CSCA Math March 2026: 48 задач с решениями

1Задача 97 集合SetsМножества

设集合 \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\)。下列说法正确的是：
Let \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\) be a set. Which of the following statements is correct?
Пусть дано множество \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\). Какое из следующих утверждений является верным?

Решение

Множество \(A = (-2, 3]\): левый конец не входит, правый входит.

\(-3 < -2\), значит \(-3 \notin A\), A неверно.

\(3\) входит, так как неравенство справа нестрогое, \(3 \in A\).

\(-2\) не входит, так как неравенство слева строгое, C неверно.

\(2 \in A\), так как \(-2 < 2 \le 3\), D неверно.

Ответ: B.

2Задача 98 集合SetsМножества

设集合 \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\)，\(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\)。则 \(M \cap N =\)
Let \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) and \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\) be two sets. Then \(M \cap N =\)
Пусть даны множества \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) и \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\). Тогда \(M \cap N =\)

Решение

\(M = [-5, 2)\), \(N = [-4, 2]\).

Пересечение берёт общую часть: левая граница \(\max(-5, -4) = -4\), входит.

Правая граница \(\min\) по значению равна \(2\), но в \(M\) точка \(2\) не входит.

Значит \(M \cap N = [-4, 2)\).

Ответ: A.

3Задача 99 一元二次不等式Quadratic inequalitiesКвадратные неравенства

不等式 \(x^2 - x - 6 > 0\) 的解集是：
The solution set of the inequality \(x^2 - x - 6 > 0\) is:
Множество решений неравенства \(x^2 - x - 6 > 0\):

Решение

Раскладываем квадратный трёхчлен: \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\).

Корни: \(x = 3\) и \(x = -2\), ветви параболы направлены вверх.

Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями: \(x < -2\) или \(x > 3\).

Ответ: A.

4Задача 100 定义域与值域Domain and rangeОбласть определения и значений

函数 \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) 的定义域是：
The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\) is:
Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 - x}\):

Решение

Область определения задаётся условием: знаменатель не равен нулю.

\(1 - x \neq 0\), значит \(x \neq 1\).

Область определения: \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\).

Ответ: D.

5Задача 101 坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния

若 \(a = -2\)，\(ab < 0\)，则点 \((a, b)\) 位于：
If \(a = -2\), \(ab < 0\), then the point \((a, b)\) belongs to:
Если \(a = -2\), \(ab < 0\), то точка \((a, b)\) находится в:

Решение

Дано \(a = -2 < 0\).

Из \(ab < 0\) следует, что \(a\) и \(b\) разных знаков, значит \(b > 0\).

Точка с отрицательной абсциссой и положительной ординатой лежит во второй четверти.

Ответ: C.

6Задача 102 任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения

设 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)。则 \(\cos\alpha =\)
Let \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Then \(\cos\alpha =\)
Пусть \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Тогда \(\cos\alpha =\)

Решение

\(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), угол во второй четверти, косинус отрицателен.

По формуле приведения: \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: A.

7Задача 103 单调性与奇偶性Monotonicity and parityМонотонность и чётность

在其定义域上，函数 \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) 是：
Over its domain, the function \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) is:
На своей области определения функция \(f(x)=\ln\left(x^{2}\right)\) является:

Решение

Область определения: \(x^{2}>0\), то есть \(x\neq0\), она симметрична относительно нуля.

\(f(-x)=\ln((-x)^{2})=\ln(x^{2})=f(x)\).

Значит, функция чётная.

Ответ: D.

8Задача 104 反函数与图象变换Inverse functions and graph transformationsОбратная функция и преобразования графиков

函数 \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) 的反函数是：
The inverse function of \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) is:
Обратная функция к \(y = \dfrac{3x-2}{2x+1}\) равна:

Решение

Выражаем \(x\) из \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\): \(y(2x+1)=3x-2\).

\(2xy+y=3x-2\), \(x(2y-3)=-y-2\), \(x=\dfrac{-y-2}{2y-3}=-\dfrac{y+2}{2y-3}\).

