2026年4月April 2026Апрель 2026

Множество \(B\) состоит из элементов \(1,3,4\), и все они входят в \(A\).

Значит, \(B\subseteq A\).

Вариант A неверен: \(A\) не является элементом \(B\).

Вариант B неверен: например, \(6\in A\), но \(6\notin B\).

Вариант C неверен: \(B\) не является элементом \(A\).

Ответ: D.

Пересечение состоит из чисел, удовлетворяющих обоим условиям.

Нужно одновременно \(3<x<5\) и \(x>4\).

Более сильное нижнее условие: \(x>4\), верхнее остаётся \(x<5\).

Получаем \(A\cap B=\{x\mid 4<x<5\}\).

Ответ: C.

В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\).

Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными.

\((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.

Ответ: B.

Раскладываем на множители: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\).

Корни: \(x=-1\) и \(x=3\), ветви параболы направлены вверх.

Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.

Так как неравенство нестрогое, корни включаем: \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\).

Ответ: B.

Функция задана кубическим корнем \(f(x) = \sqrt[3]{3x+1}\).

Кубический корень извлекается из любого действительного числа, в отличие от квадратного.

Выражение под корнем \(3x+1\) определено при всех действительных значениях \(x\).

Область определения функции — вся числовая прямая \((-\infty, +\infty)\).

Ответ: B.

Абсцисса точки равна \(-4\), значит точка имеет вид \(M(-4, y)\).

Расстояние до оси \(x\) равно модулю ординаты: \(|y| = 5\).

Отсюда \(y = 5\) или \(y = -5\).

Координаты точки: \((-4, 5)\) или \((-4, -5)\).

Ответ: B.

Используем формулу приведения для второй четверти: \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\).

Представляем угол как \(120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}\).

Тогда \(\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: A.

Нечётная функция должна удовлетворять условию \(f(-x) = -f(x)\) и иметь симметричную относительно нуля область определения.

Для \(y = -x\) получаем \(f(-x) = -(-x) = x = -f(x)\), условие выполнено.

Функция \(y = \sqrt{3x+2}\) имеет область определения \(x \geq -\dfrac{2}{3}\), не симметричную относительно нуля.

Функции \(y = x^2+3\) и \(y = x^3+1\) являются чётной и ни чётной ни нечётной соответственно, так как \(f(-x) \neq -f(x)\).

Ответ: D.

Угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле \(k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Подставляем координаты точек \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\): \(k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)}\).

Вычисляем разности: числитель равен \(2\), знаменатель равен \(3\).

Получаем \(k = \dfrac{2}{3}\).

Ответ: D.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y = 10x + 3\).

Переносим 3 в левую часть: \(y - 3 = 10x\).

Делим обе части на 10: \(x = \dfrac{y - 3}{10}\).

Меняем переменные местами для записи обратной функции: \(y = \dfrac{x - 3}{10}\).

Ответ: D.

\(y=-x+5\): коэффициент \(-1<0\), функция убывает на всей прямой

\(y=x^3\) возрастает на \((-\infty,+\infty)\)

\(y=x^2+1\) убывает при \(x<0\) и возрастает при \(x>0\)

\(y=\dfrac{-1}{x}\) не определена в нуле и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\)

Ответ: A.

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков

Нули: \(2x+1=0\) при \(x=-\dfrac{1}{2}\), \(x-1=0\) при \(x=1\)

На промежутке \(\left(-\dfrac{1}{2},1\right)\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь меньше нуля

Нули не входят: в \(x=-\dfrac{1}{2}\) дробь равна нулю, в \(x=1\) не определена

Ответ: B.

В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних.

Значит \(a=\dfrac{-1+15}{2}=\dfrac{14}{2}=7\).

Ответ: C.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 60^{\circ}\).

Так как \(\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\), получаем \(k=\sqrt{3}\).

Ответ: D.

Разность арифметической прогрессии равна \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).

Формула общего члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем \(n = 5\): \(a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9\).

Ответ: A.

