Множество должно иметь чёткий критерий принадлежности элементов.
Варианты A, C и D содержат неопределённые слова «очень близко», «относительно хорошее», «высоко талантливые», которые не задают точного условия.
Вариант B однозначно определяет конечный список конкретных учеников определённой школы, класса и семестра.
Ответ: B.
Ошибка в источнике: варианты C и D одинаковые.
Пустое множество является подмножеством любого множества по определению.
Запись \(\emptyset \subseteq A\) верна для произвольного множества \(A\).
Вариант A неверен, так как пустое множество не обязано быть элементом \(A\).
Варианты C и D неверны, так как пустое множество не может содержать непустое множество.
Ответ: B.
Вычислим разность \((a+b)-(a-b)=2b\).
По условию \(b<0\), поэтому \(2b<0\).
Следовательно, \(a+b<a-b\).
Ответ: C.
Функция \(f(x)\) нечётная, значит \(f(-1)=-f(1)\).
При \(x>0\) задано \(f(x)=x^2+x+1\), так как \(b=1\).
Находим \(f(1)=1^2+1+1=3\).
Тогда \(f(-1)=-3\).
Ответ: C.
Чтобы найти \(f(3)\), нужно подобрать \(x\) так, чтобы \(x+1=3\), откуда \(x=2\).
Подставляем \(x=2\) в выражение \(f(x+1)=x^2+4x+3\).
Получаем \(f(3)=2^2+4\cdot 2+3=4+8+3=15\).
Ответ: A.
Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.
\(f'(x)=3x^2-1\).
\(f'(1)=3-1=2\).
Значение \(2\) стоит и в варианте B, и в варианте D; в ключе источника D.
Ответ: D.
Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный A.
По формуле синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\).
\(\sin(75^\circ-15^\circ)=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: A.
В геометрической прогрессии \(a_3 = a_1 \cdot q^2\), откуда \(8 = 2 \cdot q^2\) и \(q^2 = 4\).
Знаменатель прогрессии \(q = 2\) или \(q = -2\).
Четвёртый член равен \(a_4 = a_3 \cdot q = 8q\), то есть \(16\) или \(-16\).
Среди предложенных вариантов только \(16\) присутствует, вариант \(-16\) отсутствует.
Ответ: D.
Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между соседними членами.
В варианте A все члены равны нулю, разность \(d = 0\), это арифметическая прогрессия.
В варианте B разность \(d = 1\), общий член \(n - 3\), это арифметическая прогрессия.
В варианте C разность \(d = 2\), общий член \(2n - 1\), это арифметическая прогрессия.
В варианте D члены: \(0, 1, 3, 6, \ldots\), разности равны \(1, 2, 3, \ldots\) и не постоянны.
Ответ: D.
Ошибка в источнике: отмечен ответ A, верный B: все три прямые возрастают, круче всех \(l_3\).
Все три прямые возрастают, значит углы наклона острые и все угловые коэффициенты положительны.
На промежутке \( \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( k = \tan \alpha \) возрастает: чем круче прямая, тем больше её угловой коэффициент.
По рисунку \( l_1 \) самая пологая, \( l_2 \) круче, \( l_3 \) самая крутая.
Поэтому \( k_1 < k_2 < k_3 \).
Ответ: B.
Прямые \(x + y - 1 = 0\) и \(x + y + 2 = 0\) параллельны, так как коэффициенты при переменных пропорциональны.
Расстояние между параллельными прямыми \(ax + by + c_1 = 0\) и \(ax + by + c_2 = 0\) вычисляется по формуле \(d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
Подставляем значения: \(a = 1\), \(b = 1\), \(c_1 = -1\), \(c_2 = 2\).
Получаем \(d = \dfrac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: A.
Ошибка в источнике: данные противоречат рисунку, однозначного ответа нет. В ключе источника C.
На косоугольном чертеже отрезки вдоль оси \(x'\) сохраняют длину, вдоль оси \(y'\) уменьшаются вдвое, угол между осями \(45^\circ\).
На рисунке \(C'\) в начале координат, \(A'\) на оси \(x'\), \(B'\) на оси \(y'\), поэтому в настоящем треугольнике угол \(C\) прямой.