Меняем \(x\) и \(y\): \(y=-\dfrac{x+2}{2x-3}\).

Ответ: D.

9Задача 105 三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций

函数 \(f(x)=\sin x\) 单调递增的区间是：
The function \(f(x)=\sin x\) is monotonic increasing over:
Функция \(f(x)=\sin x\) монотонно возрастает на:

Решение

Производная \((\sin x)'=\cos x\), а \(\cos x\ge0\) при \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).

На \([-\pi,\pi]\) и на \([0,\pi]\) функция сначала возрастает, потом убывает, на всей прямой тоже не монотонна.

Значит, синус возрастает на \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).

Ответ: A.

10Задача 106 等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия

设 \(\{a_n\}\) 是等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。则 \(a_{100}=\)
Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence with first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)
Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)

Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\).

\(a_{100}=2+99\cdot3=2+297=299\).

Ответ: B.

11Задача 107 分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем

不等式 \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) 的解集是：
The solution set of the inequality \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) is:
Множество решений неравенства \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) равно:

Решение

Нули числителя и знаменателя: \(2x-3=0\) даёт \(x=\dfrac{3}{2}\), \(3x-4=0\) даёт \(x=\dfrac{4}{3}\).

Методом интервалов дробь \(\le0\) между корнями: \(x\in\left[\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).

Знаменатель не может быть нулём, поэтому \(x=\dfrac{4}{3}\) исключаем, а \(x=\dfrac{3}{2}\) входит.

Итог: \(\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).

Ответ: C.

12Задача 108 等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия

3和12的等比中项是：
The geometric mean of 3 and 12 is:
Среднее геометрическое чисел 3 и 12 равно:

Решение

Среднее геометрическое двух положительных чисел \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле \(\pm\sqrt{ab}\).

Подставляем значения: \(\pm\sqrt{3 \cdot 12} = \pm\sqrt{36}\).

Извлекаем корень: \(\pm 6\).

Ответ: D.

13Задача 109 直线LinesПрямая

直线\(x+\sqrt{3}\,y-2=0\)的倾斜角是：
The angle of inclination of the line \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) is:
Угол наклона прямой \(x+\sqrt{3}\,y-2=0\) равен:

Решение

Запишем уравнение прямой в виде \(y=kx+b\): \(\sqrt{3}\,y=-x+2\), \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).

Угловой коэффициент \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Угол наклона берётся от \(0°\) до \(180°\), при отрицательном тангенсе угол тупой.

\(\alpha=180°-30°=150°\).

Ответ: A.

14Задача 110 解三角形Solving trianglesРешение треугольников

若三角形\(ABC\)的三边分别为\(BC=5\)，\(AC=12\)，\(AB=13\)，则\(\sin A\)等于：
If a triangle \(ABC\) has sides \(BC=5\), \(AC=12\), \(AB=13\), then \(\sin A\) is:
Если в треугольнике \(ABC\) стороны \(BC=5\), \(AC=12\), \(AB=13\), то \(\sin A\) равен:

Решение

Проверим: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\), треугольник прямоугольный с прямым углом \(C\).

Угол \(A\) лежит против стороны \(BC=5\), гипотенуза \(AB=13\).

\(\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{13}\).

Ответ: A.

15Задача 111 等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия

在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=4\)，\(a_4=32\)，则\(a_3\)等于：
In a geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=4\) and \(a_4=32\), then \(a_3\) is:
В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=4\) и \(a_4=32\), то \(a_3\) равен:

Решение

В геометрической прогрессии \(a_4=a_1q^3\), значит \(32=4q^3\), \(q^3=8\), \(q=2\).

Тогда \(a_3=a_1q^2=4\cdot 4=16\).

Варианты с минусом невозможны: \(q^3=8\) даёт единственный действительный корень \(q=2\).

Ответ: B.

16Задача 58 坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния

下列哪个点在第三象限？
Which of the following points is in the third quadrant?
Какая из следующих точек находится в третьей четверти?

Решение

В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\).

Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными.

\((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.

Ответ: B.

