# CSCA Math: Март 2026 (March 2026)

Источник: CSCA Math Exam, https://cscamathexam.com/exam-mar-2026-p1.html

### 1. Задача 97 (Множества)

中文: 设集合 \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\)。下列说法正确的是：

English: Let \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\) be a set. Which of the following statements is correct?

Русский: Пусть дано множество \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\). Какое из следующих утверждений является верным?

A. \(-3 \in A\)
B. \(3 \in A\)
C. \(-2 \in A\)
D. \(2 \notin A\)

Ответ: B

Решение: Множество \(A = (-2, 3]\): левый конец не входит, правый входит.
\(-3 < -2\), значит \(-3 \notin A\), A неверно.
\(3\) входит, так как неравенство справа нестрогое, \(3 \in A\).
\(-2\) не входит, так как неравенство слева строгое, C неверно.
\(2 \in A\), так как \(-2 < 2 \le 3\), D неверно.
Ответ: B.

### 2. Задача 98 (Множества)

中文: 设集合 \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\)，\(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\)。则 \(M \cap N =\)

English: Let \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) and \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\) be two sets. Then \(M \cap N =\)

Русский: Пусть даны множества \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) и \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\). Тогда \(M \cap N =\)

A. \([-4, 2)\)
B. \((-5, 2)\)
C. \([-5, 2]\)
D. \((-4, 2)\)

Ответ: A

Решение: \(M = [-5, 2)\), \(N = [-4, 2]\).
Пересечение берёт общую часть: левая граница \(\max(-5, -4) = -4\), входит.
Правая граница \(\min\) по значению равна \(2\), но в \(M\) точка \(2\) не входит.
Значит \(M \cap N = [-4, 2)\).
Ответ: A.

### 3. Задача 99 (Квадратные неравенства)

中文: 不等式 \(x^2 - x - 6 > 0\) 的解集是：

English: The solution set of the inequality \(x^2 - x - 6 > 0\) is:

Русский: Множество решений неравенства \(x^2 - x - 6 > 0\):

A. \(\{x \mid x < -2\) or \(x > 3\}\) / \(\{x \mid x < -2\) 或 \(x > 3\}\) / \(\{x \mid x < -2\) или \(x > 3\}\)
B. \(\{x \mid -2 < x < 3\}\)
C. \(\{x \mid x > 3\}\)
D. \(\{x \mid x < -2\}\)

Ответ: A

Решение: Раскладываем квадратный трёхчлен: \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\).
Корни: \(x = 3\) и \(x = -2\), ветви параболы направлены вверх.
Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями: \(x < -2\) или \(x > 3\).
Ответ: A.

### 4. Задача 100 (Область определения и значений)

中文: 函数 \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) 的定义域是：

English: The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) is:

Русский: Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\):

A. \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)
B. \(\mathbb{R}\)
C. \((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\)
D. \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)

Ответ: D

Решение: Область определения задаётся условием: знаменатель не равен нулю.
\(1 - x \neq 0\), значит \(x \neq 1\).
Область определения: \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\).
Ответ: D.

### 5. Задача 101 (Координаты и расстояния)

中文: 若 \(a = -2\)，\(ab < 0\)，则点 \((a, b)\) 位于：

English: If \(a = -2\), \(ab < 0\), then the point \((a, b)\) belongs to:

Русский: Если \(a = -2\), \(ab < 0\), то точка \((a, b)\) находится в:

A. the third quadrant / 第三象限 / третья четверть
B. the fourth quadrant / 第四象限 / четвёртая четверть
C. the second quadrant / 第二象限 / вторая четверть
D. the first quadrant / 第一象限 / первая четверть

Ответ: C

Решение: Дано \(a = -2 < 0\).
Из \(ab < 0\) следует, что \(a\) и \(b\) разных знаков, значит \(b > 0\).
Точка с отрицательной абсциссой и положительной ординатой лежит во второй четверти.
Ответ: C.

### 6. Задача 102 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 设 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)。则 \(\cos\alpha =\)

English: Let \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Then \(\cos\alpha =\)

Русский: Пусть \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Тогда \(\cos\alpha =\)

A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(-\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), угол во второй четверти, косинус отрицателен.
По формуле приведения: \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.

### 7. Задача 103 (Монотонность и чётность)

中文: 在其定义域上，函数 \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) 是：

English: Over its domain, the function \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) is:

Русский: На своей области определения функция \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) является:

A. uncertain about its parity / 无法确定其奇偶性 / неопределено её чётность
B. neither odd nor even / 既非奇函数也非偶函数 / не является ни нечётной, ни чётной функцией
C. odd / 奇函数 / нечётная функция
D. even / 偶函数 / чётная функция

Ответ: D

Решение: Область определения: \(x^{2}>0\), то есть \(x\neq0\), она симметрична относительно нуля.
\(f(-x)=\ln((-x)^{2})=\ln(x^{2})=f(x)\).
Значит, функция чётная.
Ответ: D.

