同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы

12 задач · текстом

Задача 35 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2025年12月, № 35December 2025, № 35Декабрь 2025, № 35

已知 \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\)
Given that \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), then \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\)
Известно, что \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), тогда \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\)

Решение

Представим угол \(\dfrac{\pi}{12}\) как разность \(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).

Применим формулу косинуса разности: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}\).

Подставим известные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).

Выполним умножение дробей: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\).

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Ответ: B.

Задача 40 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2025年12月, № 40December 2025, № 40Декабрь 2025, № 40

已知 \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\)，则 \(\tan\alpha =\)
Given that \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\), then \(\tan\alpha =\)
Известно, что \(\dfrac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \dfrac{1}{3}\). Тогда \(\tan\alpha =\)

Решение

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\): \(\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{1}{3}\).

Умножаем крест-накрест: \(3(1-\tan\alpha)=1+\tan\alpha\).

Раскрываем скобки: \(3-3\tan\alpha=1+\tan\alpha\).

Переносим члены: \(2=4\tan\alpha\), откуда \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\).

Ответ: A.

Задача 82 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年1月, № 34January 2026, № 34Январь 2026, № 34

设 \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，并且 \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)。那么 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Let \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Then \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Пусть \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)

Решение

Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).

Находим синус через основное тригонометрическое тождество: \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).

Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\dfrac{\pi}{6}\sin\alpha\).

Подставляем известные значения: \(\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).

Выполняем умножение: \(-\dfrac{\sqrt{5}}{10} + \dfrac{2\sqrt{15}}{10} = \dfrac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}\).

Ответ: C.

Задача 115 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年3月, № 21March 2026, № 21Март 2026, № 21

下列哪个是正确的？
Which of the following is correct?
Какое из следующих утверждений верно?

Решение

По определению тангенса: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).

Тангенс не определён, когда знаменатель равен нулю, поэтому требуется \(\cos x \neq 0\).

Вариант A перевёрнут, это котангенс; варианты C и D дают \(\dfrac{1}{\sin x}\) и \(\dfrac{1}{\cos x}\), что не является тангенсом.

Ответ: B.

Задача 127 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年3月, № 35March 2026, № 35Март 2026, № 35

设\(\alpha\)，\(\beta\)为锐角，则下列哪个是正确的？
Let \(\alpha\), \(\beta\) be acute angles. Then which of the following is correct?
Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы. Какое из следующих утверждений верно?

Решение

Проверим вариант D: разность \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\).

Так как \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы, \(\cos\alpha>0\) и \(\sin\beta>0\), значит разность строго положительна.

Следовательно, \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) верно всегда для острых углов.

Вариант A неверен: при малых углах \(\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)\).

Вариант B неверен: при \(\alpha=\beta\) получаем \(1<\cos 2\alpha\), что ложно.

Вариант C неверен: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha\cos\beta\), а не наоборот.

Ответ: D.

Задача 159 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年4月, № 21April 2026, № 21Апрель 2026, № 21

若 \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\)，且 \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\)，则 \(\tan\alpha=\)
If \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) and \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), then \(\tan\alpha=\)
Если \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\) и \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), то \(\tan\alpha=\)

Решение

Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) находим \(\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\).

Так как \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), синус положителен: \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

Вычисляем тангенс: \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

Ответ: D.

Задача 173 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年4月, № 35April 2026, № 35Апрель 2026, № 35

\(\cos 75^{\circ}=\)
\(\cos 75^{\circ}=\)
\(\cos 75^{\circ}=\)

Решение

Представим угол как сумму: \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\).

Применяем формулу косинуса суммы: \(\cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}\).

Подставляем табличные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).

Выполняем умножение: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

Ответ: D.

Задача 206 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年6月, № 20June 2026, № 20Июнь 2026, № 20

若 \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\tan\alpha =\)？
If \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\tan\alpha =\)?
Если \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\tan\alpha =\)?

Решение

Из тождества \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) находим \(\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

Вычисляем квадрат тангенса: \(\tan^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1/2}{1/2} = 1\).

Извлекаем корень: \(\tan\alpha = \pm 1\).

Знак зависит от четверти, в которой находится угол \(\alpha\), поэтому подходят оба значения.

Ответ: B.

Задача 220 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 2026年6月, № 34June 2026, № 34Июнь 2026, № 34

已知 \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Given that \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) and \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Дано, что \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) и \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), тогда \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)

Решение

Представим угол как разность: \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).

Применим формулу тангенса разности: \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\).

Подставим известные значения: \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на 3: \(\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\).

Избавимся от иррациональности, умножив на сопряжённое выражение \(3 - \sqrt{3}\): \(\dfrac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}\).

Ответ: C.

Задача 254 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 模拟卷 CSCA Math Exam, № 20Mock: CSCA Math Exam, № 20Пробник CSCA Math Exam, № 20

若 \(\tan\alpha=2\)，则 \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)
If \(\tan\alpha=2\), then \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)
Если \(\tan\alpha=2\), то \(\dfrac{3\sin\alpha+2\cos\alpha}{4\sin\alpha-3\cos\alpha}=\)

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\).

Получим выражение \(\dfrac{3\tan\alpha + 2}{4\tan\alpha - 3}\).

Подставим \(\tan\alpha = 2\): \(\dfrac{3 \cdot 2 + 2}{4 \cdot 2 - 3} = \dfrac{6 + 2}{8 - 3}\).

Вычисляем значение дроби: \(\dfrac{8}{5}\).

Ответ: A.

Задача 268 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 模拟卷 CSCA Math Exam, № 34Mock: CSCA Math Exam, № 34Пробник CSCA Math Exam, № 34

已知\(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\)，且\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则\(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
Given \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), причём \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

Решение

Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).

Находим \(\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}\).

Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}\).

Подставляем значения: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}\).

Ответ: C.

Задача 289 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы 模拟卷 Crossline, № 7Mock: Crossline, № 7Пробник Crossline, № 7

\(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) 的值是：
The value of \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) is:
Значение выражения \(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ - \cos 75^\circ \cdot \sin 15^\circ\) равно:

Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный A.

Решение

По формуле синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\).

\(\sin(75^\circ-15^\circ)=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: A.