CSCA · Математика

等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия

17 задач · текстом

Задача 23等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2025年12月, № 23December 2025, № 23Декабрь 2025, № 23
已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的前三项为 1, 2, 4, 则数列的通项公式为：
Given that the first three terms of the geometric sequence \(\{a_n\}\) are 1, 2, 4, then the general term formula of the sequence is:
Если первые три члена геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равны 1, 2, 4, то её общий член равен:
Решение

Знаменатель прогрессии \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{2}{1}=2\).

Общий член геометрической прогрессии \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}\).

Проверка: \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_3=4\) — совпадает с условием.

Ответ: C.

Задача 95等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年1月, № 47January 2026, № 47Январь 2026, № 47
假设数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_{1}=1\)，且 \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\)（\(n=1,2,\dots\)）。另设数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=|a_n|\)（\(n=1,2,\dots\)）。则数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\) ：
Suppose in a sequence \(\{a_n\}\) we have \(a_{1}=1\) and \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) for \(n=1,2,\dots\). Let another sequence \(\{b_n\}\) satisfy \(b_n=|a_n|\) for \(n=1,2,\dots\). Then the sum of the first \(n\) terms of \(\{b_n\}\) is \(S_n=\) :
Пусть в последовательности \(\{a_n\}\) задано \(a_{1}=1\) и \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) при \(n=1,2,\dots\). Другая последовательность \(\{b_n\}\) определяется как \(b_n=|a_n|\) при \(n=1,2,\dots\). Тогда сумма первых \(n\) членов \(\{b_n\}\) равна \(S_n=\) :
Решение

Из условия \(\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{2}{a_{n+1}} = 0\) получаем \(a_{n+1} = -2a_n\).

Значит, \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и знаменателем \(q = -2\).

Общий член: \(a_n = (-2)^{n-1}\).

Тогда \(b_n = |a_n| = |(-2)^{n-1}| = 2^{n-1}\).

Последовательность \(\{b_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2.

Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\).

Ответ: C.

Задача 108等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年3月, № 12March 2026, № 12Март 2026, № 12
3和12的等比中项是：
The geometric mean of 3 and 12 is:
Среднее геометрическое чисел 3 и 12 равно:
Решение

Среднее геометрическое двух положительных чисел \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле \(\pm\sqrt{ab}\).

Подставляем значения: \(\pm\sqrt{3 \cdot 12} = \pm\sqrt{36}\).

Извлекаем корень: \(\pm 6\).

Ответ: D.

Задача 111等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年3月, № 15March 2026, № 15Март 2026, № 15
在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=4\)，\(a_4=32\)，则\(a_3\)等于：
In a geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=4\) and \(a_4=32\), then \(a_3\) is:
В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=4\) и \(a_4=32\), то \(a_3\) равен:
Решение

В геометрической прогрессии \(a_4=a_1q^3\), значит \(32=4q^3\), \(q^3=8\), \(q=2\).

Тогда \(a_3=a_1q^2=4\cdot 4=16\).

Варианты с минусом невозможны: \(q^3=8\) даёт единственный действительный корень \(q=2\).

Ответ: B.

Задача 160等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年4月, № 22April 2026, № 22Апрель 2026, № 22
若数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=-48\)，\(a_4=6\)，则公比 \(q=\)
If the sequence \(\{a_n\}\) is a geometric sequence, and \(a_1=-48\), \(a_4=6\), then the common ratio \(q=\)
Если последовательность \(\{a_n\}\) является геометрической прогрессией, причём \(a_1=-48\), \(a_4=6\), то знаменатель \(q=\)
Решение

Для геометрической прогрессии выполняется формула \(a_4=a_1 \cdot q^3\).

Подставляем известные значения: \(6=-48 \cdot q^3\).

Делим обе части на \(-48\): \(q^3=\dfrac{6}{-48}=-\dfrac{1}{8}\).

Извлекаем кубический корень: \(q=-\dfrac{1}{2}\).

Ответ: A.

Задача 167等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年4月, № 29April 2026, № 29Апрель 2026, № 29
若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\)，则其通项公式 \(a_n =\)
If a sequence \(\{a_n\}\) is given by \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), then its general term is \(a_n =\)
Если последовательность \(\{a_n\}\) задана как \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots\), то её общий член равен \(a_n =\)
Решение

Члены последовательности: \(a_1=\dfrac{1}{2}\), \(a_2=-\dfrac{1}{4}\), \(a_3=\dfrac{1}{8}\).