17Задача 112 坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния

已知点\(A(-2,-1)\)和\(B(a,3)\)，且\(|AB|=5\)，则\(a\)的值为：
Let \(A(-2,-1)\) and \(B(a,3)\) be two points, and \(|AB|=5\). Then the value of \(a\) is:
Даны точки \(A(-2,-1)\) и \(B(a,3)\), причём \(|AB|=5\). Тогда значение \(a\) равно:

Решение

По формуле расстояния \(|AB|^2=(a+2)^2+(3+1)^2=25\).

\((a+2)^2+16=25\), \((a+2)^2=9\), \(a+2=\pm 3\).

Отсюда \(a=1\) или \(a=-5\).

Ответ: D.

18Задача 113 直线LinesПрямая

若直线 \(l\) 经过两点 \(M(0,-1)\) 和 \(N(-2,0)\)，则 \(l\) 的方程为：
Suppose that a line \(l\) passes through two points \(M(0,-1)\) and \(N(-2,0)\). Then the equation of \(l\) is:
Пусть прямая \(l\) проходит через две точки \(M(0,-1)\) и \(N(-2,0)\). Тогда уравнение прямой \(l\):

Решение

Угловой коэффициент прямой \(k=\dfrac{0-(-1)}{-2-0}=-\dfrac{1}{2}\).

Уравнение через точку \(M(0,-1)\): \(y=-\dfrac{1}{2}x-1\).

Умножаем на \(2\) и переносим всё влево: \(x+2y+2=0\).

Проверка точки \(N(-2,0)\): \(-2+0+2=0\), верно.

Ответ: D.

19Задача 75 指数函数Exponential functionsПоказательная функция

下列哪个不等式是正确的：
Which of the following inequalities is correct?
Какое из следующих неравенств верно?

Решение

Степенная функция \(y = x^{2/3}\) возрастает при \(x > 0\), так как показатель \(\dfrac{2}{3} > 0\).

Поскольку \(2.1 > 1.2 > 0\), получаем \(2.1^{2/3} > 1.2^{2/3}\), что совпадает с вариантом D.

В варианте A: \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\), так как \(2.1^2 > 1.2^2\).

В варианте B: основание \(0.75 < 1\), поэтому при большем показателе значение меньше, то есть \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).

В варианте C: основание \(3 > 1\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).

Ответ: D.

20Задача 114 圆CirclesОкружность

圆心在 A(-3, 2), 半径为3的圆的方程是：
A circle centered at A(-3, 2), with a radius 3 has equation:
Уравнение круга с центром A(-3, 2) и радиусом 3:

Решение

Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).

Подставляем центр \(A(-3, 2)\): \(a = -3\), \(b = 2\), получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).

Радиус \(r = 3\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 9\).

Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\).

Ответ: B.

21Задача 115 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы

下列哪个是正确的？
Which of the following is correct?
Какое из следующих утверждений верно?

Решение

По определению тангенса: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).

Тангенс не определён, когда знаменатель равен нулю, поэтому требуется \(\cos x \neq 0\).

Вариант A перевёрнут, это котангенс; варианты C и D дают \(\dfrac{1}{\sin x}\) и \(\dfrac{1}{\cos x}\), что не является тангенсом.

Ответ: B.

22Задача 116 等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия

在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{10}=\)
In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=1\) and its common difference \(d=2\), then \(a_{10}=\)
В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=1\) и разность \(d=2\), то \(a_{10}=\)

Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\).

Подставляем \(a_1=1\), \(d=2\), \(n=10\): \(a_{10}=1+9\cdot 2=19\).

Ответ: A.

23Задача 117 不等式性质与基本不等式Properties of inequalities, AM-GMСвойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое

设 a > b。则下列哪个是正确的？
Let a > b. Then which of the following is correct?
Пусть a > b. Какое из следующих утверждений верно?

Решение

Функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому из \(a > b\) следует \(a^3 > b^3\).

Вариант B неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) имеем \(a > b\), но \(|a| = 1 < 2 = |b|\).

Вариант C неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) получаем \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).

Вариант D неверен: при \(a = 2\), \(b = 1\) имеем \(|a| = 2 > 1 = |b|\).

