椭圆 \(C\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 有相同的焦点，且其短轴长为 \(4\sqrt{5}\)，则椭圆 \(C\) 的方程为
Given that an ellipse \(C\) has the same foci as the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), and its minor axis has a length of \(4\sqrt{5}\), the equation of the ellipse \(C\) is
Эллипс \(C\) имеет те же фокусы, что и эллипс \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), а длина его малой оси равна \(4\sqrt{5}\). Уравнение эллипса \(C\) имеет вид
Решение
Для эллипса \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) большая полуось \(a_0=3\), малая \(b_0=2\), фокусы на оси \(y\).
\(c^2=a_0^2-b_0^2=9-4=5\), значит \(c=\sqrt{5}\).
Малая ось эллипса \(C\) равна \(4\sqrt{5}\), поэтому \(2b=4\sqrt{5}\), \(b=2\sqrt{5}\), \(b^2=20\).
\(a^2=b^2+c^2=20+5=25\), фокусы на оси \(y\), значит больший знаменатель под \(y^2\).
Уравнение: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\).
Ответ: A.