Но тогда \(A'B'\) не может быть перпендикулярна \(A'C'\): условие противоречит рисунку, однозначного ответа нет.
В ключе источника вариант C.
Ответ: C.
① Неверно: в основании четырёхугольной призмы может лежать не параллелограмм, а параллелепипед — призма, у которой в основании параллелограмм.
② Неверно: можно сложить тело из двух наклонных призм так, что две грани параллельны, остальные — параллелограммы, но боковые рёбра не параллельны.
③ Верно: если общие стороны соседних боковых граней параллельны, все боковые рёбра параллельны, это и есть призма.
④ Неверно: правильная призма должна быть ещё и прямой.
Верно одно утверждение.
Ответ: A.
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1=3\), откуда \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}\).
\(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-2+4=7\).
Значит \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}\).
Ответ: C.
Всего пять учеников, из них выбирают двух.
Событие M означает, что ученик A уже выбран.
Второго участника нужно выбрать из оставшихся четырёх учеников: B, C, D, E.
Каждый из этих четырёх учеников образует отдельный элементарный исход события M.
Количество элементарных исходов равно 4.
Ответ: B.
Ошибка в источнике: отмечен ответ \(0.7\), верный \(0.3\).
Нормальная кривая симметрична относительно прямой \(x=\mu\).
Точки \(4\) и \(2\mu-4\) симметричны относительно \(\mu\): их середина \(\dfrac{4+(2\mu-4)}{2}=\mu\).
Поэтому \(P(X>2\mu-4)=P(X<4)=0.3\).
Ответ: B.
Проверим вариант A: среднее равно \(\dfrac{1+a+3}{3}=2\), откуда \(a=2\).
Дисперсия набора 1, 2, 3 равна \(\dfrac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\dfrac{2}{3}\), утверждение A верно.
Вариант B неверен: линия линейной регрессии всегда проходит через точку средних \((\bar{x},\bar{y})\).
Вариант C неверен: при сильной отрицательной связи коэффициент корреляции близок к \(-1\), а не к 1.
Вариант D неверен: описанный метод является систематической выборкой, а не стратифицированной.
Ответ: A.
Среднее арифметическое выборки равно сумме всех значений, делённой на их количество.
Сумма значений: \(2 + 4 + 5 + 7 + 9 = 27\).
Количество значений в выборке равно \(5\).
Среднее значение: \(\dfrac{27}{5} = 5.4\).
Ответ: C.
Дисперсия обладает свойством: при линейном преобразовании \(y_i = ax_i + b\) дисперсия умножается на квадрат коэффициента \(a\).
Слагаемое \(b\) (сдвиг) не влияет на разброс данных и не меняет дисперсию.
В данном случае \(a = 2\), \(b = 4\), исходная дисперсия равна \(4\).
Новая дисперсия равна \(2^2 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\).
Ответ: D.
Решаем неравенство \(x^2-x-2\le 0\): корни \(x=-1\) и \(x=2\), значит \(A=[-1,\ 2]\).
Множество \(B=(0,\ +\infty)\).
Объединение \(A\cup B=[-1,\ +\infty)\): все числа от \(-1\) включительно и дальше покрываются либо \(A\), либо \(B\).
Ответ: C.
При \(x\ge 0\) уравнение \(x^2+x=0\), то есть \(x(x+1)=0\), имеет единственный корень \(x=0\): корень \(-1\) не подходит.
Значит, при \(x\ge 0\) утверждения «\(x=0\)» и «\(x^2+x=0\)» равносильны.
Условие необходимое и достаточное.
Ответ: A.
Ошибка в источнике: ни при каком \(a\) множество решений не равно \((0,2)\). В ключе источника D.
\(f'(x)=\dfrac{1}{x}-2ax+2a-1=\dfrac{-(2ax+1)(x-1)}{x}\), где \(x>0\).
Числитель обращается в ноль при \(x=1\) при любом \(a\), поэтому множество решений \(f'(x)>0\) не может быть ровно \((0,2)\).
Условие испорчено; в ключе источника вариант D, \(a=\dfrac{1}{2}\): тогда \(f'(x)>0\) на \((0,1)\).
Ответ: D.
Ошибка в источнике: в ключе источника B (одно верное утверждение). Спорно только ④: оно верно везде, где определено, то есть при \(a\ge 0\).
