若复数 \(z\) 满足方程 \((z-2i)(2-i)=5\)，则 \(z=\)
If a complex number \(z\) satisfies the equation \((z-2i)(2-i)=5\), then \(z=\)
Если комплексное число \(z\) удовлетворяет уравнению \((z-2i)(2-i)=5\), то \(z=\)
Решение
Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2z - zi - 4i + 2i^2 = 5\).
Поскольку \(i^2 = -1\), получаем \(2z - zi - 4i - 2 = 5\), откуда \(2z - zi = 7 + 4i\).
Вынесем \(z\): \(z(2 - i) = 7 + 4i\), значит \(z = \dfrac{7 + 4i}{2 - i}\).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(2 + i\).
Числитель: \((7 + 4i)(2 + i) = 14 + 7i + 8i + 4i^2 = 14 + 15i - 4 = 10 + 15i\).
Знаменатель: \((2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5\). Тогда \(z = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i\).
Ответ: A.