Ответ: A.

24Задача 118 圆CirclesОкружность

圆心为(-3,2),半径为2的圆的方程是？
Which of the following is the equation of a circle with center (-3,2) and radius 2?
Уравнение круга с центром (-3,2) и радиусом 2?

Решение

Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).

Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).

Радиус \(r = 2\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 4\).

Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\).

Ответ: B.

25Задача 119 指数函数Exponential functionsПоказательная функция

若指数函数 \(y=a^x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增，则 \(a\) 的取值范围是：
If the exponential function \(y=a^x\) is monotonically increasing on \(\mathbb{R}\), then the range of \(a\) is:
Если показательная функция \(y=a^x\) монотонно возрастает на \(\mathbb{R}\), то множество значений \(a\):

Решение

Показательная функция \(y=a^x\) определена при \(a>0\), \(a\neq 1\).

При \(a>1\) она возрастает на \(\mathbb{R}\), при \(0<a<1\) — убывает.

Значит условию возрастания отвечает \(a>1\).

Ответ: A.

26Задача 120 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол

若 \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\cos 2a=\)
If \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\cos 2a=\)
Если \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), то \(\cos 2a=\)

Решение

Используем формулу двойного угла: \(\cos 2a=1-2\sin^2 a\).

Подставляем \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\): \(\sin^2 a=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

Тогда \(\cos 2a=1-2\cdot\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: B.

27Задача 121 直线LinesПрямая

若三条直线 \(ax+2y+8=0\)、\(4x+3y=10\) 和 \(2x-y=10\) 交于一点，则 \(a=\)
If three lines \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) and \(2x-y=10\) intersect at one point, then \(a=\)
Если три прямые \(ax+2y+8=0\), \(4x+3y=10\) и \(2x-y=10\) пересекаются в одной точке, то \(a=\)

Решение

Находим точку пересечения двух известных прямых: складываем \(4x+3y=10\) и утроенное \(2x-y=10\), получаем \(10x=40\), \(x=4\).

Тогда \(y=2x-10=-2\), точка пересечения \((4;-2)\).

Подставляем её в первую прямую: \(4a+2\cdot(-2)+8=0\), \(4a+4=0\), \(a=-1\).

Ответ: B.

28Задача 122 双曲线HyperbolasГипербола

设 \(mx^2+ny^2=1\) 表示双曲线，则 \(m\)、\(n\) 满足：
Let \(mx^2+ny^2=1\) be a hyperbola. Then \(m\) and \(n\) satisfy:
Пусть \(mx^2+ny^2=1\) задаёт гиперболу. Тогда \(m\) и \(n\) удовлетворяют условию:

Решение

Каноническое уравнение гиперболы: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) или \(\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1\).

Значит, в уравнении \(mx^2+ny^2=1\) коэффициенты \(m\) и \(n\) должны иметь разные знаки.

Произведение чисел разных знаков отрицательно: \(mn<0\).

Ответ: B.

29Задача 123 对数函数LogarithmsЛогарифмы

设 \(a=\lg 4\)，\(b=\lg 5\)，则 \(a+2b=\)
Let \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Then \(a+2b=\)
Пусть \(a=\lg 4\), \(b=\lg 5\). Тогда \(a+2b=\)

Решение

По свойству логарифмов \(2b=2\lg 5=\lg 25\).

Тогда \(a+2b=\lg 4+\lg 25=\lg(4\cdot 25)=\lg 100\).

Так как \(\lg 100=2\), получаем \(a+2b=2\).

Ответ: D.

30Задача 81 坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния

点 \(P(-1,2)\) 和 \(Q(3,1)\) 之间的距离是：
The distance between the points \(P(-1,2)\) and \(Q(3,1)\) is:
Расстояние между точками \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\) равно:

Решение

Применяем формулу расстояния между двумя точками: \(|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Подставляем координаты точек \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\): \(|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}\).

Вычисляем разности координат: \(3 - (-1) = 4\) и \(1 - 2 = -1\).

Возводим в квадрат и суммируем: \(4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17\).