По определению тригонометрических функций на координатной плоскости, если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от начала координат до неё равно \(r\), то косинус угла равен отношению абсциссы к этому расстоянию.

Следовательно, \(\cos \alpha = \dfrac{x}{r}\).

Вариант A даёт синус, варианты B и C дают тангенс и котангенс соответственно.

Ответ: D.

Общий член задан формулой \(a_n = 2n - 1\).

Найдём разность соседних членов: \(a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = 2\).

Разность постоянна и равна 2, значит последовательность является арифметической прогрессией.

Проверим отношение для геометрической прогрессии: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\), отношения \(\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{5}{3}\), поэтому она не геометрическая.

Ответ: C.

Используем формулу расстояния между точками: \(AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = 5\).

Возводим обе части в квадрат: \(x^2 + (-4)^2 = 25\).

Упрощаем: \(x^2 + 16 = 25\), откуда \(x^2 = 9\).

Извлекаем корень: \(x = \pm 3\).

Ответ: B.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).

Подставляем \(k = -3\) и точку \((1, 2)\): \(y - 2 = -3(x - 1)\).

Раскрываем скобки: \(y - 2 = -3x + 3\).

Переносим все члены в одну сторону: \(3x + y - 5 = 0\).

Ответ: A.

Каноническое уравнение окружности с центром \((-1,2)\) и радиусом \(3\) имеет вид \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).

Раскрываем скобки: \(x^2+2x+1+y^2-4y+4=9\).

Переносим все в левую часть: \(x^2+y^2+2x-4y+5-9=0\).

Получаем \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\).

Ответ: D.

Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) находим \(\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\).

Так как \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), синус положителен: \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

Вычисляем тангенс: \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

Ответ: D.

Для геометрической прогрессии выполняется формула \(a_4=a_1 \cdot q^3\).

Подставляем известные значения: \(6=-48 \cdot q^3\).

Делим обе части на \(-48\): \(q^3=\dfrac{6}{-48}=-\dfrac{1}{8}\).

Извлекаем кубический корень: \(q=-\dfrac{1}{2}\).

Ответ: A.

Центр окружности \((2, 0)\), значит уравнение имеет вид \((x - 2)^2 + y^2 = r^2\).

Радиус — расстояние от центра до точки \(A(2, 2)\): \(r = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).

Тогда \(r^2 = 4\), уравнение: \((x - 2)^2 + y^2 = 4\).

Ответ: B.

Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак.

Из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\) при любом рациональном \(c\).

Варианты B и C неверны, так как при \(c < 0\) знак неравенства меняется, а при \(c = 0\) деление невозможно.

Вариант D неверен, так как вычитание \(c\) даёт \(a - c > b - c\).

Ответ: A.

Показательная функция \(y = a^x\) определена при \(a > 0\) и \(a \neq 1\).

Функция монотонно убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда основание меньше единицы.

Следовательно, \(0 < a < 1\).

Вариант A допускает \(a > 1\), при котором функция возрастает.

Вариант D допускает отрицательные значения, при которых показательная функция не определена.

Ответ: B.

Используем формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).

Подставляем заданное значение: \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\).

Вычисляем квадрат синуса: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\).

Умножаем на два: \(2 \cdot \dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{8}\).

Находим разность: \(1 - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{8}\).

Ответ: D.

Решаем систему уравнений прямых: \(3x - y + 2 = 0\) и \(4x - y + 3 = 0\).

Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 3x + 2\).

Подставляем во второе: \(4x - (3x + 2) + 3 = 0\), откуда \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\).

Находим ординату: \(y = 3(-1) + 2 = -1\).

Точка пересечения имеет координаты \((-1, -1)\).

Ответ: B.

Для гиперболы вида \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) параметры связаны соотношением \(c^2 = a^2 + b^2\).

Из уравнения видно, что \(b^2 = 3\), значит \(c^2 = a^2 + 3\).

Эксцентриситет равен \(e = \dfrac{c}{a} = 2\), откуда \(c = 2a\).