### 8. Задача 104 (Обратная функция и преобразования графиков)

中文: 函数 \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) 的反函数是：

English: The inverse function of \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) is:

Русский: Обратная функция к \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) равна:

A. \(y = \dfrac{x+2}{2x-3}\)
B. \(y = \dfrac{2x-3}{x+2}\)
C. \(y = -\dfrac{2x-3}{x+2}\)
D. \(y = -\dfrac{x+2}{2x-3}\)

Ответ: D

Решение: Выражаем \(x\) из \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\): \(y(2x+1)=3x-2\).
\(2xy+y=3x-2\), \(x(2y-3)=-y-2\), \(x=\dfrac{-y-2}{2y-3}=-\dfrac{y+2}{2y-3}\).
Меняем \(x\) и \(y\): \(y=-\dfrac{x+2}{2x-3}\).
Ответ: D.

### 9. Задача 105 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(f(x)=\sin x\) 单调递增的区间是：

English: The function \(f(x)=\sin x\) is monotonic increasing over:

Русский: Функция \(f(x)=\sin x\) монотонно возрастает на:

A. \([\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]\)
B. \([-\pi, \pi]\)
C. \((-\infty, +\infty)\)
D. \([0, \pi]\)

Ответ: A

Решение: Производная \((\sin x)'=\cos x\), а \(\cos x\ge0\) при \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).
На \([-\pi,\pi]\) и на \([0,\pi]\) функция сначала возрастает, потом убывает, на всей прямой тоже не монотонна.
Значит, синус возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Ответ: A.

### 10. Задача 106 (Арифметическая прогрессия)

中文: 设 \(\{a_n\}\) 是等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。则 \(a_{100}=\)

English: Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence with first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)

Русский: Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)

A. \(298\)
B. \(299\)
C. \(302\)
D. \(305\)

Ответ: B

Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\).
\(a_{100}=2+99\cdot3=2+297=299\).
Ответ: B.

### 11. Задача 107 (Дробные неравенства и неравенства с модулем)

中文: 不等式 \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) 的解集是：

English: The solution set of the inequality \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) is:

Русский: Множество решений неравенства \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) равно:

A. \(\left[\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right]\)
B. \(\left(\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right)\)
C. \(\left(\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right]\)
D. \(\left[\dfrac{4}{3},\, \dfrac{3}{2}\right)\)

Ответ: C

Решение: Нули числителя и знаменателя: \(2x-3=0\) даёт \(x=\dfrac{3}{2}\), \(3x-4=0\) даёт \(x=\dfrac{4}{3}\).
Методом интервалов дробь \(\le0\) между корнями: \(x\in\left[\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).
Знаменатель не может быть нулём, поэтому \(x=\dfrac{4}{3}\) исключаем, а \(x=\dfrac{3}{2}\) входит.
Итог: \(\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).
Ответ: C.

### 12. Задача 108 (Геометрическая прогрессия)

中文: 3和12的等比中项是：

English: The geometric mean of 3 and 12 is:

Русский: Среднее геометрическое чисел 3 и 12 равно:

A. \(\pm 10\)
B. \(\pm 8\)
C. \(\pm 4\)
D. \(\pm 6\)

Ответ: D

Решение: Среднее геометрическое двух положительных чисел \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле \(\pm\sqrt{ab}\).
Подставляем значения: \(\pm\sqrt{3 \cdot 12} = \pm\sqrt{36}\).
Извлекаем корень: \(\pm 6\).
Ответ: D.

### 13. Задача 109 (Прямая)

中文: 直线\(x+\sqrt{3}\,y-2=0\)的倾斜角是：

English: The angle of inclination of the line \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) is:

Русский: Угол наклона прямой \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) равен:

A. \(150°\)
B. \(60°\)
C. \(30°\)
D. \(120°\)

Ответ: A

Решение: Запишем уравнение прямой в виде \(y=kx+b\): \(\sqrt{3}\,y=-x+2\), \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).
Угловой коэффициент \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Угол наклона берётся от \(0°\) до \(180°\), при отрицательном тангенсе угол тупой.
\(\alpha=180°-30°=150°\).
Ответ: A.