Получаем расстояние \(|PQ| = \sqrt{17}\).

Ответ: B.

31Задача 124 三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций

函数 \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) 的最小正周期是
The minimum positive period of the function \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) is
Наименьший положительный период функции \(f(x)=3\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) равен

Решение

Период функции \(\cos(kx+b)\) равен \(T=\dfrac{2\pi}{k}\).

Здесь \(k=4\), поэтому \(T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ: C.

32Задача 125 抛物线ParabolasПарабола

抛物线 \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) 的准线方程是
The equation of the directrix of the parabola \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) is
Уравнение директрисы параболы \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\):

Решение

Перепишем уравнение: \(x^2=-4y\), это каноническое уравнение \(x^2=-2py\).

Отсюда \(2p=4\), \(p=2\), ветви направлены вниз.

Директриса параболы \(x^2=-2py\) — прямая \(y=\dfrac{p}{2}=1\).

Ответ: C.

33Задача 126 直线LinesПрямая

与直线 \(4x-2y-1=0\) 平行的直线是
The line that is parallel to \(4x-2y-1=0\) is
Прямая, параллельная прямой \(4x-2y-1=0\):

Решение

Угловой коэффициент прямой \(4x-2y-1=0\): \(y=2x-\dfrac{1}{2}\), то есть \(k=2\).

Параллельная прямая должна иметь тот же коэффициент \(k=2\).

Вариант B: \(2x-y-1=0\) даёт \(y=2x-1\), \(k=2\), подходит.

Остальные: A даёт \(k=-\dfrac{1}{2}\), C даёт \(k=-2\), D даёт \(k=\dfrac{1}{2}\).

Ответ: B.

34Задача 85 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол

假设 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，那么 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：
Suppose that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:
Предположим, что \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:

Решение

Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), то есть в первой четверти, где синус положителен.

Применяем формулу половинного угла: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).

Подставляем \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/2}{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Вариант A отрицателен, варианты C и D не равны полученному значению.

Ответ: B.

35Задача 127 同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы

设\(\alpha\)，\(\beta\)为锐角，则下列哪个是正确的？
Let \(\alpha\), \(\beta\) be acute angles. Then which of the following is correct?
Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы. Какое из следующих утверждений верно?

Решение

Проверим вариант D: разность \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\).

Так как \(\alpha\) и \(\beta\) — острые углы, \(\cos\alpha>0\) и \(\sin\beta>0\), значит разность строго положительна.

Следовательно, \(\sin(\alpha-\beta)<\sin(\alpha+\beta)\) верно всегда для острых углов.

Вариант A неверен: при малых углах \(\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)\).

Вариант B неверен: при \(\alpha=\beta\) получаем \(1<\cos 2\alpha\), что ложно.

Вариант C неверен: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha\cos\beta\), а не наоборот.

Ответ: D.

36Задача 128 定义域与值域Domain and rangeОбласть определения и значений

函数\(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\)（\(x\in\mathbb{R}\)）的值域是：
The range of the function \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)) is:
Область значений функции \(f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}\) (\(x\in\mathbb{R}\)):

Решение

Для любого действительного \(x\) модуль \(|x|\geqslant 0\), поэтому знаменатель \(1+|x|\geqslant 1\).

Дробь \(\dfrac{1}{1+|x|}\) принимает наибольшее значение \(1\) при \(x=0\).

При \(|x|\to\infty\) знаменатель неограниченно растёт, а значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает.

Значит, множество значений функции — полуинтервал \((0,1]\).

Ответ: A.

37Задача 90 抛物线ParabolasПарабола

抛物线 \(y^{2}=-x\) 的准线方程是：
The equation of the directrix of the parabola \(y^{2}=-x\) is:
Уравнение директрисы параболы \(y^{2}=-x\) равно:

Решение

Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^{2}=2px\).

Из уравнения \(y^{2}=-x\) получаем \(2p=-1\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).

Директриса параболы задаётся уравнением \(x=-\dfrac{p}{2}\).

Подставляем: \(x=-\dfrac{-1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\).

Ответ: A.