Подставляем в соотношение: \((2a)^2 = a^2 + 3\), получаем \(4a^2 = a^2 + 3\).

Отсюда \(3a^2 = 3\), \(a^2 = 1\), и с учётом условия \(a > 0\) находим \(a = 1\).

Ответ: D.

Члены последовательности: \(a_1=\dfrac{1}{2}\), \(a_2=-\dfrac{1}{4}\), \(a_3=\dfrac{1}{8}\).

Знаменатель каждый раз удваивается, значит модуль равен \(\dfrac{1}{2^n}\).

Знаки чередуются, начиная с плюса, поэтому множитель \((-1)^{n-1}\).

Получаем \(a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{2^n}\).

Ответ: B.

\(\log_3 27=\log_3 3^3=3\).

\(\log_{64}16=\dfrac{\lg 16}{\lg 64}=\dfrac{4\lg 2}{6\lg 2}=\dfrac{2}{3}\).

Произведение: \(3\cdot\dfrac{2}{3}=2\).

Ответ: B.

Функция косинуса принимает значения от \(-1\) до \(1\) при любом аргументе.

Минимальное значение \(\cos 5x\) равно \(-1\).

Подставляем его в выражение функции: \(y_{\min}=-1+4=3\).

Ответ: B.

Парабола проходит через точку \((1,2)\), значит координаты точки удовлетворяют уравнению.

Подставляем \(x=1\) и \(y=2\) в уравнение \(y=ax^2\): \(2=a \cdot 1^2\).

Отсюда \(a=2\).

Ответ: B.

Запишем уравнение данной прямой в виде \(y = 2x + 2\), её угловой коэффициент равен \(2\).

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\dfrac{1}{2}\).

В варианте B уравнение \(x + 2y - 2 = 0\) приводится к виду \(y = -\dfrac{1}{2}x + 1\), угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\).

Варианты A, C и D имеют угловые коэффициенты \(-2\), \(-1\) и \(\dfrac{1}{2}\) соответственно, они не подходят.

Ответ: B.

Так как \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), значит \(\sin\dfrac{\alpha}{2} > 0\).

По формуле половинного угла \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\).

Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{2} = \dfrac{3}{4}\).

Извлекаем корень с учётом знака: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: C.

Представим угол как сумму: \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\).

Применяем формулу косинуса суммы: \(\cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}\).

Подставляем табличные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).

Выполняем умножение: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

Ответ: D.

Область определения функции \(f(x)\) есть \((-1, 0)\), поэтому аргумент функции \(f(x^2 - 1)\) должен удовлетворять неравенству \(-1 < x^2 - 1 < 0\).

Прибавляем 1 ко всем частям: \(0 < x^2 < 1\).

Неравенство \(x^2 > 0\) означает, что \(x \neq 0\).

Неравенство \(x^2 < 1\) даёт \(-1 < x < 1\).

Пересечение условий: \(x \in (-1, 0) \cup (0, 1)\).

Ответ: C.

По формуле половинного угла \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}=\dfrac{9}{25}\).

Значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\dfrac{3}{5}\).

Из условия \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) следует \(\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}\), это первая четверть, косинус положителен.

Поэтому \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{5}\).

Ответ: C.

Проверяем формулы приведения для каждого варианта.

Вариант A: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.

Вариант B: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\), это верное тождество.

Вариант C: \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\), а не \(\cos\alpha\), вариант неверен.

Вариант D: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.

Ответ: B.

Период функции \(y=\tan x\) равен \(\pi\).

При замене аргумента на \(3x+\dfrac{\pi}{4}\) период делится на коэффициент при \(x\).

Минимальный положительный период: \(T=\dfrac{\pi}{3}\).

Ответ: A.

Фокусное расстояние \(2c=4\), значит \(c=2\).

Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\), откуда \(a=3\), \(a^2=9\).

Тогда \(b^2=a^2-c^2=9-4=5\).

Фокусы на оси \(y\), поэтому больший знаменатель под \(y^2\): \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\).

