CSCA Math: Эллипс (Ellipses), 8 задач с решениями

Задача 43 椭圆EllipsesЭллипс 2025年12月, № 43December 2025, № 43Декабрь 2025, № 43

关于椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{20}=1\)，下面说法正确的是：
Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{20}=1\) is correct?
Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{20}=1\) является верным?

Решение

Уравнение эллипса: \( \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{20} = 1 \), где \( a^2 = 20 \), \( b^2 = 4 \).\nБольшая полуось \( a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) направлена вдоль оси \( y \).\nФокусы: \( c^2 = a^2 - b^2 = 20 - 4 = 16 \), \( c = 4 \).\nФокусы на оси \( y \): \( (0, \pm 4) \).\nВариант B неверен (фокусы не на оси \( x \)), C неверен (вершины \( (\pm 2, 0) \) и \( (0, \pm 2\sqrt{5}) \)), D неверен (длины осей \( 4\sqrt{5} \) и \( 4 \)).\nОтвет: A.

Задача 91 椭圆EllipsesЭллипс 2026年1月, № 43January 2026, № 43Январь 2026, № 43

假设椭圆 \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) 的焦点是 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)，且点 \(P\) 在椭圆上，则 \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) ：
Suppose the ellipse \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) has foci \(F_{1}\) and \(F_{2}\), and a point \(P\) lies on the ellipse. Then \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) :
Пусть у эллипса \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) фокусы \(F_{1}\) и \(F_{2}\), а точка \(P\) лежит на эллипсе. Тогда \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) :

Решение

Уравнение эллипса \(\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1\) даёт \(a^{2}=4\), значит \(a=2\).

По определению эллипса сумма расстояний от любой точки на нём до фокусов равна \(2a\).

Вычисляем: \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\cdot 2=4\).

Ответ: B.

Задача 134 椭圆EllipsesЭллипс 2026年3月, № 43March 2026, № 43Март 2026, № 43

已知椭圆的长轴长为 \(10\)，两焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 分别在 \((3,0)\) 和 \((-3,0)\)，则该椭圆的方程为：
Suppose that the major axis of an ellipse is \(10\), and the two foci \(F_1\), \(F_2\) are located at \((3,0)\) and \((-3,0)\). The equation of the ellipse is:
Допустим, большая ось эллипса равна \(10\), а два фокуса \(F_1\), \(F_2\) расположены в точках \((3,0)\) и \((-3,0)\). Уравнение эллипса:

Решение

Большая ось \( 2a=10 \), значит \( a=5 \), \( a^2=25 \).

Фокусы \( (\pm 3,0) \) дают \( c=3 \), \( c^2=9 \).

Тогда \( b^2=a^2-c^2=25-9=16 \), фокусы на оси \( x \), значит больший знаменатель под \( x^2 \).

Уравнение: \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \).

Ответ: A.

Задача 178 椭圆EllipsesЭллипс 2026年4月, № 40April 2026, № 40Апрель 2026, № 40

若 \(a_n\) 椭圆 \(C\) 以原点为中心，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 \(4\)，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\)，则 \(C\) 的方程为
If \(a_n\) ellipse \(C\) is centered at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal length is \(4\), and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is
Если \(a_n\) эллипс \(C\) с центром в начале координат, фокусы находятся на оси \(y\), фокусное расстояние равно \(4\), а эксцентриситет \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид

Решение

Фокусное расстояние \(2c=4\), значит \(c=2\).

Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\), откуда \(a=3\), \(a^2=9\).

Тогда \(b^2=a^2-c^2=9-4=5\).

Фокусы на оси \(y\), поэтому больший знаменатель под \(y^2\): \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\).

Ответ: C.

Задача 181 椭圆EllipsesЭллипс 2026年4月, № 43April 2026, № 43Апрель 2026, № 43

椭圆 \(C\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 有相同的焦点，且其短轴长为 \(4\sqrt{5}\)，则椭圆 \(C\) 的方程为
Given that an ellipse \(C\) has the same foci as the ellipse \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), and its minor axis has a length of \(4\sqrt{5}\), the equation of the ellipse \(C\) is
Эллипс \(C\) имеет те же фокусы, что и эллипс \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\), а длина его малой оси равна \(4\sqrt{5}\). Уравнение эллипса \(C\) имеет вид

Решение

Для эллипса \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) большая полуось \(a_0=3\), малая \(b_0=2\), фокусы на оси \(y\).

\(c^2=a_0^2-b_0^2=9-4=5\), значит \(c=\sqrt{5}\).

Малая ось эллипса \(C\) равна \(4\sqrt{5}\), поэтому \(2b=4\sqrt{5}\), \(b=2\sqrt{5}\), \(b^2=20\).

\(a^2=b^2+c^2=20+5=25\), фокусы на оси \(y\), значит больший знаменатель под \(y^2\).

Уравнение: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1\).

Ответ: A.

Задача 226 椭圆EllipsesЭллипс 2026年6月, № 40June 2026, № 40Июнь 2026, № 40

若椭圆 \(C\) 的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 4，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\) ，则 \(C\) 的方程是：
If the center of ellipse \(C\) is at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal distance is 4, and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is:
Если центр эллипса \(C\) находится в начале координат, его фокусы лежат на оси \(y\), фокусное расстояние равно 4, а эксцентриситет равен \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид:

Решение

Фокусное расстояние \( 2c = 4 \), значит \( c = 2 \).

Эксцентриситет \( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \), откуда \( a = 3 \), \( a^2 = 9 \).

Тогда \( b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5 \).

Фокусы на оси \( y \), большая полуось вдоль \( y \): \( \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \).

Ответ: C.

Задача 229 椭圆EllipsesЭллипс 2026年6月, № 43June 2026, № 43Июнь 2026, № 43

下列关于椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（ \(a, b > 0\) ）的说法，正确的是：
Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) is correct?
Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) верно?

Решение

Уравнение \( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) — каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, поэтому C верно.\nA неверно: без условия \( a > b \) фокусы могут лежать и на оси \( y \).\nB неверно: сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси, а \( a \) не обязана быть большей.\nD неверно: эксцентриситет равен \( e = \dfrac{c}{a} \) при \( a > b \), а не \( \dfrac{b}{a} \).

Ответ: C.

Задача 277 椭圆EllipsesЭллипс 模拟卷 CSCA Math Exam, № 43Mock: CSCA Math Exam, № 43Пробник CSCA Math Exam, № 43

已知椭圆的中心在原点，其长轴是短轴的2倍，且过点 \(P(-2,0)\)，则该椭圆的方程为：
An ellipse is centered at the origin, its major axis is twice its minor axis, and it passes through the point \(P(-2,0)\). Then its equation is:
Эллипс имеет центр в начале координат, его большая ось в 2 раза больше малой оси, и он проходит через точку \(P(-2,0)\). Тогда его уравнение имеет вид:

Решение

Эллипс проходит через \(P(-2,0)\), значит вершина на оси \(x\) равна \(2\), то есть \(a=2\) или \(b=2\).

Большая ось вдвое больше малой, поэтому полуоси равны \(2\) и \(4\).

Если большая ось по \(x\): \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\), но точка \((-2,0)\) не лежит на нём как вершина большой оси, проверка: \(\dfrac{4}{16}+0=\dfrac{1}{4}\neq 1\), не подходит.

Значит полуось по \(x\) равна \(2\): \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b=1\) или \(b=4\).

Получаем \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\).

Ответ: C.