设\(\alpha\)，\(\beta\)为锐角，则下列哪个是正确的？
Let \(\alpha\), \(\beta\) be acute angles. Then which of the following is correct?
Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы. Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Проверим вариант D: разность \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\).
Так как \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы, \(\cos\alpha>0\) и \(\sin\beta>0\), значит разность строго положительна.
Следовательно, \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) верно всегда для острых углов.
Вариант A неверен: при малых углах \(\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)\).
Вариант B неверен: при \(\alpha=\beta\) получаем \(1<\cos 2\alpha\), что ложно.
Вариант C неверен: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha\cos\beta\), а не наоборот.
Ответ: D.