① Верно: корень нечётной степени определён для любых чисел и \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\).
② Неверно: \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\).
③ Верно: нужно \(x-3\ge 0\) и \(3-x\ge 0\), откуда \(x=3\).
④ Верно: \(\sqrt{a}\) определён только при \(a\ge 0\), и тогда \((\sqrt{a})^2=a\).
Верных утверждений три.
Ответ: D.
Ошибка в источнике: рисунок не подходит к вариантам ответа. В ключе источника A.
\(f'(x)>0\) там, где функция возрастает.
По рисунку функция возрастает на \((-3,-2)\) и правее точки минимума \(x=1\), то есть на \((-3,-2)\cup(1,+\infty)\).
Такого варианта нет: рисунок в источнике не подходит к вариантам ответа; в ключе источника A.
Ответ: A.
Ошибка в источнике: в условии не хватает значения \(g(1)\). В ключе источника A.
\(f'(x)=\dfrac{(g(x)+xg'(x))(x+1)-xg(x)}{(x+1)^2}\).
При \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{2g(1)+2g'(1)-g(1)}{4}=\dfrac{g(1)+2g'(1)}{4}=1\), то есть \(g(1)+2g'(1)=4\).
Без значения \(g(1)\) найти \(g'(1)\) нельзя: в условии не хватает данных; в ключе источника A.
Ответ: A.
Ошибка в источнике: промежутки вариантов B и C подходят к функции \(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\), а не к \(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\). В ключе источника C.
\(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) возрастает, когда \(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le 2x+\dfrac{\pi}{6}\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\), то есть на \(\left[-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right]\).
\(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) возрастает на \(\left[-\dfrac{5\pi}{12}+\pi k,\dfrac{\pi}{12}+\pi k\right]\) и убывает на \(\left[\dfrac{\pi}{12}+\pi k,\dfrac{7\pi}{12}+\pi k\right]\).
Промежутки из вариантов B и C подходят ко второй функции, а в варианте C они приписаны первой: условие искажено; в ключе источника C.
Ответ: C.
Ошибка в источнике: верный ответ около \(1.76\), его нет среди вариантов. В ключе источника B.
Пусть первый отряд построил \(a_1\) (в десятках тысяч), тогда \(S_8=a_1\cdot\dfrac{1-0.9^8}{1-0.9}=10\).
\(0.9^8\approx 0.43\), поэтому \(a_1=\dfrac{10\cdot 0.1}{1-0.9^8}\approx\dfrac{1}{0.57}\approx 1.76\).
Такого значения в вариантах нет, а формулы в вариантах A и B записаны с ошибкой; в ключе источника B.
Ответ: B.
Угловой коэффициент прямой \(x - 2y + 3 = 0\) равен \(\dfrac{1}{2}\).
Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент \(-2\).
Уравнение прямой через точку \((1, -2)\): \(y + 2 = -2(x - 1)\).
Раскрываем скобки: \(y + 2 = -2x + 2\), откуда \(2x + y = 0\).
Вариант B не подходит, так как при подстановке точки \((1,-2)\) получаем \(2 - 2 - 4 \neq 0\).
Ответ: D.
Ошибка в источнике: отмечен ответ C (параллельны), верный B (скрещиваются).
Точки \(G\) и \(H\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), поэтому \(GH \parallel BC\).
В призме \(BC \parallel B_1C_1\), значит \(GH \parallel B_1C_1\).
Прямая \(GH\) лежит в плоскости нижнего основания, а \(A_1B_1\) — в плоскости верхнего.
Прямая \(A_1B_1\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(B_1\), которая не лежит на \(GH\).
Две прямые лежат в параллельных плоскостях и не параллельны друг другу, следовательно, они скрещиваются.
Ответ: B.
Ошибка в источнике: отмечен ответ C, верный A.
Площадь основания равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3} \).
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \( \sqrt{3} h = 8 \), откуда \( h = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \).
Вид слева представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы \( h \), а другая — высоте треугольного основания.
Высота равностороннего треугольника со стороной 2 равна \( \sqrt{3} \).
Площадь вида слева: \( S = h \cdot \sqrt{3} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8 \).
Ответ: A.
