若双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) 的离心率 \(e = 2\)，则 \(a =\)
If the eccentricity of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) is \(e = 2\), then \(a =\)
Если эксцентриситет гиперболы \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{3} = 1\) \((a > 0)\) равен \(e = 2\), то \(a =\)
Решение
Для гиперболы вида \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) параметры связаны соотношением \(c^2 = a^2 + b^2\).
Из уравнения видно, что \(b^2 = 3\), значит \(c^2 = a^2 + 3\).
Эксцентриситет равен \(e = \dfrac{c}{a} = 2\), откуда \(c = 2a\).
Подставляем в соотношение: \((2a)^2 = a^2 + 3\), получаем \(4a^2 = a^2 + 3\).
Отсюда \(3a^2 = 3\), \(a^2 = 1\), и с учётом условия \(a > 0\) находим \(a = 1\).
Ответ: D.