### 14. Задача 110 (Решение треугольников)

中文: 若三角形\(ABC\)的三边分别为\(BC=5\)，\(AC=12\)，\(AB=13\)，则\(\sin A\)等于：

English: If a triangle \(ABC\) has sides \(BC=5\), \(AC=12\), \(AB=13\), then \(\sin A\) is:

Русский: Если в треугольнике \(ABC\) стороны \(BC=5\), \(AC=12\), \(AB=13\), то \(\sin A\) равен:

A. \(\dfrac{5}{13}\)
B. \(\dfrac{5}{12}\)
C. \(\dfrac{12}{13}\)
D. \(\dfrac{7}{12}\)

Ответ: A

Решение: Проверим: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\), треугольник прямоугольный с прямым углом \(C\).
Угол \(A\) лежит против стороны \(BC=5\), гипотенуза \(AB=13\).
\(\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{13}\).
Ответ: A.

### 15. Задача 111 (Геометрическая прогрессия)

中文: 在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=4\)，\(a_4=32\)，则\(a_3\)等于：

English: In a geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=4\) and \(a_4=32\), then \(a_3\) is:

Русский: В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=4\) и \(a_4=32\), то \(a_3\) равен:

A. \(8\)
B. \(16\)
C. \(-8\)
D. \(-16\)

Ответ: B

Решение: В геометрической прогрессии \(a_4=a_1q^3\), значит \(32=4q^3\), \(q^3=8\), \(q=2\).
Тогда \(a_3=a_1q^2=4\cdot 4=16\).
Варианты с минусом невозможны: \(q^3=8\) даёт единственный действительный корень \(q=2\).
Ответ: B.

### 16. Задача 58 (Координаты и расстояния)

中文: 下列哪个点在第三象限？

English: Which of the following points is in the third quadrant?

Русский: Какая из следующих точек находится в третьей четверти?

A. \((-1,2)\)
B. \((-1,-2)\)
C. \((1,2)\)
D. \((1,-2)\)

Ответ: B

Решение: В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\).
Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными.
\((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.
Ответ: B.

### 17. Задача 112 (Координаты и расстояния)

中文: 已知点\(A(-2,-1)\)和\(B(a,3)\)，且\(|AB|=5\)，则\(a\)的值为：

English: Let \(A(-2,-1)\) and \(B(a,3)\) be two points, and \(|AB|=5\). Then the value of \(a\) is:

Русский: Даны точки \(A(-2,-1)\) и \(B(a,3)\), причём \(|AB|=5\). Тогда значение \(a\) равно:

A. \(\pm 5\)
B. \(\pm 1\)
C. \(-1\) или \(5\)
D. \(1\) или \(-5\)

Ответ: D

Решение: По формуле расстояния \(|AB|^2=(a+2)^2+(3+1)^2=25\).
\((a+2)^2+16=25\), \((a+2)^2=9\), \(a+2=\pm 3\).
Отсюда \(a=1\) или \(a=-5\).
Ответ: D.

### 18. Задача 113 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 经过两点 \(M(0,-1)\) 和 \(N(-2,0)\)，则 \(l\) 的方程为：

English: Suppose that a line \(l\) passes through two points \(M(0,-1)\) and \(N(-2,0)\). Then the equation of \(l\) is:

Русский: Пусть прямая \(l\) проходит через две точки \(M(0,-1)\) и \(N(-2,0)\). Тогда уравнение прямой \(l\):

A. \(2x+y+2=0\)
B. \(x+y+2=0\)
C. \(2x+y+1=0\)
D. \(x+2y+2=0\)

Ответ: D

Решение: Угловой коэффициент прямой \(k=\dfrac{0-(-1)}{-2-0}=-\dfrac{1}{2}\).
Уравнение через точку \(M(0,-1)\): \(y=-\dfrac{1}{2}x-1\).
Умножаем на \(2\) и переносим всё влево: \(x+2y+2=0\).
Проверка точки \(N(-2,0)\): \(-2+0+2=0\), верно.
Ответ: D.

### 19. Задача 75 (Показательная функция)

中文: 下列哪个不等式是正确的：

English: Which of the following inequalities is correct?

Русский: Какое из следующих неравенств верно?

A. \(2.1^{-2}>1.2^{-2}\)
B. \(0.75^{-0.2}>0.75^{-0.4}\)
C. \(3^{2.25}>3^3\)
D. \(2.1^{2/3}>1.2^{2/3}\)

Ответ: D

Решение: Степенная функция \(y = x^{2/3}\) возрастает при \(x > 0\), так как показатель \(\dfrac{2}{3} > 0\).
Поскольку \(2.1 > 1.2 > 0\), получаем \(2.1^{2/3} > 1.2^{2/3}\), что совпадает с вариантом D.
В варианте A: \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\), так как \(2.1^2 > 1.2^2\).
В варианте B: основание \(0.75 < 1\), поэтому при большем показателе значение меньше, то есть \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).
В варианте C: основание \(3 > 1\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).
Ответ: D.

