Уравнение \(x^2 - y^2 = 1\) — каноническое уравнение гиперболы с \(a^2 = 1\) и \(b^2 = 1\).
Находим фокусное расстояние: \(c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2\), значит \(c = \sqrt{2}\).
Так как знак минус перед \(y^2\), фокусы лежат на оси \(Ox\): \((\pm \sqrt{2}, 0)\).
Ответ: A.
Из уравнения гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\) находим \(a^2=64\), \(b^2=16\), то есть \(a=8\), \(b=4\).
Параметр \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).
Фокусное расстояние равно \(2c=8\sqrt{5}\), что совпадает с вариантом A.
Длина полуоси действительной равна \(a=8\), а не \(4\), поэтому B неверно.
Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), поэтому C неверно.
Мнимая полуось равна \(b=4\), а не \(8\), поэтому D неверно.
Ответ: A.
Каноническое уравнение гиперболы: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) или \(\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1\).
Значит, в уравнении \(mx^2+ny^2=1\) коэффициенты \(m\) и \(n\) должны иметь разные знаки.
Произведение чисел разных знаков отрицательно: \(mn<0\).
Ответ: B.
Для гиперболы вида \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) параметры связаны соотношением \(c^2 = a^2 + b^2\).
Из уравнения видно, что \(b^2 = 3\), значит \(c^2 = a^2 + 3\).
Эксцентриситет равен \(e = \dfrac{c}{a} = 2\), откуда \(c = 2a\).
Подставляем в соотношение: \((2a)^2 = a^2 + 3\), получаем \(4a^2 = a^2 + 3\).
Отсюда \(3a^2 = 3\), \(a^2 = 1\), и с учётом условия \(a > 0\) находим \(a = 1\).
Ответ: D.
Из канонического уравнения гиперболы определяем параметры: \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 9\).
Находим квадрат расстояния от центра до фокуса: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\).
Отсюда \(c = 5\).
Так как член с \(x^2\) положительный, фокусы расположены на оси абсцисс.
Координаты фокусов равны \((\pm 5, 0)\).
Ответ: D.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a^2 = 7\) и \(b^2 = 9\).
Фокусы лежат на оси абсцисс, так как положительный член содержит \(x\).
Вычисляем \(c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16\), откуда \(c = 4\).
Координаты фокусов: \((\pm 4, 0)\).
Ответ: D.
Ошибка в источнике: вариант C — это сама данная гипербола, формально тоже подходит. В ключе источника C.
У гиперболы \( \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1 \): \( a^2 = 4 \), \( b^2 = 9 \), \( c^2 = 13 \), \( e = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{3}{2}x \).
Вариант D: \( \dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{81} = 1 \), \( a^2 = 36 \), \( b^2 = 81 \), \( c^2 = 117 \), \( e = \dfrac{\sqrt{117}}{6} = \dfrac{3\sqrt{13}}{6} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \), асимптоты \( y = \pm \dfrac{9}{6}x = \pm \dfrac{3}{2}x \) — совпадают.
Вариант A: другие асимптоты \( y = \pm \dfrac{2}{3}x \); B: сопряжённая гипербола с другой эксцентриситетом; C: та же самая гипербола.
Ответ: D.