Знаменатель каждый раз удваивается, значит модуль равен \(\dfrac{1}{2^n}\).

Знаки чередуются, начиная с плюса, поэтому множитель \((-1)^{n-1}\).

Получаем \(a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{2^n}\).

Ответ: B.

Задача 183等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年4月, № 45April 2026, № 45Апрель 2026, № 45
设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n=3a_{n+1}-3\)，则 \(S_n=\)
Suppose that the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n\), and \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Then \(S_n=\)
Пусть сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равна \(S_n\), причём \(2S_n=3a_{n+1}-3\). Тогда \(S_n=\)
Решение

При \(n=1\): \(2S_1=3a_2-3\), то есть \(2a_1=3a_1q-3\).

При \(n\ge 2\): \(2S_n=3a_{n+1}-3\) и \(2S_{n-1}=3a_n-3\); вычитая, \(2a_n=3a_{n+1}-3a_n\), значит \(3a_{n+1}=5a_n\), \(q=\dfrac{5}{3}\).

Подставляем \(q=\dfrac{5}{3}\) в \(2a_1=3a_1q-3\): \(2a_1=5a_1-3\), \(a_1=1\).

\(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^n-\dfrac{3}{2}\).

Ответ: A.

Задача 198等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年6月, № 12June 2026, № 12Июнь 2026, № 12
已知 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成等比数列并且满足 \(ac=100\)，则 \(b=\)
Given that \(a\), \(b\), and \(c\) form a geometric sequence and satisfy \(ac=100\), then \(b=\)
Дано, что \(a\), \(b\) и \(c\) образуют геометрическую прогрессию и удовлетворяют условию \(ac=100\), тогда \(b=\)
Решение

В геометрической прогрессии \(b^2=ac\).

По условию \(ac=100\), значит \(b^2=100\).

Отсюда \(b=\pm 10\).

Ответ: D.

Задача 207等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年6月, № 21June 2026, № 21Июнь 2026, № 21
已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\)，则：
Given that the general term of the geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), then:
Дано, что общий член геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равен \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), тогда:
Решение

По формуле \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\) находим \(a_1 = 2\), \(a_2 = -2\), значит \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = -1\), варианты A и B неверны.

\(a_{100} = 2\cdot(-1)^{101} = -2\), вариант C неверен.

Каждая пара соседних членов даёт в сумме \(2 + (-2) = 0\), таких пар в десяти членах пять.

\(S_{10} = 5\cdot 0 = 0\).

Ответ: D.

Задача 216等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年6月, № 30June 2026, № 30Июнь 2026, № 30
若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\)，则通项 \(a_n=\)。
If the sequence \(\{a_n\}\) is \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), then the general term \(a_n=\).
Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), то общий член \(a_n=\).
Решение

Последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).

Находим знаменатель прогрессии: \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).

Формула общего члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).

Подставляем значения: \(a_n = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Выносим знак минус из основания степени: \(a_n = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).

Ответ: C.

Задача 231等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия2026年6月, № 45June 2026, № 45Июнь 2026, № 45
设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\)（ \(n = 1, 2, \ldots\) ），则 \(S_n\) =
Let the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) be \(S_n\), and \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ), then \(S_n\) =
Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), причём \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ). Тогда \(S_n\) =
Решение

При \( n = 1 \): \( 2a_1 = 3a_2 - 3 \), а \( a_2 = qa_1 \), значит \( a_1(2 - 3q) = -3 \).

Записываем условие для \( n \) и \( n-1 \) и вычитаем: \( 2a_n = 3a_{n+1} - 3a_n \), то есть \( 3a_{n+1} = 5a_n \), \( q = \dfrac{5}{3} \).

Подставляем \( q = \dfrac{5}{3} \): \( a_1(2 - 5) = -3 \), откуда \( a_1 = 1 \).

Сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - 1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2} \).

Ответ: B.