### 20. Задача 114 (Окружность)

中文: 圆心在 A(-3, 2), 半径为3的圆的方程是：

English: A circle centered at A(-3, 2), with a radius 3 has equation:

Русский: Уравнение круга с центром A(-3, 2) и радиусом 3:

A. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 3\)
B. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\)
C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9\)
D. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3\)

Ответ: B

Решение: Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Подставляем центр \(A(-3, 2)\): \(a = -3\), \(b = 2\), получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).
Радиус \(r = 3\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 9\).
Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\).
Ответ: B.

### 21. Задача 115 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 下列哪个是正确的？

English: Which of the following is correct?

Русский: Какое из следующих утверждений верно?

A. \(\tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x},\ \sin x \neq 0\)
B. \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x},\ \cos x \neq 0\)
C. \(\tan x = \dfrac{1}{\sin x},\ \sin x \neq 0\)
D. \(\tan x = \dfrac{1}{\cos x},\ \cos x \neq 0\)

Ответ: B

Решение: По определению тангенса: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).
Тангенс не определён, когда знаменатель равен нулю, поэтому требуется \(\cos x \neq 0\).
Вариант A перевёрнут, это котангенс; варианты C и D дают \(\dfrac{1}{\sin x}\) и \(\dfrac{1}{\cos x}\), что не является тангенсом.
Ответ: B.

### 22. Задача 116 (Арифметическая прогрессия)

中文: 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{10}=\)

English: In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=1\) and its common difference \(d=2\), then \(a_{10}=\)

Русский: В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=1\) и разность \(d=2\), то \(a_{10}=\)

A. \(19\)
B. \(17\)
C. \(15\)
D. \(21\)

Ответ: A

Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Подставляем \(a_1=1\), \(d=2\), \(n=10\): \(a_{10}=1+9\cdot 2=19\).
Ответ: A.

### 23. Задача 117 (Свойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое)

中文: 设 a > b。则下列哪个是正确的？

English: Let a > b. Then which of the following is correct?

Русский: Пусть a > b. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(a^3 > b^3\)
B. \(|a| > |b|\)
C. \(a^2 > b^2\)
D. \(|a| < |b|\)

Ответ: A

Решение: Функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому из \(a > b\) следует \(a^3 > b^3\).
Вариант B неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) имеем \(a > b\), но \(|a| = 1 < 2 = |b|\).
Вариант C неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) получаем \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).
Вариант D неверен: при \(a = 2\), \(b = 1\) имеем \(|a| = 2 > 1 = |b|\).
Ответ: A.

### 24. Задача 118 (Окружность)

中文: 圆心为(-3,2),半径为2的圆的方程是？

English: Which of the following is the equation of a circle with center (-3,2) and radius 2?

Русский: Уравнение круга с центром (-3,2) и радиусом 2?

A. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\)
B. \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\)
C. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4\)
D. \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)

Ответ: B

Решение: Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).
Радиус \(r = 2\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 4\).
Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\).
Ответ: B.

### 25. Задача 119 (Показательная функция)

中文: 若指数函数 \(y=a^x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增，则 \(a\) 的取值范围是：

English: If the exponential function \(y=a^x\) is monotonically increasing on \(\mathbb{R}\), then the range of \(a\) is:

Русский: Если показательная функция \(y=a^x\) монотонно возрастает на \(\mathbb{R}\), то множество значений \(a\):

A. \(a>1\) / \(a>1\) / \(a>1\)
B. \(a<0\) or \(a>1\) / \(a<0\) 或 \(a>1\) / \(a<0\) или \(a>1\)
C. \(0<a<1\) / \(0<a<1\) / \(0<a<1\)
D. \(a>0\) / \(a>0\) / \(a>0\)

Ответ: A

Решение: Показательная функция \(y=a^x\) определена при \(a>0\), \(a\neq 1\).
При \(a>1\) она возрастает на \(\mathbb{R}\), при \(0<a<1\) — убывает.
Значит условию возрастания отвечает \(a>1\).
Ответ: A.

### 26. Задача 120 (Двойной и половинный угол)

中文: 若 \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\cos 2a=\)

English: If \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\cos 2a=\)

Русский: Если \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), то \(\cos 2a=\)

A. \(\dfrac{2}{3}\)
B. \(\dfrac{1}{3}\)
C. \(-\dfrac{1}{3}\)
D. \(-\dfrac{2}{3}\)

Ответ: B

Решение: Используем формулу двойного угла: \(\cos 2a=1-2\sin^2 a\).
Подставляем \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\): \(\sin^2 a=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).
Тогда \(\cos 2a=1-2\cdot\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\).
Ответ: B.

