English: If point \(P(1, 2)\) lies on the terminal side of angle \(\alpha\), then \(\sin\alpha =\) Русский: Если точка \(P(1, 2)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), то \(\sin\alpha =\) A. \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) Ответ: D Решение: Расстояние от начала координат до точки \(P(1,2)\): \(r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\). По определению \(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Рационализируем: \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\). Ответ: D. ### 15. Задача 201 (Прямая) 中文: 经过点 \(A(-1, 1)\)，\(B(2, 3)\) 的直线的斜率为 English: The slope of the line passing through points \(A(-1, 1)\) and \(B(2, 3)\) is Русский: Наклон прямой, проходящей через точки \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\), равен A. \(\dfrac{2}{3}\) B. \(\dfrac{-2}{3}\) C. \(\dfrac{3}{2}\) D. \(\dfrac{-3}{2}\) Ответ: A Решение: Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\): \(k=\dfrac{3-1}{2-(-1)}\). Вычисляем: \(k=\dfrac{2}{3}\). Ответ: A. ### 16. Задача 202 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_{1}=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{9} =\) English: Given that the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic progression with \(a_{1}=1\) and common difference \(d=2\), then \(a_{9} =\) Русский: Если дано, что последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией с \(a_{1}=1\) и разностью \(d=2\), то \(a_{9} =\) A. \(20\) B. \(18\) C. \(19\) D. \(17\) Ответ: D Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем \(a_1 = 1\), \(d = 2\), \(n = 9\). \(a_9 = 1 + (9-1) \cdot 2 = 1 + 8 \cdot 2 = 1 + 16 = 17\). Ответ: D. ### 17. Задача 203 (Координаты и расстояния) 中文: 点 \(P(a, b)\) 到点 \(Q(a + 1, b - 1)\) 的距离为 English: The distance from point \(P(a, b)\) to point \(Q(a + 1, b - 1)\) is Русский: Расстояние от точки \(P(a, b)\) до точки \(Q(a + 1, b - 1)\) равно A. \(\sqrt{(2a+1)^2 + (2b-1)^2}\) B. \(2\) C. \(\sqrt{2}\) D. \(4\) Ответ: C Решение: Расстояние между точками вычисляется по формуле \(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Разность абсцисс: \((a+1) - a = 1\). Разность ординат: \((b-1) - b = -1\). \(PQ = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Ответ: C. ### 18. Задача 204 (Прямая) 中文: 过原点并且斜率为 2 的直线方程是 English: The equation of the line passing through the origin with slope 2 is Русский: Уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей наклон 2, выглядит так A. \(y = x + 2\) B. \(y = x\) C. \(y = 2x\) D. \(y = 2x + 2\) Ответ: C Решение: Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через начало координат, имеет вид \(y = kx\). По условию угловой коэффициент \(k = 2\). Подставляем и получаем \(y = 2x\). Варианты A и D не проходят через начало координат, вариант B имеет неверный угловой коэффициент. Ответ: C. ### 19. Задача 205 (Окружность) 中文: 圆心为 \((2, 5)\)，半径为 \(5\) 的圆的方程是： English: The equation of the circle centered at \((2, 5)\) with radius \(5\) is: Русский: Уравнение окружности с центром в точке \((2, 5)\) и радиусом \(5\): A. \((x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5\) B. \((x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25\) C. \((x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\) D. \((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\) Ответ: B Решение: Каноническое уравнение окружности с центром \((h, k)\) и радиусом \(r\): \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). Центр задан как \((2, 5)\), значит \(h = 2\), \(k = 5\). Радиус \(r = 5\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 25\). Получаем уравнение \((x-2)^2 + (y-5)^2 = 25\). Ответ: B. ### 20. Задача 206 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 若 \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\tan\alpha =\)？ English: If \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\tan\alpha =\)? Русский: Если \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\tan\alpha =\)? A. \(1\) B. \(\pm 1\) C. \(2\) D. \(\dfrac{1}{2}\) Ответ: B Решение: Из тождества \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) находим \(\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\). Вычисляем квадрат тангенса: \(\tan^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1/2}{1/2} = 1\). Извлекаем корень: \(\tan\alpha = \pm 1\). Знак зависит от четверти, в которой находится угол \(\alpha\), поэтому подходят оба значения. Ответ: B. ### 21. Задача 207 (Геометрическая прогрессия) 中文: 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\)，则： English: Given that the general term of the geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), then: Русский: Дано, что общий член геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равен \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), тогда: A. The common ratio of the sequence is \(q = -2\) / 数列的公比为 \(q = -2\) / Знаменатель прогрессии равен \(q = -2\) B. The first term of the sequence is \(a_1 = -2\) / 数列的首项为 \(a_1 = -2\) / Первый член прогрессии равен \(a_1 = -2\) C. The 100th term of the sequence is \(a_{100} = 2\) / 数列的第100项为 \(a_{100} = 2\) / 100-й член прогрессии равен \(a_{100} = 2\) D. The sum of the first 10 terms is equal to \(0\) / 前10项之和等于 \(0\) / Сумма первых 10 членов равна \(0\) Ответ: D Решение: По формуле \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\) находим \(a_1 = 2\), \(a_2 = -2\), значит \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = -1\), варианты A и B неверны. \(a_{100} = 2\cdot(-1)^{101} = -2\), вариант C неверен. Каждая пара соседних членов даёт в сумме \(2 + (-2) = 0\), таких пар в десяти членах пять. \(S_{10} = 5\cdot 0 = 0\). Ответ: D. ### 22. Задача 208 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое) 中文: 已知 \(a > b\)，\(c \in \mathbb{R}\)，则： English: Given that \(a > b\) and \(c \in \mathbb{R}\), then: Русский: Дано, что \(a > b\) и \(c \in \mathbb{R}\), тогда: A. \(a^2 > b^2\) B. \(ac > bc\) C. \(a + c > b + c\) D. \(|a| > |b|\) Ответ: C Решение: Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет знак: из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\).\nA неверно: \(a = 1\), \(b = -2\), тогда \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).\nB неверно при \(c \le 0\): например, \(c = -1\) даёт \(ac < bc\).\nD неверно для того же примера: \(|1| < |-2|\). Ответ: C. ### 23. Задача 209 (Степенные и квадратичные функции) 中文: 下列关于函数 \(y = x^2\) 说法正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y = x^2\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = x^2\) верно? A. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат B. The function is monotonically decreasing on its domain / 函数在定义域上单调递减 / Функция монотонно убывает на своей области определения C. The graph of the function is symmetric about the \(y\)-axis / 函数的图象关于 \(y\) 轴对称 / График функции симметричен относительно оси \(y\) D. The function is monotonically increasing on its domain / 函数在定义域上单调递增 / Функция монотонно возрастает на своей области определения Ответ: C Решение: Функция \(y = x^2\) чётная: \((-x)^2 = x^2\), поэтому её график симметричен относительно оси \(y\).\nA неверно: симметрия относительно начала координат бывает у нечётных функций.\nB и D неверны: функция убывает при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\), на всей области определения монотонной не является. Ответ: C. ### 24. Задача 210 (Арифметическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，则 \(a_5 =\)？ English: If the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), then \(a_5 =\)? Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), то \(a_5 =\)? A. \(11\) B. \(5\) C. \(9\) D. \(7\) Ответ: C Решение: Разность прогрессии \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\). Общий член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). \(a_5 = 1 + 4\cdot 2 = 9\). Ответ: C. ### 25. Задача 211 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)。 English: If \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha=\). Русский: Если \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha=\). A. \(\dfrac{-7}{8}\) B. \(\dfrac{7}{8}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(\dfrac{-1}{2}\) Ответ: C Решение: Формула двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). Подставляем \(\sin^2\alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\). Ответ: C. ### 26. Задача 212 (Прямая) 中文: 已知直线 \(l_1\)：\(y=x+3\)，直线 \(l_2\) 经过点 \(A(1,0)\) 和 \(B(0,1)\)，则直线 \(l_1\) 和直线 \(l_2\) 的交点为： English: Given line \(l_1\): \(y=x+3\), and line \(l_2\) passing through points \(A(1,0)\) and \(B(0,1)\), the intersection point of \(l_1\) and \(l_2\) is: Русский: Дана прямая \(l_1\): \(y=x+3\) и прямая \(l_2\), проходящая через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\). Точка пересечения прямых \(l_1\) и \(l_2\) равна: A. \(\left(\dfrac{-3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\) B. \((-2,1)\) C. \((-1,2)\) D. \((0,3)\) Ответ: C Решение: Уравнение прямой \(l_2\), проходящей через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\), имеет вид \(y = -x + 1\). Приравниваем правые части уравнений прямых: \(x + 3 = -x + 1\). Решаем уравнение: \(2x = -2\), откуда \(x = -1\). Подставляем \(x = -1\) в уравнение \(l_1\): \(y = -1 + 3 = 2\). Точка пересечения прямых равна \((-1, 2)\). Ответ: C. ### 27. Задача 213 (Окружность) 中文: 若圆经过点 \(A(2,2)\)，且圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为： English: If a circle passes through point \(A(2,2)\) and has center \((2,0)\), then the equation of the circle is: Русский: Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то уравнение окружности имеет вид: A. \((x-2)^2+(y-2)^2=4\) B. \((x-2)^2+y^2=2\) C. \((x-2)^2+y^2=4\) D. \(x^2+(y-2)^2=2\) Ответ: C Решение: Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому её уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\). Окружность проходит через точку \(A(2, 2)\), подставляем координаты для нахождения радиуса. Вычисляем квадрат радиуса: \(R^2 = (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0 + 4 = 4\). Записываем итоговое уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\). Ответ: C. ### 28. Задача 214 (Гипербола) 中文: 双曲线 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点为： English: The foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are: Русский: Фокусы гиперболы \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны: A. \((\pm 25,0)\) B. \((0,\pm 25)\) C. \((0,\pm 5)\) D. \((\pm 5,0)\) Ответ: D Решение: Из канонического уравнения гиперболы определяем параметры: \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 9\). Находим квадрат расстояния от центра до фокуса: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\). Отсюда \(c = 5\). Так как член с \(x^2\) положительный, фокусы расположены на оси абсцисс. Координаты фокусов равны \((\pm 5, 0)\). Ответ: D. ### 29. Задача 215 (Логарифмы) 中文: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\)。 English: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\). Русский: \(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\). A. \(3\) B. \(2\) C. \(0\) D. \(4\) Ответ: A Решение: Логарифм единицы по любому основанию равен нулю: \(\log_5 1 = 0\). Переходим к основанию 5 во втором логарифме: \(\log_{25} 4 = \dfrac{\log_5 4}{\log_5 25} = \dfrac{\log_5 4}{2}\). Делим первый логарифм на полученное выражение: \(\dfrac{\log_5 8}{\frac{\log_5 4}{2}} = \dfrac{2 \log_5 8}{\log_5 4}\). Используем свойства логарифмов: \(\log_5 8 = 3 \log_5 2\) и \(\log_5 4 = 2 \log_5 2\). Подставляем и сокращаем: \(\dfrac{2 \cdot 3 \log_5 2}{2 \log_5 2} = 3\). Ответ: A. ### 30. Задача 216 (Геометрическая прогрессия) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\)，则通项 \(a_n=\)。 English: If the sequence \(\{a_n\}\) is \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), then the general term \(a_n=\). Русский: Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), то общий член \(a_n=\). A. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) B. \(\dfrac{1}{2^n}\) C. \((-1)^{n-1}\cdot \dfrac{1}{2^n}\) D. \((-1)^n\cdot \dfrac{1}{2^n}\) Ответ: C Решение: Последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\). Находим знаменатель прогрессии: \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\). Формула общего члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем значения: \(a_n = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\). Выносим знак минус из основания степени: \(a_n = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\). Ответ: C. ### 31. Задача 217 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 下列关于函数 \(y=\cos x\) 说法正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y=\cos x\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно? A. The graph of the function is symmetric about the origin / 函数的图象关于原点对称 / График функции симметричен относительно начала координат B. The function has infinitely many zeros / 函数有无数个零点 / Функция имеет бесконечно много нулей C. \(\cos\pi=\cos 2\pi\) D. The function is monotonically increasing on \([2\pi,3\pi]\) / 函数在 \([2\pi,3\pi]\) 上单调递增 / Функция монотонно возрастает на \([2\pi,3\pi]\) Ответ: B Решение: График \(y=\cos x\) симметричен относительно оси ординат, а не начала координат, A неверно. Уравнение \(\cos x=0\) имеет решения \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть нулей бесконечно много, B верно. \(\cos\pi=-1\), а \(\cos 2\pi=1\), значения не равны, C неверно. На \([2\pi,3\pi]\) косинус сначала убывает, затем возрастает, монотонности нет, D неверно. Ответ: B. ### 32. Задача 218 (Парабола) 中文: 关于抛物线 \(y=\dfrac{x^2}{4}\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the parabola \(y=\dfrac{x^2}{4}\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о параболе \(y=\dfrac{x^2}{4}\) верно? A. The axis of symmetry is \(y=0\) / 对称轴为 \(y=0\) / Осью симметрии является \(y=0\) B. The parabola passes through the point \((4,-4)\) / 抛物线过点 \((4,-4)\) / Парабола проходит через точку \((4,-4)\) C. The focus is \((0,\pm 1)\) / 焦点为 \((0,\pm 1)\) / Фокусом является \((0,\pm 1)\) D. The