Задача 246等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия模拟卷 CSCA Math Exam, № 12Mock: CSCA Math Exam, № 12Пробник CSCA Math Exam, № 12
已知 \(a=\sqrt{2}+1\)，\(b=\sqrt{2}-1\)，则 a 和 b 的等比中项为：
Given \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), the geometric mean of a and b is:
Даны \(a=\sqrt{2}+1\), \(b=\sqrt{2}-1\), среднее геометрическое a и b равно:
Решение

Среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\pm\sqrt{ab}\).

Вычислим произведение: \(ab = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2 - 1 = 1\).

Тогда \(\pm\sqrt{ab} = \pm\sqrt{1} = \pm 1\).

Ответ: A.

Задача 247等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия模拟卷 CSCA Math Exam, № 13Mock: CSCA Math Exam, № 13Пробник CSCA Math Exam, № 13
设 \(\{a_n\}\) 是等比数列，\(a_1=3\)，公比 \(q=2\)，求 \(a_4\)。
Let \(\{a_n\}\) be a geometric sequence with \(a_1=3\) and common ratio \(q=2\). Find \(a_4\).
Пусть \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия, \(a_1=3\), знаменатель \(q=2\). Найдите \(a_4\).
Решение

Формула общего члена геометрической прогрессии \( a_n = a_1 q^{n-1} \).

Подставляем \( a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24 \).

Ответ: C.

Задача 255等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия模拟卷 CSCA Math Exam, № 21Mock: CSCA Math Exam, № 21Пробник CSCA Math Exam, № 21
若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\)，则通项 \(a_n=\)
If sequence \(\{a_n\}\) is \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), then the general term \(a_n=\)
Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\ldots\), то её общий член \(a_n=\)
Решение

Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).

Знаменатель прогрессии \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).

Формула общего члена: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Перепишем это как \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).

При \(n=1\) получаем \(\dfrac{1}{2}\), при \(n=2\) получаем \(-\dfrac{1}{4}\), что совпадает с условием.

Ответ: C.

Задача 281等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия模拟卷 CSCA Math Exam, № 47Mock: CSCA Math Exam, № 47Пробник CSCA Math Exam, № 47
设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，若 \(S_2=4\)，\(S_4=20\)，则 \(S_8=\)
Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\). If \(S_2=4\) and \(S_4=20\), then \(S_8=\)
Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\). Если \(S_2=4\) и \(S_4=20\), то \(S_8=\)
Решение

Для геометрической прогрессии \( S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1+q^2) \).

Подставляем значения: \( 20 = 4(1+q^2) \), откуда \( q^2 = 4 \).

Аналогично \( S_8 = S_4 + q^4 S_4 = S_4(1+q^4) \).

Так как \( q^4 = (q^2)^2 = 16 \), получаем \( S_8 = 20(1+16) = 20 \cdot 17 = 340 \).

Ответ: B.

Задача 290等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия模拟卷 Crossline, № 8Mock: Crossline, № 8Пробник Crossline, № 8
在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1 = 2\) 且 \(a_3 = 8\)，则 \(a_4 =\)：
In the geometric sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1 = 2\) and \(a_3 = 8\), then \(a_4 =\):
В геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1 = 2\) и \(a_3 = 8\), то \(a_4 =\):
Решение

В геометрической прогрессии \(a_3 = a_1 \cdot q^2\), откуда \(8 = 2 \cdot q^2\) и \(q^2 = 4\).

Знаменатель прогрессии \(q = 2\) или \(q = -2\).

Четвёртый член равен \(a_4 = a_3 \cdot q = 8q\), то есть \(16\) или \(-16\).

Среди предложенных вариантов только \(16\) присутствует, вариант \(-16\) отсутствует.

Ответ: D.

Задача 323等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия模拟卷 Crossline, № 41Mock: Crossline, № 41Пробник Crossline, № 41
已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\)，其前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，关于数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 极限的说法正确的是：
Given the sequence \(\{a_n\}\) with general term \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\) and sum of first \(n\) terms \(S_n\), which of the following statements about the limits of \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) is correct?
Дана последовательность \(\{a_n\}\) с общим членом \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\), сумма первых \(n\) членов которой равна \(S_n\). Какое из следующих утверждений о пределах \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) верно?

Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный C: пределы равны \(0\) и \(1\).

Решение

\( a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 0.

\( S_n \) — сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \).

\( S_n \to 1 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 1.

Оба предела существуют, но не равны: \( 0 \neq 1 \).

Ответ: C.