### 27. Задача 121 (Прямая)

中文: 若三条直线 \(ax+2y+8=0\)、\(4x+3y=10\) 和 \(2x-y=10\) 交于一点，则 \(a=\)

English: If three lines \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) and \(2x-y=10\) intersect at one point, then \(a=\)

Русский: Если три прямые \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) и \(2x-y=10\) пересекаются в одной точке, то \(a=\)

A. \(1\)
B. \(-1\)
C. \(3\)
D. \(-3\)

Ответ: B

Решение: Находим точку пересечения двух известных прямых: складываем \(4x+3y=10\) и утроенное \(2x-y=10\), получаем \(10x=40\), \(x=4\).
Тогда \(y=2x-10=-2\), точка пересечения \((4;-2)\).
Подставляем её в первую прямую: \(4a+2\cdot(-2)+8=0\), \(4a+4=0\), \(a=-1\).
Ответ: B.

### 28. Задача 122 (Гипербола)

中文: 设 \(mx^2+ny^2=1\) 表示双曲线，则 \(m\)、\(n\) 满足：

English: Let \(mx^2+ny^2=1\) be a hyperbola. Then \(m\) and \(n\) satisfy:

Русский: Пусть \(mx^2+ny^2=1\) задаёт гиперболу. Тогда \(m\) и \(n\) удовлетворяют условию:

A. \(mn>1\) / \(mn>1\) / \(mn>1\)
B. \(mn<0\) / \(mn<0\) / \(mn<0\)
C. \(mn<1\) / \(mn<1\) / \(mn<1\)
D. \(mn>0\) / \(mn>0\) / \(mn>0\)

Ответ: B

Решение: Каноническое уравнение гиперболы: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) или \(\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1\).
Значит, в уравнении \(mx^2+ny^2=1\) коэффициенты \(m\) и \(n\) должны иметь разные знаки.
Произведение чисел разных знаков отрицательно: \(mn<0\).
Ответ: B.

### 29. Задача 123 (Логарифмы)

中文: 设 \(a=\lg 4\)，\(b=\lg 5\)，则 \(a+2b=\)

English: Let \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Then \(a+2b=\)

Русский: Пусть \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Тогда \(a+2b=\)

A. \(100\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(2\)

Ответ: D

Решение: По свойству логарифмов \(2b=2\lg 5=\lg 25\).
Тогда \(a+2b=\lg 4+\lg 25=\lg(4\cdot 25)=\lg 100\).
Так как \(\lg 100=2\), получаем \(a+2b=2\).
Ответ: D.

### 30. Задача 81 (Координаты и расстояния)

中文: 点 \(P(-1,2)\) 和 \(Q(3,1)\) 之间的距离是：

English: The distance between the points \(P(-1,2)\) and \(Q(3,1)\) is:

Русский: Расстояние между точками \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\) равно:

A. \(\sqrt{5}\)
B. \(\sqrt{17}\)
C. \(\sqrt{13}\)
D. \(5\)

Ответ: B

Решение: Применяем формулу расстояния между двумя точками: \(|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем координаты точек \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\): \(|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}\).
Вычисляем разности координат: \(3 - (-1) = 4\) и \(1 - 2 = -1\).
Возводим в квадрат и суммируем: \(4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17\).
Получаем расстояние \(|PQ| = \sqrt{17}\).
Ответ: B.

### 31. Задача 124 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 函数 \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) 的最小正周期是

English: The minimum positive period of the function \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) is

Русский: Наименьший положительный период функции \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) равен

A. \(\dfrac{\pi}{4}\)
B. \(2\pi\)
C. \(\dfrac{\pi}{2}\)
D. \(\dfrac{\pi}{3}\)

Ответ: C

Решение: Период функции \(\cos(kx+b)\) равен \(T=\dfrac{2\pi}{k}\).
Здесь \(k=4\), поэтому \(T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\).
Ответ: C.

### 32. Задача 125 (Парабола)

中文: 抛物线 \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) 的准线方程是

English: The equation of the directrix of the parabola \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) is

Русский: Уравнение директрисы параболы \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\):

A. \(y=\dfrac{1}{16}\)
B. \(x=\dfrac{1}{16}\)
C. \(y=1\)
D. \(x=1\)

Ответ: C

Решение: Перепишем уравнение: \(x^2=-4y\), это каноническое уравнение \(x^2=-2py\).
Отсюда \(2p=4\), \(p=2\), ветви направлены вниз.
Директриса параболы \(x^2=-2py\) — прямая \(y=\dfrac{p}{2}=1\).
Ответ: C.