directrix is \(y=-1\) / 准线为 \(y=-1\) / Директрисой является \(y=-1\) Ответ: D Решение: Приведём уравнение параболы к каноническому виду: \(x^2 = 4y\). Сравнивая с формулой \(x^2 = 2py\), получаем \(2p = 4\), откуда \(p = 2\). Фокус параболы находится в точке \((0, \dfrac{p}{2}) = (0, 1)\), поэтому вариант C неверен. Директриса задаётся уравнением \(y = -\dfrac{p}{2} = -1\). Ось симметрии — прямая \(x = 0\), а не \(y = 0\), что исключает вариант A. При \(x = 4\) значение \(y = \dfrac{16}{4} = 4 \neq -4\), поэтому вариант B неверен. Ответ: D. ### 33. Задача 219 (Прямая) 中文: 关于三条直线 \(l_1:x+2y+1=0\)，\(l_2:x-y=0\)，\(l_3:2x-y+8=0\)，下列说法正确的是： English: Which of the following statements about the three lines \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о трёх прямых \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) верно? A. \(l_1\) is parallel to \(l_3\) / \(l_1\) 平行于 \(l_3\) / \(l_1\) параллельна \(l_3\) B. \(l_1\) is perpendicular to \(l_2\) / \(l_1\) 垂直于 \(l_2\) / \(l_1\) перпендикулярна \(l_2\) C. \(l_1\) is parallel to \(l_2\) / \(l_1\) 平行于 \(l_2\) / \(l_1\) параллельна \(l_2\) D. \(l_1\) is perpendicular to \(l_3\) / \(l_1\) 垂直于 \(l_3\) / \(l_1\) перпендикулярна \(l_3\) Ответ: D Решение: Угловые коэффициенты: \( l_1: y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \), \( k_1=-\dfrac{1}{2} \); \( l_2: k_2=1 \); \( l_3: k_3=2 \). Параллельность требует равных коэффициентов: \( k_1\neq k_2 \) и \( k_1\neq k_3 \), варианты A и C неверны. Перпендикулярность: \( k_1k_2=-\dfrac{1}{2}\neq -1 \), вариант B неверен; \( k_1k_3=-\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1 \), значит \( l_1\perp l_3 \). Ответ: D. ### 34. Задача 220 (Основные тождества и формулы суммы) 中文: 已知 \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\) English: Given that \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) and \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\) Русский: Дано, что \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) и \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), тогда \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\) A. \(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) B. \(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) C. \(2-\sqrt{3}\) D. \(2+\sqrt{3}\) Ответ: C Решение: Представим угол как разность: \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\). Применим формулу тангенса разности: \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\). Подставим известные значения: \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\). Умножим числитель и знаменатель на 3: \(\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\). Избавимся от иррациональности, умножив на сопряжённое выражение \(3 - \sqrt{3}\): \(\dfrac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}\). Ответ: C. ### 35. Задача 221 (Область определения и значений) 中文: 函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) 的定义域是： English: The domain of the function \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) is: Русский: Область определения функции \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\): A. \([-3,+\infty)\) B. \((-3,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) C. \((0,2)\cup(2,+\infty)\) D. \([-3,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) Ответ: C Решение: Область определения функции задаётся системой ограничений для каждого её элемента. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x + 3 \geq 0\), откуда \(x \geq -3\). Знаменатель дроби не может равняться нулю: \(x - 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(x > 0\). Пересечение условий \(x \geq -3\) и \(x > 0\) даёт \(x > 0\). Исключая точку \(x = 2\), получаем область определения \((0, 2) \cup (2, +\infty)\). Ответ: C. ### 36. Задача 222 (Двойной и половинный угол) 中文: 若 \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\)，且 \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) English: If \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) and \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) Русский: Если \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) и \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\) A. \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) B. \(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) C. \(\pm 2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) D. \(2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) Ответ: A Решение: Из условия \(\alpha \in \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) следует, что \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right]\). В этом промежутке синус положителен, поэтому берём только знак плюс в формуле половинного угла. Применим формулу: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\). Подставим \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\). Упростим результат: \(\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\). Ответ: A. ### 37. Задача 223 (Углы, значения и формулы приведения) 中文: 关于诱导公式，下列表达式正确的是： English: Which of the following expressions about reduction formulas is correct? Русский: Какое из следующих выражений для формул приведения является верным? A. \(\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha\) B. \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha\) C. \(\tan(\pi + \alpha) = -\tan \alpha\) D. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha\) Ответ: B Решение: Проверяем вариант A: \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), знак неверный. Вариант B: \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \), косинус периодичен с \( 2\pi \) и чётен, верно. Вариант C: \( \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha \), знак неверный. Вариант D: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \), а не \( \sin \alpha \). Ответ: B. ### 38. Задача 224 (Двойной и половинный угол) 中文: 已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) ， \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\) ，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是： English: Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) and \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\), the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is: Русский: Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\). Тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно: A. \(\dfrac{-1}{2}\) B. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Ответ: D Решение: По формуле половинного угла \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2} \). Подставляем: \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} \). Так как \( \alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) \), то \( \dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), синус положителен. Значит \( \sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \). Ответ: D. ### 39. Задача 225 (Графики и свойства тригонометрических функций) 中文: 下列关于函数 \(y = \tan(-2x)\) 的说法，正确的是： English: Which of the following statements about the function \(y = \tan(-2x)\) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(y = \tan(-2x)\) является верным? A. The function is bounded on its domain / 函数在定义域上有界 / Функция ограничена на своей области определения B. The domain of the function is \(\mathbb{R}\) / 函数的定义域为 \(\mathbb{R}\) / Область определения функции — \(\mathbb{R}\) C. The fundamental period of the function is \(\pi\) / 函数的最小正周期为 \(\pi\) / Наименьший положительный период функции равен \(\pi\) D. The function is monotonically decreasing on \(\left(\dfrac{-\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) / 函数在 \(\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) 上单调递减 / Функция монотонно убывает на \(\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)\) Ответ: D Решение: Тангенс не ограничен, поэтому A неверно. Область определения исключает точки \( x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \), поэтому B неверно. Период равен \( \dfrac{\pi}{2} \), а не \( \pi \), поэтому C неверно. На \( \left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right) \) аргумент \( -2x \) убывает, а тангенс возрастает, значит функция убывает. Ответ: D. ### 40. Задача 226 (Эллипс) 中文: 若椭圆 \(C\) 的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 4，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\) ，则 \(C\) 的方程是： English: If the center of ellipse \(C\) is at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal distance is 4, and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is: Русский: Если центр эллипса \(C\) находится в начале координат, его фокусы лежат на оси \(y\), фокусное расстояние равно 4, а эксцентриситет равен \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид: A. \(\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{8} = 1\) B. \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1\) C. \(\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1\) D. \(\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{12} = 1\) Ответ: C Решение: Фокусное расстояние \( 2c = 4 \), значит \( c = 2 \). Эксцентриситет \( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \), откуда \( a = 3 \), \( a^2 = 9 \). Тогда \( b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5 \). Фокусы на оси \( y \), большая полуось вдоль \( y \): \( \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \). Ответ: C. ### 