Ошибка в источнике: при знаменателе \(1-2i\) точка лежит на мнимой оси; ответ ключа D получается при знаменателе \(1+2i\).
\(z=\dfrac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{2+4i+i+2i^2}{5}=\dfrac{5i}{5}=i\).
Точка \((0,1)\) лежит на мнимой оси и не попадает ни в одну четверть.
В ключе источника D: так получается, если в знаменателе \(1+2i\): \(z=\dfrac{(2+i)(1-2i)}{5}=\dfrac{4-3i}{5}\), четвёртая четверть.
Ответ: D.
Прибыль за единицу до 19-й включительно равна \(8 - 3 = 5\) юаней, с 20-й единицы цена продажи \(4\), прибыль \(4 - 3 = 1\) юань.
Для 18 единиц: \(18 \cdot 5 = 90 < 96\), не подходит (1 день).
Для 19 единиц: \(19 \cdot 5 = 95 < 96\), не подходит (4 дня).
Для 20 единиц: \(19 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 96\) (3 дня), для 21 единицы: \(19 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 97\) (2 дня).
Дней с прибылью не менее 96 всего \(3 + 2 = 5\), из них ровно 97 дают 2 дня.
Вероятность выбрать оба таких дня: \(\dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}\).
Ответ: B.
Ошибка в источнике: отмечен ответ C, но число \(130\) не входит в интервал \((100,130)\).
Параметры нормального распределения: \(\mu = 100\), \(\sigma^2 = 100\), откуда \(\sigma = 10\).
Интервал \((\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)\) равен \((70, 130)\).
Балл 130 совпадает с правой границей этого интервала.
Среди предложенных вариантов только отрезок \([100, 130]\) содержит значение 130 и лежит внутри области значений.
Варианты A и C не содержат точку 130, вариант D начинается строго после 130.
Ответ: B.
По таблице наибольшее число продаж (16 пар) приходится на размер 37.
Для управления запасами магазина важнее всего знать самый популярный размер обуви.
Наиболее часто встречающееся значение в наборе данных называется модой.
Среднее, медиана и размах не указывают напрямую на самый ходовой товар.
Ответ: B.
Решаем неравенство для множества \(A\): \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\), корни 1 и 2, значит \(A = [1, 2]\).
Решаем неравенство для множества \(B\): \(2^{1-x} + 1 \leq 3\), откуда \(2^{1-x} \leq 2\).
Так как основание степени больше 1, получаем \(1 - x \leq 1\), то есть \(x \geq 0\), значит \(B = [0, +\infty)\).
Пересечение множеств: \(A \cap B = [1, 2] \cap [0, +\infty) = [1, 2]\).
Ответ: A.
Ошибка в источнике: верный ответ \(2<a<\dfrac{11}{5}\), его нет среди вариантов. В ключе источника C.
Пусть \(f(x)=x^2-2ax+a+2\). Для двух различных корней на \((0,3)\) нужно: \(D>0\), \(0<a<3\), \(f(0)>0\), \(f(3)>0\).
\(D=4a^2-4(a+2)>0\), откуда \(a<-1\) или \(a>2\); \(f(0)=a+2>0\); \(f(3)=11-5a>0\), откуда \(a<\dfrac{11}{5}\).
Пересечение: \(2<a<\dfrac{11}{5}\). Такого варианта нет; в ключе источника C.
Ответ: C.
Ошибка в источнике: верный ответ \(f(x)=\dfrac{1}{3}(x^2-12x+18)\), его нет среди вариантов. В ключе источника B.
Подставим \(3-x\) вместо \(x\): \(f(3-x)+2f(x)=(3-x)^2\).
Умножим это равенство на 2 и вычтем исходное: \(3f(x)=2(3-x)^2-x^2=x^2-12x+18\).
\(f(x)=\dfrac{1}{3}(x^2-12x+18)\). Такого варианта нет; в ключе источника B.
Ответ: B.
Производная \( y = x^3 \) равна \( y' = 3x^2 \).
По условию \( 3x^2 = 3 \), откуда \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1 \), точка \( (1, 1) \).
При \( x = -1 \): \( y = -1 \), точка \( (-1, -1) \).
Ответ: C.
По правилу дифференцирования сложной функции \( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \).