### 33. Задача 126 (Прямая)

中文: 与直线 \(4x-2y-1=0\) 平行的直线是

English: The line that is parallel to \(4x-2y-1=0\) is

Русский: Прямая, параллельная прямой \(4x-2y-1=0\):

A. \(x+2y-1=0\)
B. \(2x-y-1=0\)
C. \(2x+y-1=0\)
D. \(x-2y-1=0\)

Ответ: B

Решение: Угловой коэффициент прямой \(4x-2y-1=0\): \(y=2x-\dfrac{1}{2}\), то есть \(k=2\).
Параллельная прямая должна иметь тот же коэффициент \(k=2\).
Вариант B: \(2x-y-1=0\) даёт \(y=2x-1\), \(k=2\), подходит.
Остальные: A даёт \(k=-\dfrac{1}{2}\), C даёт \(k=-2\), D даёт \(k=\dfrac{1}{2}\).
Ответ: B.

### 34. Задача 85 (Двойной и половинный угол)

中文: 假设 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，那么 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：

English: Suppose that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:

Русский: Предположим, что \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:

A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\dfrac{-1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

Ответ: B

Решение: Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), то есть в первой четверти, где синус положителен.
Применяем формулу половинного угла: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).
Подставляем \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/2}{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Вариант A отрицателен, варианты C и D не равны полученному значению.
Ответ: B.

### 35. Задача 127 (Основные тождества и формулы суммы)

中文: 设\(\alpha\)，\(\beta\)为锐角，则下列哪个是正确的？

English: Let \(\alpha\), \(\beta\) be acute angles. Then which of the following is correct?

Русский: Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы. Какое из следующих утверждений верно?

A. \(\sin\alpha+\sin\beta<\sin(\alpha+\beta)\)
B. \(\cos(\alpha-\beta)<\cos(\alpha+\beta)\)
C. \(\cos\alpha\cos\beta<\cos(\alpha+\beta)\)
D. \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\)

Ответ: D

Решение: Проверим вариант D: разность \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\).
Так как \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы, \(\cos\alpha>0\) и \(\sin\beta>0\), значит разность строго положительна.
Следовательно, \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) верно всегда для острых углов.
Вариант A неверен: при малых углах \(\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)\).
Вариант B неверен: при \(\alpha=\beta\) получаем \(1<\cos 2\alpha\), что ложно.
Вариант C неверен: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha\cos\beta\), а не наоборот.
Ответ: D.

### 36. Задача 128 (Область определения и значений)

中文: 函数\(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\)（\(x\in\mathbb{R}\)）的值域是：

English: The range of the function \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)) is:

Русский: Область значений функции \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)):

A. \((0,1]\)
B. \([0,1]\)
C. \([0,1)\)
D. \((0,1)\)

Ответ: A

Решение: Для любого действительного \(x\) модуль \(|x|\geqslant 0\), поэтому знаменатель \(1+|x|\geqslant 1\).
Дробь \(\dfrac{1}{1+|x|}\) принимает наибольшее значение \(1\) при \(x=0\).
При \(|x|\to\infty\) знаменатель неограниченно растёт, а значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает.
Значит, множество значений функции — полуинтервал \((0,1]\).
Ответ: A.

### 37. Задача 90 (Парабола)

中文: 抛物线 \(y^{2}=-x\) 的准线方程是：

English: The equation of the directrix of the parabola \(y^{2}=-x\) is:

Русский: Уравнение директрисы параболы \(y^{2}=-x\) равно:

A. \(x=\dfrac{1}{4}\)
B. \(x=\dfrac{-1}{4}\)
C. \(x=\dfrac{-1}{2}\)
D. \(x=\dfrac{1}{2}\)

Ответ: A

Решение: Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^{2}=2px\).
Из уравнения \(y^{2}=-x\) получаем \(2p=-1\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).
Директриса параболы задаётся уравнением \(x=-\dfrac{p}{2}\).
Подставляем: \(x=-\dfrac{-1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\).
Ответ: A.

### 38. Задача 129 (Двойной и половинный угол)

中文: 若\(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)且\(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\)，则\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

English: If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) and \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), then \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

Русский: Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

A. \(-\sqrt{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
D. \(\sqrt{2}\)

Ответ: C

Решение: Угол \(\alpha\) лежит в четвёртой четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).
Находим синус: \(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).
Используем формулу тангенса половинного угла: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).
Подставляем значения: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: C.

### 39. Задача 130 (Углы, значения и формулы приведения)

中文: 若\(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

English: If \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

Русский: Если \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

A. \(-\dfrac{1}{3}\)
B. \(-2\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
C. \(\dfrac{1}{3}\)
D. \(2\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

Ответ: A

Решение: По формуле приведения \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha \).
Подставляем \( \sin\alpha=\dfrac{1}{3} \), получаем \( -\dfrac{1}{3} \).
Ответ: A.

### 40. Задача 131 (Графики и свойства тригонометрических функций)

中文: 关于函数\(f(x)=\tan x\)的描述，下列哪个是错误的？

English: Which of the following descriptions about the function \(f(x)=\tan x\) is incorrect?

Русский: Какое из следующих утверждений о функции \(f(x)=\tan x\) неверно?

