设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n=3a_{n+1}-3\)，则 \(S_n=\)
Suppose that the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n\), and \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Then \(S_n=\)
Пусть сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равна \(S_n\), причём \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Тогда \(S_n=\)
Решение
При \(n=1\): \(2S_1=3a_2-3\), то есть \(2a_1=3a_1q-3\).
При \(n\ge 2\): \(2S_n=3a_{n+1}-3\) и \(2S_{n-1}=3a_n-3\); вычитая, \(2a_n=3a_{n+1}-3a_n\), значит \(3a_{n+1}=5a_n\), \(q=\dfrac{5}{3}\).
Подставляем \(q=\dfrac{5}{3}\) в \(2a_1=3a_1q-3\): \(2a_1=5a_1-3\), \(a_1=1\).
\(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\).
Ответ: A.