如果某圆锥的侧面展开图是半径为 \(5\)，弧长为 \(8\pi\) 的扇形，那么由两条母线所界定的最大截面面积是：
If the lateral surface development of a cone is a sector with radius \(5\) and arc length \(8\pi\), then the maximum cross-sectional area defined by two generatrices is:
Если развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор с радиусом \(5\) и длиной дуги \(8\pi\), то максимальная площадь сечения, образованного двумя образующими, равна:
Решение
Образующая конуса \(l=5\), длина дуги развёртки \(8\pi\) — это длина окружности основания, значит \(2\pi r=8\pi\), \(r=4\).
Высота конуса \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{25-16}=3\).
Осевое сечение — треугольник со сторонами \(5,5,8\), его угол при вершине тупой, поэтому максимум площади \(\tfrac12 l^2\sin\varphi\) достигается при \(\varphi=90^\circ\).
\(S_{\max}=\dfrac12\cdot 5\cdot 5=\dfrac{25}{2}\).
Ответ: C.