A. \(f(x)\) satisfies \(f(-x)=-f(x)\) on its domain / \(f(x)\)在其定义域上满足\(f(-x)=-f(x)\) / \(f(x)\) удовлетворяет условию \(f(-x)=-f(x)\) на своей области определения
B. \(f(x)\) is even / \(f(x)\)是偶函数 / \(f(x)\) — чётная функция
C. \(f(x)\) is monotonically increasing over \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) / \(f(x)\)在区间\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上单调递增 / \(f(x)\) монотонно возрастает на интервале \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)
D. \(f(x)\) has exactly one zero on the interval \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) / \(f(x)\)在区间\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上恰有一个零点 / \(f(x)\) имеет ровно один нуль на интервале \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)

Ответ: B

Решение: Тангенс нечётный: \( f(-x)=\tan(-x)=-\tan x \), значит A верно, а B неверно.
На \( \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( \tan x \) возрастает, C верно.
Единственный ноль на этом интервале в точке \( x=0 \), D верно.
Ответ: B.

### 41. Задача 132 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 在数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=\dfrac{1}{2}\)，且 \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\)，\(n\ge 1\)，则 \(a_6=\)

English: In the sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=\dfrac{1}{2}\) and \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), then \(a_6=\)

Русский: В последовательности \(\{a_n\}\), если \(a_1=\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), то \(a_6=\)

A. \(\dfrac{1}{7}\)
B. \(\dfrac{1}{6}\)
C. \(\dfrac{1}{9}\)
D. \(\dfrac{1}{8}\)

Ответ: A

Решение: Пусть \( b_n=\dfrac{1}{a_n} \), тогда \( b_{n+1}=b_n+1 \) — арифметическая прогрессия.
\( b_1=\dfrac{1}{a_1}=2 \), значит \( b_n=2+(n-1)=n+1 \).
Тогда \( b_6=7 \) и \( a_6=\dfrac{1}{7} \).
Ответ: A.

### 42. Задача 133 (Логарифмы)

中文: 设 \(f(x)=\log_5(2x+1)\)，则不等式 \(f(x)\ge 0\) 的解集是：

English: Let \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Then the solution set of \(f(x)\ge 0\) is:

Русский: Пусть \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Тогда множество решений неравенства \(f(x)\ge 0\):

A. \(\{x \mid x > 1\}\)
B. \(\{x \mid x > 0\}\)
C. \(\{x \mid x \geq 0\}\)
D. \(\{x \mid x \geq 1\}\)

Ответ: C

Решение: Неравенство \( \log_5(2x+1)\ge 0 \) равносильно \( 2x+1\ge 5^0=1 \), так как основание \( 5>1 \).
Отсюда \( 2x\ge 0 \), то есть \( x\ge 0 \), при этом область определения \( x>-\dfrac{1}{2} \) выполнена.
Ответ: C.

### 43. Задача 134 (Эллипс)

中文: 已知椭圆的长轴长为 \(10\)，两焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 分别在 \((3,0)\) 和 \((-3,0)\)，则该椭圆的方程为：

English: Suppose that the major axis of an ellipse is \(10\), and the two foci \(F_1\), \(F_2\) are located at \((3,0)\) and \((-3,0)\). The equation of the ellipse is:

Русский: Допустим, большая ось эллипса равна \(10\), а два фокуса \(F_1\), \(F_2\) расположены в точках \((3,0)\) и \((-3,0)\). Уравнение эллипса:

A. \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)
B. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)
C. \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1\)
D. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1\)

Ответ: A

Решение: Большая ось \( 2a=10 \), значит \( a=5 \), \( a^2=25 \).
Фокусы \( (\pm 3,0) \) дают \( c=3 \), \( c^2=9 \).
Тогда \( b^2=a^2-c^2=25-9=16 \), фокусы на оси \( x \), значит больший знаменатель под \( x^2 \).
Уравнение: \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \).
Ответ: A.

### 44. Задача 135 (Векторы)

中文: 设 \(\vec{a}=(-2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则 \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

English: Let \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Then \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

Русский: Пусть \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Тогда \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

A. \((-6,1)\)
B. \((-6,-1)\)
C. \((6,-1)\)
D. \((6,1)\)

Ответ: A

Решение: \(2\vec{b}=(4,2)\)
\(\vec{a}-2\vec{b}=(-2-4,\ 3-2)=(-6,1)\)
Ответ: A.