38Задача 129 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол

若\(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)且\(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\)，则\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) and \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), then \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

Решение

Угол \(\alpha\) лежит в четвёртой четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).

Находим синус: \(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

Используем формулу тангенса половинного угла: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).

Подставляем значения: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: C.

39Задача 130 任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения

若\(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)
If \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)
Если \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)

Решение

По формуле приведения \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha \).

Подставляем \( \sin\alpha=\dfrac{1}{3} \), получаем \( -\dfrac{1}{3} \).

Ответ: A.

40Задача 131 三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций

关于函数\(f(x)=\tan x\)的描述，下列哪个是错误的？
Which of the following descriptions about the function \(f(x)=\tan x\) is incorrect?
Какое из следующих утверждений о функции \(f(x)=\tan x\) неверно?

Решение

Тангенс нечётный: \( f(-x)=\tan(-x)=-\tan x \), значит A верно, а B неверно.

На \( \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( \tan x \) возрастает, C верно.

Единственный ноль на этом интервале в точке \( x=0 \), D верно.

Ответ: B.

41Задача 132 递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы

在数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=\dfrac{1}{2}\)，且 \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\)，\(n\ge 1\)，则 \(a_6=\)
In the sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=\dfrac{1}{2}\) and \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), then \(a_6=\)
В последовательности \(\{a_n\}\), если \(a_1=\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), то \(a_6=\)

Решение

Пусть \( b_n=\dfrac{1}{a_n} \), тогда \( b_{n+1}=b_n+1 \) — арифметическая прогрессия.

\( b_1=\dfrac{1}{a_1}=2 \), значит \( b_n=2+(n-1)=n+1 \).

Тогда \( b_6=7 \) и \( a_6=\dfrac{1}{7} \).

Ответ: A.

42Задача 133 对数函数LogarithmsЛогарифмы

设 \(f(x)=\log_5(2x+1)\)，则不等式 \(f(x)\ge 0\) 的解集是：
Let \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Then the solution set of \(f(x)\ge 0\) is:
Пусть \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Тогда множество решений неравенства \(f(x)\ge 0\):

Решение

Неравенство \( \log_5(2x+1)\ge 0 \) равносильно \( 2x+1\ge 5^0=1 \), так как основание \( 5>1 \).

Отсюда \( 2x\ge 0 \), то есть \( x\ge 0 \), при этом область определения \( x>-\dfrac{1}{2} \) выполнена.

Ответ: C.

43Задача 134 椭圆EllipsesЭллипс

已知椭圆的长轴长为 \(10\)，两焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 分别在 \((3,0)\) 和 \((-3,0)\)，则该椭圆的方程为：
Suppose that the major axis of an ellipse is \(10\), and the two foci \(F_1\), \(F_2\) are located at \((3,0)\) and \((-3,0)\). The equation of the ellipse is:
Допустим, большая ось эллипса равна \(10\), а два фокуса \(F_1\), \(F_2\) расположены в точках \((3,0)\) и \((-3,0)\). Уравнение эллипса:

Решение

Большая ось \( 2a=10 \), значит \( a=5 \), \( a^2=25 \).

Фокусы \( (\pm 3,0) \) дают \( c=3 \), \( c^2=9 \).

Тогда \( b^2=a^2-c^2=25-9=16 \), фокусы на оси \( x \), значит больший знаменатель под \( x^2 \).

Уравнение: \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \).

Ответ: A.

44Задача 135 向量VectorsВекторы

设 \(\vec{a}=(-2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则 \(\vec{a}-2\vec{b}=\)
Let \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Then \(\vec{a}-2\vec{b}=\)
Пусть \(\vec{a}=(-2,3)\), \(\vec{b}=(2,1)\). Тогда \(\vec{a}-2\vec{b}=\)

Решение

\(2\vec{b}=(4,2)\)

\(\vec{a}-2\vec{b}=(-2-4,\ 3-2)=(-6,1)\)

Ответ: A.

