若\(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)且\(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\)，则\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) and \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), then \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
Решение
Угол \(\alpha\) лежит в четвёртой четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).
Находим синус: \(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).
Используем формулу тангенса половинного угла: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).
Подставляем значения: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: C.