41. Задача 227 (Рекуррентные последовательности и суммы) 中文: 若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = n^3 + n^2 + n\)，则通项 \(a_n =\) English: If the sum of the first \(n\) terms of the sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n = n^3 + n^2 + n\), then the general term \(a_n =\) Русский: Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n = n^3 + n^2 + n\), то общий член \(a_n =\) A. \(3n^2 - n + 1\) B. \(n^2 + n + 1\) C. \(3n^2 + n + 1\) D. \(3n^2 + 2n + 1\) Ответ: A Решение: Для \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + n^2 + n - \left((n-1)^3 + (n-1)^2 + (n-1)\right) \). Раскрываем: \( (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \), \( (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \). Вычитаем: \( a_n = 3n^2 - 3n + 1 + 2n - 1 + 1 = 3n^2 - n + 1 \). Проверка: \( a_1 = S_1 = 3 \), и по формуле \( 3 - 1 + 1 = 3 \), совпадает. Ответ: A. ### 42. Задача 228 (Логарифмы) 中文: 关于对数函数下面说法正确的是： English: Which of the following statements about logarithmic functions is correct? Русский: Какое из следующих утверждений о логарифмических функциях является верным? A. \(\log_2 3 < \log_3 5\) B. If \(\log_a x > \log_a x^2\) ( \(a > 1\) ), then \(0 < x < 1\) / 若 \(\log_a x > \log_a x^2\)（ \(a > 1\) ），则 \(0 < x < 1\) / Если \(\log_a x > \log_a x^2\) ( \(a > 1\) ), то \(0 < x < 1\) C. \(\log_{100} 10 = \log_{10} 1\) D. If \(\log_a x > \log_b x\), then \(a > b\) / 若 \(\log_a x > \log_b x\)，则 \(a > b\) / Если \(\log_a x > \log_b x\), то \(a > b\) Ответ: B Решение: При \(a>1\) функция \(\log_a t\) возрастает, поэтому из \(\log_a x > \log_a x^2\) следует \(x > x^2\) при \(x>0\). Неравенство \(x > x^2\) равносильно \(x(1-x)>0\), откуда \(0 \log_3 2\), но \(a 0\) ）的说法，正确的是： English: Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) is correct? Русский: Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) верно? A. The foci of the ellipse lie on the \(x\)-axis / 椭圆的焦点在 \(x\) 轴上 / Фокусы эллипса лежат на оси \(x\) B. The sum of the distances from any point on the ellipse to the two foci is equal to \(2a\) / 椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于 \(2a\) / Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов равна \(2a\) C. The center of the ellipse is at the origin / 椭圆的中心在原点 / Центр эллипса находится в начале координат D. The eccentricity of the ellipse is \(e = \dfrac{b}{a}\) / 椭圆的离心率为 \(e = \dfrac{b}{a}\) / Эксцентриситет эллипса равен \(e = \dfrac{b}{a}\) Ответ: C Решение: Уравнение \( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) — каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, поэтому C верно.\nA неверно: без условия \( a > b \) фокусы могут лежать и на оси \( y \).\nB неверно: сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси, а \( a \) не обязана быть большей.\nD неверно: эксцентриситет равен \( e = \dfrac{c}{a} \) при \( a > b \), а не \( \dfrac{b}{a} \). Ответ: C. ### 44. Задача 230 (Векторы) 中文: 已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}|=1\)， \(|\boldsymbol{b}|=1\)， \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\)，且 \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\)（ \(\lambda\in\mathbb{R}\) ），则 \(|\boldsymbol{c}|\) 的最小值为： English: Given that plane vectors \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) satisfy \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), and \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ), the minimum value of \(|\boldsymbol{c}|\) is: Русский: Даны плоские векторы \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\), удовлетворяющие условиям \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), и \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ). Наименьшее значение \(|\boldsymbol{c}|\) равно: A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(1\) D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) Ответ: A Решение: \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2\lambda(1-\lambda)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + (1-\lambda)^2|\boldsymbol{b}|^2 \). Подставляем \( |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 \), \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2} \): \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2 - \lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2 = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \). Минимум квадратичной функции при \( \lambda = \dfrac{1}{2} \): \( 3\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} \). Тогда \( |\boldsymbol{c}|_{\min} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \). Ответ: A. ### 45. Задача 231 (Геометрическая прогрессия) 中文: 设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\)（ \(n = 1, 2, \ldots\) ），则 \(S_n\) = English: Let the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) be \(S_n\), and \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ), then \(S_n\) = Русский: Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), причём \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ). Тогда \(S_n\) = A. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n - \dfrac{2}{3}\) B. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2}\) C. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n - \dfrac{3}{2}\) D. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{2}{3}\) Ответ: B Решение: При \( n = 1 \): \( 2a_1 = 3a_2 - 3 \), а \( a_2 = qa_1 \), значит \( a_1(2 - 3q) = -3 \). Записываем условие для \( n \) и \( n-1 \) и вычитаем: \( 2a_n = 3a_{n+1} - 3a_n \), то есть \( 3a_{n+1} = 5a_n \), \( q = \dfrac{5}{3} \). Подставляем \( q = \dfrac{5}{3} \): \( a_1(2 - 5) = -3 \), откуда \( a_1 = 1 \). Сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - 1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2} \). Ответ: B. ### 46. Задача 232 (Комплексные числа) 中文: 若 \(z = -1 + i\)，其中 \(i\) 为虚数单位，则 \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) = English: If \(z = -1 + i\), where \(i\) is the imaginary unit, then \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) = Русский: Если \(z = -1 + i\), где \(i\) — мнимая единица, то \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) = A. \(\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i\) B. \(2\) C. \(\dfrac{3}{2} - \left(\dfrac{1}{2}\right)i\) D. \(1\) Ответ: C Решение: \( z + 1 = i \), \( z + 2 = 1 + i \). \( \dfrac{z+1}{z+2} = \dfrac{i}{1+i} = \dfrac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1+i}{2} \). \( \dfrac{z+2}{z+1} = \dfrac{1+i}{i} = \dfrac{(1+i)(-i)}{i\cdot(-i)} = 1 - i \). Складываем: \( \dfrac{1+i}{2} + (1 - i) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i + 1 - i = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i \). Ответ: C. ### 47. Задача 233 (Арифметическая прогрессия) 中文: 已知 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)， \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\)，令 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)，则 \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) = English: Given that \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\), let \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), then \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) = Русский: Дано, что \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\). Пусть \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), тогда \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) = A. \(n(n + 1)\) B. \(n(n - 1)\) C. \(\dfrac{n^2}{2}\) D. \(n^2\) Ответ: A Решение: \( b_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2 \). Значит \( \{b_n\} \) — арифметическая прогрессия с разностью \( 2 \). \( b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 2 \), поэтому \( b_n = 2 + 2(n-1) = 2n \). \( S_n = 2 + 4 + \cdots + 2n = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \). Ответ: A. ### 48. Задача 234 (Классическая вероятность) 中文: 已知有 \(n\) 个编号互不相同的白球和 \(n\) 个编号互不相同的红球。现从中随机取出 \(n\) 个球，设取出球的颜色交替出现（白、红、白、……；或红、白、红、……）的概率为 \(P(n)\)，则下列关系正确的是： English: There are \(n\) white balls with distinct labels and \(n\) red balls with distinct labels. From these, \(n\) balls are randomly selected. Let \(P(n)\) be the probability that the colors of the selected balls alternate (white, red, white, …; or red, white, red, …). Which of the following relations is correct? Русский: Имеется \(n\) белых шаров с различными номерами и \(n\) красных шаров с различными номерами. Из них случайным образом выбирают \(n\) шаров. Пусть \(P(n)\) — вероятность того, что цвета выбранных шаров чередуются (белый, красный, белый, …; или красный, белый, красный, …). Какое из следующих соотношений верно? A. \(P(2)>P(4)>P(6)\) B. \(P(2)>P(6)>P(4)\) C. \(P(6)>P(4)>P(2)\) D. \(P(4)>P(2)>P(6)\) Ответ: A Решение: Шары вынимают по одному, порядок важен: всего последовательностей \(2n(2n-1)\cdots(n+1)\). При чётном \(n=2k\) чередующихся последовательностей \(2\cdot\left(n(n-1)\cdots(n-k+1)\right)^2\): выбираем, с какого цвета начать, и по порядку ставим \(k\) белых и \(k\) красных. \(P(2)=\dfrac{2\cdot 2^2}{4\cdot 3}=\dfrac{2}{3}\), \(P(4)=\dfrac{2\cdot(4\cdot 3)^2}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}=\dfrac{6}{35}\), \(P(6)=\dfrac{2\cdot(6\cdot 5\cdot 4)^2}{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\dfrac{10}{231}\). \(\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{35}>\dfrac{10}{231}\), то есть \(P(2)>P(4)>P(6)\). Ответ: A.