45Задача 136 直线LinesПрямая

若直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_1\)：\(x+2y+4=0\)，且经过直线 \(l_2\)：\(x+y+1=0\) 和 \(l_3\)：\(2x+y-1=0\) 的交点，则 \(l\) 的方程为：
Suppose that a straight line \(l\) is perpendicular to line \(l_1\): \(x+2y+4=0\), and passes through the intersection of \(l_2\): \(x+y+1=0\) and \(l_3\): \(2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is:
Допустим, прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_1\): \(x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_2\): \(x+y+1=0\) и \(l_3\): \(2x+y-1=0\). Уравнение прямой \(l\):

Решение

Решаем систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\): вычитаем, получаем \(x=2\), тогда \(y=-3\)

Прямая \(l\) проходит через точку \((2,-3)\)

Нормаль \(l_1\) равна \((1,2)\), значит направляющий вектор \(l_1\) равен \((2,-1)\)

Прямая \(l\) перпендикулярна \(l_1\), поэтому её нормаль \((2,-1)\) и уравнение \(2x-y+C=0\)

Подставляем \((2,-3)\): \(4+3+C=0\), откуда \(C=-7\), то есть \(2x-y-7=0\)

Ответ: A.

46Задача 137 复数Complex numbersКомплексные числа

设 \(z_1\) 和 \(z_2\) 是方程 \(z^2-2z+2=0\) 的两个根。令 \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\)，则 \(a_4=\)
Suppose that \(z_1\) and \(z_2\) are two roots of the equation \(z^2-2z+2=0\). Let \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Then \(a_4=\)
Допустим, \(z_1\) и \(z_2\) — два корня уравнения \(z^2-2z+2=0\). Пусть \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Тогда \(a_4=\)

Решение

Корни уравнения \(z^2-2z+2=0\): \(z_{1,2}=1\pm i\).

\((1+i)^2=2i\), значит \((1+i)^4=(2i)^2=-4\); так же \((1-i)^2=-2i\) и \((1-i)^4=-4\).

\(a_4=(z_1^4-z_2^4)^2=(-4-(-4))^2=0\).

Ответ: C.

47Задача 138 递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы

设 \(a_n=2^{n+1}-3n\)，\(n\ge 1\)。令 \(S_n\) 为数列的前 \(n\) 项和，则 \(S_n\) =
Suppose that \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of the sequence. Then \(S_n\) =
Пусть \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов последовательности. Тогда \(S_n\) =

Решение

Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3\sum_{k=1}^{n} k\).

Первая сумма геометрическая: \(2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 4\).

Вторая сумма: \(3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n(n+1)}{2}\).

Тогда \(S_n = 2^{n+2} - \dfrac{3n(n+1)}{2} - 4\).

Ответ: D.

48Задача 139 古典概型Classical probabilityКлассическая вероятность

一个袋子里有五个大小形状完全相同的小球，包括两个红球（分别标号1和2）、两个黑球（分别标号1和2）和一个白球（标号1）。现从中随机抽取两个球（不放回）。求两个球颜色不同的概率，以及至少有一个球标号为1的概率，这两个概率分别为
A bag contains five balls identical in size and shape, including two red balls labeled 1 and 2, two black balls labeled 1 and 2, and one white ball labeled 1. Two balls are drawn randomly without replacement. The probability that the balls have different colors and the probability that at least one of the two balls is labeled 1 are respectively
В мешке находятся пять шаров одинакового размера и формы, включая два красных шара с номерами 1 и 2, два черных шара с номерами 1 и 2 и один белый шар с номером 1. Два шара извлекаются случайным образом без возвращения. Вероятность того, что шары имеют разные цвета, и вероятность того, что хотя бы один из двух шаров имеет номер 1, соответственно равны

Решение

Всего способов вынуть 2 шара из 5: \( C_5^2=10 \).

Одинаковый цвет: пара красных или пара чёрных, всего 2 пары, значит разные цвета: \( 10-2=8 \) пар, \( P=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5} \).

Нет номера 1: только пара из красного 2 и чёрного 2, одна пара, значит хотя бы одна единица: \( 10-1=9 \) пар, \( P=\dfrac{9}{10} \).

Ответ: B.

2026年3月March 2026Март 2026