Ответ: C.

\(a_2=(-1)^2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\).

\(a_3=(-1)^3\cdot 2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\).

\(a_4=(-1)^4\cdot 2\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}\).

Ответ: B.

Для логарифма требуется \(|x-5|>0\), то есть \(x \ne 5\).

Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(\lg|x-5| \ne 0\), значит \(|x-5| \ne 1\).

Отсюда \(x-5 \ne \pm 1\), то есть \(x \ne 4\) и \(x \ne 6\).

Область определения: все действительные числа, кроме \(4\), \(5\), \(6\).

Ответ: A.

Для эллипса \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) большая полуось \(a_0=3\), малая \(b_0=2\), фокусы на оси \(y\).

\(c^2=a_0^2-b_0^2=9-4=5\), значит \(c=\sqrt{5}\).

Малая ось эллипса \(C\) равна \(4\sqrt{5}\), поэтому \(2b=4\sqrt{5}\), \(b=2\sqrt{5}\), \(b^2=20\).

\(a^2=b^2+c^2=20+5=25\), фокусы на оси \(y\), значит больший знаменатель под \(y^2\).

Уравнение: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\).

Ответ: A.

\(\vec{BE}=\vec{BC}+\vec{CE}\).

\(\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{b}\) как противоположные стороны квадрата.

\(E\) — середина \(CD\), поэтому \(\vec{CE}=\dfrac{1}{2}\vec{CD}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).

\(\vec{BE}=\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).

Ответ: B.

При \(n=1\): \(2S_1=3a_2-3\), то есть \(2a_1=3a_1q-3\).

При \(n\ge 2\): \(2S_n=3a_{n+1}-3\) и \(2S_{n-1}=3a_n-3\); вычитая, \(2a_n=3a_{n+1}-3a_n\), значит \(3a_{n+1}=5a_n\), \(q=\dfrac{5}{3}\).

Подставляем \(q=\dfrac{5}{3}\) в \(2a_1=3a_1q-3\): \(2a_1=5a_1-3\), \(a_1=1\).

\(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\).

Ответ: A.

Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2z - zi - 4i + 2i^2 = 5\).

Поскольку \(i^2 = -1\), получаем \(2z - zi - 4i - 2 = 5\), откуда \(2z - zi = 7 + 4i\).

Вынесем \(z\): \(z(2 - i) = 7 + 4i\), значит \(z = \dfrac{7 + 4i}{2 - i}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(2 + i\).

Числитель: \((7 + 4i)(2 + i) = 14 + 7i + 8i + 4i^2 = 14 + 15i - 4 = 10 + 15i\).

Знаменатель: \((2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5\). Тогда \(z = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i\).

Ответ: A.

При \(n=1\): \(S_1=a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{1}{3}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_1=1\).

При \(n\ge 2\): \(a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{2}{3}a_n-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_n=-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), \(a_n=-2a_{n-1}\).

Геометрическая прогрессия с \(a_1=1\), \(q=-2\): \(a_n=(-2)^{n-1}\).

Проверка: \(a_2=-2\), \(S_2=-1=\dfrac{2}{3}\cdot(-2)+\dfrac{1}{3}=-1\), верно.

Ответ: B.

Вероятность вытащить красный шар равна \(\dfrac{1}{3}\), значит красных шаров \(12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4\).

Остальных шаров (черных, желтых, зеленых) вместе \(12 - 4 = 8\), их суммарная вероятность \(\dfrac{2}{3}\).

По условию \(P(Y) + P(G) = \dfrac{5}{12}\) и \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\), откуда \(P(G) = P(B)\).

Так как \(P(B) + P(Y) + P(G) = \dfrac{2}{3}\), подставляем \(P(B) = P(G)\) и получаем \(2P(B) + P(Y) = \dfrac{2}{3}\).

Из \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\) вычитаем: \(P(B) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{4}\).

Тогда \(P(Y) = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}\) и \(P(G) = \dfrac{1}{4}\).

Ответ: A.