二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол

Задача 27 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2025年12月, № 27December 2025, № 27Декабрь 2025, № 27

若 \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\)
If \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\)
Если \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\)

Решение

Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\).

Подставляем \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^2\).

Вычисляем: \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{16} = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).

Ответ: C.

Задача 37 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2025年12月, № 37December 2025, № 37Декабрь 2025, № 37

若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\)
If \(\alpha\) is an acute angle and \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\)
Если \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2} =\)

Решение

Так как \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\).

Половина этого угла равна \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{6}\).

Угол \(\dfrac{\pi}{6}\) лежит в первой четверти, поэтому его синус положителен, варианты A и B с \(\pm\) отбрасываем.

Вычислим значение: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: D.

Задача 72 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年1月, № 24January 2026, № 24Январь 2026, № 24

如果 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 属于第一象限，则 \(\sin 2\alpha =\)
If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) and \(\alpha\) belongs to the first quadrant, then \(\sin 2\alpha =\)
Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) и \(\alpha\) находится в первой четверти, то \(\sin 2\alpha =\)

Решение

Так как угол \(\alpha\) в первой четверти, косинус положителен: \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).

По формуле синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).

Подставляем значения: \(\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}\).

Ответ: B.

Задача 84 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年1月, № 36January 2026, № 36Январь 2026, № 36

设 \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\)，并且 \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\)。那么 \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Let \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\), and \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Then \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Пусть \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Тогда \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)

Решение

Угол \(\alpha\) лежит в третьей четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\).

Находим \(\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = -\dfrac{5}{13}\).

Так как \(\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\), значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2} < 0\).

По формуле половинного угла \(\cos\dfrac{\alpha}{2} = -\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\dfrac{1 - 5/13}{2}} = -\sqrt{\dfrac{4}{13}} = -\dfrac{2}{\sqrt{13}}\).

Избавляемся от иррациональности: \(-\dfrac{2}{\sqrt{13}} = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\).

Варианты A и D положительны, вариант B не совпадает по модулю.

Ответ: C.

Задача 85 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年1月, № 37January 2026, № 37Январь 2026, № 37 2026年3月, № 34March 2026, № 34Март 2026, № 34

假设 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，那么 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：
Suppose that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:
Предположим, что \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:

Решение

Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), то есть в первой четверти, где синус положителен.

Применяем формулу половинного угла: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).

Подставляем \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/2}{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Вариант A отрицателен, варианты C и D не равны полученному значению.

Ответ: B.

Задача 120 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年3月, № 26March 2026, № 26Март 2026, № 26

若 \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\cos 2a=\)
If \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\cos 2a=\)
Если \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), то \(\cos 2a=\)

Решение

Используем формулу двойного угла: \(\cos 2a=1-2\sin^2 a\).

Подставляем \(\sin a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\): \(\sin^2 a=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

Тогда \(\cos 2a=1-2\cdot\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: B.

Задача 129 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年3月, № 38March 2026, № 38Март 2026, № 38

若\(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)且\(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\)，则\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) and \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), then \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)
Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\)

Решение

Угол \(\alpha\) лежит в четвёртой четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).

Находим синус: \(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

Используем формулу тангенса половинного угла: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).

Подставляем значения: \(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: C.

Задача 164 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年4月, № 26April 2026, № 26Апрель 2026, № 26

若 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha =\)
If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), then \(\cos 2\alpha =\)
Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{4}\), то \(\cos 2\alpha =\)

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{7}{16}\), верный \(-\dfrac{1}{8}\).

Решение

Используем формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).

Подставляем заданное значение: \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\).

Вычисляем квадрат синуса: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\).

Умножаем на два: \(2 \cdot \dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{8}\).

Находим разность: \(1 - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{8}\).

Ответ: D.

Задача 172 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年4月, № 34April 2026, № 34Апрель 2026, № 34

已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Given that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

Решение

Так как \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), значит \(\sin\dfrac{\alpha}{2} > 0\).

По формуле половинного угла \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\).

Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{2} = \dfrac{3}{4}\).

Извлекаем корень с учётом знака: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: C.

Задача 175 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年4月, № 37April 2026, № 37Апрель 2026, № 37

若 \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) ，且 \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) ，则 \(\cos\frac{\alpha}{2} =\) ：
If \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) and \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), then \(\cos\frac{\alpha}{2} =\).
Если \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) и \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\cos\frac{\alpha}{2} =\).

Решение

По формуле половинного угла \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}=\dfrac{9}{25}\).

Значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\dfrac{3}{5}\).

Из условия \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) следует \(\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}\), это первая четверть, косинус положителен.

Поэтому \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{5}\).

Ответ: C.

Задача 211 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年6月, № 25June 2026, № 25Июнь 2026, № 25

若 \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)。
If \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha=\).
Если \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha=\).

Решение

Формула двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).

Подставляем \(\sin^2\alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: C.

Задача 222 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年6月, № 36June 2026, № 36Июнь 2026, № 36

若 \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\)，且 \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
If \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) and \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Если \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) и \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)

Решение

Из условия \(\alpha \in \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) следует, что \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right]\).

В этом промежутке синус положителен, поэтому берём только знак плюс в формуле половинного угла.

Применим формулу: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).

Подставим \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\).

Упростим результат: \(\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

Ответ: A.

Задача 224 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 2026年6月, № 38June 2026, № 38Июнь 2026, № 38

已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) ， \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\) ，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：
Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) and \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\), the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:
Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\). Тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:

Решение

По формуле половинного угла \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2} \).

Подставляем: \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} \).

Так как \( \alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) \), то \( \dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), синус положителен.

Значит \( \sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: D.

Задача 258 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 模拟卷 CSCA Math Exam, № 24Mock: CSCA Math Exam, № 24Пробник CSCA Math Exam, № 24

若 \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)
If \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos 2\alpha=\)
Если \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos 2\alpha=\)

Решение

Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).

Подставляем значение косинуса: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - 1\).

Вычисляем: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = \dfrac{2}{9} - \dfrac{9}{9} = -\dfrac{7}{9}\).

Ответ: D.

Задача 270 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 模拟卷 CSCA Math Exam, № 36Mock: CSCA Math Exam, № 36Пробник CSCA Math Exam, № 36

已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，且\(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则\(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)
Given \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), then \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)
Дано \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), причём \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тогда \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)

Решение

По формуле двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).

Подставляем в дробь: \(\dfrac{2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\tan\alpha\).

Выражение принимает вид \(2\tan\alpha - \tan\alpha = \tan\alpha\).

Так как \(\alpha\) в первой четверти и \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), то \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).

Находим \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\).

Ответ: C.

Задача 273 二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол 模拟卷 CSCA Math Exam, № 39Mock: CSCA Math Exam, № 39Пробник CSCA Math Exam, № 39

已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：
Given \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) =
Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) =

Решение

Из условия \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) находим \(\alpha = \dfrac{2\pi}{3}\).

Тогда \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{3}\).

Вычисляем \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: D.