Здесь \( u = 2x+1 \), \( u' = 2 \).
Тогда \( f'(x) = \dfrac{2}{2x+1} \).
Ответ: B.
Перевод радиан в градусы: умножаем на \( \dfrac{180^\circ}{\pi} \).
\( \dfrac{5\pi}{12} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 75^\circ \).
Ответ: B.
Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный C: пределы равны \(0\) и \(1\).
\( a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 0.
\( S_n \) — сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \).
\( S_n \to 1 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 1.
Оба предела существуют, но не равны: \( 0 \neq 1 \).
Ответ: C.
Ошибка в источнике: вариант C — это сама данная гипербола, формально тоже подходит. В ключе источника C.
У гиперболы \( \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1 \): \( a^2 = 4 \), \( b^2 = 9 \), \( c^2 = 13 \), \( e = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{3}{2}x \).
Вариант D: \( \dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{81} = 1 \), \( a^2 = 36 \), \( b^2 = 81 \), \( c^2 = 117 \), \( e = \dfrac{\sqrt{117}}{6} = \dfrac{3\sqrt{13}}{6} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{9}{6}x = \pm \dfrac{3}{2}x \) — совпадают.
Вариант A: другие асимптоты \( y = \pm \dfrac{2}{3}x \); B: сопряжённая гипербола с другой эксцентриситетом; C: та же самая гипербола.
Ответ: D.
Образующая конуса \(l=5\), длина дуги развёртки \(8\pi\) — это длина окружности основания, значит \(2\pi r=8\pi\), \(r=4\).
Высота конуса \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{25-16}=3\).
Осевое сечение — треугольник со сторонами \(5,5,8\), его угол при вершине тупой, поэтому максимум площади \(\tfrac12 l^2\sin\varphi\) достигается при \(\varphi=90^\circ\).
\(S_{\max}=\dfrac12\cdot 5\cdot 5=\dfrac{25}{2}\).
Ответ: C.
Ошибка в источнике: верный объём \(\dfrac{\sqrt{3}\pi}{54}\), его нет среди вариантов. В ключе источника D.
Радиус вписанного шара правильного тетраэдра \(r=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}\); при \(a=\sqrt{2}\) получаем \(r=\dfrac{\sqrt{12}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\).
\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{216}=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{54}\).
Такого варианта нет; в ключе источника D.
Ответ: D.
Простые числа от 1 до 10: \(2,3,5,7\); различные простые с суммой 10 — это \(3\) и \(7\), поэтому точки \(A(3,7)\) и \(B(7,3)\).
Проверяем варианты: для центра \((5,5)\) получаем \((3-5)^2+(7-5)^2=8\), для варианта C \(3^2+7^2=58\ne 50\).
Обе точки лежат только на окружности \((x-5)^2+(y-5)^2=8\).
Ответ: D.
Ошибка в источнике: отмечен ответ B, верный A.
Поворот по часовой стрелке на \( \dfrac{\pi}{4} \) — умножение на \( e^{-i\pi/4} \), против часовой — на \( e^{i\pi/4} \).
Совпадение концов: \( z_1 e^{-i\pi/4}=z_2 e^{i\pi/4} \), откуда \( z_2=z_1 e^{-i\pi/2}=-i z_1 \).
Вычисляем: \( z_2=-i(1+i)=1-i \).
Ответ: A.
Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.
Всего трёхзначных чисел из различных цифр: \(5\cdot4\cdot3=60\).
Число делится на \(3\), если сумма цифр делится на \(3\); подходят наборы \(\{1,2,3\},\{1,3,5\},\{2,3,4\},\{3,4,5\}\) — всего \(4\) набора.
Каждый набор даёт \(3!=6\) чисел, благоприятных \(4\cdot6=24\).
Вероятность \(P=\dfrac{24}{60}=\dfrac25\).
Ответ: D.
Ошибка в источнике: по данным условия минимум \(n=385\), такого варианта нет. В ключе источника B.
Вероятность выйти за \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\) равна \(1-0.9974=0.0026\).
\(X\) распределена по биномиальному закону, \(E(X)=0.0026n\ge 1\), откуда \(n\ge 385\).
Такого варианта нет; в ключе источника B.
Ответ: B.