### 45. Задача 136 (Прямая)

中文: 若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1\)：\(x+2y+4=0\)，且经过直线 \(l_2\)：\(x+y+1=0\) 和 \(l_3\)：\(2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为：

English: Suppose that a straight line \(l\) is perpendicular to line \(l_1\): \(x+2y+4=0\), and passes through the intersection of \(l_2\): \(x+y+1=0\) and \(l_3\): \(2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is:

Русский: Допустим, прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1\): \(x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2\): \(x+y+1=0\) и \(l_3\): \(2x+y-1=0\). Уравнение прямой \(l\):

A. \(2x - y - 7 = 0\)
B. \(x - 2y - 1 = 0\)
C. \(2x + y - 5 = 0\)
D. \(x + 2y - 3 = 0\)

Ответ: A

Решение: Решаем систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\): вычитаем, получаем \(x=2\), тогда \(y=-3\)
Прямая \(l\) проходит через точку \((2,-3)\)
Нормаль \(l_1\) равна \((1,2)\), значит направляющий вектор \(l_1\) равен \((2,-1)\)
Прямая \(l\) перпендикулярна \(l_1\), поэтому её нормаль \((2,-1)\) и уравнение \(2x-y+C=0\)
Подставляем \((2,-3)\): \(4+3+C=0\), откуда \(C=-7\), то есть \(2x-y-7=0\)
Ответ: A.

### 46. Задача 137 (Комплексные числа)

中文: 设 \(z_1\) 和 \(z_2\) 是方程 \(z^2-2z+2=0\) 的两个根。令 \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\)，则 \(a_4=\)

English: Suppose that \(z_1\) and \(z_2\) are two roots of the equation \(z^2-2z+2=0\). Let \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Then \(a_4=\)

Русский: Допустим, \(z_1\) и \(z_2\) — два корня уравнения \(z^2-2z+2=0\). Пусть \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Тогда \(a_4=\)

A. \(32\)
B. \(-64\)
C. \(0\)
D. \(-32\)

Ответ: C

Решение: Корни уравнения \(z^2-2z+2=0\): \(z_{1,2}=1\pm i\).
\((1+i)^2=2i\), значит \((1+i)^4=(2i)^2=-4\); так же \((1-i)^2=-2i\) и \((1-i)^4=-4\).
\(a_4=(z_1^4-z_2^4)^2=(-4-(-4))^2=0\).
Ответ: C.

### 47. Задача 138 (Рекуррентные последовательности и суммы)

中文: 设 \(a_n=2^{n+1}-3n\)，\(n\ge 1\)。令 \(S_n\) 为数列的前 \(n\) 项和，则 \(S_n\) =

English: Suppose that \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of the sequence. Then \(S_n\) =

Русский: Пусть \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов последовательности. Тогда \(S_n\) =

A. \(2^{n+2}-\dfrac{3n(n+1)}{2}+4\)
B. \(2^{n+2}-3n-4\)
C. \(2^{n+2}+\dfrac{3n(n+1)}{2}-4\)
D. \(2^{n+2}-\dfrac{3n(n+1)}{2}-4\)

Ответ: D

Решение: Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3\sum_{k=1}^{n} k\).
Первая сумма геометрическая: \(2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 4\).
Вторая сумма: \(3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n(n+1)}{2}\).
Тогда \(S_n = 2^{n+2} - \dfrac{3n(n+1)}{2} - 4\).
Ответ: D.

### 48. Задача 139 (Классическая вероятность)

中文: 一个袋子里有五个大小形状完全相同的小球，包括两个红球（分别标号1和2）、两个黑球（分别标号1和2）和一个白球（标号1）。现从中随机抽取两个球（不放回）。求两个球颜色不同的概率，以及至少有一个球标号为1的概率，这两个概率分别为

English: A bag contains five balls identical in size and shape, including two red balls labeled 1 and 2, two black balls labeled 1 and 2, and one white ball labeled 1. Two balls are drawn randomly without replacement. The probability that the balls have different colors and the probability that at least one of the two balls is labeled 1 are respectively

Русский: В мешке находятся пять шаров одинакового размера и формы, включая два красных шара с номерами 1 и 2, два черных шара с номерами 1 и 2 и один белый шар с номером 1. Два шара извлекаются случайным образом без возвращения. Вероятность того, что шары имеют разные цвета, и вероятность того, что хотя бы один из двух шаров имеет номер 1, соответственно равны

A. \(\dfrac{4}{5},\ \dfrac{7}{10}\)
B. \(\dfrac{4}{5},\ \dfrac{9}{10}\)
C. \(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{7}{10}\)
D. \(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{9}{10}\)

Ответ: B

Решение: Всего способов вынуть 2 шара из 5: \( C_5^2=10 \).
Одинаковый цвет: пара красных или пара чёрных, всего 2 пары, значит разные цвета: \( 10-2=8 \) пар, \( P=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5} \).
Нет номера 1: только пара из красного 2 и чёрного 2, одна пара, значит хотя бы одна единица: \( 10-1=9 \) пар, \( P=\dfrac{9}{10} \).
Ответ: B.